Fonctions exponentielles et fonctions puissances

# Fonctions exponentielles et fonctions puissances ## Introduction Les fonctions exponentielles et les fonctions puissances constituent un pilier fondamental de l'analyse mathématique en Terminale C et E. Elles permettent de modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance (démographie, radioactivité, intérêts composés) et généralisent les fonctions polynomiales. Ce chapitre s'appuie sur les notions de limites, de dérivées et d'intégrales déjà acquises, et prépare directement aux épreuves du Baccalauréat camerounais. Nous étudierons d'abord la fonction exponentielle népérienne, puis ses généralisations $a^x$ et enfin les fonctions puissances $x^\alpha$. --- ## I. Fonction exponentielle népérienne : présentation et propriétés ### I.1. Présentation et existence > **Définition (admis)** : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$, non nulle, telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. Cette fonction est appelée **fonction exponentielle népérienne** et est notée $\exp$. **Théorème d'existence et d'unicité** : On admet l'existence et l'unicité de cette fonction. Pour tout réel $x$, on note $\exp(x) = e^x$, où $e$ est le nombre réel défini par $e = \exp(1) \approx 2,71828...$. **Démonstration de l'unicité** : Supposons deux fonctions $f$ et $g$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $f' = f$, $g' = g$, $f(0) = g(0) = 1$. Considérons $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (valable car $g(x) \neq 0$ pour tout $x$, ce que l'on peut démontrer). Alors : $$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} = \frac{f(x)g(x) - f(x)g(x)}{g(x)^2} = 0$$ Donc $h$ est constante, et $h(0) = \frac{1}{1} = 1$, d'où $f = g$. ### I.2. Propriétés algébriques fondamentales > **Propriété fondamentale (relation fonctionnelle)** : Pour tous réels $a$ et $b$ : > $$e^{a+b} = e^a \times e^b$$ **Démonstration** : Fixons $a \in \mathbb{R}$ et considérons la fonction $\varphi(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a}$. Alors $\varphi'(x) = \frac{e^{a+x}}{e^a} = \varphi(x)$ et $\varphi(0) = \frac{e^a}{e^a} = 1$. Par unicité de la fonction exponentielle, $\varphi(x) = e^x$, donc $e^{a+x} = e^a \times e^x$. **Corollaires** (pour tous réels $a$, $b$) : - $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ - $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ - $(e^a)^n = e^{na}$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ - $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ **Exemple numérique** : $e^2 \times e^{-5} = e^{-3} \approx 0,0498$ ; $(e^3)^4 = e^{12} \approx 162754,79$. ### I.3. Propriétés analytiques > **Propriétés** : > - $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. > - $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. > - $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0, +\infty[$. > - Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$. **Démonstration de la croissance** : Puisque $(e^x)' = e^x > 0$ pour tout $x$, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. **Démonstration des limites** : Pour $x > 0$, on peut montrer que $e^x > x$ (par étude de la fonction $g(x) = e^x - x$ qui a un minimum en $x=0$ valant $1$). Donc $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. Pour la limite en $-\infty$, on utilise $e^x = \frac{1}{e^{-x}}$ avec $-x \to +\infty$. > **Conséquence (signe et comparaison)** : Pour tous réels $a$ et $b$ : > $$e^a = e^b \iff a = b \quad \text{et} \quad e^a < e^b \iff a < b$$ --- ## II. Équations et inéquations avec $\exp$ ### II.1. Équations du type $e^{u(x)} = k$ **Méthode générale** : Pour