Vectors

# Vectors ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les représentations vectorielles et cartésiennes des plans dans l'espace tridimensionnel, ainsi que leurs interactions avec les droites et entre eux. À l'issue de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Déterminer l'équation vectorielle et cartésienne d'un plan à partir d'un point et de deux vecteurs directeurs, ou de trois points. - Écrire l'équation paramétrique d'un plan. - Calculer la distance perpendiculaire d'un point à un plan. - Déterminer l'angle entre deux plans. - Trouver le point d'intersection d'une droite et d'un plan. - Calculer l'angle entre une droite et un plan. - Déterminer l'intersection de deux plans (droite ou plans parallèles/confondus). - Écrire l'équation d'un plan passant par la droite d'intersection de deux plans donnés. - Écrire l'équation d'un plan passant par le point d'intersection de deux plans donnés (et satisfaisant une condition supplémentaire). **Prérequis** : - Opérations sur les vecteurs (produit scalaire, produit vectoriel, norme). - Équations paramétriques et cartésiennes d'une droite dans l'espace. - Systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues. - Notions de base sur les plans : vecteur normal, coplanarité, colinéarité. --- ## I. Vector and Cartesian equation of a plane ### Définition et forme vectorielle Un plan dans l'espace est déterminé de manière unique par un point $P_0(x_0, y_0, z_0)$ appartenant au plan et deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ parallèles au plan. Tout point $P(x, y, z)$ du plan vérifie alors : $$ \vec{P_0P} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$ Ceci est l'**équation vectorielle paramétrique** du plan. > **À retenir** : L'équation vectorielle d'un plan passant par $P_0$ et de directeurs $\vec{u}, \vec{v}$ est $\vec{r} = \vec{r_0} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$, où $\vec{r}$ et $\vec{r_0}$ sont les vecteurs position de $P$ et $P_0$. ### Équation cartésienne Le produit vectoriel $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ donne un vecteur normal au plan. L'équation cartésienne du plan est alors : $$ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0 $$ En coordonnées, si $\vec{n} = (a, b, c)$ et $P_0 = (x_0, y_0, z_0)$, cela devient : $$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$ ou, après développement : $$ ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec} \quad d = -(ax_0 + by_0 + cz_0) $$ > **À retenir** : L'équation cartésienne d'un plan est $ax + by + cz + d = 0$, où $(a, b, c)$ est un vecteur normal au plan. ### Exemple résolu Trouver l'équation vectorielle et cartésienne du plan passant par $P_0(1, 2, -1)$ et parallèle aux vecteurs $\vec{u} = (2, -1, 3)$ et $\vec{v} = (-1, 4, 2)$. **Solution** : Équation vectorielle : $$ \vec{r} = (1, 2, -1) + \lambda(2, -1, 3) + \mu(-1, 4, 2) $$ Vecteur normal : $$ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(2) - (3)(4)) - \mathbf{j}((2)(2) - (3)(-1)) + \mathbf{k}((2)(4) - (-1)(-1)) $$ $$ = \mathbf{i}(-2 - 12) - \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(8 - 1) = -14\mathbf{i} -7\mathbf{j} +7\mathbf{k} = (-14, -7, 7) $$ On peut simplifier en divisant par $-7$ : $\vec{n} = (2, 1, -1)$ Équation cartésienne : $$ 2(x - 1) + 1(y - 2) -1(z + 1) = 0 \implies 2x - 2 + y - 2 - z - 1 = 0 \implies 2x + y - z - 5 = 0 $$ **Vérification** : En remplaçant $P_0$ : $2(1) + 2 - (-1) -5 = 2+2+1-5=0$ ✅ En remplaçant $P_0 + \vec{u} = (3,1,2)$ : $2(3)+1-2-5=6+1-2-5=0$ ✅ En remplaçant $P_0 + \vec{v} = (0,6,1)$ : $0+6-1-5=0$ ✅ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'équation cartésienne du plan passant par $A(2, -1, 3)$, $B(0, 2, 1)$ et $C(-1, 0, 4)$. **Solution** : Vecteurs dans le plan : $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, -2)$ $\vec{AC} = C - A = (-3, 1, 1)$ Produit vectoriel : $$ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3\cdot1 - (-2)\cdot1) - \mathbf{j}((-2)\cdot1 - (-2)\cdot(-3)) + \mathbf{k}((-2)\cdot1 - 3\cdot(-3)) $$ $$ = \mathbf{i}(3+2) - \mathbf{j}(-2 -6) + \mathbf{k}(-2 +9) = 5\mathbf{i} +8\mathbf{j} +7\mathbf{k} = (5, 8, 7) $$ Équation cartésienne par $A(2,-1,3)$ : $$ 5(x-2) + 8(y+1) + 7(z-3) = 0 \implies 5x -10 +8y +8 +7z -21 =0 \implies 5x +8y +7z -23 =0 $$ **Exercice 2** : Vérifier si le point $D(1, 1, -1)$ appartient au plan $3x - 2y + 4z + 5 = 0$. **Solution** : $3(1) -2(1) +4(-1) +5 = 3 -2 -4 +5 = 2 \neq 0$ → $D$ n'appartient pas au plan. --- ## II. Cartesian equation of a plane through three collinear points ### Définition et particularité Trois points sont **colinéaires** s'ils appartiennent à une même droite. Dans ce cas, ils ne définissent pas un plan unique : une infinité de plans passent par une droite donnée. > **À retenir** : Trois points colinéaires ne déterminent pas un plan unique. Il faut un quatrième point non colinéaire pour définir un plan. ### Conséquence sur l'équation Si trois points $A, B, C$ sont colinéaires, alors les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires → leur produit vectoriel est nul : $\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{0}$. On ne peut donc pas obtenir un vecteur normal non nul de cette manière. ### Exemple résolu Montrer que les points $A(1,2,3)$, $B(2,4,6)$, $C(3,6,9)$ sont colinéaires et expliquer pourquoi ils ne définissent pas un plan unique. **Solution** : $\vec{AB} = (1,2,2)$ $\vec{AC} = (2,4,6) = 2\vec{AB}$ → $\vec{AC}$ est un multiple de $\vec{AB}$ → les points sont colinéaires. Le produit vectoriel $\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{AB} \times (2\vec{AB}) = 2(\vec{AB} \times \vec{AB}) = \vec{0}$ → aucun vecteur normal non nul ne peut être déterminé → pas d'équation cartésienne unique. En fait, tout plan contenant la droite passant par $A$ et $B$ convient. Par exemple, le plan $x - y = -1$ contient $A(1,2)$ : $1-2=-1$, $B(2,4)$: $2-4=-2$ → non, mauvais exemple. Prenons plutôt : la droite a pour équations paramétriques $x=1+t, y=2+2t, z=3+3t$. Un plan contenant cette droite doit satisfaire que son vecteur normal soit orthogonal à la direction de la droite $(1,2,3)$. Donc tout plan de la forme $a(x-1)+b(y-2)+c(z-3)=0$ avec $a+2b+3c=0$ convient. Par exemple, prendre $a=2, b=-1, c=0$ : $2(x-1) -1(y-2)=0 \implies 2x - y =0$. Vérifier : $A$: $2-2=0$, $B$: $4-4=0$, $C$: $6-6=0$ → oui. Mais aussi $a=0,b=3,c=-2$ : $3(y-2)-2(z-3)=0 \implies 3y-2z=0$ → $A$: $6-6=0$, $B$: $12-12=0$, $C$: $18-18=0$ → aussi valide. Donc une infinité de plans. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Montrer que les points $P(0,1,2)$, $Q(1,3,5)$, $R(2,5,8)$ sont colinéaires. **Solution** : $\vec{PQ} = (1,2,3)$ $\vec{PR} = (2,4,6) = 2\vec{PQ}$ → colinéaires. **Exercice 2** : Trouver deux équations différentes de plans passant par la droite définie par $P(0,1,2)$ et $Q(1,3,5)$. **Solution** : Direction de la droite : $\vec{d} = (1,2,3)$ On cherche des vecteurs normaux $\vec{n}=(a,b,c)$ tels que $\vec{n} \cdot \vec{d} = 0$ → $a + 2b + 3c = 0$. Choix 1 : $a=2, b=-1, c=0$ → $2 -2 +0=0$ ✅ Plan par $P(0,1,2)$ : $2(x-0) -1(y-1) +0(z-2)=0 \implies 2x - y +1 =0$ Choix 2 : $a=0, b=3, c=-2$ → $0+6-6=0$ ✅ Plan : $0(x-0)+3(y-1)-2(z-2)=0 \implies 3y -3 -2z +4=0 \implies 3y -2z +1=0$ --- ## III. Parametric form of the vector equation of a plane ### Rappel et forme standard Comme vu en I., l'équation vectorielle paramétrique d'un plan est : $$ \vec{r} = \vec{r_0} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$ où $\vec{r_0}$ est le vecteur position d'un point connu du plan, et $\vec{u}, \vec{v}$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires parallèles au plan. En coordonnées, si $\vec{r_0} = (x_0, y_0, z_0)$, $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$, $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$, alors : $$ \begin{cases} x = x_0 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = y_0 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = z_0 + \lambda u_3 + \mu v_3 \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$ > **À retenir** : La forme paramétrique d'un plan exprime les coordonnées $(x,y,z)$ comme des fonctions linéaires de deux paramètres $\lambda$ et $\mu$. ### Exemple résolu Écrire la forme paramétrique du plan $2x - y + 3z = 6$. **Solution** : Trouver un point du plan : prendre $x=0, y=0$ → $3z=6 \implies z=2$ → $P_0(0,0,2)$ Trouver deux vecteurs directeurs : on cherche des vecteurs orthogonaux au normal $\vec{n}=(2,-1,3)$. Un premier vecteur : prendre $\vec{u}$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{u}=0$. Essayer $\vec{u} = (1,2,0)$ : $2(1) + (-1)(2) + 3(0) = 2-2=0$ ✅ Un second vecteur : linéairement indépendant de $\vec{u}$ et orthogonal à $\vec{n}$. Essayer $\vec{v} = (0,3,1)$ : $2(0)+(-1)(3)+3(1)= -3+3=0$ ✅ Vérifier colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas multiples → indépendants. Forme paramétrique : $$ \begin{cases} x = 0 + \lambda(1) + \mu(0) = \lambda \\ y = 0 + \lambda(2) + \mu(3) = 2\lambda + 3\mu \\ z = 2 + \lambda(0) + \mu(1) = 2 + \mu \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$ **Vérification** : substituer dans l'équation cartésienne : $2(\lambda) - (2\lambda+3\mu) + 3(2+\mu) = 2\lambda -2\lambda -3\mu +6 +3\mu = 6$ ✅ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver la forme paramétrique du plan passant par $A(1, -2, 3)$ et parallèle aux vecteurs $\vec{u} = (2, 0, -1)$ et $\vec{v} = (-1, 3, 2)$. **Solution** : $$ \begin{cases} x = 1 + 2\lambda - \mu \\ y = -2 + 0\lambda + 3\mu = -2 + 3\mu \\ z = 3 - \lambda + 2\mu \end{cases}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} $$ **Exercice 2** : Vérifier que le point $B(4, 1, 0)$ appartient au plan défini paramétriquement par : $x = 2 + \lambda - \mu$, $y = 1 + 2\lambda + \mu$, $z = -1 + 3\lambda - 2\mu$ **Solution** : On cherche $\lambda, \mu$ tels que : $2 + \lambda - \mu = 4$ → (1) $\lambda - \mu = 2$ $1 + 2\lambda + \mu = 1$ → (2) $2\lambda + \mu = 0$ $-1 + 3\lambda - 2\mu = 0$ → (3) $3\lambda - 2\mu = 1$ De (1) : $\lambda = \mu + 2$ Substituer dans (2) : $2(\mu+2) + \mu = 0 \implies 2\mu+4+\mu=0 \implies 3\mu=-4 \implies \mu=-\frac{4}{3}$ Alors $\lambda = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$ Vérifier (3) : $3(\frac{2}{3}) - 2(-\frac{4}{3}) = 2 + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} \neq 1$ → contradiction. Donc le point n'appartient pas au plan. --- ## IV. Perpendicular distance