Équations différentielles

# Équations différentielles ## Introduction Les équations différentielles constituent un outil fondamental des mathématiques appliquées. Elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes physiques, biologiques ou économiques où l'on cherche une fonction inconnue à partir de relations liant cette fonction à ses dérivées. En Terminale C et E, l'étude se concentre sur les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants. Ce chapitre vous permettra de résoudre systématiquement ces équations et de déterminer des solutions particulières satisfaisant des conditions initiales, compétence essentielle pour l'épreuve du Baccalauréat. ## I. Présentation et vocabulaire ### 1. Définition d'une équation différentielle > **Définition :** Une **équation différentielle** est une équation dans laquelle l'inconnue est une fonction $y$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et qui fait intervenir $y$ ainsi que ses dérivées successives $y'$, $y''$, etc. **Exemple :** L'équation $y' + 2y = 0$ est une équation différentielle. Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on ait $y'(x) + 2y(x) = 0$. ### 2. Ordre d'une équation différentielle > **Définition :** L'**ordre** d'une équation différentielle est le plus grand entier $n$ tel que la dérivée d'ordre $n$ de la fonction inconnue $y$ apparaisse dans l'équation. **Exemples :** - $y' + 3y = x^2$ est une équation différentielle du **premier ordre** (la dérivée première $y'$ est la dérivée d'ordre maximal). - $y'' - 4y' + 3y = 0$ est une équation différentielle du **second ordre** (la dérivée seconde $y''$ est la dérivée d'ordre maximal). ### 3. Degré d'une équation différentielle > **Définition :** Le **degré** d'une équation différentielle est la puissance la plus élevée à laquelle la dérivée d'ordre maximal est élevée, après avoir éliminé les dénominateurs et les radicaux. **Exemples :** - $y' + 2y = 0$ : le degré est $1$ car $y'$ est à la puissance $1$. - $(y')^2 + y = 0$ : le degré est $2$ car $y'$ est élevée au carré. - $y'' + y' = 0$ : le degré est $1$ car $y''$ est à la puissance $1$. ### 4. Équation différentielle linéaire > **Définition :** Une équation différentielle est dite **linéaire** si elle est de la forme $a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$, où les coefficients $a_i(x)$ et $g(x)$ sont des fonctions de $x$ (ou des constantes). Si $g(x) = 0$, l'équation est dite **homogène** (ou sans second membre) ; sinon, elle est dite **avec second membre**. **Exemple :** $y'' + 3y' - 2y = \sin x$ est une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre. L'équation $y'' + 3y' - 2y = 0$ est son équation homogène associée. ### 5. Solution d'une équation différentielle > **Définition :** On appelle **solution** (ou **intégrale**) d'une équation différentielle sur un intervalle $I$, toute fonction $y$ définie et dérivable (autant de fois que nécessaire) sur $I$, telle que, en remplaçant $y$ et ses dérivées dans l'équation, l'égalité soit vérifiée pour tout $x \in I$. **Exemple :** La fonction $y(x) = e^{-2x}$ est une solution de l'équation $y' + 2y = 0$ sur $\mathbb{R}$ car $y'(x) = -2e^{-2x}$ et donc $y'(x) + 2y(x) = -2e^{-2x} + 2e^{-2x} = 0$. ### 6. Conditions initiales > **Définition :** Une **condition initiale** est une valeur imposée à la fonction solution et/ou à ses dérivées en un point donné $x_0$. Par exemple : $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$. **Exemple :** Pour l'équation $y'' + y = 0$, les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ déterminent une unique