Continuous Random Variables

# Continuous Random Variables ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les concepts fondamentaux des variables aléatoires continues, en particulier leur fonction de densité de probabilité, leur espérance, leur variance, leur mode, leur fonction de répartition, ainsi que les mesures de position comme la médiane et les quartiles. L’étudiant doit être capable de : - Identifier une variable aléatoire continue et distinguer ses propriétés de celles d’une variable discrète. - Déterminer si une fonction donnée est une fonction de densité de probabilité valide. - Calculer l’espérance, la variance et le mode d’une variable aléatoire continue à partir de sa densité. - Construire et interpréter la fonction de répartition cumulative (CDF). - Déterminer la médiane, les quartiles et autres quantiles à partir de la CDF ou de la densité. - Résoudre des problèmes appliqués en utilisant ces outils. **Prérequis** : Maîtrise du calcul intégral et différentiel (intégrales définies, primitives, changement de variable), notions de probabilité discrète (espace échantillonnaire, probabilité conditionnelle, indépendance), et familiarité avec les notations ensemblistes et les fonctions réelles. --- ## I. Introduction to continuous random variable Une variable aléatoire continue est une variable dont l’ensemble des valeurs possibles forme un intervalle (ou une union d’intervalles) de nombres réels, et pour laquelle la probabilité de prendre une valeur exacte quelconque est nulle. Contrairement aux variables discrètes, on ne peut pas attribuer de probabilité non nulle à chaque valeur individuelle ; on travaille plutôt avec des intervalles. > **Définition** : Une variable aléatoire $X$ est dite continue si il existe une fonction $f_X(x) \geq 0$, appelée fonction de densité de probabilité (PDF), telle que pour tout intervalle $[a, b]$ : > $$ > P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx > $$ > et > $$ > \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1. > $$ **Propriétés essentielles** : - $f_X(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. - La probabilité que $X$ prenne une valeur exacte est nulle : $P(X = c) = 0$ pour tout $c \in \mathbb{R}$. - $P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b) = P(a \leq X < b) = P(a < X \leq b)$, car les frontières n’ont pas de poids probabiliste. - La fonction de densité n’est pas une probabilité : elle peut dépasser 1 (ex. : densité uniforme sur $[0, 0.5]$ vaut 2). **Exemple 1** : Soit $X$ une variable aléatoire continue définie sur $[0, 2]$ par $f_X(x) = \frac{1}{2}$ pour $0 \leq x \leq 2$, et 0 ailleurs. Vérifions que c’est une PDF valide : $$ \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = \int_0^2 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (2 - 0) = 1. $$ Donc oui, c’est une PDF valide. Calculons $P(0.5 \leq X \leq 1.5)$ : $$ P(0.5 \leq X \leq 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (1.5 - 0.5) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5. $$ **Exercice 1** : Soit $X$ une variable aléatoire continue avec PDF : $$ f_X(x) = \begin{cases} kx & \text{pour } 0 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{ailleurs} \end{cases} $$ Déterminer $k$ tel que $f_X$ soit une PDF valide. Puis calculer $P(X > 1)$. **Corrigé** : Pour que $f_X$ soit une PDF : $$ \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = \int_0^2 kx \, dx = k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = k \cdot \frac{4}{2} = 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}. $$ Donc $f_X(x) = \frac{1}{2}x$ sur $[0,2]$. Maintenant, $P(X > 1) = \int_1^2 \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{4} (4 - 1) = \frac{3}{4}$. --- ## II. Probability density function of continuous random variable La fonction de densité de probabilité (PDF) décrit la densité de probabilité