Espaces vectoriels, applications linéaires et calcul matriciel en dimension 3

# Espaces vectoriels, applications linéaires et calcul matriciel en dimension 3 ## Introduction Ce chapitre constitue une pierre angulaire de l'algèbre linéaire en Terminale C et E. Il généralise à la dimension 3 les notions étudiées en dimension 2 et introduit des outils fondamentaux pour la géométrie dans l'espace : les espaces vectoriels, les applications linéaires, le produit vectoriel et les isométries. Ces concepts sont indispensables pour la résolution de problèmes de géométrie dans l'espace, la modélisation de phénomènes physiques et la compréhension des transformations géométriques. Nous suivrons rigoureusement le programme officiel du MINESEC, en développant chaque point avec des démonstrations complètes et des exemples numériques adaptés au Baccalauréat camerounais. --- ## I. Espaces vectoriels sur R : bases d'un espace vectoriel de dimension 3, sous-espaces vectoriels ### I.1. Structure d'espace vectoriel > **Définition (Espace vectoriel)** : Un ensemble $E$ muni d'une loi de composition interne notée $+$ et d'une loi de composition externe notée $\cdot$ (multiplication par un scalaire réel) est un **espace vectoriel sur $\mathbb{R}$** (ou $\mathbb{R}$-espace vectoriel) si : > 1. $(E, +)$ est un groupe commutatif (élément neutre noté $\vec{0}$, opposé de $\vec{u}$ noté $-\vec{u}$) ; > 2. Pour tous $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ et tous $\vec{u}, \vec{v} \in E$ : > - $\lambda \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \cdot \vec{u} + \lambda \cdot \vec{v}$ > - $(\lambda + \mu) \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}$ > - $(\lambda \mu) \cdot \vec{u} = \lambda \cdot (\mu \cdot \vec{u})$ > - $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ **Exemple fondamental** : L'ensemble $\mathbb{R}^3 = \{(x, y, z) \mid x, y, z \in \mathbb{R}\}$ muni de l'addition $(x, y, z) + (x', y', z') = (x+x', y+y', z+z')$ et de la multiplication par un scalaire $\lambda \cdot (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. **Autres exemples** : - L'ensemble des vecteurs de l'espace géométrique $\mathcal{E}_3$ (avec l'origine fixée) ; - L'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels ; - L'ensemble $\mathbb{R}_2[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. ### I.2. Sous-espaces vectoriels > **Définition (Sous-espace vectoriel)** : Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Une partie non vide $F$ de $E$ est un **sous-espace vectoriel** de $E$ si : > - $F$ est stable par addition : $\forall \vec{u}, \vec{v} \in F,\ \vec{u} + \vec{v} \in F$ ; > - $F$ est stable par multiplication par un scalaire : $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall \vec{u} \in F,\ \lambda \cdot \vec{u} \in F$. **Caractérisation pratique** : $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F \neq \emptyset$ et $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R},\ \forall \vec{u}, \vec{v} \in F,\ \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \in F$. **Exemple 1** : Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$. Montrons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. *Démonstration* : $F$ est non vide car $(0, 0, 0) \in F$. Soient $\vec{u} = (x, y, z) \in F$ et $\vec{v} = (x', y', z') \in F$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Alors $\lambda \vec{u} + \mu \vec{v} = (\lambda x + \mu x', \lambda y + \mu y', \lambda z + \mu z')$. On vérifie : $$\lambda x + \mu x' + \lambda y + \mu y' + \lambda z + \mu z' = \lambda(x+y+z) + \mu(x'+y'+z') = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$$ Donc $\lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \in F$. Ainsi $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$. **Exemple 2** : Soit $G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$. $G$ n'est pas un sous-espace vectoriel car $(1, 0, 0) \in G$ mais $2 \cdot (1, 0, 0) = (2, 0, 0) \notin G$ (car $4 \neq 1$). ### I.3. Combinaisons linéaires, familles libres et génératrices > **Définition (Combinaison linéaire)** : Soient $\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_p$ des vecteurs de $E$ et $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_p$ des réels. Le vecteur $\vec{v} = \alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \cdots + \alpha_p \vec{u}_p$ est appelé **combinaison linéaire** des vecteurs $\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_p$. > **Définition (Famille libre)** : Une famille $(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_p)$ de vecteurs de $E$ est **libre** si toute combinaison linéaire nulle de ces vecteurs a tous ses coefficients nuls : > $$\alpha_1 \vec{u}_1 + \alpha_2 \vec{u}_2 + \cdots + \alpha_p \vec{u}_p = \vec{0} \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_p = 0$$ > **Définition (Famille génératrice)** : Une famille $(\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_p)$ de vecteurs de $E$ est **génératrice** de $E$ si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs. **Exemple** : Dans $\mathbb{R}^3$, la famille canonique $\mathcal{B}_0 = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ avec $\vec{e}_1 = (1, 0, 0)$, $\vec{e}_2 = (0, 1, 0)$, $\vec{e}_3 = (0, 0, 1)$ est libre et génératrice. En effet, tout vecteur $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ s'écrit $x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3$, et si $x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3 = \vec{0}$ alors $(x, y, z) = (0, 0, 0)$, donc $x = y = z = 0$. ### I.4. Base et dimension d'un espace vectoriel > **Définition (Base)** : Une famille $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ de vecteurs de $E$ est une **base** de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice de $E$. > **Définition (Dimension)** : Un espace vectoriel $E$ est de **dimension finie** s'il admet une base finie. Le nombre de vecteurs d'une base (qui est indépendant de la base choisie) est appelé la **dimension** de $E$, notée $\dim E$. > **Théorème (Dimension de $\mathbb{R}^3$)** : $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. Plus généralement, tout espace vectoriel de dimension 3 est isomorphe à $\mathbb{R}^3$. **Propriétés fondamentales** : - Toute famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est une base ; - Toute famille génératrice de 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 est une base ; - Dans un espace de dimension 3, toute famille libre peut être complétée en une base. > **Définition (Coordonnées dans une base)** : Soit $\mathcal{B} = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ une base de $E$. Pour tout vecteur $\vec{u} \in E$, il existe un unique triplet $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$ tel que $\vec{u} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 + z\vec{e}_3$. Le triplet $(x, y, z)$ est appelé le **vecteur des coordonnées** de $\vec{u}$ dans la base $\mathcal{B}$, noté $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(\vec{u}) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. **Exemple** : Soit $\mathcal{B} = (\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3)$ avec $\vec{u}_1 = (1, 1, 0)$, $\vec{u}_2 = (1, 0, 1)$, $\vec{u}_3 = (0, 1, 1)$ dans $\mathbb{R}^3$. *Vérification que $\mathcal{B}$ est une base* : Soient $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha\vec{u}_1 + \beta\vec{u}_2 + \gamma\vec{u}_3 = \vec{0}$. Alors : $$\alpha(1,1,0) + \beta(1,0,1) + \gamma(0,1,1) = (\alpha+\beta, \alpha+\gamma, \beta+\gamma) = (0,0,0)$$ D'où le système : $$\begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \end{cases}$$ De la première équation, $\beta = -\alpha$. De la deuxième, $\gamma = -\alpha$. La troisième donne $-\alpha - \alpha = 0$, donc $\alpha = 0$, puis $\beta = 0$ et $\gamma = 0$. La famille est libre. Comme elle a 3 vecteurs dans un espace de dimension 3, c'est une base. *Coordonnées d'un vecteur* : Soit $\vec{v} = (3, 1, 2)$. Cherchons $(a, b, c)$ tels que $\vec{v} = a\vec{u}_1 + b\vec{u}_2 + c\vec{u}_3$ : $$(a+b, a+c, b+c) = (3, 1, 2)$$ Système : $$\begin{cases} a + b = 3 \\ a + c = 1 \\ b + c = 2 \end{cases}$$ De la première, $b = 3-a$. De la deuxième, $c = 1-a$. La troisième donne $3-a+1-a = 2$, donc $4-2a = 2$, d'où $a = 1$. Alors $b = 2$ et $c = 0$. Donc $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(\vec{v}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$. ### I.5. Sous-espaces vectoriels en dimension 3 **Caractérisation géométrique** : Dans un espace vectoriel de dimension 3, les sous-espaces vectoriels sont : - $\{\vec{0}\}$ : le sous-espace nul (dimension 0) ; - Les droites vectorielles : $\text{Vect}(\vec{u})$ où $\vec{u} \neq \vec{0}$ (dimension 1) ; - Les plans vectoriels : $\text{Vect}(\vec{u}, \vec{v})$ où $\vec{u}, \vec{v}$ sont libres (dimension 2) ; - $E$ lui-même (dimension 3). > **Théorème (Intersection et somme de sous-espaces)** : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. > - $F \cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ; > - $F + G = \{\vec{u} + \vec{v} \mid \vec{u} \in F, \vec{v} \in G\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ; > - **Formule de Grassmann** : $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$. **Exemple** : Soient $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ et $G = \text{Vect}((1, 1, 1))$. $F$ est un plan vectoriel (dimension 2). $G$ est une droite vectorielle (dimension 1). L'intersection $F \cap G$ : un vecteur de $G$ s'écrit $\lambda(1, 1, 1) = (\lambda, \lambda, \lambda)$. Il appartient à $F$ si $\lambda + \lambda + \lambda = 0$, donc $3\lambda = 0$, d'où $\lambda = 0$. Donc $F \cap G = \{\vec{0}\}$, de dimension 0. Par la formule de Grassmann : $\dim(F + G) = 2 + 1 - 0 = 3$. Donc $F + G = \mathbb{R}^3$. On dit que $F$ et $G$ sont **supplémentaires** : $F \oplus G = \mathbb{R}^3$. --- ## II. Applications linéaires : matrices, noyau, image, propriété des dimensions ### II.1. Définition et propriétés fondamentales > **Définition (Application linéaire)** : Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels. Une application $f : E \to F$ est **linéaire** si : > 1. $\forall \vec{u}, \vec{v} \in E,\ f(\vec{u} + \vec{v}) = f(\vec{u}) + f(\vec{v})$ ; > 2. $\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \forall \vec{u} \in E,\ f(\lambda \vec{u}) = \lambda f(\vec{u})$. > > De manière équivalente : $\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R},\ \forall \vec{u}, \vec{v} \in E,\ f(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) = \lambda f(\vec{u}) + \mu f(\vec{v})$. **Propriétés immédiates** : - $f(\vec{0}_E) = \vec{0}_F$ ; - $f(-\vec{u}) = -f(\vec{u})$ ; - L'image d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images. **Exemple** : Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$. *Vérification de la linéarité* : Soient $\vec{u} = (x, y, z)$ et $\vec{v} = (x', y', z')$ dans $\mathbb{R}^3$, et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. $$f(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) = f(\lambda