solution : $y(x) = \cos x$. --- ## II. Équation différentielle $f' = g$ ### 1. Principe général > **Théorème :** Soit $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Les solutions de l'équation différentielle $y' = g(x)$ sur $I$ sont les fonctions $y$ définies par : $$y(x) = G(x) + C$$ où $G$ est une primitive quelconque de $g$ sur $I$ et $C$ une constante réelle arbitraire. **Démonstration :** - Si $y(x) = G(x) + C$, alors $y'(x) = G'(x) = g(x)$, donc $y$ est solution. - Réciproquement, si $y$ est une solution, alors $(y - G)' = y' - G' = g - g = 0$. La fonction $y - G$ est donc constante sur l'intervalle $I$ (car sa dérivée est nulle), d'où $y(x) = G(x) + C$. ### 2. Exemple résolu **Énoncé :** Résoudre l'équation différentielle $y' = 3x^2 + 2x$ sur $\mathbb{R}$. **Solution :** Une primitive de $g(x) = 3x^2 + 2x$ est $G(x) = x^3 + x^2$. Les solutions sont donc : $$y(x) = x^3 + x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Vérification :** $y'(x) = 3x^2 + 2x$, ce qui correspond bien à $g(x)$. ### 3. Problème de Cauchy > **Définition :** Un **problème de Cauchy** pour l'équation $y' = g(x)$ consiste à trouver la solution vérifiant une condition initiale $y(x_0) = y_0$. **Exemple résolu :** Résoudre $y' = \cos x$ avec $y(0) = 2$. Une primitive de $\cos x$ est $\sin x$. Les solutions sont $y(x) = \sin x + C$. La condition $y(0) = 2$ donne $\sin 0 + C = 2$, donc $C = 2$. La solution unique est : $$y(x) = \sin x + 2$$ ### 4. Cas particulier : $y' = g$ avec $g$ constante Si $g(x) = k$ (constante), alors les solutions sont $y(x) = kx + C$. Ce sont des fonctions affines de pente $k$. ### 5. Exemple avec condition initiale **Énoncé :** Résoudre $y' = \frac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ avec $y(1) = 3$. **Solution :** Une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $]0; +\infty[$ est $\ln x$. Les solutions sont $y(x) = \ln x + C$. La condition $y(1) = 3$ donne $\ln 1 + C = 3$, donc $C = 3$. La solution est : $$y(x) = \ln x + 3$$ ```onbuch-plot {"title":"Courbe de y(x) = ln(x) + 3 sur [0.1, 5]","type":"line","series":[{"label":"y = ln(x) + 3","points":[[0.1,0.697],[0.2,1.391],[0.3,1.797],[0.4,2.084],[0.5,2.307],[0.6,2.489],[0.7,2.643],[0.8,2.777],[0.9,2.895],[1.0,3.0],[1.5,3.405],[2.0,3.693],[2.5,3.916],[3.0,4.099],[3.5,4.253],[4.0,4.386],[4.5,4.504],[5.0,4.609]]}]} ``` --- ## III. Équation différentielle $f' = af$ ### 1. Définition et théorème fondamental > **Définition :** Une équation différentielle de la forme $y' = ay$, où $a$ est une constante réelle, est appelée **équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants**. > **Théorème :** Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions : $$y(x) = Ce^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration :** - **Sens direct :** Soit $y(x) = Ce^{ax}$. Alors $y'(x) = C \cdot a e^{ax} = a \cdot Ce^{ax} = ay(x)$. Donc $y$ est solution. - **Réciproque :** Soit $y$ une solution de $y' = ay$. Considérons la fonction $h(x) = y(x)e^{-ax}$. Alors : $$h'(x) = y'(x)e^{-ax} + y(x)(-a e^{-ax}) = ay(x)e^{-ax} - ay(x)e^{-ax} = 0$$ Donc $h$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $h(x) = C$, d'où $y(x) = Ce^{ax}$. ### 2. Exemple résolu **Énoncé :** Résoudre l'équation différentielle $y' = 3y$ sur $\mathbb{R}$. **Solution :** D'après le théorème, avec $a = 3$, les solutions sont : $$y(x) = Ce^{3x}, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Vérification :** $y'(x) = 3Ce^{3x} = 3y(x)$. ### 3. Problème de Cauchy > **Théorème :** L'équation $y' = ay$ admet une unique solution vérifiant la condition