Descriptive Statistics

# Descriptive Statistics ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir aux élèves de Upper Sixth (Pure Mathematics with Statistics) une maîtrise complète des outils de statistique descriptive, essentiels pour l'analyse et l'interprétation des données. À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de : - Définir et distinguer les types de données (qualitatives, quantitatives, discrètes, continues) et les méthodes de collecte. - Organiser, présenter et résumer des données sous forme de tableaux, de fréquences groupées et de représentations graphiques (barres, secteurs, lignes, histogrammes, polygones de fréquences, ogives). - Calculer et interpréter les mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, mode) et de dispersion (écart-type, variance, écart interquartile). - Déterminer les quartiles, déciles, percentiles et leurs applications. - Mesurer l'asymétrie d'une distribution via le coefficient d'asymétrie de Pearson et le coefficient d'asymétrie des quartiles. - Calculer la moyenne combinée de plusieurs groupes. - Comprendre et construire des indices de prix (Laspeyres, Paasche) et leur utilisation en économie. - Identifier et interpréter les distributions symétriques, positivement et négativement asymétriques. **Prérequis** : Notions de base en algèbre (sommation, moyenne), lecture de graphiques, manipulation de fractions et de pourcentages, compréhension du concept de fréquence. --- ## I. Understanding basic terminologies in statistics ### Définitions clés > **Population** : Ensemble complet d'individus ou d'objets faisant l'objet d'une étude statistique. > **Échantillon** : Sous-ensemble de la population sélectionné pour l'analyse. > **Variable** : Caractéristique mesurée ou observée sur chaque individu de la population ou de l'échantillon. > **Donnée** : Valeur observée d'une variable pour un individu donné. > **Fréquence absolue** : Nombre de fois qu'une valeur ou une classe apparaît dans un ensemble de données. > **Fréquence relative** : Rapport entre la fréquence absolue et l'effectif total (souvent exprimé en pourcentage). > **Fréquence cumulee** : Somme des fréquences absolues jusqu'à une certaine valeur ou classe. ### Exemple résolu On interroge 40 élèves sur leur nombre de livres lus par mois. Les réponses sont : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11. - Fréquence absolue de 4 : 5 - Fréquence relative de 4 : $ \frac{5}{40} = 0,125 = 12,5\% $ - Fréquence cumulee jusqu'à 4 : $ 1+2+3+4+5 = 15 $ (en sommant les fréquences de 0 à 4) ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Dans un sondage auprès de 50 personnes sur leur temps quotidien d'écran (en heures), on obtient : 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14. a) Quelle est la fréquence absolue de 7 ? b) Quelle est la fréquence relative de 10 ? c) Quelle est la fréquence cumulee jusqu'à 8 ? **Corrigé** : a) Fréquence absolue de 7 : 5 b) Fréquence relative de 10 : $ \frac{5}{50} = 0,1 = 10\% $ c) Fréquence cumulee jusqu'à 8 : $ 1+2+3+4+5+5+5 = 25 $ (fréquences de 2 à 8 : 1,2,3,4,5,5,5) --- ## II. Types of data/Methods of collection ### Types de données > **Données qualitatives** : Non numériques, décrivent des qualités ou des catégories (ex : couleur des yeux, type de logement). > **Données quantitatives** : Numériques, permettent des opérations arithmétiques. > - **Discrètes** : Valeurs dénombrables, généralement entières (ex : nombre d'enfants, nombre de voitures). > - **Continues** : Peuvent prendre toute valeur dans un intervalle (ex : taille, poids, temps). ### Méthodes