Produit vectoriel

## Objectifs et prérequis À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - définir le produit vectoriel (ou produit croix) de deux vecteurs de ℝ³ et en interpréter la signification géométrique ; - déterminer l’orientation d’un repère orthonormé à l’aide de la règle de la main droite ; - démontrer les propriétés fondamentales du produit vectoriel (anticommutativité, distributivité, compatibilité avec le produit scalaire, nulliété pour des vecteurs parallèles) ; - calculer le produit vectoriel à partir des coordonnées en utilisant la forme déterminante ; - appliquer le produit vectoriel pour calculer l’aire d’un parallélogramme, d’un triangle, le volume d’un parallélépipède et pour obtenir l’équation d’un plan passant par trois points ; - résoudre des problèmes de physique (moment d’une force) et de géométrie utilisant le produit vectoriel. **Prérequis** : maîtrise des notions de vecteurs dans l’espace (addition, multiplication par un scalaire, produit scalaire, normes, coordonnées), connaissance du repère orthonormé direct et de la notion d’orientation, capacité à calculer un déterminant d’ordre 3. > **À retenir** : le produit vectoriel n’est défini que dans ℝ³ (ou dans les espaces de dimension 3 munis d’un produit scalaire) et donne un vecteur orthogonal aux deux facteurs. --- ## Introduction contextualisée Dans l’étude des mouvements rigides, des champs électromagnétiques ou encore de la géométrie descriptive, il apparaît fréquemment la nécessité de construire un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Le produit vectoriel répond exactement à ce besoin : il associe à un couple ( **u**, **v** ) un troisième vecteur **u** × **v** dont la direction est orthogonale au plan engendré par **u** et **v**, dont le sens est fixé par la règle de la main droite, et dont la magnitude représente l’aire du parallélogramme construit sur **u** et **v**. Cette opération, introduite par Josiah Willard Gibbs au XIXᵉ siècle, est devenue un outil fondamental tant en mathématiques pures qu’en physique appliquée. Le présent chapitre développe successivement la définition géométrique et algébrique du produit vectoriel, ses propriétés essentielles, puis ses diverses applications, conformément aux leçons 20, 21 et 22 du programme officiel du MINESEC/IGE. --- ## I. Leçon 20 : Orientation de l’espace et produit vectoriel ### A. Définition géométrique du produit vectoriel Soient **u** et **v** deux vecteurs non nuls de ℝ³. On note θ l’angle compris entre **u** et **v**, mesuré dans le plan qu’ils déterminent (0 ≤ θ ≤ π). Le **produit vectoriel** de **u** et **v**, noté **u** × **v**, est le vecteur vérifiant : 1. **u** × **v** est orthogonal à la fois à **u** et à **v** ; 2. Son module est donné par $$ \| \mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\sin\theta ; $$ 3. Le triplet ( **u**, **v**, **u** × **v** ) forme un repère **direct** lorsque **u** et **v** sont linéairement indépendants (règle de la main droite). > **À retenir** : la définition ci‑dessus implique que **u** × **v** = **0** si et seulement si **u** et **v** sont colinéaires (θ = 0 ou π). ### B. Orientation de l’espace et règle de la main droite Un repère orthonormé ( **i**, **j**, **k** ) est dit **direct** lorsque la rotation qui porte **i** vers **j** dans le sens trigonométrique positif fait avancer une vis droite dans le sens de **k**. Équivalentement, le déterminant de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs **i**, **j**, **k** vaut +1. > **À retenir** : dans un repère direct, on a **i** × **j** = **k**, **j** × **k** = **i**, **k** × **i** = **j**. ### C. Expression analytique du produit vectoriel Si **u** = (u₁, u₂, u₃) et **v** = (v₁, v₂, v₃) dans le repère canonique direct ( **i**, **j**, **k** ), alors $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \bigl(u_2v_3-u_3v_2\bigr)\mathbf{i} -\bigl(u_1v_3-u_3v_1\bigr)\mathbf{j} +\bigl(u_1v_2-u_2v_1\bigr)\mathbf{k}. $$ > **À retenir** : la formule ci‑dessus se mémorise comme le déterminant d’une 3×3 où la première ligne contient les vecteurs de base. ### D. Démonstration de la relation du module Nous démontrons que $\| \mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\sin\theta$. 