initiale $y(x_0) = y_0$, donnée par : $$y(x) = y_0 e^{a(x - x_0)}$$ **Démonstration :** Les solutions sont $y(x) = Ce^{ax}$. La condition $y(x_0) = y_0$ donne $Ce^{ax_0} = y_0$, donc $C = y_0 e^{-ax_0}$. D'où $y(x) = y_0 e^{-ax_0} e^{ax} = y_0 e^{a(x-x_0)}$. ### 4. Exemple résolu avec condition initiale **Énoncé :** Résoudre $y' = -2y$ avec $y(0) = 5$. **Solution :** Avec $a = -2$ et $y_0 = 5$, $x_0 = 0$ : $$y(x) = 5e^{-2x}$$ ```onbuch-plot {"title":"Courbe de y(x) = 5e^(-2x) sur [0, 3]","type":"line","series":[{"label":"y = 5e^(-2x)","points":[[0,5],[0.15,3.704],[0.3,2.744],[0.45,2.033],[0.6,1.506],[0.75,1.116],[0.9,0.827],[1.05,0.613],[1.2,0.454],[1.35,0.336],[1.5,0.249],[1.65,0.185],[1.8,0.137],[1.95,0.101],[2.1,0.075],[2.25,0.056],[2.4,0.041],[2.55,0.031],[2.7,0.023],[2.85,0.017],[3,0.012]]}]} ``` ### 5. Application à la décroissance radioactive **Exemple :** Une substance radioactive se désintègre selon la loi $N'(t) = -\lambda N(t)$ où $\lambda > 0$ est la constante de désintégration et $N(t)$ le nombre d'atomes au temps $t$. Si $N(0) = N_0$, alors : $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$ La **demi-vie** $T_{1/2}$ est le temps au bout duquel $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ : $$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \iff \frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} \iff \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T_{1/2} \iff T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$ ### 6. Cas particulier : $a = 0$ Si $a = 0$, l'équation devient $y' = 0$, dont les solutions sont les fonctions constantes $y(x) = C$. --- ## IV. Équation différentielle $af'' + bf' + cf = 0$ ### 1. Définition > **Définition :** Une équation différentielle de la forme $ay'' + by' + cy = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$, est appelée **équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants**. ### 2. Équation caractéristique > **Définition :** L'**équation caractéristique** associée à l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ est l'équation algébrique du second degré : $$ar^2 + br + c = 0$$ **Justification :** On cherche des solutions de la forme $y(x) = e^{rx}$ où $r$ est une constante réelle ou complexe. Alors $y'(x) = re^{rx}$ et $y''(x) = r^2 e^{rx}$. En substituant dans l'équation : $$a r^2 e^{rx} + b r e^{rx} + c e^{rx} = 0 \iff e^{rx}(ar^2 + br + c) = 0$$ Comme $e^{rx} \neq 0$ pour tout $x$, il faut $ar^2 + br + c = 0$. ### 3. Résolution selon le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ > **Théorème :** Soit l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ avec $a \neq 0$, et soit $\Delta = b^2 - 4ac$ le discriminant de l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$. > **Cas 1 : $\Delta > 0$** — L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$. Les solutions de l'équation différentielle sont : $$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ > **Cas 2 : $\Delta = 0$** — L'équation caractéristique admet une racine double $r_0 = -\frac{b}{2a}$. Les solutions de l'équation différentielle sont : $$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r_0 x}, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ > **Cas 3 : $\Delta < 0$** — L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$, où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Les solutions de l'équation différentielle sont : $$y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)), \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ ### 4. Démonstration du cas $\Delta > 0$ Soient $r_1$ et $r_2$ les