de collecte > **Recensement** : Collecte de données sur l'ensemble de la population. > **Échantillonnage** : Sélection d'un sous-groupe représentatif. > - *Aléatoire simple* : Chaque individu a la même probabilité d'être choisi. > - *Stratifié* : La population est divisée en strates homogènes, puis échantillonnage dans chaque strate. > - *Par grappes* : La population est divisée en grappes, certaines grappes sont sélectionnées en totalité. > **Observation directe** : Enregistrement des phénomènes sans intervention. > **Questionnaire** : Instrument structuré de recueil de réponses. > **Interview** : Entretien direct, structuré ou semi-structuré. ### Exemple résolu Une école veut étudier le temps de trajet des élèves. - Variable : temps de trajet (en minutes) → **quantitative continue** - Méthode : questionnaire distribué à 100 élèves choisis aléatoirement parmi les 800 de l'école → **échantillonnage aléatoire simple** ### Exercices d'application corrigés **Exercice 2** : Classer les suivantes comme qualitatives ou quantitatives (discrètes/continues) : a) Le genre (homme/femme) b) Le nombre de frères et sœurs c) La température en degré Celsius d) Le type de téléphone (iPhone, Android, autre) e) Le salaire mensuel **Corrigé** : a) Qualitative b) Quantitative discrète c) Quantitative continue d) Qualitative e) Quantitative continue **Exercice 3** : Une entreprise veut connaître la satisfaction de ses clients après un achat. Quelle méthode de collecte est la plus appropriée et pourquoi ? **Corrigé** : Questionnaire, car il permet de recueillir de manière standardisée les avis sur des aspects spécifiques (qualité, délai, service) auprès d'un large nombre de clients, avec possibilité d'analyse quantitative (échelles de Likert) et qualitative (questions ouvertes). --- ## III. Presentation of data in tables/Tallying ### Tableaux de présentation Les données brutes sont souvent difficiles à interpréter. On les organise dans des tableaux pour faciliter la lecture. > **Tableau de fréquences** : Liste les valeurs distinctes d'une variable et leur fréquence absolue (et parfois relative). ### Tallying (comptage par traits) Méthode manuelle pour compter les occurrences : on trace un trait pour chaque observation, et chaque cinquième trait est tracé en diagonale pour former un groupe de 5 (ex : |||| \ ). ### Exemple résolu Données : nombre de buts marqués par une équipe de football en 20 matchs : 1, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 0 Tableau de fréquences avec tallying : | Nombre de buts | Tallying | Fréquence absolue | |----------------|----------------|-------------------| | 0 | |||| | 4 | | 1 | |||| || | 6 | | 2 | |||| ||| | 7 | | 3 | ||| | 3 | | **Total** | | **20** | ### Exercices d'application corrigés **Exercice 4** : Représenter par tallying et tableau les données suivantes : nombre de défauts trouvés sur 15 produits : 0, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 1 **Corrigé** : | Nombre de défauts | Tallying | Fréquence absolue | |-------------------|----------------|-------------------| | 0 | |||| | 4 | | 1 | |||| ||| | 7 | | 2 | ||| | 3 | | 3 | | | 1 | | **Total** | | **15** | **Exercice 5** : Pourquoi le tallying est-il utile lors de la collecte initiale de données ? **Corrigé** : Il permet un comptage rapide, visuel et réduit les erreurs de saisie lors de la transcription des données brutes, surtout lorsqu'on travaille manuellement ou en temps réel. --- ## IV. Grouped frequency distribution ### Définition Lorsque les données sont nombreuses ou continues, on les regroupe