of a point from a plane ### Formule et dérivation La distance perpendiculaire d'un point $P(x_1, y_1, z_1)$ au plan $ax + by + cz + d = 0$ est donnée par : $$ \text{dist}(P, \Pi) = \frac{\vert ax_1 + by_1 + cz_1 + d \vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$ Cette formule provient de la projection du vecteur $\vec{P_0P}$ sur le vecteur normal unitaire $\hat{n} = \frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, où $P_0$ est un point quelconque du plan. > **À retenir** : La distance d'un point à un plan est la valeur absolue de l'évaluation de l'équation cartésienne en ce point, divisée par la norme du vecteur normal. ### Exemple résolu Trouver la distance du point $P(3, -1, 2)$ au plan $2x - 3y + 6z - 5 = 0$. **Solution** : $a=2, b=-3, c=6, d=-5$ Numérateur : $\vert 2(3) + (-3)(-1) + 6(2) -5 \vert = \vert 6 + 3 + 12 -5 \vert = \vert 16 \vert = 16$ Dénominateur : $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ Distance : $\dfrac{16}{7}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer la distance du point $Q(-2, 4, -3)$ au plan $x + 2y - 2z = 8$. **Solution** : Écrire sous la forme $ax+by+cz+d=0$ : $x + 2y - 2z - 8 = 0$ → $a=1,b=2,c=-2,d=-8$ Numérateur : $\vert 1(-2) + 2(4) + (-2)(-3) -8 \vert = \vert -2 + 8 + 6 -8 \vert = \vert 4 \vert = 4$ Dénominateur : $\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ Distance : $\dfrac{4}{3}$ **Exercice 2** : Trouver la distance du point $R(1,1,1)$ au plan passant par $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$. **Solution** : Le plan passant par l'origine et les axes $x$ et $y$ est le plan $z=0$, soit $0x+0y+1z+0=0$ → $a=0,b=0,c=1,d=0$ Distance : $\dfrac{\vert 0(1)+0(1)+1(1)+0 \vert}{\sqrt{0+0+1}} = \dfrac{1}{1} = 1$ --- ## V. The angle between two planes ### Définition et formule L'angle entre deux plans est défini comme l'angle entre leurs vecteurs normaux. Si les plans ont pour équations : $$ \Pi_1: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0 \quad \text{avec normal } \vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1) $$ $$ \Pi_2: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0 \quad \text{avec normal } \vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2) $$ alors l'angle $\theta$ entre les plans satisfait : $$ \cos \theta = \frac{\vert \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} \vert}{\Vert \vec{n_1} \Vert \Vert \vec{n_2} \Vert} = \frac{\vert a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 \vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}} $$ On prend la valeur absolue car l'angle entre deux plans est compris entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ (angle aigu ou droit). > **À retenir** : L'angle entre deux plans est l'angle aigu entre leurs vecteurs normaux, donné par la formule du cosinus avec valeur absolue du produit scalaire. ### Exemple résolu Trouver l'angle entre les plans $\Pi_1: x + 2y - z = 4$ et $\Pi_2: 2x - y + 3z = 1$. **Solution** : $\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$ Produit scalaire : $1\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot3 = 2 -2 -3 = -3$ → $\vert -3 \vert = 3$ $\Vert \vec{n_1} \Vert = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$ $\Vert \vec{n_2} \Vert = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ $\cos \theta = \dfrac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{84}} = \dfrac{3}{2\sqrt{21}}$ $\theta = \arccos\left( \dfrac{3}{2\sqrt{21}} \right) \approx \arccos(0.327) \approx 1.237 \text{ rad} \approx 70.9^\circ$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'angle entre les plans $3x - y + 2z = 5$ et $x + 4y - 2z = 7$. **Solution** : $\vec{n_1} = (3, -1, 2)$ $\vec{n_2} = (1, 4, -2)$ Produit scalaire : $3\cdot1 + (-1)\cdot4 + 2\cdot(-2) = 3 -4 -4 = -5$ → $\vert -5 \vert = 5$ $\Vert \vec{n_1} \Vert = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$ $\Vert \vec{n_2} \Vert = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21}$ $\cos \theta = \dfrac{5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \dfrac{5}{\sqrt{294}}$ $\theta = \arccos\left( \dfrac{5}{\sqrt{294}} \right)$ **Exercice 2** : Les plans $2x + 3y - z = 0$ et $4x + 6y - 2z = 9$ sont-ils parallèles ? Justifier. **Solution** : $\vec{n_1} = (2,3,-1)$ $\vec{n_2} = (4,6,-2) = 2(2,3,-1) = 2\vec{n_1}$ → les normaux sont colinéaires → les plans sont parallèles (ou confondus). Vérifier si confondus : prendre un point du premier plan, par exemple l'origine $(0,0,0)$ : $2(0)+3(0)-0=0$ → appartient au premier plan. Dans le second : $4(0)+6(0)-2(0)=0 \neq 9$ → n'appartient pas au second → plans parallèles distincts. --- ## VI. Point of intersection of a line and a plane ### Méthode Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un plan : 1. Écrire la droite sous forme paramétrique : $$ \begin{cases} x = x_0 + \lambda a \\ y = y_0 + \lambda b \\ z = z_0 + \lambda c \end{cases} $$ où $(a,b,c)$ est le vecteur directeur et $(x_0,y_0,z_0)$ un point sur la droite. 2. Substituer ces expressions dans l'équation cartésienne du plan $Ax + By + Cz + D = 0$. 3. Résoudre l'équation obtenue pour $\lambda$. 4. Substituer cette valeur de $\lambda$ dans les équations paramétriques de la droite pour obtenir les coordonnées du point d'intersection. > **À retenir** : L'intersection d'une droite et d'un plan se trouve en substituant la forme paramétrique de la droite dans l'équation du plan et en résolvant pour le paramètre. ### Exemple résolu Trouver le point d'intersection de la droite passant par $A(1, 0, -2)$ et $B(3, -1, 1)$ avec le plan $x + 2y - z = 4$. **Solution** : Vecteur directeur : $\vec{d} = B - A = (2, -1, 3)$ Forme paramétrique de la droite (en prenant $A$ comme point de base) : $$ \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 0 - \lambda = -\lambda \\ z = -2 + 3\lambda \end{cases} $$ Substituer dans le plan : $(1 + 2\lambda) + 2(-\lambda) - (-2 + 3\lambda) = 4$ Simplifier : $1 + 2\lambda - 2\lambda + 2 - 3\lambda = 4$ $(1+2) + (2\lambda -2\lambda -3\lambda) = 4$ $3 - 3\lambda = 4$ $-3\lambda = 1$ $\lambda = -\dfrac{1}{3}$ Coordonnées du point : $x = 1 + 2(-\frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $y = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ $z = -2 + 3(-\frac{1}{3}) = -2 -1 = -3$ Point d'intersection : $\left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3}, -3 \right)$ **Vérification** : $\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{1}{3} - (-3) = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+3 = 1+3=4$ ✅ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'intersection de la droite $x = 2 + t, y = 1 - 2t, z = 3t$ avec le plan $2x - y + z = 5$. **Solution** : Substituer : $2(2+t) - (1-2t) + (3t) = 5$ $4 + 2t -1 + 2t + 3t = 5$ $(4-1) + (2t+2t+3t) = 5$ $3 + 7t = 5$ $7t = 2$ $t = \dfrac{2}{7}$ Point : $x = 2 + \frac{2}{7} = \frac{16}{7}$ $y = 1 - 2\cdot\frac{2}{7} = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ $z = 