deux racines réelles distinctes. Les fonctions $y_1(x) = e^{r_1 x}$ et $y_2(x) = e^{r_2 x}$ sont solutions (comme montré ci-dessus). Par linéarité de l'équation, toute combinaison linéaire $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ est aussi solution. La réciproque (toute solution est de cette forme) est admise (hors programme). ### 5. Démonstration du cas $\Delta = 0$ La racine double est $r_0 = -\frac{b}{2a}$. La fonction $y_1(x) = e^{r_0 x}$ est solution. Cherchons une seconde solution de la forme $y_2(x) = x e^{r_0 x}$. Alors : $$y_2'(x) = e^{r_0 x} + r_0 x e^{r_0 x} = (1 + r_0 x)e^{r_0 x}$$ $$y_2''(x) = r_0 e^{r_0 x} + r_0(1 + r_0 x)e^{r_0 x} = (2r_0 + r_0^2 x)e^{r_0 x}$$ En substituant dans $ay'' + by' + cy = 0$ : $$a(2r_0 + r_0^2 x)e^{r_0 x} + b(1 + r_0 x)e^{r_0 x} + c x e^{r_0 x} = e^{r_0 x}\left[(ar_0^2 + br_0 + c)x + (2ar_0 + b)\right]$$ Or $ar_0^2 + br_0 + c = 0$ (car $r_0$ est racine) et $2ar_0 + b = 2a\left(-\frac{b}{2a}\right) + b = -b + b = 0$. Donc $y_2$ est bien solution. Toute combinaison linéaire $y(x) = C_1 e^{r_0 x} + C_2 x e^{r_0 x} = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$ est solution. ### 6. Démonstration du cas $\Delta < 0$ Les racines complexes sont $r_1 = \alpha + i\beta$ et $r_2 = \alpha - i\beta$. Les solutions complexes sont $z_1(x) = e^{(\alpha + i\beta)x}$ et $z_2(x) = e^{(\alpha - i\beta)x}$. En utilisant la formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ : $$e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x))$$ $$e^{(\alpha - i\beta)x} = e^{\alpha x}(\cos(\beta x) - i\sin(\beta x))$$ Les combinaisons linéaires réelles $\frac{z_1 + z_2}{2} = e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ et $\frac{z_1 - z_2}{2i} = e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ sont des solutions réelles. Toute combinaison linéaire de ces deux solutions donne la forme annoncée. ### 7. Exemples résolus **Exemple 1 :** Résoudre $y'' - 5y' + 6y = 0$. **Solution :** Équation caractéristique : $r^2 - 5r + 6 = 0$. Discriminant : $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. Racines : $r_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ et $r_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$. Les solutions sont : $$y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ **Exemple 2 :** Résoudre $y'' - 4y' + 4y = 0$. **Solution :** Équation caractéristique : $r^2 - 4r + 4 = 0$. Discriminant : $\Delta = 16 - 16 = 0$. Racine double : $r_0 = \frac{4}{2} = 2$. Les solutions sont : $$y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}, \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ **Exemple 3 :** Résoudre $y'' + 4y = 0$. **Solution :** Équation caractéristique : $r^2 + 4 = 0$. Discriminant : $\Delta = -16 < 0$. Racines : $r = \pm 2i$, donc $\alpha = 0$ et $\beta = 2$. Les solutions sont : $$y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x), \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ **Exemple 4 :** Résoudre $y'' + 2y' + 5y = 0$. **Solution :** Équation caractéristique : $r^2 + 2r + 5 = 0$. Discriminant : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Racines : $r = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$. Donc $\alpha = -1$ et $\beta = 2$. Les solutions sont : $$y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)), \quad C_1, C_2 \in \mathbb{R}$$ ### 8. Détermination de la solution avec conditions initiales > **Théorème :** L'équation $ay'' + by' + cy = 0$ admet une unique solution vérifiant les conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y_1$. **Exemple résolu :** Résoudre $y'' - y' - 2y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$. **Étape 1 :** Équation caractéristique : $r^2 - r - 2 = 0$. Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$. Racines : $r_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$ et $r_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$. **Étape 2 :** Solution générale : $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}$. **Étape 3 :** $y'(x) = 2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x}$. **Étape 4 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 + C_2 = 1$$ $$y'(0) = 2C_1 - C_2 = 0$$ **Étape 5 :** Résolution du système : De la première équation, $C_2 = 1 - C_1$. En substituant dans la seconde : $2C_1 - (1 - C_1) = 0$, donc $3C_1 = 1$, d'où $C_1 = \frac{1}{3}$ et $C_2 = \frac{2}{3}$. **Étape 6 :** Solution unique : $$y(x) = \frac{1}{3}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{-x}$$ ```onbuch-plot {"title":"Solution y(x) = (1/3)e^(2x) + (2/3)e^(-x) sur [-2, 2]","type":"line","series":[{"label":"y(x)","points":[[-2,0.049],[ -1.8,0.065],[-1.6,0.088],[-1.4,0.119],[-1.2,0.162],[-1.0,0.221],[-0.8,0.302],[-0.6,0.414],[-0.4,0.568],[-0.2,0.779],[0,1.0],[0.2,1.287],[0.4,1.662],[0.6,2.153],[0.8,2.798],[1.0,3.646],[1.2,4.760],[1.4,6.224],[1.6,8.151],[1.8,10.687],[2.0,14.023]]}]} ``` **Exemple résolu :** Résoudre $y'' + 2y' + y = 0$ avec $y(0) = 2$ et $y'(0) = -1$. **Étape 1 :** Équation caractéristique : $r^2 + 2r + 1 = 0$. Discriminant : $\Delta = 4 - 4 = 0$. Racine double : $r_0 = -1$. **Étape 2 :** Solution générale : $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}$. **Étape 3 :** $y'(x) = C_2 e^{-x} - (C_1 + C_2 x)e^{-x} = (C_2 - C_1 - C_2 x)e^{-x}$. **Étape 4 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 = 2$$ $$y'(0) = C_2 - C_1 = -1$$ **Étape 5 :** $C_1 = 2$ et $C_2 - 2 = -1$, donc $C_2 = 1$. **Étape 6 :** Solution unique : $$y(x) = (2 + x)e^{-x}$$ **Exemple résolu :** Résoudre $y'' + 4y' + 13y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 2$. **Étape 1 :** Équation caractéristique : $r^2 + 4r + 13 = 0$. Discriminant : $\Delta = 16 - 52 = -36 < 0$. Racines : $r = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$. Donc $\alpha = -2$ et $\beta = 3$. **Étape 2 :** Solution générale : $y(x) = e^{-2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$. **Étape 3 :** Calcul de $y'(x)$ : $$y'(x) = -2e^{-2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) + e^{-2x}(-3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x))$$ $$y'(x) = e^{-2x}\left[(-2C_1 + 3C_2)\cos(3x) + (-2C_2 - 3C_1)\sin(3x)\right]$$ **Étape 4 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 = 1$$ $$y'(0) = -2C_1 + 3C_2 = 2$$ **Étape 5 :** $C_1 = 1$ et $-2 + 3C_2 = 2$, donc $3C_2 = 4$, d'où $C_2 = \frac{4}{3}$. **Étape 6 :** Solution unique : $$y(x) = e^{-2x}\left(\cos(3x) + \frac{4}{3}\sin(3x)\right)$$ --- ## V. Équation différentielle $af'' + bf' + cf = d$ (d constante) ### 1. Structure des solutions > **Théorème :** Soit l'équation différentielle avec second membre constant : $$ay'' + by' + cy = d$$ où $a, b, c, d$ sont des réels avec $a \neq 0$. Les solutions de cette équation sont de la forme : $$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$ où $y_h$ est la solution générale de l'équation homogène associée $ay'' + by' + cy = 0$, et $y_p$ est une **solution particulière** de l'équation complète. **Démonstration :** - Si $y_p$ est une solution particulière et $y_h$ une solution de l'équation homogène, alors $y = y_h + y_p$ vérifie : $$a(y_h + y_p)'' + b(y_h + y_p)' + c(y_h + y_p) = (ay_h'' + by_h' + cy_h) + (ay_p'' + by_p' + cy_p) = 0 + d = d$$ - Réciproquement, si $y$ et $y_p$ sont deux solutions de l'équation complète, alors $y - y_p$ vérifie l'équation homogène, donc $y = y_h + y_p$. ### 2. Recherche d'une solution particulière constante Comme le second membre $d$ est constant, on cherche une solution particulière constante $y_p(x) = K$. En substituant dans l'équation : $y_p' = 0$ et $y_p'' = 0$, donc : $$a \cdot 0 + b \cdot 0 + cK = d \iff cK = d$$ > **Cas 1 : $c \neq 0$** — La solution particulière constante est : $$y_p(x) = \frac{d}{c}$$ > **Cas 2 : $c = 0$ et $b \neq 0$** — On cherche une solution particulière de la forme $y_p(x) = Kx$. Alors $y_p'(x) = K$ et $y_p''(x) = 0$. En substituant : $bK = d$, donc $K = \frac{d}{b}$. La solution particulière est : $$y_p(x) = \frac{d}{b}x$$ > **Cas 3 : $c = 0$ et $b = 0$** — L'équation devient $ay'' = d$, soit $y'' = \frac{d}{a}$. Une solution particulière est $y_p(x) = \frac{d}{2a}x^2$. ### 3. Exemples résolus **Exemple 1 :** Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 6$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' - 3y' + 2y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$. Discriminant : $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$. Racines : $r_1 = 2$ et $r_2 = 1$. Solution homogène : $$y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}$$ **Étape 2 :** Solution particulière : $c = 2 \neq 0$, donc $y_p(x) = \frac{6}{2} = 3$. **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{x} + 3$$ **Vérification :** $y'(x) = 2C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}$, $y''(x) = 4C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}$. Alors $y'' - 3y' + 2y = (4C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}) - 3(2C_1 e^{2x} + C_2 e^{x}) + 2(C_1 e^{2x} + C_2 e^{x} + 3) = 6$. **Exemple 2 :** Résoudre $y'' + 4y = 8$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' + 4y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 + 4 = 0$. Racines : $r = \pm 2i$. Solution homogène : $$y_h(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$$ **Étape 2 :** Solution particulière : $c = 4 \neq 0$, donc $y_p(x) = \frac{8}{4} = 2$. **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + 2$$ **Exemple 3 :** Résoudre $y'' - 2y' = 4$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' - 2y' = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 2r = 0$, soit $r(r - 2) = 0$. Racines : $r_1 = 0$ et $r_2 = 2$. Solution homogène : $$y_h(x) = C_1 + C_2 e^{2x}$$ **Étape 2 :** Ici $c = 0$ et $b = -2 \neq 0$. On cherche $y_p(x) = Kx$. Alors $y_p'(x) = K$ et $y_p''(x) = 0$. En substituant : $-2K = 4$, donc $K = -2$. Solution particulière : $$y_p(x) = -2x$$ **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} - 2x$$ **Exemple 4 :** Résoudre $y'' = 6$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' = 0$. Solution homogène : $y_h(x) = C_1 + C_2 x$. **Étape 2 :** Ici $c = 0$ et $b = 0$. On cherche $y_p(x) = \frac{d}{2a}x^2 = \frac{6}{2}x^2 = 3x^2$. **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 + C_2 x + 3x^2$$ ### 4. Problème de Cauchy avec second membre constant **Exemple résolu :** Résoudre $y'' + y' - 2y = 3$ avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' + y' - 2y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 + r - 2 = 0$. Discriminant : $\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$. Racines : $r_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ et $r_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$. Solution homogène : $$y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}$$ **Étape 2 :** Solution particulière : $c = -2 \neq 0$, donc $y_p(x) = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$. **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} - \frac{3}{2}$$ **Étape 4 :** $y'(x) = C_1 e^{x} - 2C_2 e^{-2x}$. **Étape 5 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 + C_2 - \frac{3}{2} = 0 \implies C_1 + C_2 = \frac{3}{2}$$ $$y'(0) = C_1 - 2C_2 = 1$$ **Étape 6 :** Résolution : De la première équation, $C_1 = \frac{3}{2} - C_2$. En substituant dans la seconde : $\frac{3}{2} - C_2 - 2C_2 = 1$, donc $-3C_2 = -\frac{1}{2}$, d'où $C_2 = \frac{1}{6}$ et $C_1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{9 - 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. **Étape 7 :** Solution unique : $$y(x) = \frac{4}{3}e^{x} + \frac{1}{6}e^{-2x} - \frac{3}{2}$$ ```onbuch-plot {"title":"Solution y(x) = (4/3)e^x + (1/6)e^(-2x) - 3/2 sur [-1, 2]","type":"line","series":[{"label":"y(x)","points":[[-1,-0.761],[-0.8,-0.729],[-0.6,-0.679],[-0.4,-0.607],[-0.2,-0.510],[0,0],[0.2,0.178],[0.4,0.441],[0.6,0.808],[0.8,1.301],[1.0,1.943],[1.2,2.761],[1.4,3.785],[1.6,5.050],[1.8,6.595],[2.0,8.464]]}]} ``` ### 5. Tableau récapitulatif de la solution particulière | Condition | Forme de $y_p$ | |-----------|----------------| | $c \neq 0$ | $y_p(x) = \dfrac{d}{c}$ | | $c = 0$, $b \neq 0$ | $y_p(x) = \dfrac{d}{b}x$ | | $c = 0$, $b = 0$ | $y_p(x) = \dfrac{d}{2a}x^2$ | --- ## VI. Détermination de l'équation caractéristique et résolution complète ### 1. Méthode générale de résolution de $ay'' + by' + cy = 0$ > **Méthode :** Pour résoudre l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ : > 1. Écrire l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$. > 2. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. > 3. Selon le signe de $\Delta$, appliquer le cas correspondant : > - $\Delta > 0$ : $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ > - $\Delta = 0$ : $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$ > - $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ > 4. Si des conditions initiales sont données, déterminer $C_1$ et $C_2$ en résolvant un système linéaire. ### 2. Exemple complet avec conditions initiales **Énoncé :** Résoudre l'équation différentielle $2y'' - 3y' - 2y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = -\frac{1}{2}$. **Étape 1 :** Équation caractéristique : $2r^2 - 3r - 2 = 0$. **Étape 2 :** Discriminant : $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$. **Étape 3 :** Racines : $r_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ et $r_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$. **Étape 4 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-\frac{1}{2}x}$$ **Étape 5 :** $y'(x) = 2C_1 e^{2x} - \frac{1}{2}C_2 e^{-\frac{1}{2}x}$. **Étape 6 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 + C_2 = 1$$ $$y'(0) = 2C_1 - \frac{1}{2}C_2 = -\frac{1}{2}$$ **Étape 7 :** Résolution : De la première équation, $C_2 = 1 - C_1$. En substituant : $2C_1 - \frac{1}{2}(1 - C_1) = -\frac{1}{2}$, donc $2C_1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}C_1 = -\frac{1}{2}$, d'où $\frac{5}{2}C_1 = 0$, donc $C_1 = 0$ et $C_2 = 1$. **Étape 8 :** Solution unique : $$y(x) = e^{-\frac{1}{2}x}$$ ```onbuch-plot {"title":"Solution y(x) = e^(-x/2) sur [0, 6]","type":"line","series":[{"label":"y = e^(-x/2)","points":[[0,1],[0.3,0.861],[0.6,0.741],[0.9,0.638],[1.2,0.549],[1.5,0.472],[1.8,0.407],[2.1,0.350],[2.4,0.301],[2.7,0.259],[3.0,0.223],[3.3,0.192],[3.6,0.165],[3.9,0.142],[4.2,0.122],[4.5,0.105],[4.8,0.091],[5.1,0.078],[5.4,0.067],[5.7,0.058],[6.0,0.050]]}]} ``` ### 