1. Partons de l’expression analytique et calculons le carré du norme : $$ \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} = (u_2v_3-u_3v_2)^{2}+(u_1v_3-u_3v_1)^{2}+(u_1v_2-u_2v_1)^{2}. $$ 2. En développant et en regroupant les termes, on obtient $$ \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^{2} = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^{2} = \|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}\cos^{2}\theta = \|\mathbf{u}\|^{2}\|\mathbf{v}\|^{2}\sin^{2}\theta . $$ 3. En prenant la racine carrée (les normes sont positives), on obtient la formule désirée. > **À retenir** : cette démonstration montre que le produit vectoriel mesure l’aire du parallélogramme formé par **u** et **v**. ### E. Exemples résolus **Exemple 1** : Soient **u** = (1, 2, 3) et **v** = (4, 5, 6). Calculer **u** × **v**. *Solution* : $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&3\\ 4&5&6 \end{vmatrix} = (2\cdot6-3\cdot5)\mathbf{i} -(1\cdot6-3\cdot4)\mathbf{j} +(1\cdot5-2\cdot4)\mathbf{k} = (12-15)\mathbf{i}-(6-12)\mathbf{j}+(5-8)\mathbf{k} = -3\mathbf{i}+6\mathbf{j}-3\mathbf{k}. $$ Donc **u** × **v** = (‑3, 6, ‑3). **Exemple 2** : Vérifier que **u** × **v** est orthogonal à **u** et à **v** pour les mêmes vecteurs. *Solution* : Calcul du produit scalaire avec **u** : $$ \mathbf{u}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})= 1(-3)+2(6)+3(-3)= -3+12-9=0. $$ Avec **v** : $$ \mathbf{v}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})= 4(-3)+5(6)+6(-3)= -12+30-18=0. $$ Comme les deux produits scalaires sont nuls, **u** × **v** est bien orthogonal à **u** et **v**. > **À retenir** : l’orthogonalité se vérifie simplement par le produit scalaire nul. --- ## II. Leçon 21 : Propriétés du produit vectoriel ### A. Anticommutativité Pour tout **u**, **v** ∈ ℝ³, $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}= -\,\mathbf{v}\times\mathbf{u}. $$ *Démonstration* : En utilisant la forme déterminante, échanger les deux dernières lignes change le signe du déterminant, d’où le résultat. > **À retenir** : le produit vectoriel n’est pas commutatif ; l’ordre des facteurs change le signe. ### B. Distributivité par rapport à l’addition $$ \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})= \mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}, \qquad (\mathbf{u}+\mathbf{v})\times\mathbf{w}= \mathbf{u}\times\mathbf{w}+\mathbf{v}\times\mathbf{w}. $$ *Démonstration* : La distributivité découle de la linéarité du déterminant par rapport à chacune de ses lignes. > **À retenir** : on peut distribuer le produit vectoriel sur une somme comme pour une multiplication ordinaire. ### C. Compatibilité avec le produit scalaire (triple produit mixte) Le **triple produit mixte** de trois vecteurs **u**, **v**, **w** est défini par $$ [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] = (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{u}&\mathbf{v}&\mathbf{w} \end{pmatrix}. $$ Il possède les propriétés suivantes : - Il est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires (déterminant nul). - Il change de signe lorsqu’on échange deux vecteurs (anticommutativité). - Il est invariant sous une permutation cyclique : $$ [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] =[\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}] =[\mathbf{w},\mathbf{u},\mathbf{v}]. $$ > **À retenir** : le triple produit mixte donne le volume signé du parallélépipède engendré par les trois vecteurs. ### D. Produit vectoriel de vecteurs parallèles Si **u** et **v** sont colinéaires, alors **u** × **v** = **0**. *Preuve* : Dans ce cas, θ = 0 ou π, donc sinθ = 0, et d’après la formule du module, $\| \mathbf{u}\times\mathbf{v}\| =0$, ce qui implique le vecteur nul. > **À retenir** : le produit vectoriel annihile les couples de vecteurs linéairement dépendants. ### E. Formule coordonnée sous forme de déterminant Rappelons la forme déjà donnée : $$ \mathbf{u}\times\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix}. $$ Cette expression permet de calculer rapidement chaque composante. > **À retenir** : la première ligne contient les vecteurs de base, les deux suivantes les composantes de **u** et **v**. ### F. Exemples illustrant les propriétés **Exemple 3** (anticommutativité) : Avec **u** = (1, 0, 0) et **v** = (0, 1, 0), montrer que **u** × **v** = -**v** × **u**. *Solution* : **u** × **v** = (0, 0, 1) (puisque **i** × **j** = **k**). **v** × **u** = (0, 0, ‑1) (puisque **j** × **i** = ‑**k**). Donc **u** × **v** = -**v** × **u**. **Exemple 4** (distributivité) : Soient **u** = (1, 2, 3), **v** = (‑1, 0, 2), **w** = (0, ‑1, 1). Vérifier **u** × (**v**+**w**) = **u** × **v**+**u** × **w**. *Solution* : **v**+**w** = (‑1, ‑1, 3). Calculons **u** × (**v**+**w**) : $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&3\\ -1&-1&3 \end{vmatrix} = (2\cdot3-3\cdot(-1))\mathbf{i} -(1\cdot3-3\cdot(-1))\mathbf{j} +(1\cdot(-1)-2\cdot(-1))\mathbf{k} = (6+3)\mathbf{i}-(3+3)\mathbf{j}+(-1+2)\mathbf{k} = 9\mathbf{i}-6\mathbf{j}+1\mathbf{k}. $$ Calculons séparément **u** × **v** : $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&3\\ -1&0&2 \end{vmatrix} = (2\cdot2-3\cdot0)\mathbf{i} -(1\cdot2-3\cdot(-1))\mathbf{j} +(1\cdot0-2\cdot(-1))\mathbf{k} = 4\mathbf{i}-(2+3)\mathbf{j}+2\mathbf{k} = 4\mathbf{i}-5\mathbf{j}+2\mathbf{k}. $$ Et **u** × **w** : $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&3\\ 0&-1&1 \end{vmatrix} = (2\cdot1-3\cdot(-1))\mathbf{i} -(1\cdot1-3\cdot0)\mathbf{j} +(1\cdot(-1)-2\cdot0)\mathbf{k} = (2+3)\mathbf{i}-(1)\mathbf{j}+(-1)\mathbf{k} = 5\mathbf{i}-1\mathbf{j}-1\mathbf{k}. $$ Addition : $$ (4\mathbf{i}-5\mathbf{j}+2\mathbf{k})+(5\mathbf{i}-1\mathbf{j}-1\mathbf{k}) = 9\mathbf{i}-6\mathbf{j}+1\mathbf{k}, $$ qui coïncide avec le résultat précédent. La distributivité est vérifiée. > **À retenir** : la distributivité permet de décomposer des produits vectoriels complexes en sommes de produits plus simples. ### G. Produit vectoriel et produit scalaire : identité de Lagrange Pour tout **u**, **v**, **w**, **t** ∈ ℝ³, on a $$ (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{t}) = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{t}) - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{t})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}). $$ Cette identité, appelée **identité de Lagrange**, se démontre en développant les deux côtés à l’aide de la forme déterminante ou en utilisant les propriétés du produit mixte. Elle est très utile en mécanique pour simplifier des expressions de moments. > **À retenir** : l’identité de Lagrange relie produit vectoriel et produit scalaire sous une forme quadratique. --- ## III. Leçon 22 : Applications du produit vectoriel ### A. Aire d’un parallélogramme et d’un triangle Soient **AB** et **AC** deux côtés d’un parallélogramme ABCD. L’aire du parallélogramme est $$ \mathcal{A}_{\|\, \|}= \| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|. $$ L’aire du triangle ABC vaut la moitié de celle du parallélogramme : $$ \mathcal{A}_{\triangle}= \frac12\| \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|. $$ > **À retenir** : le module du produit vectoriel donne directement l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. #### Exemple 5 : Aire d’un triangle Soient A(1, 2, 3), B(4, 0, 1), C(‑2, 5, 2). Calculer l’aire du triangle ABC. *Solution* : $\overrightarrow{AB}=B-A=(3,\,-2,\,-2)$ ; $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3,\,3,\,-1)$. Produit vectoriel : $$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 3&-2&-2\\ -3&3&-1 \end{vmatrix} = ((-2)(-1)-(-2)(3))\mathbf{i} -(3(-1)-(-2)(-3))\mathbf{j} +(3\cdot3-(-2)(-3))\mathbf{k} $$ $$ = (2+6)\mathbf{i}-(-3-6)\mathbf{j}+(9-6)\mathbf{k} = 8\mathbf{i}+9\mathbf{j}+3\mathbf{k}. $$ Module : $$ \|8\mathbf{i}+9\mathbf{j}+3\mathbf{k}\| = \sqrt{8^{2}+9^{2}+3^{2}} = \sqrt{64+81+9} = \sqrt{154}. $$ Aire du triangle : $\frac12\sqrt{154}$. > **À retenir** : on obtient l’aire en une seule opération de produit vectoriel suivie d’une norme. ### B. Volume d’un parallélépipède (triple produit mixte) Donné trois vecteurs **u**, **v**, **w** issus d’un même sommet, le volume du parallélépipède qu’ils engendrent vaut $$ \mathcal{V}=|[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]| =|(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}| = \bigl|\det(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\bigr|. $$ > **À retenir** : la valeur absolue du triple produit mixte donne le volume ; le signe indique l’orientation du trièdre. #### Exemple 6 : Volume d’un parallélépipède Soient **u** = (1, 2, 3), **v** = (4, 5, 6), **w** = (7, 8, 9). Calculer le volume. *Solution* : Calcul du déterminant : $$ \det\begin{pmatrix} 1&4&7\\ 2&5&8\\ 3&6&9 \end{pmatrix} = 1\begin{vmatrix}5&8\\6&9\end{vmatrix} -4\begin{vmatrix}2&8\\3&9\end{vmatrix} +7\begin{vmatrix}2&5\\3&6\end{vmatrix} $$ $$ = 1(5\cdot9-8\cdot6)-4(2\cdot9-8\cdot3)+7(2\cdot6-5\cdot3) $$ $$ = 1(45-48)-4(18-24)+7(12-15) $$ $$ = 1(-3)-4(-6)+7(-3) $$ $$ = -3+24-21=0. $$ Le déterminant est nul → les trois vecteurs sont coplanaires → volume = 0. > **À retenir** : un volume nul révèle que les trois vecteurs ne forment pas un parallélépipède « plein » mais sont situés dans un même plan. ### C. Équation d’un plan passant par trois points Soient A, B, C trois points non alignés. Un vecteur normal au plan (ABC) est donné par $$ \mathbf{n}= \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. $$ L’équation cartésienne du plan est alors $$ \mathbf{n}\cdot (\,\mathbf{r}-\overrightarrow{OA}\,)=0, $$ où **r** = (x, y, z) représente un point quelconque du plan et O l’origine du repère. > **À retenir** : le produit vectoriel fournit directement un vecteur normal, d’où l’équation du plan s’obtient en imposant l’orthogonalité avec ce normal. #### Exemple 7 : Équation d’un plan Déterminer l’équation du plan passant par A(1, ‑1, 2), B(3, 0, 5) et C(‑1, 2, 3). *Solution* : $\overrightarrow{AB}= (2,\,1,\,3)$ ; $\overrightarrow{AC}= (-2,\,3,\,1)$. Normal : $$ \mathbf{n}= \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&1&3\\ -2&3&1 \end{vmatrix} = (1\cdot1-3\cdot3)\mathbf{i} -(2\cdot1-3\cdot(-2))\mathbf{j} +(2\cdot3-1\cdot(-2))\mathbf{k} $$ $$ = (1-9)\mathbf{i}-(2+6)\mathbf{j}+(6+2)\mathbf{k} = -8\mathbf{i}-8\mathbf{j}+8\mathbf{k} = -8(1,1,-1). $$ On peut prendre **n** = (‑1, ‑1, 1) (en divisant par –8). Équation : $$ -1(x-1)-1(y+1)+1(z-2)=0 \;\Longrightarrow\; -(x-1)-(y+1)+(z-2)=0 \;\Longrightarrow\; -x+1 -y -1 +z -2 =0 \;\Longrightarrow\; -x -y +z -2 =0 \;\Longrightarrow\; x + y - z + 2 =0. $$ Vérifions pour A : 1 + (‑1) – 2 +2 =0 ✔ B : 3 + 0 –5 +2 =0 ✔ C : (‑1) + 2 –3 +2 =0 ✔ Donc l’équation du plan est : $$ x + y - z + 2 = 0. $$ > **À retenir** : une erreur de signe dans une composante du normal change l’équation ; il faut toujours vérifier avec les points donnés. ### D. Moment d’une force (torque) En physique, le moment d’une force **F** appliquée en un point dont le vecteur position par rapport au pôle O est **r** se définit par $$ \boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F}. $$ Le module du moment vaut $ \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin\theta $, où θ est l’angle entre **r** et **F** ; il mesure la tendance de la force à faire tourner le corps