résoudre $e^{u(x)} = k$ où $k$ est une constante réelle : - Si $k \leq 0$ : pas de solution (car $e^{u(x)} > 0$). - Si $k > 0$ : on applique le logarithme (ou l'injectivité) : $u(x) = \ln(k)$. **Exemple 1** : Résoudre $e^{2x-1} = 5$. $$e^{2x-1} = 5 \iff 2x - 1 = \ln 5 \iff 2x = 1 + \ln 5 \iff x = \frac{1 + \ln 5}{2}$$ L'ensemble solution est $S = \left\{ \frac{1 + \ln 5}{2} \right\}$. **Exemple 2** : Résoudre $e^{x^2} = e^{3x-2}$. $$e^{x^2} = e^{3x-2} \iff x^2 = 3x - 2 \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x-1)(x-2) = 0$$ Donc $S = \{1; 2\}$. **Exemple 3** : Résoudre $e^{x} + e^{-x} = 3$. Posons $X = e^x > 0$. Alors $X + \frac{1}{X} = 3$, soit $X^2 - 3X + 1 = 0$. Le discriminant $\Delta = 9 - 4 = 5$, donc $X = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Les deux valeurs sont positives, donc $x = \ln\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)$ ou $x = \ln\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)$. ### II.2. Inéquations du type $e^{u(x)} \geq k$ ou $e^{u(x)} < k$ **Méthode** : On utilise la croissance stricte de $\exp$ : - $e^{u(x)} \geq k$ avec $k > 0$ équivaut à $u(x) \geq \ln k$. - $e^{u(x)} \leq k$ avec $k > 0$ équivaut à $u(x) \leq \ln k$. - Si $k \leq 0$ : $e^{u(x)} \geq k$ est toujours vraie ; $e^{u(x)} \leq k$ n'a pas de solution. **Exemple 4** : Résoudre $e^{3x+1} < 2$. $$e^{3x+1} < 2 \iff 3x + 1 < \ln 2 \iff 3x < \ln 2 - 1 \iff x < \frac{\ln 2 - 1}{3}$$ Donc $S = \left] -\infty, \frac{\ln 2 - 1}{3} \right[$. **Exemple 5** : Résoudre $e^{x^2 - 4} \geq 1$. $$e^{x^2 - 4} \geq 1 = e^0 \iff x^2 - 4 \geq 0 \iff (x-2)(x+2) \geq 0$$ Tableau de signes : $S = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[$. **Exemple 6** : Résoudre $e^{2x} - 5e^x + 6 \leq 0$. Posons $X = e^x > 0$ : $X^2 - 5X + 6 \leq 0$, soit $(X-2)(X-3) \leq 0$. Donc $2 \leq X \leq 3$, c'est-à-dire $2 \leq e^x \leq 3$, d'où $\ln 2 \leq x \leq \ln 3$. Finalement $S = [\ln 2, \ln 3]$. --- ## III. Limites, dérivée de $e^u$ et primitives de $u'e^u$ ### III.1. Limites de référence > **Limites fondamentales** : > $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$$ > $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}^*$$ **Démonstration de $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$** : On sait que $e^x > \frac{x^2}{2}$ pour $x > 0$ (développement limité ou inégalité). Alors $\frac{e^x}{x} > \frac{x}{2}$, et par comparaison, la limite est $+\infty$. **Démonstration de $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$** : C'est la définition du nombre dérivé de $\exp$ en $0$ : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \exp'(0) = e^0 = 1$. **Exemple 7** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$. Posons $t = 2x$, alors $x = \frac{t}{2}$ et $\frac{e^{2x}}{x^3} = \frac{e^t}{(t/2)^3} = \frac{8e^t}{t^3}$. Comme $\lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t^3} = +\infty$, la limite cherchée est $+\infty$. **Exemple 8** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2)$. On factorise : $e^x - x^2 = e^x\left(1 - \frac{x^2}{e^x}\right)$. Or $\frac{x^2}{e^x} \to 0$, donc la limite est $+\infty$. **Exemple 9** : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}$. On écrit $\frac{e^{3x} - 1}{x} = 3 \times \frac{e^{3x} - 1}{3x}$. Posons $t = 3x$, alors $\frac{e^{3x} - 1}{3x} = \frac{e^t - 1}{t} \to 1$. Donc la limite est $3$. ### III.2. Dérivée de $e^u$ > **Théorème** : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : > $$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$ **Démonstration** : C'est la formule de dérivation des fonctions composées : $(e^u)' = u' \cdot e^u$. **Exemple 