x + \mu x', \lambda y + \mu y', \lambda z + \mu z')$$ $$= (\lambda x + \mu x' + \lambda y + \mu y',\ \lambda y + \mu y' + \lambda z + \mu z',\ \lambda x + \mu x' + \lambda z + \mu z')$$ $$= (\lambda(x+y) + \mu(x'+y'),\ \lambda(y+z) + \mu(y'+z'),\ \lambda(x+z) + \mu(x'+z'))$$ $$= \lambda(x+y, y+z, x+z) + \mu(x'+y', y'+z', x'+z') = \lambda f(\vec{u}) + \mu f(\vec{v})$$ Donc $f$ est linéaire. ### II.2. Matrice d'une application linéaire > **Définition (Matrice d'une application linéaire)** : Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimensions respectives $n$ et $p$, munis de bases $\mathcal{B}_E = (\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n)$ et $\mathcal{B}_F = (\vec{f}_1, \ldots, \vec{f}_p)$. Soit $f : E \to F$ une application linéaire. La **matrice de $f$** relativement aux bases $\mathcal{B}_E$ et $\mathcal{B}_F$, notée $\text{Mat}_{\mathcal{B}_E, \mathcal{B}_F}(f)$, est la matrice $p \times n$ dont la $j$-ième colonne est constituée des coordonnées de $f(\vec{e}_j)$ dans la base $\mathcal{B}_F$. **Cas particulier important** : Si $E = F = \mathbb{R}^3$ avec la base canonique $\mathcal{B}_0$, la matrice de $f$ est la matrice $3 \times 3$ dont les colonnes sont les images des vecteurs de la base canonique. **Exemple** : Pour $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$ : - $f(\vec{e}_1) = f(1, 0, 0) = (1, 0, 1)$ - $f(\vec{e}_2) = f(0, 1, 0) = (1, 1, 0)$ - $f(\vec{e}_3) = f(0, 0, 1) = (0, 1, 1)$ Donc : $$A = \text{Mat}_{\mathcal{B}_0}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ > **Théorème (Lien entre application linéaire et matrice)** : Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ une application linéaire de matrice $A$ dans la base canonique. Pour tout vecteur $\vec{u} \in \mathbb{R}^3$ de coordonnées $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, les coordonnées de $f(\vec{u})$ sont données par : > $$Y = A \cdot X$$ > où $Y = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix}$. **Vérification sur l'exemple** : $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y \\ y + z \\ x + z \end{pmatrix}$, ce qui correspond bien à $f(x, y, z)$. ### II.3. Noyau et image d'une application linéaire > **Définition (Noyau)** : Soit $f : E \to F$ une application linéaire. Le **noyau** de $f$, noté $\ker f$, est l'ensemble des vecteurs de $E$ dont l'image est le vecteur nul : > $$\ker f = \{\vec{u} \in E \mid f(\vec{u}) = \vec{0}_F\}$$ > **Définition (Image)** : L'**image** de $f$, notée $\text{Im}\, f$, est l'ensemble des images des vecteurs de $E$ : > $$\text{Im}\, f = \{f(\vec{u}) \mid \vec{u} \in E\} = f(E)$$ > **Théorème (Structure du noyau et de l'image)** : $\ker f$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\text{Im}\, f$ est un sous-espace vectoriel de $F$. *Démonstration pour le noyau* : $\ker f \neq \emptyset$ car $\vec{0}_E \in \ker f$ (puisque $f(\vec{0}_E) = \vec{0}_F$). Soient $\vec{u}, \vec{v} \in \ker f$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$. Alors $f(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) = \lambda f(\vec{u}) + \mu f(\vec{v}) = \lambda \cdot \vec{0}_F + \mu \cdot \vec{0}_F = \vec{0}_F$. Donc $\lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \in \ker f$. Ainsi $\ker f$ est un sous-espace vectoriel de $E$. **Exemple** : Pour $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$. *Noyau* : $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ donne le système : $$\begin{cases} x + y = 0 \\ y + z = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}$$ De la première, $y = -x$. De la deuxième, $z = -y = x$. La troisième donne $x + x = 0$, donc $x = 0$, puis $y = 0$ et $z = 0$. Donc $\ker f = \{\vec{0}\}$. $f$ est **injective**. *Image* : $\text{Im}\, f = \text{Vect}(f(\vec{e}_1), f(\vec{e}_2), f(\vec{e}_3)) = \text{Vect}((1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1))$. Vérifions que ces trois vecteurs forment une famille libre. Soient $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $\alpha(1,0,1) + \beta(1,1,0) + \gamma(0,1,1) = (0,0,0)$. Alors $(\alpha+\beta, \beta+\gamma, \alpha+\gamma) = (0,0,0)$. Système : $$\begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ \alpha + \gamma = 0 \end{cases}$$ De la première, $\beta = -\alpha$. De la deuxième, $\gamma = -\beta = \alpha$. La troisième donne $\alpha + \alpha = 0$, donc $\alpha = 0$, puis $\beta = 0$ et $\gamma = 0$. La famille est libre. Donc $\dim \text{Im}\, f = 3$, et $\text{Im}\, f = \mathbb{R}^3$. $f$ est **surjective**. ### II.4. Théorème du rang (propriété des dimensions) > **Théorème (Théorème du rang)** : Soit $f : E \to F$ une application linéaire avec $E$ de dimension finie. Alors : > $$\dim E = \dim \ker f + \dim \text{Im}\, f$$ > Le nombre $\dim \text{Im}\, f$ est appelé le **rang** de $f$, noté $\text{rg}(f)$. **Conséquences importantes** : - $f$ est injective $\iff \ker f = \{\vec{0}\} \iff \text{rg}(f) = \dim E$ ; - $f$ est surjective $\iff \text{Im}\, f = F \iff \text{rg}(f) = \dim F$ ; - Si $\dim E = \dim F$ (cas des endomorphismes), alors : $f$ injective $\iff f$ surjective $\iff f$ bijective. **Exemple** : Pour $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$, on a $\dim \mathbb{R}^3 = 3$, $\dim \ker f = 0$, $\dim \text{Im}\, f = 3$. La formule $3 = 0 + 3$ est bien vérifiée. $f$ est un isomorphisme (bijectif). **Exemple 2** : Soit $g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $g(x, y, z) = (x + y, x + y, z)$. *Noyau* : $g(x, y, z) = (0, 