Suites numériques

# Suites Numériques ## Introduction Les suites numériques constituent un pilier fondamental de l'analyse mathématique. Elles permettent de modéliser des phénomènes discrets (évolution d'une population, intérêts composés, algorithmes itératifs) et servent de passerelle vers la notion de limite, concept central du calcul infinitésimal. Ce chapitre, au programme des Terminales C et E, développe quatre axes majeurs : le raisonnement par récurrence, l'étude des variations et de la borne, la convergence des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$, et la définition rigoureuse de la limite avec le critère d'epsilon ($\varepsilon$). La maîtrise de ces outils est indispensable pour aborder les fonctions, l'analyse et la géométrie dans le supérieur. --- ## I. Raisonnement par récurrence sur $\mathbb{N}$ ### I.1. Principe du raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration utilisée pour prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n \geq n_0$ (où $n_0$ est un entier fixé, souvent $0$ ou $1$). > **Principe de récurrence** : Soit $P(n)$ une propriété dépendant de l'entier $n$. Si : > 1. **Initialisation** : $P(n_0)$ est vraie ; > 2. **Hérédité** : Pour tout $k \geq n_0$, si $P(k)$ est vraie, alors $P(k+1)$ est vraie ; > alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$. **Justification intuitive** : L'initialisation établit la base. L'hérédité permet de "propager" la vérité de proche en proche : $P(n_0) \Rightarrow P(n_0+1) \Rightarrow P(n_0+2) \Rightarrow \dots$ — comme des dominos qui tombent en chaîne. ### I.2. Exemple fondamental : somme des premiers entiers **Énoncé** : Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a : $$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$ **Démonstration** : - **Initialisation** : Pour $n = 1$, $1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$. La propriété est vraie. - **Hérédité** : Supposons que pour un certain $k \geq 1$, on ait $1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que la propriété est vraie au rang $k+1$ : $$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$ La propriété est donc vraie au rang $k+1$. - **Conclusion** : Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout $n \geq 1$. ### I.3. Exemple avec une inégalité **Énoncé** : Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2^n \geq n+1$. **Démonstration** : - **Initialisation** : Pour $n=0$, $2^0 = 1 \geq 0+1 = 1$. Vrai. - **Hérédité** : Supposons $2^k \geq k+1$ pour un certain $k \geq 0$. Alors : $$2^{k+1} = 2 \times 2^k \geq 2(k+1) = 2k + 2.$$ Or $2k + 2 \geq k + 2$ car $k \geq 0$. Donc $2^{k+1} \geq k+2 = (k+1)+1$. La propriété est héréditaire. - **Conclusion** : $2^n \geq n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. ### I.4. Récurrence double ou forte Dans certains cas, l'hérédité au rang $k+1$ nécessite la vérité de $P(k)$ et $P(k-1)$ (récurrence double), ou de tous les $P(j)$ pour $j \leq k$ (récurrence forte). > **Récurrence forte** : Si $P(n_0)$ est vraie et si, pour tout $k \geq n_0$, la vérité de $P(j)$ pour tous les $j$ tels que $n_0 \leq j \leq k$ implique $P(k+1)$, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$. **Exemple classique** : La suite de Fibonacci définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ pour $n \geq 0$. On peut démontrer par récurrence forte que $u_n \geq \left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}$ pour $n \geq 2$. --- ## II. Suites monotones, bornées, majorées, minorées ### II.1. Définitions fondamentales > **Définition (suite majorée, minorée, bornée)** : Soit $(u_n)$ une suite réelle. > - $(u_n)$ est **majorée** s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. $M$ est un majorant. > - $(u_n)$ est **minorée** s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. $m$ est un minorant. > - $(u_n)$ est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe $A > 0$ tel que $|u_n| \leq A$ pour tout $n$. > **Définition (suite monotone)** : Soit $(u_n)$ une suite réelle. > - $(u_n)$ est **croissante** si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. > - $(u_n)$ est **décroissante** si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$. > - $(u_n)$ est **monotone** si elle est croissante ou décroissante. > - $(u_n)$ est **strictement croissante** si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ (idem pour strictement décroissante). ### II.2. Méthodes d'étude de la monotonie **Méthode 1 : Étude du signe de $u_{n+1} - u_n$** Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$, la suite est croissante ; si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, elle est décroissante. **Exemple** : Soit $u_n = \frac{n}{n+1}$. Alors : $$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0.