10** : Dériver $f(x) = e^{3x^2 - 2x + 1}$. On a $u(x) = 3x^2 - 2x + 1$, $u'(x) = 6x - 2$. Donc $f'(x) = (6x - 2)e^{3x^2 - 2x + 1}$. **Exemple 11** : Dériver $g(x) = e^{\sin x}$. $u(x) = \sin x$, $u'(x) = \cos x$, donc $g'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}$. **Exemple 12** : Dériver $h(x) = \frac{e^x}{x}$ pour $x \neq 0$. On utilise la formule du quotient : $h'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$. ### III.3. Primitives de $u'e^u$ > **Théorème** : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $x \mapsto u'(x) e^{u(x)}$ admet pour primitives sur $I$ les fonctions : > $$x \mapsto e^{u(x)} + C \quad (C \in \mathbb{R})$$ **Exemple 13** : Calculer $\int (2x+3) e^{x^2 + 3x} \, dx$. On remarque que $u(x) = x^2 + 3x$ et $u'(x) = 2x + 3$. Donc $\int (2x+3) e^{x^2+3x} \, dx = e^{x^2+3x} + C$. **Exemple 14** : Calculer $\int x e^{x^2} \, dx$. On a $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$. Il faut faire apparaître $u'$ : $\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int 2x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$. **Exemple 15** : Calculer $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$ sur $]0, +\infty[$. Posons $u(x) = \sqrt{x}$, $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Alors $\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} = 2 u'(x) e^{u(x)}$. Donc $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = 2e^{\sqrt{x}} + C$. **Exemple 16** : Calculer $\int_0^1 x e^{x^2} \, dx$. Une primitive est $\frac{1}{2}e^{x^2}$, donc $\int_0^1 x e^{x^2} \, dx = \left[\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}(e - 1)$. --- ## IV. Étude de fonctions définies à l'aide de $\exp$ ### IV.1. Méthodologie générale Pour étudier une fonction $f$ contenant des exponentielles : 1. Déterminer le domaine de définition. 2. Calculer la dérivée $f'$ (en utilisant $(e^u)' = u'e^u$). 3. Étudier le signe de $f'$ (souvent on factorise par $e^{u(x)} > 0$). 4. Dresser le tableau de variations. 5. Calculer les limites aux bornes du domaine. 6. Étudier les branches infinies (asymptotes). 7. Tracer la courbe. ### IV.2. Exemple 17 : étude complète de $f(x) = (x+1)e^{-x}$ **Domaine de définition** : $D_f = \mathbb{R}$. **Limites** : - En $+\infty$ : $f(x) = \frac{x+1}{e^x}$. On sait que $\frac{e^x}{x} \to +\infty$, donc $\frac{x}{e^x} \to 0$ et $\frac{1}{e^x} \to 0$. Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$. - En $-\infty$ : $f(x) = (x+1)e^{-x}$ avec $e^{-x} \to +\infty$ et $x+1 \to -\infty$. Donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$. **Dérivée** : $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x - 1) = -x e^{-x}$. **Signe de $f'$** : $e^{-x} > 0$ pour tout $x$, donc le signe de $f'$ est celui de $-x$. - $f'(x) > 0$ si $x < 0$ ; $f'(x) = 0$ si $x = 0$ ; $f'(x) < 0$ si $x > 0$. **Tableau de variations** : $$f(0) = (0+1)e^0 = 1$$ | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|-----|-----|-----|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ | **Points particuliers** : $f(-1) = 0$ (intersection avec l'axe des abscisses). ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x+1)e^(-x)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x+1)e^(-x)","points":[[-4,-20.09],[-3,-14.78],[-2,-7.39],[-1,0],[0,1],[0.5,0.91],[1,0.74],[1.5,0.56],[2,0.41],[2.5,0.29],[3,0.20],[3.5,0.13],[4,0.09],[4.5,0.06],[5,0.04],[5.5,0.03],[6,0.02],[7,0.01],[8,0.004]]}]} ``` ### IV.3. Exemple 18 : étude de $g(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ **Domaine** : $D_g = \mathbb{R}$ (car $e^x + 1 > 0$). **Limites** : - En $+\infty$ : $g(x) = \frac{e^x}{e^x(1 + e^{-x})} = \frac{1}{1 + e^{-x}} \to 1$. Asymptote horizontale $y = 1$. - En $-\infty$ : $e^x \to 0$, donc $g(x) \to \frac{0}{0+1} = 0$. Asymptote horizontale $y = 0$. **Dérivée** : $g'(x) = \frac{e^x(e^x+1) - e^x \cdot e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0$. **Tableau de variations** : $g$ est strictement croissante de $0$ à $1$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = e^x/(e^x+1)","type":"line","series":[{"label":"g(x) = e^x/(e^x+1)","points":[[-6,0.002],[-5,0.007],[-4,0.018],[-3,0.047],[-2,0.119],[-1,0.269],[0,0.5],[0.5,0.622],[1,0.731],[1.5,0.818],[2,0.881],[2.5,0.924],[3,0.953],[3.5,0.971],[4,0.982],[4.5,0.989],[5,0.993],[5.5,0.996],[6,0.998]]}]} ``` ### IV.4. Exemple 19 : étude de $h(x) = e^x - x - 1$ **Domaine** : $D_h = \mathbb{R}$. **Limites** : - En $+\infty$ : $h(x) = e^x(1 - \frac{x}{e^x} - \frac{1}{e^x}) \to +\infty$ (car $\frac{x}{e^x} \to 0$). - En $-\infty$ : $e^x \to 0$ et $-x - 1 \to +\infty$, donc $h(x) \to +\infty$. **Dérivée** : $h'(x) = e^x - 1$. $h'(x) = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$. $h'(x) < 0$ si $x < 0$ et $h'(x) > 0$ si $x > 0$. **Minimum** : $h(0) = e^0 - 0 - 1 = 0$. Donc $h(x) \geq 0$ pour tout $x$, avec égalité uniquement en $x = 0$. > **Inégalité fondamentale** : Pour tout réel $x$, $e^x \geq x + 1$, avec égalité si et seulement si $x = 0$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de h(x) = e^x - x - 1","type":"line","series":[{"label":"h(x) = e^x - x - 1","points":[[-3,0.05],[-2,0.135],[-1,0.368],[-0.5,0.107],[0,0],[0.5,0.149],[1,0.718],[1.5,1.982],[2,4.389],[2.5,8.682],[3,16.09],[3.5,28.62],[4,49.60],[4.5,84.53],[5,142.41],[5.5,238.69],[6,398.43]]}]} ``` --- ## V. Fonction exponentielle de base $a$ : $\exp_a$ avec $a > 0$ ### V.1. Définition > **Définition** : Soit $a$ un réel strictement positif. La fonction **exponentielle de base $a$**, notée $\exp_a$, est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par : > $$\exp_a(x) = a^x = e^{x \ln a}$$ **Remarque** : Pour $a = e$, on retrouve la fonction exponentielle népérienne : $e^x = e^{x \ln e} = e^x$. ### V.2. Propriétés algébriques Pour tous réels $x$ et $y$, et pour tous $a, b > 0$ : - $a^{x+y} = a^x \times a^y$ - $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ - $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$ - $(a^x)^y = a^{xy}$ - $(ab)^x = a^x \times b^x$ - $\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}$ **Démonstration** : Ces propriétés découlent directement des propriétés de $\exp$ et de $\ln$. Par exemple, $a^{x+y} = e^{(x+y)\ln a} = e^{x\ln a + y\ln a} = e^{x\ln a} \times e^{y\ln a} = a^x \times a^y$. ### V.3. Étude de la fonction $x \mapsto a^x$ **Dérivée** : $(a^x)' = (e^{x\ln a})' = \ln a \cdot e^{x\ln a} = a^x \ln a$. **Sens de variation** : - Si $a > 1$ : $\ln a > 0$, donc $a^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Si $0 < a < 1$ : $\ln a < 0$, donc $a^x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. - Si $a = 1$ : $1^x = 1$ pour tout $x$ (fonction constante). **Limites** : - Si $a > 1$ : $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$. - Si $0 < a < 1$ : $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$. **Exemple 20** : Étudier $f(x) = 2^x$. $f'(x) = 2^x \ln 2 > 0$, donc $f$ est croissante. $f(0) = 1$, $f(1) = 2$, $f(-1) = \frac{1}{2}$. ```onbuch-plot {"title":"Courbes de 2^x et (1/2)^x","type":"line","series":[{"label":"2^x","points":[[-4,0.0625],[-3,0.125],[-2,0.25],[-1,0.5],[0,1],[0.5,1.414],[1,2],[1.5,2.828],[2,4],[2.5,5.657],[3,8],[3.5,11.31],[4,16],[4.5,22.63],[5,32]]},{"label":"(1/2)^x","points":[[-4,16],[-3,8],[-2,4],[-1,2],[0,1],[0.5,0.707],[1,0.5],[1.5,0.354],[2,0.25],[2.5,0.177],[3,0.125],[3.5,0.088],[4,0.0625],[4.5,0.044],[5,0.031]]}]} ``` ### V.4. Équations