Curve Sketching

# Curve Sketching ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir aux élèves de Upper Sixth (Pure Mathematics with Statistics) une méthode rigoureuse et systématique pour analyser et tracer le graphe d'une fonction réelle d'une variable réelle. À l'issue de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Déterminer le domaine et l'ensemble de définition d'une fonction ; - Calculer les limites aux bornes du domaine et identifier les comportements asymptotiques ; - Identifier et caractériser les asymptotes (verticales, horizontales, obliques) ; - Utiliser la dérivée première pour déterminer les variations, les points stationnaires et leur nature (extrema locaux) ; - Utiliser la dérivée seconde pour analyser la concavité et identifier les points d'inflexion ; - Construire un tableau de variations complet ; - Déterminer les intercepts avec les axes ; - Synthétiser toutes ces informations pour réaliser un tracé précis et qualitatif de la courbe, en respectant les échelles et les axes. **Prérequis** : Maîtrise des notions de fonction, de limite, de dérivée (règles de dérivation, dérivées des fonctions usuelles), de continuité, et de résolution d'équations et d'inégalités du second degré. Familiarité avec les fonctions rationnelles, logarithmiques, exponentielles, trigonométriques de base. --- ## I. Introduction to curve sketching / Domain and Range ### Définition du domaine et de l'ensemble de définition Le **domaine** d'une fonction réelle $f$ définie sur un sous-ensemble de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des valeurs réelles $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie (c'est-à-dire où l'expression de $f$ a un sens réel). L'**ensemble de définition** est souvent utilisé comme synonyme du domaine dans ce contexte. > **À retenir** : Le domaine d'une fonction $f$ est noté $D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid f(x) \in \mathbb{R} \}$. ### Propriétés - Pour une fonction polynomiale : $D_f = \mathbb{R}$. - Pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{ x \mid Q(x) = 0 \}$. - Pour une fonction logarithmique $f(x) = \ln(g(x))$ : $D_f = \{ x \mid g(x) > 0 \}$. - Pour une fonction racine paire $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$ : $D_f = \{ x \mid g(x) \geq 0 \}$. - Pour une fonction tangente $f(x) = \tan(x)$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$. ### Exemple résolu : Détermination du domaine **Exemple 1** : Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x^2 - 9}$. - Le numérateur $\sqrt{x-2}$ exige $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$. - Le dénominateur $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ ne doit pas être nul : $x \neq 3$ et $x \neq -3$. - Comme $x \geq 2$, la condition $x \neq -3$ est automatiquement satisfaite. - Donc : $D_f = [2, 3) \cup (3, +\infty)$. **Exercice d'application 1** : Déterminer le domaine de $g(x) = \frac{\ln(x+1)}{\sqrt{5-x}}$. **Corrigé** : - $\ln(x+1)$ : $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$. - $\sqrt{5-x}$ : $5-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$, et comme dénominateur, $5-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$. - Intersection : $x > -1$ et $x \leq 5$, $x \neq 5$ → $D_g = (-1, 5)$. ### Définition de l'ensemble des images (range) L'**ensemble des images** (ou **image**) d'une fonction $f$ sur son domaine $D_f$ est l'ensemble des valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ parcourt $D_f$ : $$ \mathcal{I}_f = \{ f(x) \mid x \in D_f \}. $$ > **À retenir** : Pour déterminer l'ensemble des images, on étudie souvent le comportement de $f$ aux limites du domaine, ses extrema, et sa monotonie. **Exemple 2** : Pour $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$, $D_f = \mathbb{R}$. Comme $x^2+1 \geq 1$, alors $0 < f(x) \leq 1$. Donc $\mathcal{I}_f = (0, 1]$. **Exercice d'application 2** : Trouver l'ensemble des images de $h(x) = \sqrt{4 - x^2}$. **Corrigé** : Domaine : $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$. $h(x) \geq 