autour de l’axe dirigé par **τ**. > **À retenir** : le produit vectoriel apparaît naturellement dans la définition du moment d’une force. #### Exemple 8 : Moment d’une force Une force **F** = (0, ‑10, 0) N est appliquée au point dont le vecteur position est **r** = (2, 0, 3) m relativement à l’origine. Calculer le moment **τ**. *Solution* : $$ \boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&0&3\\ 0&-10&0 \end{vmatrix} = (0\cdot0-3\cdot(-10))\mathbf{i} -(2\cdot0-3\cdot0)\mathbf{j} +(2\cdot(-10)-0\cdot0)\mathbf{k} $$ $$ = (0+30)\mathbf{i}-(0-0)\mathbf{j}+(-20-0)\mathbf{k} = 30\mathbf{i}+0\mathbf{j}-20\mathbf{k} = (30,0,-20)\;\text{N·m}. $$ Le moment tend à faire tourner le corps autour d’un axe dirigé par le vecteur (30, 0, ‑20). > **À retenir** : le moment est orthogonal au plan formé par **r** et **F** ; sa direction indique l’axe de rotation selon la règle de la main droite. ### E. Rotation d’un vecteur autour d’un axe (formule de Rodrigues, aperçu) Bien que non exigée au bac, il est intéressant de noter que le produit vectoriel permet d’exprimer la rotation d’un vecteur **v** autour d’un axe unité **u** d’un angle θ : $$ \mathbf{v}_{\text{rot}}= \mathbf{v}\cos\theta +(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\sin\theta +\mathbf{u}\,(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})(1-\cos\theta). $$ Cette formule montre clairement le rôle du produit vectoriel dans la composante perpendiculaire à l’axe. > **À retenir** : la formule de Rodrigues utilise à la fois le produit scalaire et le produit vectoriel pour décomposer un vecteur en parties parallèle et perpendiculaire à l’axe de rotation. --- ## Synthèse du chapitre - **Définition** : $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ est orthogonal à **u** et **v**, son module = $\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\sin\theta$, et le triplet (**u**, **v**, **u**×**v**) forme un repère direct si **u** et **v** sont indépendants. - **Orientation** : dans un repère direct, **i**×**j**=**k**, **j**×**k**=**i**, **k**×**i**=**j** (règle de la main droite). - **Formule coordonnée** : $\mathbf{u}\times\mathbf{v}= (u_2v_3-u_3v_2,\;-(u_1v_3-u_3v_1),\;u_1v_2-u_2v_1)$. - **Propriétés** : - Anticommutativité : $\mathbf{u}\times\mathbf{v}= -\mathbf{v}\times\mathbf{u}$. - Distributivité : $\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})= \mathbf{u}\times\mathbf{v}+ \mathbf{u}\times\mathbf{w}$. - Compatibilité avec le produit scalaire : $(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}= \det(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})$ (triple produit mixte). - Nulliété pour des vecteurs colinéaires. - **Applications** : - Aire d’un parallélogramme : $\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|$ ; aire d’un triangle : la moitié. - Volume d’un parallélépipède : $|[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]|$. - Équation d’un plan : $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0$ avec $\mathbf{n}= \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$. - Moment d’une force : $\boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F}$. - **Formules utiles** : identité de Lagrange, formule de Rodrigues (aperçu). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Produit vectoriel (ou produit croix) | Opération binaire sur deux vecteurs de ℝ³ donnant un vecteur orthogonal aux deux, de module $\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \sin\theta$. | | Orientation d’un repère | Propriété d’un repère orthonormé indiquant si la base est directe (déterminant +1) ou indirecte (déterminant –1). | | Règle de la main droite | Convention permettant de déterminer le sens du produit vectoriel : l’index pointe vers **u**, le majeur vers **v**, le pouce indique la direction de **u**×**v**. | | Module (norme) d’un vecteur | Longueur du vecteur, notée $\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$. | | Triple produit mixte | Scalaire $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]=(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}$ égal au déterminant de la matrice formée par les trois vecteurs. | | Coplanarité | Propriété de trois vecteurs situés dans un même plan ; équivalente à un triple produit mixte nul. | | Vecteur normal | Vecteur orthogonal à une surface ou à un plan ; obtenu par produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan. | | Moment d’une force (torque) | Grandeur $\boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ mesurant l’effet de rotation d’une force autour d’un point. | | Aire d’un parallélogramme | Valeur $\Vert \mathbf{u}\times\mathbf{v}\Vert $ où **u** et **v** sont deux côtés consécutifs. | | Volume d’un parallélépipède | Valeur absolue du triple produit mixte $\vert [\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]\vert $. | | Identité de Lagrange | Relation $(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{w}\times\mathbf{t})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{t})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{t})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})$. | | Formule de Rodrigues | Expression de la rotation d’un vecteur autour d’un axe unité **u** d’un angle θ, faisant intervenir produit scalaire et produit vectoriel. | | Base canonique directe | Base {**i**, **j**, **k**} telle que **i**×**j**=**k**, **j**×**k**=**i**, **k**×**i**=**j**. | | Déterminant d’une matrice 3×3 | Fonction donnant le volume signé du parallélépipède engendré par les vecteurs colonnes (ou lignes). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (niveau facile) Soient **a** = (2, ‑1, 3) et **b** = (‑1, 4, 0). 1. Calculer **a**×**b**. 2. Vérifier que le résultat est orthogonal à **a** et à **b**. **Corrigé** 1. $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 2&-1&3\\ -1&4&0 \end{vmatrix} = ((-1)\cdot0-3\cdot4)\mathbf{i} -(2\cdot0-3\cdot(-1))\mathbf{j} +(2\cdot4-(-1)\cdot(-1))\mathbf{k} $$ $$ = (0-12)\mathbf{i}-(0+3)\mathbf{j}+(8-1)\mathbf{k} = -12\mathbf{i}-3\mathbf{j}+7\mathbf{k} = (-12,\,-3,\,7). $$ 2. Produit scalaire avec **a** : $2(-12)+(-1)(-3)+3(7)= -24+3+21=0$. Produit scalaire avec **b** : $(-1)(-12)+4(-3)+0(7)=12-12+0=0$. Les deux produits scalaires sont nuls → orthogonalité vérifiée. --- ### Exercice 2 (niveau intermédiaire) Soient les points A(1, 0, 2), B(‑2, 3, ‑1) et C(4, ‑1, 5). 1. Déterminer un vecteur normal au plan (ABC). 2. Donner l’équation cartésienne du plan passant par A, B, C. **Corrigé** $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,\,3,\,-3)$ ; $\overrightarrow{AC}=C-A=(3,\,-1,\,3)$. Normal : $$ \mathbf{n}= \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -3&3&-3\\ 3&-1&3 \end{vmatrix} = (3\cdot3-(-3)\cdot(-1))\mathbf{i} -((-3)\cdot3-(-3)\cdot3)\mathbf{j} +((-3)\cdot(-1)-3\cdot3)\mathbf{k} $$ $$ = (9-3)\mathbf{i}-(-9+9)\mathbf{j}+(3-9)\mathbf{k} = 6\mathbf{i}+0\mathbf{j}-6\mathbf{k} = (6,0,-6). $$ On peut simplifier en divisant par 6 : **n** = (1, 0, ‑1). Équation du plan : $1(x-1)+0(y-0)+(-1)(z-2)=0$ → $x-1 -z +2 =0$ → $x - z +1 =0$. Vérification avec B : $‑2 - (‑1) +1 =0$ ✔ ; avec C : $4-5+1=0$ ✔. --- ### Exercice 3 (niveau intermédiaire) Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs **u** = (1, 2, ‑1), **v** = (3, 0, 4), **w** = (‑2, 1, 2). **Corrigé** Volume = $|[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]| = |\det(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})|$. $$ \det\begin{pmatrix} 1&3&-2\\ 2&0&1\\ -1&4&2 \end{pmatrix} = 1\begin{vmatrix}0&1\\4&2\end{vmatrix} -3\begin{vmatrix}2&1\\-1&2\end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix}2&0\\-1&4\end{vmatrix} $$ $$ = 1(0\cdot2-1\cdot4)-3(2\cdot2-1\cdot(-1))-2(2\cdot4-0\cdot(-1)) $$ $$ = 1(0-4)-3(4+1)-2(8-0) $$ $$ = -4-3\cdot5-2\cdot8 $$ $$ = -4-15-16 = -35. $$ Valeur absolue : $|\!