et inéquations avec $a^x$ **Équation $a^x = k$** (avec $a > 0$, $a \neq 1$) : - Si $k \leq 0$ : pas de solution. - Si $k > 0$ : $a^x = k \iff e^{x\ln a} = k \iff x\ln a = \ln k \iff x = \frac{\ln k}{\ln a}$. **Inéquation $a^x \geq k$** : - Si $a > 1$ : $a^x \geq k \iff x \geq \frac{\ln k}{\ln a}$ (pour $k > 0$). - Si $0 < a < 1$ : $a^x \geq k \iff x \leq \frac{\ln k}{\ln a}$ (pour $k > 0$). **Exemple 21** : Résoudre $3^x = 27$. $3^x = 27 \iff x = \frac{\ln 27}{\ln 3} = \frac{3\ln 3}{\ln 3} = 3$. (Vérification : $3^3 = 27$.) **Exemple 22** : Résoudre $2^x < 8$. $2^x < 8 \iff x < \frac{\ln 8}{\ln 2} = 3$. Donc $S = ]-\infty, 3[$. **Exemple 23** : Résoudre $\left(\frac{1}{3}\right)^x \geq 9$. Ici $a = \frac{1}{3} < 1$, donc l'inégalité s'inverse : $x \leq \frac{\ln 9}{\ln(1/3)} = \frac{\ln 9}{-\ln 3} = -\frac{2\ln 3}{\ln 3} = -2$. Donc $S = ]-\infty, -2]$. --- ## VI. Fonctions du type $x \mapsto x^\alpha$ (fonctions puissances) ### VI.1. Définition et domaine de définition > **Définition** : Soit $\alpha$ un réel. La **fonction puissance** d'exposant $\alpha$ est définie par : > $$f(x) = x^\alpha = e^{\alpha \ln x} \quad \text{pour } x > 0$$ **Cas particuliers** : - Si $\alpha = n \in \mathbb{N}$ : $x^n$ est définie sur $\mathbb{R}$ (fonction polynomiale). - Si $\alpha = \frac{1}{n}$ avec $n$ entier naturel non nul : $x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$ définie sur $[0, +\infty[$ (et sur $\mathbb{R}$ si $n$ est impair). - Si $\alpha = -n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ : $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ définie sur $\mathbb{R}^*$. - Pour $\alpha$ réel quelconque non entier : le domaine est $]0, +\infty[$. ### VI.2. Dérivée et sens de variation > **Théorème** : La fonction $f(x) = x^\alpha$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et : > $$f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$$ **Démonstration** : $f'(x) = (e^{\alpha \ln x})' = \alpha \cdot \frac{1}{x} \cdot e^{\alpha \ln x} = \frac{\alpha}{x} \cdot x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$. **Sens de variation** : - Si $\alpha > 0$ : $f'(x) > 0$ sur $]0, +\infty[$, donc $f$ est strictement croissante. - Si $\alpha < 0$ : $f'(x) < 0$ sur $]0, +\infty[$, donc $f$ est strictement décroissante. - Si $\alpha = 0$ : $f(x) = 1$ (fonction constante). **Limites** : - Si $\alpha > 0$ : $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = +\infty$. - Si $\alpha < 0$ : $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha = 0$. ### VI.3. Représentations graphiques selon la valeur de $\alpha$ **Cas $\alpha > 1$** (ex : $x^2$, $x^3$) : courbe croissante, convexe, passant par $(0,0)$ et $(1,1)$, avec une croissance de plus en plus rapide. **Cas $0 < \alpha < 1$** (ex : $\sqrt{x} = x^{1/2}$) : courbe croissante, concave, passant par $(0,0)$ et $(1,1)$, avec une croissance de plus en plus lente. **Cas $\alpha < 0$** (ex : $x^{-1} = \frac{1}{x}$) : courbe décroissante, asymptote verticale $x = 0$ et asymptote horizontale $y = 0$. ```onbuch-plot {"title":"Fonctions puissances x^alpha","type":"line","series":[{"label":"x^2","points":[[0,0],[0.5,0.25],[1,1],[1.5,2.25],[2,4],[2.5,6.25],[3,9],[3.5,12.25],[4,16],[4.5,20.25],[5,25]]},{"label":"x^(1/2) = sqrt(x)","points":[[0,0],[0.25,0.5],[0.5,0.707],[1,1],[1.5,1.225],[2,1.414],[2.5,1.581],[3,1.732],[3.5,1.871],[4,2],[4.5,2.121],[5,2.236]]},{"label":"x^(-1) = 1/x","points":[[0.2,5],[0.3,3.333],[0.5,2],[0.7,1.429],[1,1],[1.5,0.667],[2,0.5],[2.5,0.4],[3,0.333],[3.5,0.286],[4,0.25],[4.5,0.222],[5,0.2]]}]} ``` ### VI.4. Propriétés