$$ La suite $(u_n)$ est strictement croissante. **Méthode 2 : Comparaison à 1 (pour suites à termes strictement positifs)** Si $u_n > 0$ pour tout $n$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$, la suite est croissante ; si $\frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$, elle est décroissante. **Exemple** : Soit $u_n = \frac{2^n}{n!}$ pour $n \geq 1$. Alors : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}.$$ Pour $n \geq 1$, $\frac{2}{n+1} \leq 1$ dès que $n \geq 1$ (car $n+1 \geq 2$). La suite est décroissante à partir de $n=1$. **Méthode 3 : Utilisation d'une fonction associée** Si $u_n = f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur $[0, +\infty[$ et si $f$ est croissante (resp. décroissante) sur $[0, +\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante (resp. décroissante). **Exemple** : $u_n = \ln(n+1) - \ln(n) = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$. La fonction $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) = \ln(x+1) - \ln(x)$ a pour dérivée $f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)} < 0$. Donc $f$ est décroissante, et $(u_n)$ est décroissante. ### II.3. Suites définies par récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ Pour étudier la monotonie d'une telle suite, on utilise souvent le signe de $f(x) - x$ ou la monotonie de $f$. > **Propriété** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. > - Si $f$ est croissante sur $I$, alors $(u_n)$ est monotone (croissante si $u_1 \geq u_0$, décroissante si $u_1 \leq u_0$). > - Si $f$ est décroissante sur $I$, alors les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones de sens contraires. **Démonstration (cas $f$ croissante)** : Si $u_1 \geq u_0$, alors par croissance de $f$, $u_2 = f(u_1) \geq f(u_0) = u_1$. Par récurrence, $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$. La suite est croissante. Le cas $u_1 \leq u_0$ se traite de manière analogue. ### II.4. Exemple complet : étude d'une suite récurrente **Énoncé** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. **1. Montrer que $(u_n)$ est bornée** : Montrons par récurrence que $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$. - Initialisation : $u_0 = 0$, donc $0 \leq u_0 \leq 2$. - Hérédité : Supposons $0 \leq u_k \leq 2$. Alors $2 \leq u_k + 2 \leq 4$, donc $\sqrt{2} \leq u_{k+1} \leq 2$. En particulier $0 \leq u_{k+1} \leq 2$. - Conclusion : $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$. La suite est bornée (minorée par 0, majorée par 2). **2. Étudier la monotonie** : Considérons $f(x) = \sqrt{x+2}$ sur $[0, 2]$. $f$ est croissante (car $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} > 0$). De plus, $u_1 = \sqrt{2} \approx 1,414 > 0 = u_0$. Donc $(u_n)$ est croissante. **3. Conclusion** : $(u_n)$ est croissante et majorée par 2, donc convergente (théorème de convergence monotone, vu en III). --- ## III. Convergence des suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ ### III.1. Théorème de convergence monotone > **Théorème (convergence monotone)** : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. **Démonstration (admis en Terminale, mais justifiable)** : L'ensemble des termes $\{u_n, n \in \mathbb{N}\}$ est non vide et majoré (si la suite est croissante et majorée). Il admet une borne supérieure $L$. On montre que $(u_n)$ converge vers $L$ : pour tout $\varepsilon > 0$, $L - \varepsilon$ n'est pas un majorant, donc il existe $N$ tel que $u_N > L - \varepsilon$. Comme la suite est croissante, pour tout $n \geq N$, $u_n \geq u_N > L - \varepsilon$, et $u_n \leq L < L + \varepsilon$. Donc $|u_n - L| < \varepsilon$ pour $n \geq N$. ### III.2. Théorème du point fixe > **Théorème (point fixe)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_n \in I$ pour tout $n$. Si $(u_n)$ converge vers une limite $L \in I$, alors $L$ est un point fixe de $f$, c'est-à-dire $f(L) = L$. **Démonstration** : Puisque $u_n \to L$ et $f$ est continue en $L$, on a $f(u_n) \to f(L)$. Or $f(u_n) = u_{n+1} \to L$ (car la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $L$). Par unicité de la limite, $f(L) = L$. ### III.3. Méthode générale d'étude Pour étudier la convergence d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : 1. **Déterminer un intervalle $I$ stable** : $u_0 \in I$ et $f(I) \subset I$. 2. **Étudier la monotonie** de $(u_n)$ (via $f$ ou le signe de $u_{n+1} - u_n$). 3. **Conclure sur la convergence** grâce au théorème de convergence monotone. 