en **classes** (intervalles) pour construire une **distribution de fréquences groupées**. > **Classe** : Intervalle $[L_i, U_i)$ où $L_i$ est la borne inférieure, $U_i$ la borne supérieure. > **Amplitude de classe** : $c = U_i - L_i$ (supposée constante). > **Point milieu** (ou valeur centrale) : $x_i = \frac{L_i + U_i}{2}$ > **Fréquence absolue** : nombre d'observations dans la classe. > **Fréquence relative** : $f_i / N$ > **Fréquence cumulee** : somme des fréquences absolues jusqu'à la classe. ### Règles de construction - Nombre de classes : entre 5 et 20, souvent déterminé par la règle de Sturges : $k = 1 + 3,322 \log_{10}(N)$ - Amplitude : $c \approx \frac{\text{max} - \text{min}}{k}$, arrondie à une valeur pratique. - Les classes doivent être mutuellement exclusives et exhaustives. ### Exemple résolu Données : tailles (en cm) de 30 élèves : 148, 150, 152, 153, 154, 155, 155, 156, 156, 157, 157, 158, 158, 159, 159, 160, 160, 161, 161, 162, 162, 163, 163, 164, 164, 165, 165, 166, 166, 167 - Min = 148, Max = 167 → Étendue = 19 - $N = 30$ → $k = 1 + 3,322 \log_{10}(30) \approx 1 + 3,322 \times 1,477 \approx 5,9$ → 6 classes - $c = \frac{19}{6} \approx 3,17$ → on prend $c = 4$ pour simplifier - Classes : [148,152), [152,156), [156,160), [160,164), [164,168) Tableau de fréquences groupées : | Classe | Borne inf. | Borne sup. | Point milieu $x_i$ | Fréquence $f_i$ | Fréquence cumulee | |--------------|------------|------------|----------------------|------------------|-------------------| | [148,152) | 148 | 152 | 150 | 2 | 2 | | [152,156) | 152 | 156 | 154 | 5 | 7 | | [156,160) | 156 | 160 | 158 | 8 | 15 | | [160,164) | 160 | 164 | 162 | 8 | 23 | | [164,168) | 164 | 168 | 166 | 7 | 30 | | **Total** | | | | **30** | | ### Exercices d'application corrigés **Exercice 6** : Construire une distribution de fréquences groupées pour les salaires mensuels (en milliers de FCFA) de 20 employés : 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215 **Corrigé** : Min = 120, Max = 215 → Étendue = 95 $N = 20$ → $k = 1 + 3,322 \log_{10}(20) \approx 1 + 3,322 \times 1,301 \approx 5,3$ → 5 ou 6 classes Prendre $k=5$ → $c = 95/5 = 19$ → on arrondit à 20 pour simplicité Classes : [120,140), [140,160), [160,180), [180,200), [200,220) | Classe | $x_i$ | $f_i$ | Fréquence cumulee | |--------------|-------|-------|-------------------| | [120,140) | 130 | 4 | 4 | | [140,160) | 150 | 4 | 8 | | [160,180) | 170 | 4 | 12 | | [180,200) | 190 | 4 | 16 | | [200,220) | 210 | 4 | 20 | | **Total** | | **20**| | **Exercice 7** : Pourquoi ne pas utiliser des classes de largeur 1 pour des données continues comme la taille ? **Corrigé** : Cela produirait trop de classes (une par valeur observée), rendant le tableau difficile à interpréter et masquant la forme globale de la distribution. Le regroupement permet de révéler les tendances centrales et la dispersion. --- ## V. Graphical representation of data (Bar chart, Pie chart, Line chart etc) ### Diagrammes en bâtons (Bar chart) Utilisés pour les données **qualitatives** ou discrètes. Chaque catégorie est représentée par un bâton dont la hauteur est proportionnelle à sa fréquence. ### Diagrammes en secteurs (Pie chart) Montre la proportion de chaque catégorie dans un tout. L'angle du secteur est : $$ \theta_i = \frac{f_i}{N} \times 360^\circ $$ ### Diagrammes en lignes (Line chart) Utilisés pour montrer l'évolution d'une variable quantitative en fonction du temps ou d'un ordre logique. Les points sont reliés par des segments. ### Exemple résolu Données : préférences pour les fruits parmi 