3. Exemple avec second membre et conditions initiales **Énoncé :** Résoudre $y'' - 4y' + 4y = 8$ avec $y(0) = 3$ et $y'(0) = 1$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' - 4y' + 4y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 4r + 4 = 0$. Discriminant : $\Delta = 16 - 16 = 0$. Racine double : $r_0 = 2$. Solution homogène : $$y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$$ **Étape 2 :** Solution particulière : $c = 4 \neq 0$, donc $y_p(x) = \frac{8}{4} = 2$. **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + 2$$ **Étape 4 :** $y'(x) = C_2 e^{2x} + 2(C_1 + C_2 x)e^{2x} = (2C_1 + C_2 + 2C_2 x)e^{2x}$. **Étape 5 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 + 2 = 3 \implies C_1 = 1$$ $$y'(0) = 2C_1 + C_2 = 1 \implies 2 + C_2 = 1 \implies C_2 = -1$$ **Étape 6 :** Solution unique : $$y(x) = (1 - x)e^{2x} + 2$$ ### 4. Exemple avec second membre et $c = 0$ **Énoncé :** Résoudre $y'' - y' = 2$ avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$. **Étape 1 :** Équation homogène : $y'' - y' = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - r = 0$, soit $r(r - 1) = 0$. Racines : $r_1 = 0$ et $r_2 = 1$. Solution homogène : $$y_h(x) = C_1 + C_2 e^{x}$$ **Étape 2 :** Ici $c = 0$ et $b = -1 \neq 0$. On cherche $y_p(x) = Kx$. Alors $y_p'(x) = K$ et $y_p''(x) = 0$. En substituant : $-K = 2$, donc $K = -2$. Solution particulière : $$y_p(x) = -2x$$ **Étape 3 :** Solution générale : $$y(x) = C_1 + C_2 e^{x} - 2x$$ **Étape 4 :** $y'(x) = C_2 e^{x} - 2$. **Étape 5 :** Conditions initiales : $$y(0) = C_1 + C_2 = 0$$ $$y'(0) = C_2 - 2 = 0 \implies C_2 = 2$$ **Étape 6 :** $C_1 = -C_2 = -2$. **Étape 7 :** Solution unique : $$y(x) = -2 + 2e^{x} - 2x = 2e^{x} - 2x - 2$$ ### 5. Synthèse : organigramme de résolution Pour résoudre $ay'' + by' + cy = d$ : 1. **Équation homogène** : résoudre $ar^2 + br + c = 0$ pour obtenir $y_h$. 2. **Solution particulière** : chercher $y_p$ selon le tableau (constante, linéaire ou quadratique). 3. **Solution générale** : $y = y_h + y_p$. 4. **Conditions initiales** : résoudre le système pour déterminer $C_1$ et $C_2$. --- ## Conclusion Les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants constituent un outil puissant pour modéliser et résoudre de nombreux problèmes scientifiques. La méthode de résolution repose sur une démarche systématique : identification de l'ordre et du degré, écriture de l'équation caractéristique, détermination des solutions selon le discriminant, et enfin application des conditions initiales pour obtenir une solution unique. Ce chapitre vous permet désormais de : - Reconnaître et classer une équation différentielle (ordre, degré, linéarité) ; - Résoudre les équations du type $y' = g(x)$ par primitivation ; - Résoudre les équations du type $y' = ay$ avec des solutions exponentielles ; - Résoudre les équations homogènes du second ordre $ay'' + by' + cy = 0$ selon les trois cas du discriminant ; - Résoudre les équations avec second membre constant $ay'' + by' + cy = d$ en superposant solution homogène et solution particulière ; - Déterminer l'unique solution satisfaisant des conditions initiales données. Ces compétences sont directement mobilisables dans les épreuves du Baccalauréat camerounais, notamment dans les problèmes portant sur la cinétique chimique, les oscillations mécaniques, les circuits électriques RLC ou encore la croissance de populations. La maîtrise de ce chapitre vous donne également une base solide pour les études supérieures scientifiques.