-35\!| = 35$. Le volume vaut 35 unités³. --- ### Exercice 4 (niveau avancé) Une force **F** = (0, 0, ‑15) N s’applique au point dont le vecteur position est **r** = (4, ‑3, 2) m relativement à l’origine O. 1. Calculer le moment **τ** de cette force par rapport à O. 2. Déterminer l’axe de rotation (direction du moment) et son sens. 3. Quelle est la magnitude du moment ? **Corrigé** 1. $$ \boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 4&-3&2\\ 0&0&-15 \end{vmatrix} = ((-3)\cdot(-15)-2\cdot0)\mathbf{i} -(4\cdot(-15)-2\cdot0)\mathbf{j} +(4\cdot0-(-3)\cdot0)\mathbf{k} $$ $$ = (45-0)\mathbf{i}-(-60-0)\mathbf{j}+(0-0)\mathbf{k} = 45\mathbf{i}+60\mathbf{j}+0\mathbf{k} = (45,\,60,\,0)\;\text{N·m}. $$ 2. L’axe de rotation est dirigé par le vecteur **τ** lui‑même, donc selon la direction (45, 60, 0). On peut le réduire en divisant par 15 : (3, 4, 0). Le sens est donné par la règle de la main droite : si on pointe l’index suivant **r** (de O vers le point d’application) et le majeur suivant **F**, le pouce indique la direction de **τ** (dans le plan xy, vers le premier quadrant). 3. Magnitude : $$ \|\boldsymbol{\tau}\| = \sqrt{45^{2}+60^{2}+0^{2}} = \sqrt{2025+3600} = \sqrt{5625} = 75\;\text{N·m}. $$ --- ### Exercice 5 (niveau avancé) Soient les points P(2, ‑1, 0), Q(0, 3, ‑2) et R(‑1, 0, 4). 1. Montrer que les points P, Q, R ne sont pas alignés. 2. Trouver l’équation du plan (PQR) sous forme paramétrique. 3. Calculer l’aire du triangle PQR. **Corrigé** 1. Vecteurs : $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-2,\,4,\,-2)$ ; $\overrightarrow{PR}=R-P=(-3,\,1,\,4)$. Si les points étaient alignés, $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$ seraient colinéaires, donc leur produit vectoriel serait nul. Calculons : $$ \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -2&4&-2\\ -3&1&4 \end{vmatrix} = (4\cdot4-(-2)\cdot1)\mathbf{i} -((-2)\cdot4-(-2)\cdot(-3))\mathbf{j} +((-2)\cdot1-4\cdot(-3))\mathbf{k} $$ $$ = (16+2)\mathbf{i}-(-8-6)\mathbf{j}+(-2+12)\mathbf{k} = 18\mathbf{i}+14\mathbf{j}+10\mathbf{k} \neq \mathbf{0}. $$ Donc non alignés. 2. Équation paramétrique : on prend P comme point de base et les deux vecteurs directeurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$. $$ (x,y,z)= (2,-1,0)+\lambda(-2,4,-2)+\mu(-3,1,4),\qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. $$ 3. Aire du triangle = $\frac12\|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\|$. Nous avons déjà le produit vectoriel : (18, 14, 10). Son module : $$ \sqrt{18^{2}+14^{2}+10^{2}} = \sqrt{324+196+100} = \sqrt{620} = 2\sqrt{155}. $$ Aire du triangle = $\frac12 \times 2\sqrt{155}= \sqrt{155}$ unités². --- ### Exercice 6 (niveau expert – synthèse) Un corps rigide subit deux forces : - **F₁** = (5, 0, ‑3) N appliquée en A(1, 2, ‑1) ; - **F₂** = (‑2, 4, 1) N appliquée en B(‑3, 0, 2). Le point O est l’origine du repère. 1. Calculer le moment total **τ** des deux forces par rapport à O. 2. Déterminer si le moment total est nul ; interpréter physiquement le résultat. 3. Si le moment n’est pas nul, trouver l’axe de rotation (direction du moment) et son sens. **Corrigé** Moment d’une force : $\boldsymbol{\tau}_i = \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i$, où $\mathbf{r}_i$ est le vecteur position du point d’application. - Pour **F₁** : $\mathbf{r}_A = (1,2,-1)$. $$ \boldsymbol{\tau}_1= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&-1\\ 5&0&-3 \end{vmatrix} = (2\cdot(-3)-(-1)\cdot0)\mathbf{i} -(1\cdot(-3)-(-1)\cdot5)\mathbf{j} +(1\cdot0-2\cdot5)\mathbf{k} $$ $$ = (-6-0)\mathbf{i}-(-3+5)\mathbf{j}+(0-10)\mathbf{k} = -6\mathbf{i}-2\mathbf{j}-10\mathbf{k} = (-6,\,-2,\,-10). $$ - Pour **F₂** : $\mathbf{r}_B = (-3,0,2)$. $$ \boldsymbol{\tau}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -3&0&2\\ -2&4&1 \end{vmatrix} = (0\cdot1-2\cdot4)\mathbf{i} -((-3)\cdot1-2\cdot(-2))\mathbf{j} +((-3)\cdot4-0\cdot(-2))\mathbf{k} $$ $$ = (0-8)\mathbf{i}-(-3+4)\mathbf{j}+(-12-0)\mathbf{k} = -8\mathbf{i}-1\mathbf{j}-12\mathbf{k} = (-8,\,-1,\,-12). $$ - Moment total : $$ \boldsymbol{\tau}= \boldsymbol{\tau}_1+\boldsymbol{\tau}_2 = (-6-8,\,-2-1,\,-10-12) = (-14,\,-3,\,-22). $$ 2. Le moment total n’est pas nul (au moins une composante non nulle). Physiquement, cela signifie que les deux forces produisent un effet de rotation net autour d’un axe passant par O ; le corps ne sera pas en équilibre rotatif. 