0, 0)$ donne $x + y = 0$ et $z = 0$. Donc $\ker g = \{(x, -x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} = \text{Vect}((1, -1, 0))$. Ainsi $\dim \ker g = 1$. *Image* : $g(x, y, z) = (x+y, x+y, z) = (x+y)(1, 1, 0) + z(0, 0, 1)$. Donc $\text{Im}\, g = \text{Vect}((1, 1, 0), (0, 0, 1))$. Ces deux vecteurs sont libres, donc $\dim \text{Im}\, g = 2$. *Vérification du théorème du rang* : $\dim \mathbb{R}^3 = 3 = 1 + 2 = \dim \ker g + \dim \text{Im}\, g$. ### II.5. Matrice d'une application linéaire dans une base quelconque **Changement de base** : Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ deux bases de $\mathbb{R}^3$. La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans la base $\mathcal{B}$. > **Théorème (Formule de changement de base)** : Si $A$ est la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ et $A'$ la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$, alors : > $$A' = P^{-1} A P$$ > où $P$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$. **Exemple** : Reprenons $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$ avec $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}_0$. Considérons la base $\mathcal{B}' = (\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3)$ avec $\vec{u}_1 = (1, 1, 0)$, $\vec{u}_2 = (1, 0, 1)$, $\vec{u}_3 = (0, 1, 1)$ (déjà étudiée). La matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}_0$ à $\mathcal{B}'$ est : $$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculons $P^{-1}$. On utilise la méthode du pivot de Gauss ou la formule des cofacteurs. $\det P = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 0 = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$. La comatrice : $$C = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Donc $P^{-1} = \frac{1}{\det P} C^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$ Calculons $A' = P^{-1} A P$ : D'abord $AP$ : $$AP = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1+0 & 1+0+0 & 0+1+0 \\ 0+1+0 & 0+0+1 & 0+1+1 \\ 1+0+0 & 1+0+1 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Puis $P^{-1}(AP)$ : $$A' = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculons terme par terme : - $A'_{11} = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$ - $A'_{12} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$ - $A'_{13} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 1$ - $A'_{21} = \frac{1}{2} \cdot 2 + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ - $A'_{22} = \frac{1}{2} \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1$ - $A'_{23} = \frac{1}{2} \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$ - $A'_{31} = (-\frac{1}{2}) \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 = -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ - $A'_{32} = (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 1$ - $A'_{33} = (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1$ Donc $A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. --- ## III. Produit vectoriel : orientation, définition, propriétés, applications géométriques ### III.1. Orientation de l'espace > **Définition (Orientation de l'espace)** : Orienter l'espace $\mathbb{R}^3$, c'est choisir une base $\mathcal{B} = (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ comme base **directe**. Une base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est **directe** si son déterminant dans $\mathcal{B}$ est strictement positif ; elle est **rétrograde** (ou indirecte) si ce déterminant est strictement négatif. **Règle de la main droite** : La base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est directe si, en plaçant le pouce selon $\vec{i}$, l'index selon $\vec{j}$, le majeur plié selon $\vec{k}$, on obtient un trièdre direct. **Exemple** : La base canonique $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ de $\mathbb{R}^3$ est directe. La base $(\vec{e}_2, \vec{e}_1, \vec{e}_3)$ est rétrograde car son déterminant dans la base canonique est $-1$. ### III.2. Définition et expression analytique du produit vectoriel > **Définition (Produit vectoriel)** : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace orienté $\mathbb{R}^3$. Le **produit vectoriel** de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est l'unique vecteur tel que : > - $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ ; > - $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ ; > - La base $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})$ est directe si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires ; > - $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. > **Expression analytique dans la base canonique** : Si $\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ et $\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$, alors : > $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ z_1 x_2 - x_1 z_2 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix}$$ > Ce qui s'écrit aussi sous forme de déterminant symbolique : > $$\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$$ **Exemple** : Soient $\vec{u} = (1, 2, -1)$ et $\vec{v} = (3, 0, 2)$. $$\vec{u} \wedge \vec{v} = (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 0,\ (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 2,\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3) = (4, -5, -6)$$ **Vérification d'orthogonalité** : $\vec{u} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-5) + (-1) \cdot (-6) = 4 - 10 + 6 = 0$. De même, $\vec{v} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) = 