algébriques des puissances Pour tous réels $x > 0$, $y > 0$ et tous réels $\alpha$, $\beta$ : - $x^{\alpha + \beta} = x^\alpha \times x^\beta$ - $x^{\alpha - \beta} = \frac{x^\alpha}{x^\beta}$ - $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ - $(xy)^\alpha = x^\alpha \times y^\alpha$ - $\left(\frac{x}{y}\right)^\alpha = \frac{x^\alpha}{y^\alpha}$ **Exemple 24** : Simplifier $A = \frac{x^3 \times x^{-2}}{x^{1/2}}$. $A = x^{3 + (-2) - 1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$. **Exemple 25** : Résoudre $x^{3/2} = 8$ pour $x > 0$. $x^{3/2} = 8 \iff (x^{1/2})^3 = 8 \iff x^{1/2} = 2 \iff x = 4$. Vérification : $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. ### VI.5. Croissances comparées > **Théorème (croissances comparées)** : Pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha > 0$ : > $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\beta} = 0 \text{ pour } \beta > 0$$ **Exemple 26** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$. D'après le théorème, la limite est $+\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. **Exemple 27** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^{x/2}}$. Posons $t = x/2$, alors $x = 2t$ et $\frac{x^3}{e^{x/2}} = \frac{8t^3}{e^t} = 8 \cdot \frac{t^3}{e^t} \to 0$. ### VI.6. Étude complète d'une fonction puissance : $f(x) = x\sqrt{x}$ **Domaine** : $D_f = [0, +\infty[$ (car $\sqrt{x}$ exige $x \geq 0$). **Réécriture** : $f(x) = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$. **Dérivée** : $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2} \geq 0$ sur $[0, +\infty[$. **Tableau de variations** : $f$ est croissante de $f(0) = 0$ à $+\infty$. **Limite en $+\infty$** : $f(x) = x^{3/2} \to +\infty$. **Convexité** : $f''(x) = \frac{3}{4}x^{-1/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}} > 0$, donc $f$ est convexe. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = x*sqrt(x) = x^(3/2)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = x^(3/2)","points":[[0,0],[0.25,0.125],[0.5,0.354],[0.75,0.650],[1,1],[1.25,1.398],[1.5,1.837],[1.75,2.315],[2,2.828],[2.25,3.375],[2.5,3.953],[2.75,4.561],[3,5.196],[3.25,5.859],[3.5,6.548],[3.75,7.262],[4,8],[4.5,9.545],[5,11.18]]}]} ``` ### VI.7. Étude complète : $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ **Domaine** : $D_g = ]0, +\infty[$. **Dérivée** : $g'(x) = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} < 0$. **Limites** : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$ (asymptote verticale $x = 0$) et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$ (asymptote horizontale $y = 0$). ```onbuch-plot {"title":"Courbe de g(x) = 1/sqrt(x)","type":"line","series":[{"label":"g(x) = x^(-1/2)","points":[[0.1,3.162],[0.2,2.236],[0.3,1.826],[0.4,1.581],[0.5,1.414],[0.6,1.291],[0.7,1.195],[0.8,1.118],[0.9,1.054],[1,1],[1.2,0.913],[1.4,0.845],[1.6,0.791],[1.8,0.745],[2,0.707],[2.5,0.632],[3,0.577],[3.5,0.535],[4,0.5],[4.5,0.471],[5,0.447]]}]} ``` --- ## VII. Synthèse et compléments ### VII.1. Tableau récapitulatif des dérivées | Fonction | Dérivée | Domaine de validité | |----------|---------|---------------------| | $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ | | $e^{u(x)}$ | $u'(x)e^{u(x)}$ | où $u$ est dérivable | | $a^x$ | $a^x \ln a$ | $\mathbb{R}$, $a > 0$ | | $x^\alpha$ | $\alpha x^{\alpha-1}$ | $]0, +\infty[$ | ### VII.2. Tableau récapitulatif des primitives | Fonction | Primitive | Domaine | |----------|-----------|---------| | $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $u'(x)e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} + C$ | où $u$ est dérivable | | $x^\alpha$ ($\alpha \neq -1$) | $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$ | $]0, +\infty[$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln\vert x\vert + C$ | intervalle ne contenant pas $0$ | ### VII.3. Exemple 28 : problème de synthèse type Bac On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x$. **1. Limites** : - En $+\infty$ : $f(x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$. Le polynôme tend vers $+\infty$ et $e^x$ aussi, donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - En $-\infty$ : $f(x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$. Le polynôme tend vers $+\infty$ et $e^x \to 0$. On factorise : $f(x) = x^2 e^x(1 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2})$. Or $x^2 e^x \to 0$ (croissance comparée), donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$. L'axe des abscisses est asymptote horizontale en $-\infty$. **2. Dérivée** : $f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x + 2)e^x = e^x(x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) = e^x \cdot x^2$. **3. Signe de $f'$** : $e^x > 0$ et $x^2 \geq 0$, donc $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$, avec $f'(0) = 0$. La fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. **4. Tableau de variations** : $f(0) = 2$. | $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|-----|-----|-----|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | **5. Calcul d'une intégrale** : $\int_0^1 x^2 e^x \, dx$. On intègre par parties deux fois. Posons $u = x^2$, $dv = e^x dx$, alors $du = 2x\,dx$, $v = e^x$. $$\int_0^1 x^2 e^x \, dx = [x^2 e^x]_0^1 - \int_0^1 2x e^x \, dx = e - 2\int_0^1 x e^x \, dx$$ Pour $\int_0^1 x e^x \, dx$ : $u = x$, $dv = e^x dx$, $du = dx$, $v = e^x$. $$\int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = e - (e - 1) = 1$$ Donc $\int_0^1 x^2 e^x \, dx = e - 2 \times 1 = e - 2$. ```onbuch-plot {"title":"Courbe de f(x) = (x^2-2x+2)e^x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = (x^2-2x+2)e^x","points":[[-3,0.736],[-2,0.812],[-1,1.839],[-0.5,2.276],[0,2],[0.5,2.264],[1,2.718],[1.5,4.481],[2,8.155],[2.5,15.90],[3,32.17],[3.5,66.62],[4,140.39],[4.5,299.47],[5,644.83]]}]} ``` ### VII.4. Exemple 29 : équation fonctionnelle Déterminer toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $f'(x) = 2f(x)$ et $f(0) = 3$. **Solution** : On pose $g(x) = f(x)e^{-2x}$. Alors $g'(x) = f'(x)e^{-2x} - 2f(x)e^{-2x} = (f'(x) - 2f(x))e^{-2x} = 0$. Donc $g$ est constante : $g(x) = g(0) = f(0)e^0 = 3$. Ainsi $f(x) = 3e^{2x}$. **Vérification** : $f'(x) = 6e^{2x} = 2 \times 3e^{2x} = 2f(x)$ et $f(0) = 3$. La solution est unique. --- ## Conclusion Les fonctions exponentielles et les fonctions puissances constituent un outil essentiel de l'analyse. La fonction exponentielle népérienne $e^x$ se distingue par ses propriétés remarquables : elle est sa propre dérivée, strictement positive, et sa croissance est plus rapide que celle de toute fonction puissance. Les fonctions $a^x$ généralisent cette notion à une base quelconque, tandis que les fonctions $x^\alpha$ unifient les fonctions polynomiales, les racines et les fonctions inverses. La maîtrise de ces fonctions, de leurs dérivées, primitives et limites, est indispensable pour aborder les chapitres suivants (logarithmes, équations différentielles, intégration) et pour réussir les épreuves du Baccalauréat camerounais. Les techniques étudiées ici — résolution d'équations et d'inéquations, étude de fonctions, calcul de limites par croissances comparées — sont systématiquement mobilisées dans les problèmes d'analyse.