60 élèves : Pomme : 15, Banane : 12, Orange : 18, Mangue : 10, Ananas : 5 **Bar chart** : - Axe x : fruits - Axe y : fréquence (0 à 20) - Hauteurs : 15, 12, 18, 10, 5 **Pie chart** : - Pomme : $ \frac{15}{60} \times 360 = 90^\circ $ - Banane : $ \frac{12}{60} \times 360 = 72^\circ $ - Orange : $ \frac{18}{60} \times 360 = 108^\circ $ - Mangue : $ \frac{10}{60} \times 360 = 60^\circ $ - Ananas : $ \frac{5}{60} \times 360 = 30^\circ $ - Somme : $ 90+72+108+60+30 = 360^\circ $ **Line chart** : Si on suit le nombre de ventes de pommes par mois sur 6 mois : Jan:10, Fév:12, Mar:15, Avr:18, Mai:16, Juin:20 → on trace les points et on les relie. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 8** : Réaliser un diagramme en secteurs pour la répartition des modes de transport utilisés par 80 élèves pour venir à l'école : À pied : 20, Vélo : 15, Bus : 30, Voiture : 10, Autre : 5 **Corrigé** : - À pied : $ \frac{20}{80} \times 360 = 90^\circ $ - Vélo : $ \frac{15}{80} \times 360 = 67,5^\circ $ - Bus : $ \frac{30}{80} \times 360 = 135^\circ $ - Voiture : $ \frac{10}{80} \times 360 = 45^\circ $ - Autre : $ \frac{5}{80} \times 360 = 22,5^\circ $ - Vérification : $ 90+67,5+135+45+22,5 = 360^\circ $ **Exercice 9** : Quand privilégier un diagramme en bâtons plutôt qu'un diagramme en secteurs ? **Corrigé** : Le diagramme en bâtons est préférable lorsque l'on veut comparer facilement les fréquences absolues entre catégories, surtout si les différences sont petites ou si il y a beaucoup de catégories. Le diagramme en secteurs est mieux pour montrer les proportions dans un tout, mais devient difficile à lire avec plus de 6-7 catégories ou des proportions très proches. --- ## VI. Histogram/Frequency Polygon ### Histogramme Représentation graphique d'une distribution de fréquences **groupées**. - Axe x : classes (borne inférieure à borne supérieure) - Axe y : fréquence absolue (ou densité) - Chaque classe est représentée par un rectangle dont la base est l'amplitude de la classe et la hauteur est la fréquence (ou la fréquence divisée par l'amplitude pour la densité). > **Histogramme de fréquences** : hauteur = $ f_i $ > **Histogramme de densité** : hauteur = $ \frac{f_i}{c \cdot N} $, de sorte que l'aire totale = 1 ### Polygone de fréquences Ligne brisée reliant les points milieux des sommets supérieurs des histogrammes. On ajoute souvent des points fictifs aux extrémités avec fréquence 0 pour fermer la figure. ### Exemple résolu Données : tailles de 30 élèves (comme en IV) : Classes : [148,152), [152,156), [156,160), [160,164), [164,168) Fréquences : 2, 5, 8, 8, 7 Points milieux : 150, 154, 158, 162, 166 **Histogramme** : - Classe [148,152) : base de 4, hauteur 2 - [152,156) : base 4, hauteur 5 - [156,160) : base 4, hauteur 8 - [160,164) : base 4, hauteur 8 - [164,168) : base 4, hauteur 7 **Polygone de fréquences** : Points : (150,2), (154,5), (158,8), (162,8), (166,7) On ajoute (146,0) et (170,0) pour fermer → on trace les segments entre ces points. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 10** : Construire un histogramme et un polygone de fréquences pour la distribution suivante : Revenus mensuels (en milliers de FCFA) de 25 travailleurs : [100,120): 3, [120,140): 5, [140,160): 7, [160,180): 6, [180,200): 4 **Corrigé** : Points milieux : 110, 130, 150, 170, 190 Fréquences : 3, 5, 7, 6, 4 Histogramme : 5 rectangles de base 20, hauteurs 3,5,7,6,4 Polygone : points (110,3), (130,5), (150,7), (170,6), (190,4) + (90,0) et (210,0) **Exercice 11** : Quelle est la différence entre un histogramme et un polygone de fréquences