4. **Trouver la limite** en résolvant $L = f(L)$ dans $I$. ### III.4. Exemple détaillé : $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ (méthode de Héron) **Énoncé** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ pour $n \geq 0$. **1. Étude de l'intervalle stable** : Montrons que $u_n > 0$ pour tout $n$. $u_0 = 3 > 0$. Si $u_k > 0$, alors $u_{k+1} = \frac{1}{2}\left(u_k + \frac{2}{u_k}\right) > 0$ (somme de deux positifs). Donc $u_n > 0$ pour tout $n$. **2. Minoration** : Montrons que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n \geq 1$. Par l'inégalité $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ pour $a, b \geq 0$ : $$u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right) \geq \frac{1}{2} \times 2\sqrt{u_n \times \frac{2}{u_n}} = \sqrt{2}.$$ Donc pour tout $n \geq 1$, $u_n \geq \sqrt{2}$. **3. Monotonie** : Pour $n \geq 1$ : $$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right) - u_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{u_n} - u_n\right) = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}.$$ Comme $u_n \geq \sqrt{2}$, on a $u_n^2 \geq 2$, donc $2 - u_n^2 \leq 0$. Ainsi $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour $n \geq 1$. La suite est décroissante à partir du rang 1. **4. Convergence** : $(u_n)$ est décroissante à partir du rang 1 et minorée par $\sqrt{2}$. Elle converge vers une limite $L \geq \sqrt{2}$. **5. Calcul de la limite** : $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{2}{x}\right)$ est continue sur $]0, +\infty[$. Donc $L = f(L)$ : $$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{2}{L}\right) \Rightarrow 2L = L + \frac{2}{L} \Rightarrow L = \frac{2}{L} \Rightarrow L^2 = 2.$$ Comme $L \geq \sqrt{2} > 0$, on a $L = \sqrt{2}$. **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}$. ### III.5. Représentation graphique de la convergence (toile d'araignée) Pour visualiser la convergence de $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite $y = x$. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe (obtenant $u_1$), puis on va horizontalement jusqu'à la droite $y=x$, et on répète. ```onbuch-plot {"title":"Convergence de u_{n+1} = 0.5*(u_n + 2/u_n) vers sqrt(2)","type":"line","series":[{"label":"f(x) = 0.5*(x + 2/x)","points":[[0.5,2.25],[0.6,1.9667],[0.7,1.7786],[0.8,1.65],[0.9,1.5611],[1.0,1.5],[1.1,1.4591],[1.2,1.4333],[1.3,1.4192],[1.4,1.4143],[1.5,1.4167],[1.6,1.425],[1.7,1.4382],[1.8,1.4556],[1.9,1.4763],[2.0,1.5],[2.1,1.5262],[2.2,1.5545],[2.3,1.5848],[2.4,1.6167],[2.5,1.65],[2.6,1.6846],[2.7,1.7204],[2.8,1.7571],[2.9,1.7948],[3.0,1.8333]]},{"label":"y = x","points":[[0.5,0.5],[0.6,0.6],[0.7,0.7],[0.8,0.8],[0.9,0.9],[1.0,1.0],[1.1,1.1],[1.2,1.2],[1.3,1.3],[1.4,1.4],[1.5,1.5],[1.6,1.6],[1.7,1.7],[1.8,1.8],[1.9,1.9],[2.0,2.0],[2.1,2.1],[2.2,2.2],[2.3,2.3],[2.4,2.4],[2.5,2.5],[2.6,2.6],[2.7,2.7],[2.8,2.8],[2.9,2.9],[3.0,3.0]]}]} ``` ### III.6. Cas où $f$ est décroissante Si $f$ est décroissante, la suite $(u_n)$ n'est pas monotone en général. On étudie alors les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$. **Exemple** : $u_{n+1} = 2 - u_n$ avec $u_0 = 0$. Alors $u_1 = 2$, $u_2 = 0$, $u_3 = 2$, etc. La suite oscille entre 0 et 2, elle ne converge pas (sauf si $u_0 = 1$, auquel cas elle est constante). **Cas particulier** : Si $f$ est décroissante et que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $L$, alors $(u_n)$ converge vers $L$. --- ## IV. Limite d'une suite avec le critère d'epsilon ($\varepsilon$) ### IV.1. Définition formelle de la limite > **Définition (limite finie)** : Soit $(u_n)$ une suite réelle et $L$ un réel. On dit que $(u_n)$ **converge vers $L$** (ou que sa limite est $L$) si, pour tout réel $\varepsilon > 0$, il existe un entier naturel $N$ (dépendant de $\varepsilon$) tel que, pour tout $n \geq N$, on ait : $$|u_n - L| < \varepsilon.$$ On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. **Interprétation** : Pour toute précision $\varepsilon$ (aussi petite soit-elle), tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$ sont dans l'intervalle $]L - \varepsilon, L + \varepsilon[$. > **Définition (limite infinie)** : On dit que $(u_n)$ **tend vers $+\infty$** si, pour tout réel $A > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n > A$. On définit de manière analogue la limite $-\infty$. ### IV.2. Exemple de démonstration avec $\varepsilon$ **Énoncé** : Démontrer que $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n+1}{n+2} = 3$. **Démonstration** : Soit $\varepsilon > 0$ fixé. On cherche $N$ tel que pour tout $n \geq N$ : $$\left|\frac{3n+1}{n+2} - 3\right| < \varepsilon.$$ Calculons : $$\left|\frac{3n+1}{n+2} - 3\right| = \left|\frac{3n+1 - 3(n+2)}{n+2}\right| = \left|\frac{3n+1 - 3n - 6}{n+2}\right| = \left|\frac{-5}{n+2}\right| = \frac{5}{n+2}.