0$, et maximum quand $x=0$ : $h(0)=2$. Donc $\mathcal{I}_h = [0, 2]$. --- ## II. Limits at the bounds of a function ### Définition des limites aux bornes On s'intéresse aux limites de $f(x)$ lorsque $x$ approche une borne du domaine (finie ou infinie), notamment pour détecter des comportements asymptotiques ou des discontinuités. > **À retenir** : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$, alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale candidate. ### Propriétés - Les limites aux infinis ($\pm\infty$) permettent d'identifier les asymptotes horizontales ou obliques. - Une limite infinie en un point fini indique une asymptote verticale (si la fonction tend vers $\pm\infty$ des deux côtés ou d'un seul côté, selon la définition adoptée ; en analyse réelle, on considère souvent qu'une asymptote verticale existe si la limite est infinie d'au moins un côté). - Les limites permettent de déterminer le comportement des branches infinies. ### Exemple résolu : Calcul de limites aux bornes **Exemple 3** : Soit $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Déterminer les limites aux bornes du domaine $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. - Lorsque $x \to 1^-$ : numérateur $\to 2$, dénominateur $\to 0^-$ → $f(x) \to -\infty$. - Lorsque $x \to 1^+$ : dénominateur $\to 0^+$ → $f(x) \to +\infty$. - Lorsque $x \to -\infty$ : $f(x) = \frac{2x}{x(1 - \frac{1}{x})} = \frac{2}{1 - \frac{1}{x}} \to \frac{2}{1} = 2$. - Lorsque $x \to +\infty$ : même calcul → $f(x) \to 2$. Donc : asymptote verticale en $x=1$, asymptote horizontale en $y=2$. **Exercice d'application 3** : Étudier les limites de $k(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ en $x=2$ et aux infinis. **Corrigé** : - Simplification : pour $x \neq 2$, $k(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. - Donc $\lim_{x \to 2} k(x) = 4$ (limite finie, pas d'asymptote verticale, mais un trou). - $\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} k(x) = +\infty$ → pas d'asymptote horizontale. - Recherche d'asymptote oblique : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{k(x)}{x} = \lim \frac{x+2}{x} = 1$, puis $\lim (k(x) - x) = \lim 2 = 2$ → asymptote oblique $y = x + 2$. Mais attention : puisque $k(x) = x+2$ pour $x \neq 2$, la courbe est exactement la droite $y=x+2$ sauf en $x=2$ où il y a un trou. Donc l'asymptote oblique est confondue avec la courbe elle-même hors du trou. --- ## III. Asymptotes / Position of a curve with respect to a line ### Définition des asymptotes Une **asymptote** d'une courbe $\mathcal{C}_f$ est une droite telle que la distance entre un point de la courbe et cette droite tend vers zéro lorsque le point s'éloigne à l'infini sur la courbe. On distingue trois types : - **Asymptote verticale** : $x = a$, si $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$. - **Asymptote horizontale** : $y = b$, si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. - **Asymptote oblique** : $y = ax + b$, si $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax) = b$ et $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$). > **À retenir** : Pour une asymptote oblique $y = ax + b$, on calcule : > $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - ax)$. > Ces limites doivent être évaluées séparément pour $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$ si nécessaire. ### Position d'une courbe par rapport à une droite On dit que la courbe est **au-dessus** de la droite $y = mx + p$ si $f(x) > mx + p$, et **en dessous** si $f(x) < mx + p$. Cette comparaison est utile pour déterminer le côté de l'asymptote où la courbe se situe aux infinis. ### Exemple résolu : Recherche d'asymptotes **Exemple 4** : Soit $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$. - Domaine : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. - Asymptote verticale : $x=0$ car $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$. - Asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x + \frac{1}{x}) = \pm\infty$ → pas d'asymptote horizontale. - Asymptote oblique : $a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim \frac{x^2+1}{x^2} = 1$, $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - x) = \lim \left( \frac{x^2+1}{x} - x \right) = \lim \frac{1}{x} = 0$. Donc asymptote oblique : $y = x$. **Position par rapport à l'asymptote** : $f(x) - x = \frac{1}{x}$. - Si $x > 0$, alors $f(x) - x > 0$ → courbe au-dessus de $y=x$. - Si $x < 0$, alors $f(x) - x < 0$ → courbe en dessous de $y=x$. **Exercice d'application 4** : Trouver les asymptotes de $m(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$. **Corrigé** : - Domaine : $x \neq 1$. - Asymptote verticale : $x=1$ car $\lim_{x \to 1^-} m(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} m(x) = +\infty$ (vérification : numérateur en $x=1$ vaut $0$, mais facteur $(x-1)$ : factorisons). Factorisation : $2x^2 - 3x + 1 = (2x-1)(x-1)$. Donc pour $x \neq 1$, $m(x) = 2x - 1$. Ainsi, la courbe est la droite $y = 2x - 1$ sauf un trou en $x=1$ ($m(1)$ indéfini). Donc : pas d'asymptote verticale véritable (car la limite est finie après simplification ? Attendez : En fait, puisque $m(x) = 2x - 1$ pour $x \neq 1$, alors $\lim_{x \to 1} m(x) = 1$, donc pas d'infinie → **pas d'asymptote verticale**. Erreur initiale : il faut simplifier avant de conclure. Donc : pas d'asymptote verticale, mais un trou en $(1, 1)$. - Asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm\infty} (2x - 1) = \pm\infty$ → aucune. - Asymptote oblique : puisque $m(x) = 2x - 1$ pour $x \neq 1$, alors l'asymptote oblique est $y = 2x - 1$ (et la courbe coïncide avec elle sauf au trou). Vérification : $a = \lim \frac{m(x)}{x} = \lim \frac{2x-1}{x} = 2$, $b = \lim (m(x) - 2x) = \lim (-1) = -1$ → $y=2x-1$. Donc asymptote oblique : $y = 2x - 1$, et la courbe est au-dessus ou en dessous ? $m(x) - (2x - 1) = 0$ pour $x \neq 1$ → la courbe est exactement sur l'asymptote (sauf trou). Donc elle ne est ni au-dessus ni en dessous : elle est confondue. --- ## IV. Derivative / Stationary points and their nature ### Définition de la dérivée et des points stationnaires Le **point stationnaire** d'une fonction dérivable $f$ est un point $x_0 \in D_f$ tel que $f'(x_0) = 0$. Ces points sont des candidats aux extrema locaux (maximum ou minimum). > **À retenir** : Le signe de $f'(x)$ détermine la variation de $f$ : > - Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle → $f$ est strictement croissante. > - Si $f'(x) < 0$ → $f$ est strictement décroissante. > - Si $f'(x) = 0$ en un point isolé et changement de signe → extremum local. ### Test de la dérivée première pour la nature des points stationnaires Soit $x_0$ tel que $f'(x_0) = 0$ : - Si $f'(x)$ passe de $+$ à $-$ en $x_0$ → maximum local. - Si $f'(x)$ passe de $-$ à $+$ en $x_0$ → minimum local. - Si le signe ne change pas → point d'arrêt (ou point d'inflexion avec tangente horizontale, mais pas nécessairement extremum). > **À retenir** : On construit un tableau de signes de $f'(x)$ autour des points stationnaires pour déterminer leur nature. ### Exemple résolu : Points stationnaires et nature **Exemple 5** : Soit $f(x) = x^3 - 3x$. - $D_f = \mathbb{R}$. - $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$. - Points stationnaires : $f'(x)=0 \Rightarrow x = -1$ ou $x = 1$. - Tableau de signes de $f'(x)$ : | $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |-----------|------------|------|-----|-----------| | $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | max | $\searrow$ | min | $\nearrow$ | Donc : - En $x = -1$ : $f'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. - En $x = 1$ : $f'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local. $f(1) = 1 - 3 = -2$. **Exercice d'application 5** : Trouver les points stationnaires de $n(x) = x^4 - 4x^3$ et déterminer leur nature. **Corrigé** : - $n'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$. - Points stationnaires : $x=0$ (double racine) et $x=3$. - Tableau de signes de $n'(x)$ : | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $3$ | $+\infty$ | |-----------|------------|-----|-----|-----------| | $x^2$ | $+$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $x-3$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $n'(x)$ | $-$ | $0$ | $-$ | $+$ | | $n(x)$ | $\searrow$ | plat | $\searrow$ | min | $\nearrow$ | - En $x=0$ : $n'(x)$ négatif des deux côtés → pas de changement de signe → pas d'extremum (point d'arrêt avec tangente horizontale). - En $x=3$ : $n'(x)$ passe de $-$ à $+$ → minimum local. $n(3) = 81 - 108 = -27$. --- ## V. Point of inflexion / Concavity of a function ### Définition de la concavité et du point d'inflexion La **concavité** d'une fonction deux fois dérivable décrit la courbure de son graphe : - Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle → $f$ est **convexe** (creux vers le haut). - Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle → $f$ est **concave** (creux vers le bas). Un **point d'inflexion** est un point où la concavité change de signe (de convexe à concave ou vice versa), et où la fonction est continue. > **À retenir** : Un point d'inflexion nécessairement satisfait $f''(x_0) = 0$ ou $f''(x_0)$ n'existe pas, mais la réciproque est fausse : il faut vérifier un changement de signe de $f''(x)$. ### Test de la dérivée seconde pour la concavité Soit $x_0$ tel que $f''(x_0) = 0$ ou non définie : - Si $f''(x)$ change de signe en $x_0$ → point d'inflexion. - Si pas de changement de signe → pas de point d'inflexion (même si $f''(x_0)=0$). > **À retenir** : On construit un tableau de signes de $f''(x)$ pour déterminer les intervalles de concavité et localiser les points d'inflexion. ### Exemple résolu : Concavité et points d'inflexion **Exemple 6** : Reprenons $f(x) = x^3 - 3x$ (exemple précédent). - $f'(x) = 3x^2 - 3$ - $f''(x) = 6x$ - Point où $f''(x)=0$ : $x=0$. - Tableau de signes de $f''(x)$ : | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | |-----------|------------|-----|-----------| | $f''(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Concavité | concave | inflexion | convexe | Donc : point d'inflexion en $x=0$, $f(0)=0$. La courbe change de concavité en $(0,0)$ : concave pour $x<0$, convexe pour $x>0$. **Exercice d'application 6** : Déterminer les intervalles de concavité et les points d'inflexion de $p(x) = x^4 - 4x^2$. **Corrigé** : - $p'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$ - $p''(x) = 12x^2 - 8 = 4(3x^2 - 2)$ - $p''(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ - Tableau de signes de $p''(x)$ : | $x$ | $-\infty$ | $-\frac{\sqrt{6}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | $+\infty$ | |-----------|------------|------------------------|-----|----------------------|-----------| | $3x^2-2$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $p''(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Concavité | convexe | inflexion | concave | inflexion | convexe | Donc : - Points d'inflexion en $x = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ et $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$. - $p\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \left(\frac{6}{9}\right)^2 - 4\cdot\frac{6}{9} = \frac{36}{81} - \frac{24}{9} = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4}{9} - \frac{24}{9} = -\frac{20}{9}$. - Même valeur pour l'autre par symétrie : $p\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = -\frac{20}{9}$. - Intervalles : - Convexe : $(-\infty, -\frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{6}}{3}, +\infty)$ - Concave : $(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ --- ## VI. Sense of variation / Table of variations ### Définition du sens de variation Le **sens de variation** d'une fonction sur un intervalle indique si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle, déterminé par le signe de la dérivée première. > **À retenir** : Le tableau de variations synthétise : > - Le domaine et les points singuliers (asymptotes, trous) > - Les points stationnaires ($f'(x)=0$) > - Le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle > - Le comportement de $f(x)$ (croissante/décroissante) > - Les valeurs de $f$ aux points clés (extrema, limites) ### Construction du tableau de variations Étapes : 1. Déterminer $D_f$ et lister les points où $f$ n'est pas définie ou non dérivable (asymptotes verticales, points de discontinuité). 2. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x)=0$ → points stationnaires. 3. Lister tous les points critiques : bornes de $D_f$, asymptotes verticales, points stationnaires, points de discontinuité. 4. Former des intervalles entre ces points. 5. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle (par test du signe ou évaluation en un point). 6. Indiquer la variation de $f$ sur chaque intervalle ($\nearrow$ ou $\searrow$). 7. Reporter les valeurs de $f$ aux points clés (limites, extrema, etc.). ### Exemple résolu : Tableau de variations complet **Exemple 7** : Soit $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. - **Domaine** : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. - **Dérivée** : $f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. - **Points stationnaires** : $f'(x)=0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=2$ (dénominateur jamais nul sauf en $x=1$, déjà exclu). - **Points critiques** : $x=1$ (asymptote verticale), $x=0$, $x=2$. - **Tableau de signes de $f'(x)$** : le dénominateur $(x-1)^2 > 0$ partout sauf en $x=1$ → signe déterminé par le numérateur $x(x-2)$. | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ | |-----------|------------|-----|-----|-----|-----------| | $x$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x-2$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $x(x-2)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | max | $\searrow$ | $\searrow$ | min | $\nearrow$ | - **Valeurs clés** : - $f(0) = 0$ - $f(2) = \frac{4}{1} = 4$ - Limites : - $x \to 1^-$ : $f(x) \to \frac{1}{0^-} \to -\infty$ - $x \to 1^+$ : $f(x) \to \frac{1}{0^+} \to +\infty$ - $x \to -\infty$ : $f(x) \sim \frac{x^2}{x} = x \to -\infty$ → mais plus précisément : $f(x) = \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}$ (division polynomiale) → $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, et asymptote oblique $y = x + 1$ (vérification : $a = \lim \frac{f(x)}{x} = 1$, $b = \lim (f(x)-x) = \lim (1 + \frac{1}{x-1}) = 1$) - $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$, asymptote oblique $y = x + 1$, et $f(x) - (x+1) = \frac{1}{x-1} > 0$ pour $x>1$ → courbe au-dessus de l'asymptote. **Tableau de variations final** : | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $1^-$ | $1^+$ | | $2$ | | $+\infty$ | |-------------|------------|----------|------|----------|--------|--------|----------|------|----------|-----------| | $f'(x)$ | $+$ | | $0$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | | $+$ | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $0$ | $\searrow$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $4$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | | | | max | | | asymp. vert. | | | min | | | **Exercice d'application 7** : Construire le tableau de variations de $q(x) = \frac{e^x}{x}$. **Corrigé** : - Domaine : $x \neq 0$. - Dérivée : $q'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. - Points stationnaires : $q'(x)=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$ (puisque $e^x>0$, $x^2>0$ pour $x\neq0$). - Points critiques : $x=0$ (asymptote verticale), $x=1$. - Signe de $q'(x)$ : dénominateur $x^2 > 0$ toujours (sauf $x=0$) → signe déterminé par $(x-1)$. | $x$ | $-\infty$ | $0^-$ | $0^+$ | $1$ | $+\infty$ | |-----------|------------|-------|-------|-----|-----------| | $x-1$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $q'(x)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $q(x)$ | $\searrow$ | | | min | $\nearrow$ | - Valeurs : - $q(1) = e$ - Limites : - $x \to 0^-$ : $e^x \to 1$, dénominateur $0^-$ → $q(x) \to -\infty$ - $x \to 0^+$ : $q(x) \to +\infty$ - $x \to -\infty$ : $e^x \to 0^+$, dénominateur $-\infty$ → $q(x) \to 0^-$ (puisque $+ / - = -$) - $x \to +\infty$ : $e^x$ domine → $q(x) \to +\infty$ - Asymptote horizontale ? $\lim_{x \to -\infty} q(x) = 0$ → asymptote horizontale $y=0$ à gauche. - Asymptote oblique ? Non nécessaire puisque limite horizontale existe à gauche ; à droite, pas d'asymptote horizontale ou oblique (croît plus vite que linéaire). - Tableau de variations : | $x$ | $-\infty$ | | $0^-$ | $0^+$ | | $1$ | | $+\infty$ | |-------------|------------|----------|-------|-------|----------|------|----------|-----------| | $q'(x)$ | $-$ | | $-$ | | $-$ | $0$ | | $+$ | | $q(x)$ | $0^-$ | $\searrow$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $e$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | | | | | asymp. vert. | asymp. vert. | | min | | | | | $y=0$ (H.A. gauche) | | | | | | | | --- ## VII. Infinite branches / Intercepts ### Définition des branches infinies Les **branches infinies** d'une courbe correspondent au comportement de la fonction lorsque $x$ tend vers une borne du domaine où elle devient infinie (généralement $x \to \pm\infty$ ou $x \to a^{\pm}$ avec asymptote verticale). On les décrit par leurs asymptotes et leur position relative (au-dessus/en dessous). ### Définition des intercepts - L'**intercept avec l'axe des $x$** (ou racine) est un point $(x_0, 0)$ tel que $f(x_0)=0$. - L'**intercept avec l'axe des $y$** est le point $(0, f(0))$ si $0 \in D_f$. > **À retenir** : Pour trouver les intercepts $x$ : résoudre $f(x)=0$. > Pour l'intercept $y$ : calculer $f(0)$ si défini. ### Exemple résolu : Branches infinies et intercepts **Exemple 8** : Soit $r(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (déjà vu en exemple 3, mais on approfondit). - Simplification : pour $x \neq 2$, $r(x) = x + 2$. - Domaine : $x \neq 2$. - Intercepts : - $x$ : résoudre $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ → point $(-2, 0)$. - $y$ : $r(0) = 0+2 = 2$ → point $(0, 2)$. - Asymptotes : - Pas d'asymptote verticale (limite finie en $x=2$ : $\lim_{x \to 2} r(x) = 4$ → trou en $(2, 4)$). - Pas d'asymptote horizontale ($\lim_{x \to \pm\infty} r(x) = \pm\infty$). - Asymptote oblique : puisque $r(x) = x+2$ pour $x \neq 2$, alors asymptote oblique $y = x + 2$, et la courbe coïncide avec elle sauf trou. - Branches infinies : - Lorsque $x \to -\infty$ : $r(x) \to -\infty$, et comme $r(x) = x+2$, la branche est exactement sur l'asymptote $y=x+2$. - Lorsque $x \to +\infty$ : $r(x) \to +\infty$, branche sur l'asymptote $y=x+2$. - Donc les deux branches sont confondues avec l'asymptote oblique (sauf trou en $x=2$). **Exercice d'application 8** : Déterminer les intercepts et décrire les branches infinies de $s(x) = \frac{\ln x}{x}$ pour $x>0$. **Corrigé** : - Domaine : $x > 0$ (puisque $\ln x$ défini seulement pour $x>0$). - Intercepts : - $x$ : résoudre $\frac{\ln x}{x} = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x=1$ → point $(1, 0)$. - $y$ : $x=0$ non dans le domaine → pas d'intercept $y$. - Branches infinies : - Lorsque $x \to 0^+$ : $\ln x \to -\infty$, dénominateur $x \to 0^+$ → forme $-\infty / 0^+$ → $s(x) \to -\infty$. - Donc branche verticale asymptotique ? Pas d'asymptote verticale car limite infinie, mais on vérifie : $\lim_{x \to 0^+} s(x) = -\infty$ → asymptote verticale $x=0$ (même si $x=0$ n'est pas dans le domaine, c'est une borne). - Lorsque $x \to +\infty$ : forme $\infty / \infty$ → utiliser L'Hôpital ou connu : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. - Donc asymptote horizontale $y=0$ à droite. - Pour savoir de quel côté : pour $x>1$, $\ln x > 0$ → $s(x) > 0$ → branche au-dessus de $y=0$. - Pour $0<x<1$, $\ln x < 0$ → $s(x) < 0$ → branche en dessous de $y=0$. - Résumé : - Asymptote verticale : $x=0$ (branche en $-\infty$ lorsque $x \to 0^+$). - Asymptote horizontale : $y=0$ (branche au-dessus lorsque $x \to +\infty$, en dessous lorsque $x \to 0^+$ mais déjà sous l'asymptote verticale). - Intercept $x$ : $(1, 0)$. ---