en termes d'information transmise ? **Corrigé** : L'histogramme montre la répartition des fréquences par classe via l'aire des rectangles (utile pour la densité), tandis que le polygone de fréquences met en évidence la tendance globale et la forme de la distribution (symétrie, asymétrie, modes) par une ligne continue, facilitant la comparaison entre plusieurs distributions. --- ## VII. Cumulative frequency distribution/Ogive ### Distribution de fréquences cumulees On cumule les fréquences absolues de la première classe à la dernière. > **Fréquence cumulee inférieure** ($CF<$) : nombre d'observations strictement inférieures à la borne supérieure d'une classe. > **Fréquence cumulee supérieure** ($CF>$) : nombre d'observations supérieures ou égales à la borne inférieure d'une classe. ### Ogive Graphique de la fréquence cumulee en fonction de la borne supérieure des classes (pour $CF<$) ou de la borne inférieure (pour $CF>$). - Ogive croissante : $CF<$ vs borne supérieure - Ogive décroissante : $CF>$ vs borne inférieure - L'intersection des deux ogives donne la médiane. ### Exemple résolu Données : tailles de 30 élèves (comme avant) : Classes : [148,152), [152,156), [156,160), [160,164), [164,168) Fréquences : 2, 5, 8, 8, 7 Fréquence cumulee inférieure ($CF<$) : | Classe | Borne sup. | $CF<$ | |--------------|------------|-------| | [148,152) | 152 | 2 | | [152,156) | 156 | 2+5=7 | | [156,160) | 160 | 7+8=15| | [160,164) | 164 | 15+8=23| | [164,168) | 168 | 23+7=30| Ogive : on trace les points (152,2), (156,7), (160,15), (164,23), (168,30) et on les relie par des segments linéaires. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 12** : Construire l'ogive de fréquences cumulees inférieures pour la distribution suivante : Dépenses hebdomadaires (en centaines de FCFA) : [50,60): 4, [60,70): 6, [70,80): 10, [80,90): 8, [90,100): 2 **Corrigé** : CF<$ : [50,60) : bor.sup. 60 → 4 [60,70) : 70 → 4+6=10 [70,80) : 80 → 10+10=20 [80,90) : 90 → 20+8=28 [90,100) : 100 → 28+2=30 Points : (60,4), (70,10), (80,20), (90,28), (100,30) → ogive tracée en reliant ces points. **Exercice 13** : Comment lire la médiane sur une ogive de fréquences cumulees inférieures ? **Corrigé** : On cherche la valeur correspondant à $ \frac{N}{2} $ sur l'axe des ordonnées (fréquence cumulee), on trace une ligne horizontale jusqu'à l'ogive, puis une ligne verticale jusqu'à l'axe des abscisses : l'abscisse du point d'intersection est la médiane. --- ## VIII. Mode/Median/Range of scores ### Mode > **Mode** : Valeur qui apparaît le plus fréquemment dans un ensemble de données. > - Peut être unique, multiple (bimodal, multimodal) ou inexistant. > Pour des données groupées : classe modale = classe de fréquence maximale ; on estime le mode par interpolation : > $$ > \text{Mode} = L + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times c > $$ > où $L$ = borne inférieure de la classe modale, $f_m$ = fréquence de la classe modale, $f_{m-1}$ et $f_{m+1}$ = fréquences des classes adjacentes, $c$ = amplitude. ### Médiane > **Médiane** : Valeur qui partage l'ensemble des données ordonnées en deux parties égales. > - Si $N$ impair : valeur centrale. > - Si $N$ pair : moyenne des deux valeurs centrales. > Pour des données groupées : > $$ > \text{Médiane} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - CF}{f} \right) \times c > $$ > où $L$ = borne inférieure de la classe médiane, $CF$ = fréquence cumulee de la classe précédente, $f$ = fréquence de la classe médiane, $c$ = amplitude. ### Étendue (Range) > **Étendue** : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. > $$ > \text{Range} = \max - \min > $$ > Sensible aux valeurs extrêmes. ### Exemple résolu Données : nombres de frères et sœurs de 15 élèves : 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 - Mode : 3 (apparaît 4 fois) - Médiane : rang $ \frac{15+1}{2} = 8 $ → 8e valeur ordonnée : 3 - Étendue : $ 5 - 0 = 5 $ Données groupées : tailles de 30 élèves (comme avant) : Classes : [148,152):2, [152,156):5, [156,160):8, [160,164):8, [164,168):7 - Classe modale : [156,160) et [160,164) (égalité de fréquence 8) → bimodal - Pour estimer le premier mode : $L=156$, $f_m=8$, $f_{m-1}=5$, $f_{m+1}=8$, $c=4$ $$ \text{Mode} = 156 + \left( \frac{8-5}{(8-5)+(8-8)} \right) \times 4 = 156 + \left( \frac{3}{3+0} \right) \times 4 = 156 + 4 = 160 $$ Mais attention : quand $f_{m+1} = f_m$, la formule donne une division par zéro si on ne fait pas attention. En réalité, quand deux classes adjacentes ont la même fréquence maximale, on considère qu'il y a deux modes ou on prend la moyenne des points milieux. Ici, comme $f_m = f_{m+1}$, on peut dire que la distribution est plate entre 156 et 164, ou utiliser une autre méthode. Pour simplifier, on prend souvent le point milieu de la première classe modale : 158. Cependant, la formule standard nécessite $f_m > f_{m-1}$ et $f_m > f_{m+1}$. Dans ce cas, on peut dire qu'il n'y a pas de mode unique clair, ou utiliser la moyenne des deux points milieux : $(158+162)/2 = 160$. On adoptera : **mode estimé = 160** (en prenant la classe [160,164) comme modale par convention si on doit choisir une). Reprenons avec une seule classe modale : supposons que les fréquences soient : 2,5,8,6,5 → alors classe modale est [156,160) avec $f_m=8$ $L=156$, $f_{m-1}=5$, $f_{m+1}=6$, $c=4$ $$ \text{Mode} = 156 + \left( \frac{8-5}{(8-5)+(8-6)} \right) \times 4 = 156 + \left( \frac{3}{3+2} \right) \times 4 = 156 + 0,6 \times 4 = 156 + 2,4 = 158,4 $$ - Médiane : $N=30$, $N/2=15$ CF<$ : jusqu'à [152,156) : 7 ; jusqu'à [156,160) : 15 → la classe médiane est [156,160) car $CF<$ de la classe précédente = 7 < 15 ≤ 15 = $CF<$ de cette classe $L=156$, $CF=7$, $f=8$, $c=4$ $$ \text{Médiane} = 156 + \left( \frac{15 - 7}{8} \right) \times 4 = 156 + \left( \frac{8}{8} \right) \times 4 = 156 + 4 = 160 $$ - Étendue : $167 - 148 = 19$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 14** : Trouver le mode, la médiane et l'étendue pour : 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8 **Corrigé** : - Mode : 5 (fréquence 4) - Médiane : $N=15$, rang 8 → 5 - Étendue : $8-2=6$ **Exercice 15** : Pour la distribution groupée suivante : Revenus (en centaines de FCFA) : [10,15): 5, [15,20): 8, [20,25): 12, [25,30): 10, [30,35): 5 Trouver la médiane et estimer le mode. **Corrigé** : $N=5+8+12+10+5=40$ $N/2=20$ CF<$ : [10,15) : 5 [15,20) : 5+8=13 [20,25) : 13+12=25 → classe médiane car 13 < 20 ≤ 25 $L=20$, $CF=13$, $f=12$, $c=5$ $$ \text{Médiane} = 20 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \times 5 = 20 + \left( \frac{7}{12} \right) \times 5 = 20 + 2,9167 \approx 22,92 $$ Classe modale : [20,25) avec $f_m=12$ $L=20$, $f_{m-1}=8$, $f_{m+1}=10$, $c=5$ $$ \text{Mode} = 20 + \left( \frac{12-8}{(12-8)+(12-10)} \right) \times 5 = 20 + \left( \frac{4}{4+2} \right) \times 5 = 20 + \frac{4}{6} \times 5 = 20 + 3,333 \approx 23,33 $$ Étendue : on ne connaît pas les valeurs exactes min et max, mais on peut prendre les bornes : min ≈ 10, max ≈ 35 → étendue ≈ 25 (mais ceci est une approximation grossière ; en réalité, l'étendue réelle dépend des valeurs individuelles dans les classes extrêmes). ---