$$ On veut $\frac{5}{n+2} < \varepsilon$, c'est-à-dire $n+2 > \frac{5}{\varepsilon}$, soit $n > \frac{5}{\varepsilon} - 2$. Choisissons $N = \left\lfloor \frac{5}{\varepsilon} - 2 \right\rfloor + 1$ (la partie entière plus 1, pour garantir $N > \frac{5}{\varepsilon} - 2$). Alors pour tout $n \geq N$ : $$n \geq N > \frac{5}{\varepsilon} - 2 \Rightarrow n + 2 > \frac{5}{\varepsilon} \Rightarrow \frac{5}{n+2} < \varepsilon.$$ Donc $|u_n - 3| < \varepsilon$ pour tout $n \geq N$. Par définition, $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n+1}{n+2} = 3$. ### IV.3. Exemple avec une suite définie par récurrence **Énoncé** : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1$. Montrer que $(u_n)$ converge vers 2 en utilisant la définition avec $\varepsilon$. **Démonstration** : - **Étape 1** : Montrons par récurrence que $u_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$. - Initialisation : $u_0 = 1 = 2 - 1 = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$. Vrai. - Hérédité : $u_{k+1} = \frac{u_k}{2} + 1 = \frac{2 - \left(\frac{1}{2}\right)^k}{2} + 1 = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1} + 1 = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}$. Vrai. - Conclusion : $u_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n$. - **Étape 2** : Soit $\varepsilon > 0$. On a : $$|u_n - 2| = \left|2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2\right| = \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ On veut $\left(\frac{1}{2}\right)^n < \varepsilon$, soit $2^n > \frac{1}{\varepsilon}$, donc $n > \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$. - **Étape 3** : Choisissons $N = \left\lfloor \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right) \right\rfloor + 1$. Pour tout $n \geq N$, on a $n > \log_2\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$, donc $\left(\frac{1}{2}\right)^n < \varepsilon$, et $|u_n - 2| < \varepsilon$. - **Conclusion** : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$. ### IV.4. Propriétés des limites > **Propriétés (opérations sur les limites)** : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes avec $\lim u_n = L$ et $\lim v_n = L'$. > - $\lim (u_n + v_n) = L + L'$ ; > - $\lim (u_n \times v_n) = L \times L'$ ; > - Si $L' \neq 0$, $\lim \left(\frac{u_n}{v_n}\right) = \frac{L}{L'}$ (avec $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang) ; > - $\lim |u_n| = |L|$. > **Théorème (unicité de la limite)** : Si une suite converge, sa limite est unique. > **Théorème (encadrement ou des gendarmes)** : Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ pour tout $n$ (à partir d'un certain rang) et si $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$. **Exemple d'application du théorème des gendarmes** : Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. Pour tout $n \geq 1$, $-1 \leq \sin(n) \leq 1$, donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin(n)}{n} \leq \frac{1}{n}$. Or $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$. Par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0$. ### IV.5. Lien entre convergence et bornitude > **Propriété** : Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse (par exemple $u_n = (-1)^n$ est bornée mais ne converge pas). **Démonstration** : Si $(u_n)$ converge vers $L$, alors pour $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $|u_n - L| < 1$, donc $|u_n| < |L| + 1$. Pour $n < N$, l'ensemble fini $\{u_0, u_1, \dots, u_{N-1}\}$ est borné par $M = \max\{|u_0|, |u_1|, \dots, |u_{N-1}|\}$. Donc pour tout $n$, $|u_n| \leq \max(M, |L|+1)$. La suite est bornée. --- ## Conclusion Ce chapitre a établi les fondements de l'étude des suites numériques. Le raisonnement par récurrence fournit un outil de démonstration puissant pour établir des propriétés sur $\mathbb{N}$. L'étude de la monotonie et de la bornitude permet de caractériser le comportement qualitatif d'une suite. Le théorème de convergence monotone et le théorème du point fixe offrent des critères efficaces pour établir la convergence des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$, largement utilisées en modélisation. Enfin, la définition rigoureuse de la limite avec $\varepsilon$ constitue le socle de l'analyse mathématique : elle permet de démontrer formellement les convergences et prépare aux notions de continuité et de limite de fonctions étudiées en Terminale et dans le supérieur. La maîtrise conjointe de ces quatre aspects est essentielle pour réussir les épreuves du Baccalauréat camerounais et aborder sereinement les études supérieures scientifiques.