3\cdot\frac{2}{7} = \frac{6}{7}$ Intersection : $\left( \dfrac{16}{7}, \dfrac{3}{7}, \dfrac{6}{7} \right)$ **Exercice 2** : La droite passant par $P(0,1,2)$ avec directeur $(1,1,1)$ est-elle parallèle au plan $x + y - z = 3$ ? Si non, trouver leur intersection. **Solution** : Vecteur directeur de la droite : $\vec{d} = (1,1,1)$ Vecteur normal du plan : $\vec{n} = (1,1,-1)$ Produit scalaire : $\vec{d} \cdot \vec{n} = 1+1-1=1 \neq 0$ → la droite n'est pas parallèle au plan (elle n'est pas orthogonale au normal, donc pas parallèle au plan). Forme paramétrique de la droite : $$ \begin{cases} x = 0 + \lambda = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} $$ Substituer dans le plan : $\lambda + (1+\lambda) - (2+\lambda) = 3$ $\lambda + 1 + \lambda - 2 - \lambda = 3$ $(\lambda + \lambda - \lambda) + (1-2) = 3$ $\lambda -1 = 3$ $\lambda = 4$ Point : $x=4$, $y=1+4=5$, $z=2+4=6$ → $(4,5,6)$ Vérification : $4+5-6=3$ ✅ --- ## VII. The angle between a plane and a line ### Définition et formule L'angle $\phi$ entre une droite et un plan est défini comme le complément de l'angle entre la droite et le vecteur normal du plan. Si $\theta$ est l'angle entre la droite et le normal, alors $\phi = 90^\circ - \theta$, ou equivalentement : $$ \sin \phi = \frac{\vert \vec{d} \cdot \vec{n} \Vert}{\Vert \vec{d} \Vert \Vert \vec{n} \Vert} $$ où $\vec{d}$ est le vecteur directeur de la droite et $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan. > **À retenir** : Le sinus de l'angle entre une droite et un plan est égal à la valeur absolue du produit scalaire du vecteur directeur de la droite et du vecteur normal du plan, divisé par le produit de leurs normes. ### Exemple résolu Trouver l'angle entre la droite $\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-4}{3}$ et le plan $2x - y + 2z = 5$. **Solution** : Vecteur directeur de la droite : d'après les dénominateurs, $\vec{d} = (2, -1, 3)$ Vecteur normal du plan : $\vec{n} = (2, -1, 2)$ Produit scalaire : $\vec{d} \cdot \vec{n} = 2\cdot2 + (-1)\cdot(-1) + 3\cdot2 = 4 + 1 + 6 = 11$ $\Vert \vec{d} \Vert = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ $\Vert \vec{n} \Vert = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ $\sin \phi = \dfrac{\vert 11 \vert}{\sqrt{14} \cdot 3} = \dfrac{11}{3\sqrt{14}}$ $\phi = \arcsin\left( \dfrac{11}{3\sqrt{14}} \right) \approx \arcsin(0.982) \approx 1.378 \text{ rad} \approx 79.0^\circ$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver l'angle entre la droite passant par $O(0,0,0)$ et $A(1,2,2)$ et le plan $x + y + z = 0$. **Solution** : $\vec{d} = (1,2,2)$ $\vec{n} = (1,1,1)$ Produit scalaire : $1+2+2=5$ $\Vert \vec{d} \Vert = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9}=3$ $\Vert \vec{n} \Vert = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$ $\sin \phi = \dfrac{5}{3\sqrt{3}}$ $\phi = \arcsin\left( \dfrac{5}{3\sqrt{3}} \right)$ **Exercice 2** : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. Vérifier cette affirmation pour la droite $\vec{r} = (1,0,-1) + \lambda(2,3,6)$ et le plan $3x + 2y - z = 7$. **Solution** : $\vec{d} = (2,3,6)$ $\vec{n} = (3,2,-1)$ Produit scalaire : $2\cdot3 + 3\cdot2 + 6\cdot(-1) = 6+6-6=6 \neq 0$ → pas orthogonal → la droite n'est pas parallèle au plan. En fait, si le produit scalaire était nul, alors $\sin \phi = 0$ → $\phi=0$ → la droite serait parallèle au plan (ou dans le plan). Ici, comme il n'est pas nul, la droite coupe le plan sous un angle non nul. ---