Complex Numbers

# Complex Numbers ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Comprendre l'origine historique et la nécessité du système des nombres complexes. - Manipuler l'unité imaginaire $i$ et effectuer les opérations algébriques sur les nombres complexes. - Définir et utiliser le conjugué complexe, notamment pour la division. - Représenter les nombres complexes sous forme algébrique, trigonométrique (polaires) et exponentielle. - Appliquer le théorème de De Moivre pour calculer des puissances et des racines. - Exprimer les puissances de $\cos x$ et $\sin x$ en termes d'angles multiples, et inversement. - Déterminer les lieux géométriques (loci) dans le plan de Argand. - Calculer les $n$-ièmes racines et les racines cubiques d'un nombre complexe. - Résoudre des équations polynomiales à coefficients réels ou complexes. **Prérequis** : Maîtrise de l'algèbre du lycée (factorisation, équations du second degré, propriétés des exposants), notions de trigonométrie (formules d'addition, valeurs remarquables), et représentation des points dans un plan cartésien. --- ## I. A brief history of complex number system Le système des nombres complexes est né du besoin de résoudre des équations polynomiales qui n'ont pas de solution dans les nombres réels. Au XVIᵉ siècle, des mathématiciens comme Gerolamo Cardano rencontrèrent des racines carrées de nombres négatifs en résolvant des équations du troisième degré, bien qu'ils les considérassent comme « subtiles » ou « impossibles ». Rafael Bombelli, au même siècle, fut le premier à établir des règles de calcul avec ces quantités imaginaires, en les traitant comme des nombres légitimes pour parvenir à des solutions réelles. Au XVIIIᵉ siècle, Leonhard Euler introduit la notation $i$ pour $\sqrt{-1}$ et démontra l'identité $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, reliant ainsi l'analyse, la trigonométrie et les nombres complexes. Carl Friedrich Gauss, au début du XIXᵉ siècle, donna une interprétation géométrique rigoureuse en représentant les nombres complexes comme des points dans un plan (plan de Argand-Gauss), ce qui permit de les considérer comme des objets mathématiques pleinement légitimes. Aujourd'hui, les nombres complexes sont fondamentaux en ingénierie, physique quantique, traitement du signal et théorie du contrôle. > **À retenir** : Les nombres complexes ont été introduits pour résoudre des équations polynomiales irréductibles dans $\mathbb{R}$ ; leur légitimité mathématique a été établie par leurs applications cohérentes et leur interprétation géométrique. --- ## II. The imaginary number $i$ and its algebra L'unité imaginaire $i$ est définie par la propriété fondamentale : > $$ > i^2 = -1 > $$ À partir de cette définition, on déduit : - $i^3 = i^2 \cdot i = -i$ - $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ - Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 : $i^{4k} = 1$, $i^{4k+1} = i$, $i^{4k+2} = -1$, $i^{4k+3} = -i$, pour tout entier $k$. **Exemple 1** : Calculer $i^{23}$. $$ 23 \div 4 = 5 \text{ reste } 3 \quad \Rightarrow \quad i^{23} = i^{4\cdot5 + 3} = i^3 = -i $$ **Exercice 1** : Calculer $i^{-7}$. **Correction** : $i^{-7} = \frac{1}{i^7}$. Puis $i^7 = i^{4+3} = i^3 = -i$, donc $i^{-7} = \frac{1}{-i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{1} = i$. Alternativement : $-7 \mod 4 = 1$ (puisque $-7 + 8 = 1$), donc $i^{-7} = i^1 = i$. > **À retenir** : Pour tout entier $n$, $i^n$ dépend seulement de $n \mod 4$ ; on peut réduire l'exposant modulo 4 pour simplifier. --- ## III. Algebra of complex numbers Un nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme algébrique : > $$ > z = a + bi > $$ où $a, b \in \mathbb{R}$, $a$ est la partie réelle notée $\operatorname{Re}(z)$, et $b$ est la partie imaginaire notée $\operatorname{Im}(z)$. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$. **Égalité** : Deux nombres complexes $z_1 = a_1 + b_1i$ et $z_2 = a_2 + b_2i$ sont égaux si et seulement si $a_1 = a_2$ et $b_1 = b_2$. **Addition** : $(a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$ **Soustraction** : $(a_1 + b_1i) - (a_2 + b_2i) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$ **Multiplication** : $(a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$ **Exemple 2** : Soit $z_1 = 2 + 3i$, $z_2 = 1 - 4i$. Calculer $z_1 + z_2$, $z_1 - z_2$, $z_1 z_2$. - $z_1 + z_2 = (2+1) + (3-4)i = 3 - i$ - $z_1 - z_2 = (2-1) + (3-(-4))i = 1 + 7i$ - $z_1 z_2 = (2\cdot1 - 3\cdot(-4)) + (2\cdot(-4) + 1\cdot3)i = (2+12) + (-8+3)i = 14 - 5i$ **Exercice 2** : Soit $z = -1 + 2i$. Calculer $z^2$ et $z^3$. **Correction** : - $z^2 = (-1 + 2i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(2i) + (2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$ - $z^3 = z^2 \cdot z = (-3 - 4i)(-1 + 2i) = [(-3)(-1) - (-4)(2)] + [(-3)(2) + (-4)(-1)]i = (3 + 8) + (-6 + 4)i = 11 - 2i$ > **À retenir** : La multiplication de deux nombres complexes suit la règle distributive, en utilisant $i^2 = -1$ pour simplifier. --- ## IV. Complex Conjugate Le conjugué complexe d'un nombre $z = a + bi$ est défini par : > $$ > \overline{z} = a - bi > $$ Il correspond à la symétrie de $z$ par rapport à l'axe réel dans le plan de Argand. **Propriétés** : - $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ - $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ - $\overline{\overline{z}} = z$ - $z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z)$ - $z - \overline{z} = 2i\operatorname{Im}(z)$ - $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$, où $|z|$ est le module de $z$. **Exemple 3** : Soit $z = 5 - 2i$. Alors $\overline{z} = 5 + 2i$. Vérifier $z \cdot \overline{z} = |z|^2$. - $z \cdot \overline{z} = (5 - 2i)(5 + 2i) = 25 + 10i - 10i - 4i^2 = 25 + 4 = 29$ - $|z|^2 = 5^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$ **Exercice 3** : Soit $z = 3 + 4i$. Calculer $\overline{z}$, $z + \overline{z}$, $z - \overline{z}$, et $z \cdot \overline{z}$. **Correction** : - $\overline{z} = 3 - 4i$ - $z + \overline{z} = (3+3) + (4-4)i = 6$ - $z - \overline{z} = (3-3) + (4-(-4))i = 8i$ - $z \cdot \overline{z} = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ > **À retenir** : Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est toujours un réel non négatif égal au carré de son module. --- ## V. Division of complex numbers Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre ce dernier réel. > $$ > \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2}, \quad z_2 \neq 0 > $$ **Exemple 4** : Calculer $\dfrac{3 + 4i}{1 - 2i}$. - Conjugué du dénominateur : $\overline{1 - 2i} = 1 + 2i$ - Numérateur : $(3 + 4i)(1 + 2i) = 3\cdot1 + 3\cdot2i + 4i\cdot1 + 4i\cdot2i = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i$ - Dénominateur : $(1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$ - Résultat : $\dfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$ **Exercice 4** : Calculer $\dfrac{2 - i}{3 + 4i}$. **Correction** : - Conjugué du dénominateur : $3 - 4i$ - Numérateur : $(2 - i)(3 - 4i) = 2\cdot3 + 2\cdot(-4i) + (-i)\cdot3 + (-i)\cdot(-4i) = 6 - 8i - 3i + 4i^2 = 6 - 11i - 4 = 2 - 11i$ - Dénominateur : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ - Résultat : $\dfrac{2 - 11i}{25} = \frac{2}{25} - \frac{11}{25}i$ > **À retenir** : Pour diviser par un nombre complexe, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. --- ## VI. Properties of complex conjugates Nous avons déjà vu plusieurs propriétés. En voici un résumé structuré : | Propriété | Expression | |----------|------------| | Conjugué d'une somme | $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ | | Conjugué d'un produit | $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ | | Conjugué d'un quotient | $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$, $z_2 \neq 0$ | | Conjugué du conjugué | $\overline{\overline{z}} = z$ | | Nombre réel si et seulement si | $z = \overline{z}$ | | Nombre purement imaginaire si et seulement si | $z = -\overline{z}$ | | Module du conjugué | $|\overline{z}| = |z|$ | | Argument du conjugué | $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$ (modulo $2\pi$) | **Exemple 5** : Vérifier que $\overline{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)} = \dfrac{\overline{1+i}}{\overline{1-i}}$. - D'abord, $\dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \dfrac{1 + 2i -1}{1 +1} = \dfrac{2i}{2} = i$ - Alors $\overline{i} = -i$ - Maintenant, $\overline{1+i} = 1 - i$, $\overline{1-i} = 1 + i$, donc $\dfrac{\overline{1+i}}{\overline{1-i}} = \dfrac{1 - i}{1 + i} = \dfrac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \dfrac{1 - 2i -1}{1 +1} = \dfrac{-2i}{2} = -i$ - Les deux côtés sont égaux. **Exercice 5** : Soit $z = -2 + 3i$. Montrer que $\overline{z^2} = (\overline{z})^2$. **Correction** : - $z^2 = (-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = 4 - 12i -9 = -5 - 12i$ - $\overline{z^2} = -5 + 12i$ - $\overline{z} = -2 - 3i$ - $(\overline{z})^2 = (-2 - 3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i -9 = -5 + 12i$ - Donc $\overline{z^2} = (\overline{z})^2$ > **À retenir** : La conjugation est un automorphisme de corps de $\mathbb{C}$ : elle préserve l'addition, la multiplication et l'inversion. --- ## VII. Roots of complex numbers Le calcul des racines d'un nombre complexe est facilité par sa forme polaire ou exponentielle. Mais on peut aussi aborder le cas particulier des racines carrées directement en forme algébrique. Pour trouver $\sqrt{z}$ où $z = a + bi$, on cherche $w = x + yi$ tel que $w^2 = z$, soit : $$ (x + yi)^2 = a + bi \quad \Rightarrow \quad x^2 - y^2 + 2xyi = a + bi $$ Ce qui donne le système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases} $$ avec la contrainte $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$ (puisque $|w|^2 = |z|$). **Exemple 6** : Calculer les racines carrées de $z = 3 + 4i$. - $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ - Système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = 4 \quad \Rightarrow \quad xy = 2 \end{cases} $$ - On sait que $x^2 + y^2 = |z| = 5$ - En ajoutant les deux équations : $2x^2 = 3 + 5 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ - Si $x = 2$, alors $y = 2/x = 1$ - Si $x = -2$, alors $y = 2/x = -1$ - Donc les racines sont $2 + i$ et $-2 - i$ **Vérification** : $(2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$ ; $(-2-i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$ **Exercice 6** : Trouver les racines carrées de $-5 - 12i$. **Correction** : - $|z| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ - Système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ 2xy = -12 \quad \Rightarrow \quad xy = -6 \end{cases} $$ - $x^2 + y^2 = 13$ - Addition : $2x^2 = -5 + 13 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ - Si $x = 2$, alors $y = -6/2 = -3$ - Si $x = -2$, alors $y = -6/(-2) = 3$ - Racines : $2 - 3i$ et $-2 + 3i$ - Vérification : $(2-3i)^2 = 4 -12i +9i^2 = -5 -12i$ ; $(-2+3i)^2 = 4 -12i +9i^2 = -5 -12i$ > **À retenir** : Un nombre complexe non nul a exactement deux racines carrées distinctes, opposées l'une de l'autre. --- ## VIII. Equations of complex numbers Une équation complexe est une égalité entre deux expressions contenant des inconnues complexes. Pour la résoudre, on égale les parties réelles et imaginaires séparément, ou on utilise des propriétés du conjugué et du module. **Exemple 7** : Résoudre $z^2 + \overline{z} = 0$, où $z = x + yi$. - Alors $\overline{z} = x - yi$ - $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$ - Équation : $(x^2 - y^2 + 2xyi) + (x - yi) = 0$ - Regrouper : $(x^2 - y^2 + x) + (2xy - y)i = 0 + 0i$ - Système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 + x = 0 \quad (1) \\ 2xy - y = 0 \quad (2) \end{cases} $$ - D'après (2) : $y(2x - 1) = 0$ - Cas 1 : $y = 0$ - Alors (1) : $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=-1$ - Solutions : $z = 0$, $z = -1$ - Cas 2 : $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ - Alors (1) : $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - y^2 + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - y^2 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4} - y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Solutions : $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ **Exercice 7** : Résoudre $z + \overline{z} = 6$ et $z \cdot \overline{z} = 25$. **Correction** : - Soit $z = x + yi$, alors $\overline{z} = x - yi$ - $z + \overline{z} = 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ - $z \cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = 9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$ - Donc $z = 3 + 4i$ ou $z = 3 - 4i$ > **À retenir** : Pour résoudre une équation complexe, écrire $z = x + yi$ et séparer les parties réelles et imaginaires donne un système d'équations réelles. --- ## IX. The Argand diagram Le diagramme d'Argand (ou plan complexe) est une représentation géométrique des nombres complexes : l'axe horizontal représente la partie réelle ($\operatorname{Re}(z)$), l'axe vertical représente la partie imaginaire ($\operatorname{Im}(z)$). Un nombre complexe $z = a + bi$ correspond au point $(a, b)$ ou au vecteur provenant de l'origine vers ce point. - Le **module** de $z$ est la distance de ce point à l'origine : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ - L'**argument** de $z$, noté $\arg(z)$ ou $\theta$, est l'angle que le vecteur fait avec l'axe réel positif, mesuré dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre). On a : $$ \tan \theta = \frac{b}{a}, \quad \text{avec une attention au quadrant} $$ - L'argument est défini à une multiple de $2\pi$ près : on choisit généralement la valeur principale $\operatorname{Arg}(z) \in (-\pi, \pi]$. **Exemple 8** : Représenter $z = -1 + i$ dans le diagramme d'Argand et trouver son module et son argument. - Point : $(-1, 1)$ - Module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - Argument : Le point est dans le deuxième quadrant. $$ \tan \theta = \frac{1}{-1} = -1 \quad \Rightarrow \quad \theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{puisque } \tan(3\pi/4) = -1) $$ Donc $\operatorname{Arg}(z) = \frac{3\pi}{4}$ **Exercice 8** : Trouver le module et l'argument principal de $z = -\sqrt{3} - i$. **Correction** : - Point : $(-\sqrt{3}, -1)$ → troisième quadrant - Module : $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$ - $\tan \theta = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow$ angle de référence $\pi/6$ - Dans le troisième quadrant : $\theta = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$ - Mais l'argument principal doit être dans $(-\pi, \pi]$ ; $7\pi/6 > \pi$, donc on soustrait $2\pi$ : $7\pi/6 - 2\pi = -5\pi/6$ - Donc $\operatorname{Arg}(z) = -\frac{5\pi}{6}$ > **À retenir** : Dans le diagramme d'Argand, le module est la distance à l'origine, et l'argument est l'angle avec l'axe réel positif, choisi dans l'intervalle $(-\pi, \pi]$ pour la valeur principale. --- ## X. The square root of a complex Number Cette notion a été partiellement abordée dans la section VII (Roots of complex numbers). Nous la reprenons ici avec un accent sur la méthode algébrique systématique. Pour calculer $\sqrt{a + bi}$, on résout le système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = a \\ 2xy = b \end{cases} \quad \text{avec} \quad x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2} $$ On peut aussi utiliser la formule directe : $$ \sqrt{a + bi} = \pm \left( \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i \cdot \operatorname{sgn}(b) \sqrt{\frac{|z| - a}{2}} \right) $$ où $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, et $\operatorname{sgn}(b)$ est le signe de $b$ (avec la convention $\operatorname{sgn}(0) = 1$ si nécessaire, mais ici $b \neq 0$ généralement pour éviter l'ambiguïté). **Exemple 9** : Calculer $\sqrt{-7 + 24i}$. - $|z| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ - Puisque $b = 24 > 0$, $\operatorname{sgn}(b) = 1$ - Partie réelle : $\sqrt{\dfrac{25 + (-7)}{2}} = \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$ - Partie imaginaire : $\sqrt{\dfrac{25 - (-7)}{2}} = \sqrt{\dfrac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ - Donc les racines carrées sont $\pm (3 + 4i)$ **Vérification** : $(3+4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = -7 + 24i$ ; $(-3-4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = -7 + 24i$ **Exercice 9** : Calculer $\sqrt{5 - 12i}$. **Correction** : - $|z| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$ - $b = -12 < 0$, donc $\operatorname{sgn}(b) = -1$ - Partie réelle : $\sqrt{\dfrac{13 + 5}{2}} = \sqrt{9} = 3$ - Partie imaginaire : $\sqrt{\dfrac{13 - 5}{2}} = \sqrt{4} = 2$, puis multipliée par $\operatorname{sgn}(b) = -1$ → $-2$ - Racines : $\pm (3 - 2i)$ - Vérification : $(3-2i)^2 = 9 -12i +4i^2 = 5 -12i$ ; $(-3+2i)^2 = 9 -12i +4i^2 = 5 -12i$ > **À retenir** : La formule du carré root d'un nombre complexe évite de résoudre un système ; elle donne directement les deux racines opposées. --- ## XI. Polar or Trigonometric form of a complex number Tout nombre complexe non nul $z = a + bi$ peut s'écrire sous la forme trigonométrique (ou polaire) : > $$ > z = r (\cos \theta + i \sin \theta) > $$ où $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} > 0$ est le module, et $\theta = \arg(z)$ est l'argument (généralement pris dans $[0, 2\pi)$ ou $(-\pi, \pi]$). Cette forme provient des coordonnées polaires : $a = r \cos \theta$, $b = r \sin \theta$. **Exemple 10** : Écrire $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme trigonométrique. - Module : $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ - Argument : Le point $(-1, \sqrt{3})$ est dans le deuxième quadrant. $$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$ - Donc $z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ **Exercice 10** : Écrire $z = 1 - i$ sous forme trigonométrique avec $\theta \in [0, 2\pi)$. **Correction** : - $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ - Point $(1, -1)$ → quatrième quadrant - $\tan \theta = \frac{-1}{1} = -1 \Rightarrow$ angle de référence $\pi/4$ - Dans le quatrième quadrant : $\theta = 2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ - Donc $z = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right)$ > **À retenir** : La forme trigonométrique est particulièrement utile pour la multiplication, la division et l'élévation à une puissance, grâce aux formules d'addition. --- ## XII. The Exponential Form of a Complex Number Grâce à la formule d'Euler : > $$ > e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta > $$ on peut écrire la forme trigonométrique sous forme exponentielle : > $$ > z = r e^{i\theta} > $$ où $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg(z)$. Cette forme est extrêmement pratique pour les opérations : - Multiplication : $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ - Division : $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ - Puissance : $z^n = r^n e^{in\theta}$ **Exemple 11** : Écrire $z = -2 - 2i$ sous forme exponentielle. - $r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - Point $(-2, -2)$ → troisième quadrant - $\tan \theta = \frac{-2}{-2} = 1 \Rightarrow$ angle de référence $\pi/4$ - Dans le troisième quadrant : $\theta = \pi + \pi/4 = 5\pi/4$ (valeur principale : on peut aussi prendre $-3\pi/4$, mais ici on utilise $[0, 2\pi)$) - Donc $z = 2\sqrt{2} e^{i 5\pi/4}$ **Exercice 11** : Écrire $z = 4i$ sous forme exponentielle. **Correction** : - $r = |4i| = 4$ - Point $(0, 4)$ → sur l'axe imaginaire positif - $\theta = \pi/2$ - Donc $z = 4 e^{i\pi/2}$ > **À retenir** : La forme exponentielle $z = r e^{i\theta}$ découle directement de la formule d'Euler et simplifie considérablement les opérations sur les nombres complexes. --- ## XIII. De Moivre's Theorem Le théorème de De Moivre établit une relation puissante entre l'exponentiation et la forme trigonométrique : > $$ > [r (\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta) > $$ pour tout entier $n \in \mathbb{Z}$ (et en fait, pour tout réel $n$ si l'on définit prudemment les puissances fractionnaires via les racines). Sous forme exponentielle : $(r e^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ Ce théorème permet de calculer facilement des puissances de nombres complexes et, par inversion, des racines. **Exemple 12** : Calculer $(1 + i)^5$ en utilisant le théorème de De Moivre. - Écrire $1+i$ sous forme trigonométrique : - $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - $\theta = \pi/4$ (premier quadrant) - Donc $1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$ - Appliquer De Moivre pour $n=5$ : $$ (1+i)^5 = (\sqrt{2})^5 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = 2^{5/2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = 4\sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $$ $$ = 4\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) (1 + i) = 4 \cdot \left(-\frac{2}{2}\right) (1 + i) = -4 (1 + i) = -4 - 4i $$ - Vérification directe (optionnelle) : $(1+i)^2 = 2i$, $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$, $(1+i)^5 = -4(1+i) = -4-4i$ → correct. **Exercice 12** : Calculer $(-1 + i\sqrt{3})^6$ en utilisant le théorème de De Moivre. **Correction** : - $z = -1 + i\sqrt{3}$ - $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$ - $\theta$ : deuxième quadrant, $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3} \Rightarrow \theta = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$ - Donc $z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ - $z^6 = 2^6 \left( \cos \left(6 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(6 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) \right) = 64 \left( \cos 4\pi + i \sin 4\pi \right) = 64 (1 + 0i) = 64$ - Vérification : Notons que $z = 2 e^{i 2\pi/3}$, donc $z^6 = 64 e^{i 4\pi} = 64$ > **À retenir** : Le théorème de De Moivre permet d'élever un nombre complexe à une puissance entière en élevant le module à cette puissance et en multipliant l'argument par l'exposant. ---