par unité de longueur autour d’un point. Elle ne donne pas directement une probabilité, mais permet d’en calculer une par intégration sur un intervalle. > **Définition** : Une fonction $f_X : \mathbb{R} \to [0, \infty)$ est une PDF si et seulement si : > 1. $f_X(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, > 2. $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$. **Propriétés** : - La PDF n’est pas unique en un point : on peut la modifier sur un ensemble de mesure nulle (ex. : un point) sans changer les probabilités. - Elle peut être discontinue, mais doit être intégrable (généralement piecewise continue ou bornée). - Elle permet de modéliser des phénomènes physiques : temps d’attente, hauteur, poids, erreurs de mesure, etc. **Exemple 2** : Loi uniforme sur $[a, b]$ : $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{pour } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{ailleurs} \end{cases} $$ Vérification : $\int_a^b \frac{1}{b-a} \, dx = 1$. Espérance : $E[X] = \frac{a+b}{2}$ (à venir). **Exemple 3** : Loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ : $$ f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{pour } x \geq 0 \\ 0 & \text{pour } x < 0 \end{cases} $$ Vérification : $\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} \, dx = \left[ -e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = 0 - (-1) = 1$. **Exercice 2** : Soit $X$ avec PDF : $$ f_X(x) = \begin{cases} c(4 - x^2) & \text{pour } -2 \leq x \leq 2 \\ 0 & \text{ailleurs} \end{cases} $$ Déterminer $c$. Puis calculer $P(-1 \leq X \leq 1)$. **Corrigé** : $$ \int_{-2}^{2} c(4 - x^2) \, dx = c \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = c \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} $$ Calcul du terme : À $x=2$ : $4(2) - \frac{8}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ À $x=-2$ : $4(-2) - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$ Différence : $\frac{16}{3} - (-\frac{16}{3}) = \frac{32}{3}$ Donc $c \cdot \frac{32}{3} = 1 \implies c = \frac{3}{32}$. Maintenant, $P(-1 \leq X \leq 1) = \int_{-1}^{1} \frac{3}{32}(4 - x^2) \, dx = \frac{3}{32} \int_{-1}^{1} (4 - x^2) \, dx$ Comme l’intégrande est paire : $= \frac{3}{32} \cdot 2 \int_0^1 (4 - x^2) \, dx = \frac{6}{32} \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{3}{16} \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{16} \cdot \frac{11}{3} = \frac{11}{16}$. --- ## III. Expectation of continuous random variable L’espérance (ou moyenne) d’une variable aléatoire continue est le centre de gravité de sa distribution, pondéré par la densité de probabilité. > **Définition** : L’espérance de $X$ est définie par : > $$ > E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx, > $$ > à condition que l’intégrale converge absolument. **Propriétés** : - Linéarité : $E[aX + b] = aE[X] + b$ pour des constantes $a, b$. - Si $X \geq 0$ presque sûrement, alors $E[X] \geq 0$. - $E[X]$ peut ne pas exister (ex. : loi de Cauchy). **Exemple 4** : Loi uniforme sur $[a, b]$ : $$ E[X] = \int_a^b x \cdot \frac{1}{b-a} \, dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b = \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} = \frac{a+b}{2}. $$ **Exemple 5** : Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $$ E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x} \, dx. $$ On intègre par parties : soit $u = x$, $dv = \lambda e^{-\lambda x} dx$ → $du = dx$, $v = -e^{-\lambda x}$. $$ E[X] = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} \, dx = 0 + \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty = 0 - (-\frac{1}{\lambda}) = \frac{1}{\lambda}. $$ **Exercice 3** : Soit $X$ avec PDF $f_X(x) = 2x$ sur $[0,1]$, 0 ailleurs. Calculer $E[X]$ et $E[X^2]$. **Corrigé** : $$ E[X] = \int_0^1 x \cdot 2x \, dx = 2 \int_0^1 x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}. $$ $$ E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 2x \, dx = 2 \int_0^1 x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. $$ --- ## IV. Variance and mode of continuous random variable La variance mesure la dispersion autour de l’espérance. Le mode est la valeur où la densité atteint son maximum (le plus probable). > **Définition** : La variance de $X$ est : > $$ > \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2. > $$ > L’écart-type est $\sigma_X = \sqrt{\text{Var}(X)}$. > **Définition** : Le mode de $X$ est toute valeur $m$ telle que $f_X(m) = \sup_{x \in \mathbb{R}} f_X(x)$. Si le maximum est unique, on parle de *le* mode. **Propriétés** : - $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$. - La variance est toujours non nulle ou positive. - Le mode peut ne pas exister (densité constante, ex. : uniforme) ou ne pas être unique (densité bimodale). **Exemple 6** : Loi uniforme sur $[a, b]$ : On a vu $E[X] = \frac{a+b}{2}$, $E[X^2] = \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b-a} dx = \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{(b-a)(a^2 + ab + b^2)}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$. Alors : $$ \text{Var}(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} $$ Mettre au même dénominateur (12) : $$ = \frac{4(a^2 + ab + b^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} = \frac{(b-a)^2}{12}. $$ Le mode : puisque $f_X(x)$ est constante sur $[a,b]$, tout point de cet intervalle est un mode. On dit que la loi uniforme est *amodale* ou que tout point est un mode. **Exemple 7** : Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$. Cette fonction est strictement décroissante sur $[0, \infty)$, donc son maximum est atteint en $x=0$. Donc le mode est $0$. On a vu $E[X] = \frac{1}{\lambda}$, $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx$. On peut utiliser la formule générale pour les moments de la loi exponentielle : $E[X^n] = \frac{n!}{\lambda^n}$. Donc $E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2}$. Alors : $$ \text{Var}(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}. $$ **Exercice 4** : Soit $X$ avec PDF $f_X(x) = 3x^2$ sur $[0,1]$, 0 ailleurs. (a) Vérifier que c’est une PDF valide. (b) Calculer $E[X]$, $E[X^2]$, $\text{Var}(X)$. (c) Déterminer le mode de $X$. **Corrigé** : (a) $\int_0^1 3x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1$. Oui, PDF valide. (b) $E[X] = \int_0^1 x \cdot 3x^2 dx = 3 \int_0^1 x^3 dx = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $E[X^2] = \int_0^1 x^2 \cdot 3x^2 dx = 3 \int_0^1 x^4 dx = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$. $\text{Var}(X) = \frac{3}{5} - \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16} = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$. (c) $f_X(x) = 3x^2$ est strictement croissante sur $[0,1]$ (dérivée $6x \geq 0$), donc son maximum est en $x=1$. Donc le mode est $1$. --- ## V. The cumulative distribution function La fonction de répartition cumulative (CDF) donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée. Elle est fondamentale pour calculer des probabilités et des quantiles. > **Définition** : La fonction de répartition de $X$ est définie par : > $$ > F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt, \quad \forall x \in \mathbb{R}. > $$ **Propriétés** : - $F_X(x)$ est non décroissante, continue à droite. - $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$, $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$. - Pour tout $a < b$ : $P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)$. - Si $f_X$ est continue en $x$, alors $F_X'(x) = f_X(x)$ (théorème fondamental du calcul). - La CDF caractérise complètement la distribution. **Exemple 8** : Loi uniforme sur $[a, b]$ : $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \text{si } a \leq x \leq b \\ 1 & \text{si } x > b \end{cases} $$ Vérification : en $x=a$, $F_X(a)=0$ ; en $x=b$, $F_X(b)=1$ ; linéaire entre. **Exemple 9** : Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$ Vérification : en $x=0$, $F_X(0)=0$ ; quand $x \to \infty$, $F_X(x) \to 1$. **Exercice 5** : Soit $X$ avec PDF $f_X(x) = \frac{3}{8}(4 - x^2)$ sur $[-2,2]$, 0 ailleurs (comme dans l’exercice 2, avec $c=\frac{3}{32}$ ? Attendez : dans l’exercice 2 on avait $c(4-x^2)$ et on a trouvé $c=\frac{3}{32}$ ? Non : on avait $c(4-x^2)$ et on a trouvé $c=\frac{3}{32}$ ? Attendez, dans l’exercice 2 : on avait $f_X(x) = c(4 - x^2)$ sur $[-2,2]$, et on a trouvé $c = \frac{3}{32}$ ? Non : on avait $\int_{-2}^2 c(4-x^2)dx = c \cdot \frac{32}{3} = 1 \implies c = \frac{3}{32}$. Donc $f_X(x) = \frac{3}{32}(4 - x^2)$. Mais dans l’exercice 2, on a calculé $P(-1\leq X\leq 1) = \frac{11}{16}$. Reprenons : ici, on veut la CDF de cette densité. Calculons $F_X(x)$ pour $x \in [-2,2]$ : $$ F_X(x) = \int_{-2}^{x} \frac{3}{32}(4 - t^2) \, dt = \frac{3}{32} \int_{-2}^{x} (4 - t^2) \, dt = \frac{3}{32} \left[ 4t - \frac{t^3}{3} \right]_{-2}^{x} $$ $$ = \frac{3}{32} \left( \left(4x - \frac{x^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) \right) = \frac{3}{32} \left( 4x - \frac{x^3}{3} - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) \right) $$ $$ = \frac{3}{32} \left( 4x - \frac{x^3}{3} + 8 - \frac{8}{3} \right) = \frac{3}{32} \left( 4x - \frac{x^3}{3} + \frac{16}{3} \right) $$ $$ = \frac{3}{32} \cdot \frac{1}{3} \left( 12x - x^3 + 16 \right) = \frac{1}{32} \left( -x^3 + 12x + 16 \right) $$ Vérifions en $x=-2$ : $F_X(-2) = \frac{1}{32}(-(-8) + 12(-2) + 16) = \frac{1}{32}(8 -24 +16) = 0$. En $x=2$ : $F_X(2) = \frac{1}{32}(-8 + 24 + 16) = \frac{32}{32} = 1$. Bonne. Donc : $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < -2 \\ \frac{1}{32}(-x^3 + 12x + 16) & -2 \leq x \leq 2 \\ 1 & x > 2 \end{cases} $$ **Exercice 5 (bis)** : Pour la même variable $X$ que ci-dessus, calculer $P(X \leq 0)$ et $P(X > 1)$ en utilisant la CDF. **Corrigé** : $P(X \leq 0) = F_X(0) = \frac{1}{32}(-0 + 0 + 16) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$. $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - F_X(1)$. $F_X(1) = \frac{1}{32}(-1 + 12 + 16) = \frac{27}{32}$. Donc $P(X > 1) = 1 - \frac{27}{32} = \frac{5}{32}$. --- ## VI. The median/The other quartiles La médiane divise la distribution en deux parties égales de probabilité. Les quartiles (et autres quantiles) divisent la distribution en parties égales de probabilité. > **Définition** : La médiane de $X$ est tout nombre $m$ tel que $F_X(m) \geq \frac{1}{2}$ et $P(X \geq m) \geq \frac{1}{2}$. Pour une variable continue, on prend généralement la solution unique de $F_X(m) = \frac{1}{2}$ si elle existe. > **Définition** : Le premier quartile $Q_1$ est la solution de $F_X(Q_1) = \frac{1}{4}$, le troisième quartile $Q_3$ celle de $F_X(Q_3) = \frac{3}{4}$. > Plus généralement, le $p$-ième quantile ($0 < p < 1$) est $x_p$ tel que $F_X(x_p) = p$. **Propriétés** : - La médiane est résistante aux valeurs extrêmes (contrairement à l’espérance). - Pour une distribution symétrique autour de $\mu$, la médiane, le mode et l’espérance coïncident. - Les quantiles sont obtenus en résolvant $F_X(x) = p$, ce qui peut nécessiter l’inversion de la CDF ou une résolution numérique. **Exemple 10** : Loi uniforme sur $[a, b]$ : $F_X(x) = \frac{x-a}{b-a}$ pour $x \in [a,b]$. Médiane : $F_X(m) = \frac{1}{2} \implies \frac{m-a}{b-a} = \frac{1}{2} \implies m = a + \frac{1}{2}(b-a) = \frac{a+b}{2}$. $Q_1$ : $\frac{Q_1 - a}{b-a} = \frac{1}{4} \implies Q_1 = a + \frac{1}{4}(b-a) = \frac{3a+b}{4}$. $Q_3$ : $\frac{Q_3 - a}{b-a} = \frac{3}{4} \implies Q_3 = a + \frac{3}{4}(b-a) = \frac{a+3b}{4}$. **Exemple 11** : Loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$. Médiane : $1 - e^{-\lambda m} = \frac{1}{2} \implies