3 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) + 2 \cdot (-6) = 12 - 12 = 0$. ### III.3. Propriétés du produit vectoriel > **Propriétés fondamentales** : > 1. **Antisymétrie** : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})$ > 2. **Bilinéarité** : $(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) \wedge \vec{w} = \lambda (\vec{u} \wedge \vec{w}) + \mu (\vec{v} \wedge \vec{w})$ > 3. **Colinéarité** : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires > 4. **Norme** : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2$ (identité de Lagrange) > 5. **Non-associativité** : en général $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w} \neq \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w})$ > 6. **Double produit vectoriel** : $\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ *Démonstration de l'identité de Lagrange* : Par définition, $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin \theta|$ où $\theta = \widehat{\vec{u}, \vec{v}}$. Donc : $$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \sin^2 \theta = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 (1 - \cos^2 \theta) = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \cos^2 \theta$$ Or $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta$, donc $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 \cos^2 \theta$. D'où le résultat. **Exemple de calcul** : Soient $\vec{u} = (1, 0, 2)$ et $\vec{v} = (0, 1, 1)$. - $\vec{u} \wedge \vec{v} = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1,\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-2, -1, 1)$ - $\vec{v} \wedge \vec{u} = (2, 1, -1) = -(\vec{u} \wedge \vec{v})$ : l'antisymétrie est vérifiée. - $\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$, $\|\vec{v}\| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + 0 + 2 = 2$. - $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$. - Vérification de Lagrange : $\|\vec{u}\|^2 \|\vec{v}\|^2 - (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 = 5 \cdot 2 - 4 = 10 - 4 = 6$. C'est bien égal à $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|^2 = 6$. ### III.4. Aire d'un triangle et d'un parallélogramme > **Théorème (Aire et produit vectoriel)** : Soient $A$, $B$, $C$ trois points de l'espace. L'aire du triangle $ABC$ est : > $$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \|$$ > L'aire du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ est $\| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \|$. *Démonstration* : L'aire du triangle est $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC})$. Or $\| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \| = AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC})$. D'où le résultat. **Exemple** : Soient $A(1, 0, 2)$, $B(3, 1, 0)$, $C(2, 2, 1)$. $\overrightarrow{AB} = (2, 1, -2)$ et $\overrightarrow{AC} = (1, 2, -1)$. $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2,\ (-2) \cdot 1 - 2 \cdot (-1),\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (-1 + 4, -2 + 2, 4 - 1) = (3, 0, 3)$ $\| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \| = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ Aire du triangle : $\mathcal{A}_{ABC} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ unités d'aire. ### III.5. Distance d'un point à une droite > **Théorème (Distance d'un point à une droite)** : Soit $\mathcal{D}$ une droite passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$, et soit $M$ un point de l'espace. La distance de $M$ à la droite $\mathcal{D}$ est : > $$d(M, \mathcal{D}) = \frac{\| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \|}{\|\vec{u}\|}$$ *Démonstration* : La distance de $M$ à $\mathcal{D}$ est la distance $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$. L'aire du triangle $AMH$ peut se calculer de deux façons : - $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH$ (base $AH$, hauteur $MH$) ; - $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \|$ (en prenant $\vec{u}$ comme base, la hauteur étant $MH$). En égalisant : $\frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \|$. Or $AH$ est la projection de $AM$ sur $\vec{u}$, donc $AH = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}|}{\|\vec{u}\|}$. Mais plus directement, en prenant le triangle $AMH$ avec $H$ le projeté orthogonal, on a $\| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \| = AM \cdot \|\vec{u}\| \cdot \sin(\widehat{AM, \vec{u}}) = MH \cdot \|\vec{u}\|$ car $MH = AM \cdot \sin(\widehat{AM, \vec{u}})$. D'où $MH = \frac{\| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \|}{\|\vec{u}\|}$. **Exemple** : Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A(1, 2, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u} = (1, -1, 2)$. Calculons la distance du point $M(3, 1, 4)$ à $\mathcal{D}$. $\overrightarrow{AM} = (2, -1, 4)$. $\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = ((-1) \cdot 2 - 4 \cdot (-1),\ 4 \cdot 1 - 2 \cdot 2,\ 2 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) = (-2 + 4, 4 - 4, -2 + 1) = (2, 0, -1)$ $\| \overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} \| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$ $\|\vec{u}\| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ $$d(M, \mathcal{D}) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$$ ### III.6. Distance d'un point à un plan > **Théorème (Distance d'un point à un plan)** : Soit $\mathcal{P}$ un plan passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non colinéaires), et soit $M$ un point de l'espace. La distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$ est : > $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{| \overrightarrow{AM} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v}) |}{\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|}$$ *Démonstration* : Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. Le vecteur $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est normal au plan. La distance $MH$ est la valeur absolue de la projection de $\overrightarrow{AM}$ sur $\vec{n}$ : $$MH = \left| \overrightarrow{AM} \cdot \frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|} \right| = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|\overrightarrow{AM} \cdot (\vec{u} \wedge \vec{v})|}{\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|}$$ **Cas particulier (équation cartésienne)** : Si le plan a pour équation $ax + by + cz + d = 0$, alors la distance de $M(x_0, y_0, z_0)$ au plan est : $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ **Exemple** : Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$. Calculons la distance du point $M(1, 2, -1)$ à $\mathcal{P}$. $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|2 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|2 - 2 - 2 - 3|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5|}{3} = \frac{5}{3}$$ **Exemple avec produit vectoriel** : Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(1, 0, 1)$ et de vecteurs directeurs $\vec{u} = (1, 1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Calculons la distance de $M(2, 3, 1)$ à $\mathcal{P}$. $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1,\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1)$ $\|\vec{n}\| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ $\overrightarrow{AM} = (1, 3, 0)$ $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$ $$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ --- ## IV. Isométries de l'espace : réflexions et demi-tours ### IV.1. Généralités sur les isométries > **Définition (Isométrie)** : Une application $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ est une **isométrie** (ou déplacement si elle conserve l'orientation, antidéplacement sinon) si elle conserve les distances : pour tous points $A, B$ de l'espace, $A'B' = AB$ où $A' = f(A)$ et $B' = f(B)$. > **Théorème (Caractérisation)** : Une application affine $f$ est une isométrie si et seulement si sa partie linéaire $\vec{f}$ est une application linéaire qui conserve la norme : $\|\vec{f}(\vec{u})\| = \|\vec{u}\|$ pour tout vecteur $\vec{u}$. Une telle application linéaire est appelée **transformation orthogonale** ; sa matrice dans une base orthonormée est une **matrice orthogonale** ($A^T A = I_3$). **Propriétés des matrices orthogonales** : - $\det A = \pm 1$ ; - Si $\det A = 1$, l'isométrie est un **déplacement** (rotation, translation, vissage) ; - Si $\det A = -1$, l'isométrie est un **antidéplacement** (réflexion, symétrie glissée). ### IV.2. Réflexions dans l'espace > **Définition (Réflexion par rapport à un plan)** : Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace. La **réflexion** (ou symétrie orthogonale) par rapport à $\mathcal{P}$, notée $s_{\mathcal{P}}$, est l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\mathcal{P}$ est le plan médiateur du segment $[MM']$. Autrement dit, si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$, alors $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $H$ : $\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM}$. **Expression analytique** : Soit $\mathcal{P}$ un plan passant par l'origine, de vecteur normal unitaire $\vec{n} = (a, b, c)$ (avec $a^2 + b^2 + c^2 = 1$). La réflexion par rapport à $\mathcal{P}$ a pour expression : $$s_{\mathcal{P}}(M) = M - 2(\overrightarrow{OM} \cdot \vec{n})\vec{n}$$ En coordonnées, si $M(x, y, z)$ et $M'(x', y', z')$ : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2a^2 & -2ab & -2ac \\ -2ab & 1 - 2b^2 & -2bc \\ -2ac & -2bc & 1 - 2c^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ > **Propriétés** : Une réflexion est une isométrie (antidéplacement), involutive ($s_{\mathcal{P}} \circ s_{\mathcal{P}} = \text{Id}$), et sa matrice est orthogonale de déterminant $-1$. **Exemple** : Réflexion par rapport au plan $xOy$ (plan d'équation $z = 0$). Le vecteur normal est $\vec{n} = (0, 0, 1)$. La matrice est : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ L'expression analytique est $s(x, y, z) = (x, y, -z)$. On vérifie $\det A = -1$ et $A^T A = I_3$. **Exemple 2** : Réflexion par rapport au plan $\mathcal{P} : x + y + z = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n} = (1, 1, 1)$, de norme $\sqrt{3}$. Le vecteur normal unitaire est $\vec{n}_0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. La matrice de la réflexion est : $$A = \begin{pmatrix} 1 - \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & 1 - \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 - \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ Vérifions sur un point : $M(1, 0, 0)$. $s(M) = \frac{1}{3}(1, -2, -2) = \left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$. Vérifions que le milieu de $[MM']$ est dans le plan : $\frac{1 + 1/3}{2} + \frac{0 - 2/3}{2} + \frac{0 - 2/3}{2} = \frac{4/3}{2} + \frac{-2/3}{2} + \frac{-2/3}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$. C'est bien le cas. ### IV.3. Composées de deux réflexions > **Théorème (Composée de deux réflexions)** : > - La composée de deux réflexions par rapport à des plans **parallèles** est une **translation** de vecteur $2\vec{d}$, où $\vec{d}$ est un vecteur normal aux plans, de norme égale à la distance entre les plans, orienté du premier plan vers le second. > - La composée de deux réflexions par rapport à des plans **perpendiculaires** est une **rotation d'angle $\pi$** (demi-tour) autour de la droite d'intersection des deux plans. **Démonstration pour des plans parallèles** : Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans parallèles distincts, de vecteur normal unitaire commun $\vec{n}$, séparés par une distance $d$. On peut écrire $\mathcal{P}_1 : \vec{n} \cdot \vec{x} = c_1$ et $\mathcal{P}_2 : \vec{n} \cdot \vec{x} = c_2$ avec $c_2 - c_1 = d > 0$. Pour un point $M$ de vecteur position $\vec{x}$ : - $s_{\mathcal{P}_1}(M)$ a pour vecteur position $\vec{x}_1 = \vec{x} - 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - c_1)\vec{n}$ ; - $s_{\mathcal{P}_2}(s_{\mathcal{P}_1}(M))$ a pour vecteur position : $$\vec{x}_2 = \vec{x}_1 - 2(\vec{n} \cdot \vec{x}_1 - c_2)\vec{n}$$ Calculons $\vec{n} \cdot \vec{x}_1 = \vec{n} \cdot \vec{x} - 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - c_1)(\vec{n} \cdot \vec{n}) = \vec{n} \cdot \vec{x} - 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - c_1) = -\vec{n} \cdot \vec{x} + 2c_1$. Donc : $$\vec{x}_2 = \vec{x} - 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - c_1)\vec{n} - 2(-\vec{n} \cdot \vec{x} + 2c_1 - c_2)\vec{n}$$ $$= \vec{x} - 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - c_1)\vec{n} + 2(\vec{n} \cdot \vec{x} - 2c_1 + c_2)\vec{n}$$ $$= \vec{x} + (-2\vec{n} \cdot \vec{x} + 2c_1 + 2\vec{n} \cdot \vec{x} - 4c_1 + 2c_2)\vec{n}$$ $$= \vec{x} + (2c_2 - 2c_1)\vec{n} = \vec{x} + 2d\vec{n}$$ C'est bien une translation de vecteur $2d\vec{n}$. **Exemple** : Soient $\mathcal{P}_1 : z = 0$ et $\mathcal{P}_2 : z = 3$. La composée $s_{\mathcal{P}_2} \circ s_{\mathcal{P}_1}$ est la translation de vecteur $6\vec{k}$. Vérification : $s_{\mathcal{P}_1}(x, y, z) = (x, y, -z)$, puis $s_{\mathcal{P}_2}(x, y, -z) = (x, y, 6-(-z)) = (x, y, 6+z)$. Donc $s_{\mathcal{P}_2} \circ s_{\mathcal{P}_1}(x, y, z) = (x, y, z + 6)$. C'est bien la translation de vecteur $(0, 0, 6) = 6\vec{k}$. ### IV.4. Demi-tours dans l'espace > **Définition (Demi-tour)** : Soit $\mathcal{D}$ une droite de l'espace. Le **demi-tour** (ou rotation d'angle $\pi$) autour de $\mathcal{D}$, noté $r_{\mathcal{D}}$, est l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\mathcal{D}$ est la médiatrice du segment $[MM']$. Si $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$, alors $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à $H$ : $\overrightarrow{HM'} = -\overrightarrow{HM}$. **Expression analytique** : Soit $\mathcal{D}$ une droite passant par l'origine, de vecteur directeur unitaire $\vec{u} = (a, b, c)$. Le demi-tour autour de $\mathcal{D}$ a pour expression : $$r_{\mathcal{D}}(M) = 2(\overrightarrow{OM} \cdot \vec{u})\vec{u} - \overrightarrow{OM}$$ En coordonnées, si $M(x, y, z)$ et $M'(x', y', z')$ : $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a^2 - 1 & 2ab & 2ac \\ 2ab & 2b^2 - 1 & 2bc \\ 2ac & 2bc & 2c^2 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$ > **Propriétés** : Un demi-tour est une isométrie (déplacement), involutive ($r_{\mathcal{D}} \circ r_{\mathcal{D}} = \text{Id}$), et sa matrice est orthogonale de déterminant $1$. **Exemple** : Demi-tour autour de l'axe $Oz$ (droite de vecteur directeur $\vec{k} = (0, 0, 1)$). La matrice est : $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ L'expression analytique est $r(x, y, z) = (-x, -y, z)$. On vérifie $\det A = 1$ et $A^T A = I_3$. **Exemple 2** : Demi-tour autour de la droite $\mathcal{D}$ passant par l'origine et de vecteur directeur $\vec{u} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ (bissectrice du trièdre). La matrice est : $$A = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} - 1 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Vérifions sur un point : $M(1, 0, 0)$. $r(M) = \frac{1}{3}(-1, 2, 2) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$. Le milieu de $[MM']$ est $\left(\frac{1 - 1/3}{2}, \frac{0 + 2/3}{2}, \frac{0 + 2/3}{2}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$, qui est bien sur $\mathcal{D}$. ### IV.5. Composées de deux demi-tours > **Théorème (Composée de deux demi-tours)** : > - La composée de deux demi-tours autour de droites **parallèles** est une **translation** de vecteur $2\vec{d}$, où $\vec{d}$ est un vecteur orthogonal aux deux droites, de norme égale à la distance entre les droites, orienté de la première vers la seconde. > - La composée de deux demi-tours autour de droites **sécantes** est une **rotation** autour de la perpendiculaire commune passant par le point d'intersection, d'angle égal au double de l'angle entre les deux droites. > - La composée de deux demi-tours autour de droites **orthogonales sécantes** est un demi-tour autour de la droite perpendiculaire aux deux droites passant par leur point d'intersection. **Démonstration pour des droites parallèles** : Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites parallèles, de vecteur directeur unitaire commun $\vec{u}$, séparées par une distance $d$. Soit $\vec{n}$ un vecteur unitaire orthogonal à $\vec{u}$, perpendiculaire aux deux droites, orienté de $\mathcal{D}_1$ vers $\mathcal{D}_2$. On peut écrire $\mathcal{D}_1 = \{A_1 + t\vec{u}\}$ et $\mathcal{D}_2 = \{A_2 + t\vec{u}\}$ avec $\overrightarrow{A_1A_2} = d\vec{n}$. Pour un point $M$, le demi-tour autour de $\mathcal{D}_1$ donne $M_1$ tel que $\overrightarrow{H_1M_1} = -\overrightarrow{H_1M}$ où $H_1$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}_1$. On peut décomposer $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OH_1} + \overrightarrow{H_1M}$ avec $\overrightarrow{OH_1} \parallel \vec{u}$ et $\overrightarrow{H_1M} \perp \vec{u}$. Alors $\overrightarrow{OM_1} = \overrightarrow{OH_1} - \overrightarrow{H_1M}$. De même, pour le demi-tour autour de $\mathcal{D}_2$ appliqué à $M_1$ : $\overrightarrow{OM_2} = \overrightarrow{OH_2} - \overrightarrow{H_2M_1}$ où $H_2$ est le projeté orthogonal de $M_1$ sur $\mathcal{D}_2$. La composée donne une translation de vecteur $2d\vec{n}$. La démonstration complète utilise la décomposition des vecteurs dans la base $(\vec{u}, \vec{n}, \vec{u} \wedge \vec{n})$. **Exemple** : Demi-tours autour des droites $\mathcal{D}_1 : (x, y, z) = (0, 0, t)$ (axe $Oz$) et $\mathcal{D}_2 : (x, y, z) = (2, 0, t)$ (droite parallèle à $Oz$ passant par $(2, 0, 0)$). $r_{\mathcal{D}_1}(x, y, z) = (-x, -y, z)$. Pour $r_{\mathcal{D}_2}$ : la droite passe par $A_2(2, 0, 0)$ et a pour direction $\vec{k}$. Le projeté orthogonal de $M(x, y, z)$ sur $\mathcal{D}_2$ est $H_2(2, 0, z)$. Donc $r_{\mathcal{D}_2}(x, y, z) = (2 - (x - 2), 0 - y, z) = (4 - x, -y, z)$. Composée : $r_{\mathcal{D}_2} \circ r_{\mathcal{D}_1}(x, y, z) = r_{\mathcal{D}_2}(-x, -y, z) = (4 - (-x), -(-y), z) = (x + 4, y, z)$. C'est bien la translation de vecteur $(4, 0, 0) = 2 \cdot 2 \cdot \vec{i}$, où la distance entre les droites est $d = 2$. ### IV.6. Représentation géométrique des réflexions et demi-tours ```onbuch-svg <svg width="400" height="350" viewBox="0 0 400 350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Plan de réflexion xOy --> <polygon points="50,250 350,250 350,300 50,300" fill="#e0e0ff" stroke="#333" stroke-width="1.5"/> <text x="180" y="290" font-size="14" fill="#333" text-anchor="middle">Plan P (z=0)</text> <!-- Axe Oz --> <line x1="200" y1="250" x2="200" y2="50" stroke="#333" stroke-width="2"/> <text x="210" y="60" font-size="14" fill="#333">z</text> <!-- Point M au-dessus du plan --> <circle cx="250" cy="120" r="4" fill="red"/> <text x="260" y="115" font-size="14" fill="red">M</text> <!-- Point M' en dessous du plan --> <circle cx="250" cy="330" r="4" fill="blue"/> <text x="260" y="345" font-size="14" fill="blue">M'</text> <!-- Segment MM' --> <line x1="250" y1="120" x2="250" y2="330" stroke="red" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,5"/> <!-- Projeté H --> <circle cx="250" cy="250" r="3" fill="green"/> <text x="260" y="255" font-size="14" fill="green">H</text> <!-- Vecteur normal n --> <line x1="200" y1="250" x2="200" y2="180" stroke="purple" stroke-width="2"/> <polygon points="200,180 195,195 205,195" fill="purple"/> <text x="170" y="190" font-size="14" fill="purple">n</text> <!-- Légende --> <text x="30" y="30" font-size="14" fill="#333">Réflexion par rapport au plan P</text> <text x="30" y="50" font-size="12" fill="#333">M' = s_P(M), H milieu de [MM']</text> </svg> ``` ```onbuch-svg <svg width="400" height="350" viewBox="0 0 400 350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Axe de rotation D (axe Oz) --> <line x1="200" y1="300" x2="200" y2="30" stroke="#333" stroke-width="2.5"/> <text x="210" y="40" font-size="14" fill="#333">D (axe Oz)</text> <!-- Point M --> <circle cx="280" cy="150" r="4" fill="red"/> <text x="290" y="145" font-size="14" fill="red">M</text> <!-- Point M' --> <circle cx="120" cy="150" r="4" fill="blue"/> <text x="100" y="145" font-size="14" fill="blue">M'</text> <!-- Segment MM' --> <line x1="280" y1="150" x2="120" y2="150" stroke="red" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,5"/> <!-- Projeté H --> <circle cx="200" cy="150" r="3" fill="green"/> <text x="205" y="170" font-size="14" fill="green">H</text> <!-- Cercle de rotation --> <ellipse cx="200" cy="150" rx="80" ry="20" fill="none" stroke="#999" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <!-- Flèche de rotation --> <path d="M 260 140 A 80 20 0 0 0 140 140" fill="none" stroke="orange" stroke-width="2"/> <polygon points="140,140 148,135 148,145" fill="orange"/> <text x="200" y="125" font-size="12" fill="orange">angle pi</text> <!-- Légende --> <text x="30" y="30" font-size="14" fill="#333">Demi-tour autour de la droite D</text> <text x="30" y="50" font-size="12" fill="#333">M' = r_D(M), H milieu de [MM']</text> </svg> ``` --- ## Conclusion Ce chapitre a permis d'établir les fondements de l'algèbre linéaire en dimension 3, indispensables pour la poursuite d'études scientifiques. Nous avons vu que les espaces vectoriels de dimension 3 sont structurés par leurs bases et leurs sous-espaces, que les applications linéaires sont entièrement décrites par leurs matrices et caractérisées par leur noyau et leur image via le théorème du rang. Le produit vectoriel, outil spécifique à la dimension 3, fournit des formules efficaces pour les calculs d'aires et de distances. Enfin, les isométries — réflexions et demi-tours — illustrent l'interaction profonde entre l'algèbre linéaire et la géométrie, avec des applications directes dans de nombreux domaines (cristallographie, infographie, robotique). La maîtrise de ces outils est essentielle pour aborder sereinement les épreuves du Baccalauréat camerounais et les études supérieures scientifiques.