3. Direction du moment : le vecteur **τ** = (‑14, ‑3, ‑22). On peut le réduire en divisant par le pgcd éventuel (ici 1) ou simplement garder cette direction. Le sens est donné par le vecteur lui‑même ; si on veut l’orienter selon la règle de la main droite, on regarde que le moment pointe dans la direction opposée au vecteur (14, 3, 22) (puisque les composantes sont négatives). Ainsi, l’axe de rotation est la droite passant par O et dirigée par le vecteur (14, 3, 22) (ou son opposé) ; le sens de rotation est tel que, si on regarde depuis l’extrémité du vecteur (14, 3, 22) vers O, la rotation apparaît dans le sens trigonométrique positif (main droite). --- ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre produit vectoriel et produit scalaire** - *Piège* : écrire $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ alors qu’on cherche $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$. - *Comment éviter* : rappeler que le produit scalaire donne un scalaire (mesure de projection) tandis que le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal. Vérifier la nature du résultat attendu avant de commencer le calcul. 2. **Oublier le signe dans la formule coordonnée** - *Piège* : oublier le moins devant la deuxième composante, donnant $(u_2v_3-u_3v_2,\; u_1v_3-u_3v_1,\; u_1v_2-u_2v_1)$. - *Comment éviter* : mémoriser la règle du déterminant : la deuxième ligne (ou colonne) change de signe lorsqu’on la développe. Utiliser la règle du « i, ‑j, k » (i positif, j négatif, k positif). 3. **Prendre la norme du produit vectoriel sans vérifier l’orthogonalité** - *Piège* : utiliser $\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|$ pour calculer une aire alors que les vecteurs sont colinéaires, donnant zéro sans s’en rendre compte. - *Comment éviter* : toujours contrôler si les deux vecteurs sont linéairement indépendants (produit vectoriel non nul) avant d’interpréter le résultat comme aire ou volume. 4. **Mauvaise orientation du normal d’un plan** - *Piège* : prendre le vecteur normal obtenu par produit vectoriel mais l’utiliser directement dans l’équation du plan sans vérifier le signe, ce qui conduit à une équation qui ne vérifie pas les points donnés. - *Comment éviter* : après avoir trouvé **n**, substituer les coordonnées d’un des points connus dans l’équation $\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0$ ; si le résultat n’est pas zéro, changer le signe de **n** (multiplier par –1). 5. **Confondre moment de force et force elle‑même** - *Piège* : croire que le moment a la même unité que la force (newton) au lieu du newton‑mètre. - *Comment éviter* : rappeler la définition $\boldsymbol{\tau}= \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ ; le produit d’une distance (mètre) par une force (newton) donne du N·m. Vérifier toujours l’unité du résultat. 6. **Utiliser la formule du triple produit mixte comme si elle était toujours positive** - *Piège* : écrire $[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}] = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{w}\|$ sans tenir compte du signe. - *Comment éviter* : rappeler que le triple produit mixte donne le volume *signé* ; son signe indique l’orientation du trièdre (**u**, **v**, **w**). Pour le volume absolu, prendre la valeur absolue. --- *Fin du cours.*