e^{-\lambda m} = \frac{1}{2} \implies -\lambda m = \ln(1/2) = -\ln 2 \implies m = \frac{\ln 2}{\lambda}$. $Q_1$ : $1 - e^{-\lambda Q_1} = \frac{1}{4} \implies e^{-\lambda Q_1} = \frac{3}{4} \implies Q_1 = -\frac{1}{\lambda} \ln(3/4) = \frac{\ln(4/3)}{\lambda}$. $Q_3$ : $1 - e^{-\lambda Q_3} = \frac{3}{4} \implies e^{-\lambda Q_3} = \frac{1}{4} \implies Q_3 = -\frac{1}{\lambda} \ln(1/4) = \frac{\ln 4}{\lambda} = \frac{2\ln 2}{\lambda}$. **Exercice 6** : Soit $X$ avec PDF $f_X(x) = 2x$ sur $[0,1]$, 0 ailleurs. (a) Trouver la CDF $F_X(x)$. (b) Déterminer la médiane, $Q_1$ et $Q_3$. **Corrigé** : (a) Pour $x < 0$ : $F_X(x) = 0$. Pour $0 \leq x \leq 1$ : $F_X(x) = \int_0^x 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_0^x = x^2$. Pour $x > 1$ : $F_X(x) = 1$. Donc : $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x^2 & 0 \leq x \leq 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases} $$ (b) Médiane : résoudre $F_X(m) = \frac{1}{2} \implies m^2 = \frac{1}{2} \implies m = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ (on prend la racine positive puisque $m \in [0,1]$). $Q_1$ : $F_X(Q_1) = \frac{1}{4} \implies Q_1^2 = \frac{1}{4} \implies Q_1 = \frac{1}{2}$ (racine positive). $Q_3$ : $F_X(Q_3) = \frac{3}{4} \implies Q_3^2 = \frac{3}{4} \implies Q_3 = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. --- ## ## Synthèse du chapitre - Une variable aléatoire continue est caractérisée par sa fonction de densité de probabilité (PDF) $f_X(x)$, vérifiant $f_X(x) \geq 0$ et $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$. - La probabilité que $X$ appartienne à un intervalle $[a,b]$ est $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) dx$. - L’espérance est $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$, et la variance est $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$. - Le mode est la valeur où $f_X(x)$ atteint son maximum. - La fonction de répartition cumulative (CDF) est $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$, non décroissante, allant de 0 à 1. - La médiane vérifie $F_X(m) = \frac{1}{2}$ ; les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ vérifient $F_X(Q_1) = \frac{1}{4}$ et $F_X(Q_3) = \frac{3}{4}$. - Pour une densité connue, on peut calculer espérance, variance, mode, CDF, médiane et quartiles par intégration ou résolution d’équations. - Les lois uniforme et exponentielle sont des modèles classiques : leurs PDF, CDF, espérance, variance, médiane et quartiles sont connus en forme fermée. --- ## ## Glossaire - **Variable aléatoire continue** : Variable dont l’ensemble des valeurs possibles est un intervalle de réels et pour laquelle $P(X = c) = 0$ pour tout $c$. - **Fonction de densité de probabilité (PDF)** : Fonction $f_X(x) \geq 0$ telle que $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) dx$ et $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1$. - **Espérance** : Moyenne théorique de $X$, notée $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx$. - **Variance** : Mesure de la dispersion autour de l’espérance, $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$. - **Mode** : Valeur où la PDF atteint son maximum global. - **Fonction de répartition cumulative (CDF)** : $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt$. - **Médiane** : Valeur $m$ telle que $F_X(m) = \frac{1}{2}$. - **Premier quartile ($Q_1$)** : Valeur telle que $F_X(Q_1) = \frac{1}{4}$. - **Troisième quartile ($Q_3$)** : Valeur telle que $F_X(Q_3) = \frac{3}{4}$. - **Quantile d’ordre $p$** : Valeur $x_p$ telle que $F_X(x_p) = p$ pour $0 < p < 1$. - **Loi uniforme** : Distribution où la densité est constante sur un intervalle $[a,b]$. - **Loi exponentielle** : Distribution modélisant le temps entre événements dans un processus de Poisson, de densité $\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x \geq 0$.