Statistiques à deux variables

# Statistiques à deux variables ## Introduction Les statistiques à deux variables, ou statistiques bivariées, constituent un outil fondamental pour l'étude des relations entre deux caractères quantitatifs observés sur une même population. Contrairement aux statistiques à une variable qui décrivent un seul caractère, l'analyse bidimensionnelle cherche à mettre en évidence une éventuelle liaison entre deux grandeurs, à la quantifier et à l'exploiter pour des prévisions. Ce chapitre, d'une importance capitale pour les séries C et E, développe les outils de représentation (tableaux à double entrée, nuages de points), les méthodes d'ajustement (droite de Mayer, méthode des moindres carrés), ainsi que les indicateurs de corrélation (covariance, coefficient de corrélation linéaire). Ces techniques trouvent des applications dans de nombreux domaines : économie, physique, biologie, sciences sociales, etc. --- ## I. Tableaux à double entrée, séries marginales, nuage de points ### I.1. Tableau à double entrée Soit une population de $n$ individus sur laquelle on observe deux caractères quantitatifs $X$ et $Y$. On note $(x_i, y_i)$ les valeurs prises par ces deux caractères pour le $i$-ème individu, avec $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$. **Définition :** Un tableau à double entrée est un tableau croisant les modalités (ou valeurs) de la variable $X$ en lignes et celles de la variable $Y$ en colonnes, où chaque case contient l'effectif $n_{ij}$ correspondant au nombre d'individus présentant simultanément la valeur $x_i$ de $X$ et la valeur $y_j$ de $Y$. > **À retenir :** Un tableau à double entrée croise deux variables $X$ et $Y$. L'effectif conjoint $n_{ij}$ représente le nombre d'individus ayant simultanément la valeur $x_i$ pour $X$ et $y_j$ pour $Y$. On a : $\sum_{i}\sum_{j} n_{ij} = n$, où $n$ est l'effectif total de la population. **Exemple :** On étudie la taille (en cm) et le poids (en kg) de 20 élèves d'une classe de Terminale C. | Taille $X$ (cm) | Poids $Y$ (kg) | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | Total | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 160-165 | 1 | 2 | 1 | 0 | 4 | | 165-170 | 0 | 3 | 4 | 1 | 8 | | 170-175 | 0 | 1 | 3 | 2 | 6 | | 175-180 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | | **Total** | **1** | **6** | **9** | **4** | **20** | ### I.2. Séries marginales **Définition :** Les séries marginales sont les séries statistiques obtenues en considérant séparément chacune des deux variables, en ignorant l'autre. La série marginale de $X$ est obtenue en sommant les effectifs sur chaque ligne ; la série marginale de $Y$ en sommant sur chaque colonne. > **À retenir :** Les effectifs marginaux de $X$ sont $n_{i\cdot} = \sum_{j} n_{ij}$ et ceux de $Y$ sont $n_{\cdot j} = \sum_{i} n_{ij}$. Les fréquences marginales sont $f_{i\cdot} = \frac{n_{i\cdot}}{n}$ et $f_{\cdot j} = \frac{n_{\cdot j}}{n}$. Dans l'exemple ci-dessus, la série marginale de $X$ est : $(160-165 : 4), (165-170 : 8), (170-175 : 6), (175-180 : 2)$ et celle de $Y$ est : $(50-55 : 1), (55-60 : 6), (60-65 : 9), (65-70 : 4)$. ### I.3. Nuage de points **Définition :** Le nuage de points (ou diagramme de dispersion) est la représentation graphique de la série statistique double dans un repère orthogonal. Chaque individu $i$ est représenté par le point $M_i(x_i, y_i)$. **Définition :** Le point moyen (ou point moyen du nuage) est le point $G(\bar{x}, \bar{y})$ où $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ sont les moyennes arithmétiques des séries marginales. > **À retenir :** Le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$ est le centre de gravité du nuage de points. Toute droite d'ajustement affine raisonnable doit passer par ce point. **Exemple numérique :** Considérons la série double suivante (données non groupées) : | $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | $y_i$ | 2,5 | 3,2 | 4,1 | 5,0 | 5,8 | 6,9 | 7,5 | 8,4 | Calculons les moyennes : $$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8} = \frac{36}{8} = 4,5$$ $$\bar{y} = \frac{2,5+3,2+4,1+5,0+5,8+6,9+7,5+8,4}{8} = \frac{43,4}{8} = 5,425$$ Le point moyen est $G(4,5 ; 5,425)$. ```onbuch-plot {"title":"Nuage de points et point moyen G(4,5 ; 5,425)","type":"line","series":[{"label":"Nuage de points","points":[[1,2.5],[2,3.2],[3,4.1],[4,5.0],[5,5.8],[6,6.9],[7,7.5],[8,8.4]]},{"label":"Point moyen G","points":[[4.5,5.425]]}]} ``` --- ## II. Ajustements linéaires : droite de Mayer ### II.1. Principe de l'ajustement linéaire **Définition :** Ajuster une série statistique double par une droite, c'est déterminer une droite $\Delta$ d'équation $y = ax + b$ qui « passe au plus près » des points du nuage, afin de modéliser la relation entre $X$ et $Y$. > **À retenir :** L'ajustement linéaire consiste à trouver une droite $y = ax + b$ qui résume au mieux la relation entre les deux variables. Cette droite servira ensuite à faire des prévisions. ### II.2. Méthode de Mayer (ou méthode des points extrêmes) **Principe :** La méthode de Mayer consiste à : 1. Ordonner les points selon les valeurs croissantes de $x$. 2. Partager le nuage en deux sous-nuages de même effectif (ou d'effectifs aussi proches que possible) : le premier sous-nuage contient les points de plus petites abscisses, le second les points de plus grandes abscisses. 3. Calculer le point moyen $G_1$ du premier sous-nuage et le point moyen $G_2$ du second sous-nuage. 4. La droite de Mayer est la droite $(G_1G_2)$. **Définition :** La droite de Mayer est la droite passant par les deux points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux sous-nuages obtenus par partage du nuage en deux groupes d'effectifs égaux (ou quasi égaux). > **À retenir :** La droite de Mayer est la droite passant par les points moyens $G_1$ et $G_2$ des deux sous-nuages. Son équation est $y = ax + b$ avec $a = \frac{y_{G_2} - y_{G_1}}{x_{G_2} - x_{G_1}}$ et $b = y_{G_1} - a \cdot x_{G_1}$. ### II.3. Exemple détaillé Reprenons la série précédente avec $n = 8$ points. On partage en deux groupes de 4 points : - Groupe 1 : points d'abscisses 1, 2, 3, 4 - Groupe 2 : points d'abscisses 5, 6, 7, 8 Calculons les points moyens : $$G_1 : \bar{x}_1 = \frac{1+2+3+4}{4} = 2,5 \quad ; \quad \bar{y}_1 = \frac{2,5+3,2+4,1+5,0}{4} = \frac{14,8}{4} = 3,7$$ $$G_2 : \bar{x}_2 = \frac{5+6+7+8}{4} = 6,5 \quad ; \quad \bar{y}_2 = \frac{5,8+6,9+7,5+8,4}{4} = \frac{28,6}{4} = 7,15$$ La droite de Mayer a pour coefficient directeur : $$a = \frac{7,15 - 3,7}{6,5 - 2,5} = \frac{3,45}{4} = 0,8625$$ L'ordonnée à l'origine : $$b = 3,7 - 0,8625 \times 2,5 = 3,7 - 2,15625 = 1,54375$$ L'équation de la droite de Mayer est donc : $$y = 0,8625x + 1,54375$$ **Vérification :** Le point moyen général $G(4,5 ; 5,425)$ appartient-il à cette droite ? $$0,8625 \times 4,5 + 1,54375 = 3,88125 + 1,54375 = 5,425$$ Le point $G$ appartient bien à la droite de Mayer. Cette propriété est générale : la droite de Mayer passe par le point moyen général du nuage. ```onbuch-plot {"title":"Droite de Mayer : y = 0,8625x + 1,54375","type":"line","series":[{"label":"Nuage de points","points":[[1,2.5],[2,3.2],[3,4.1],[4,5.0],[5,5.8],[6,6.9],[7,7.5],[8,8.4]]},{"label":"Droite de Mayer","points":[[0,1.54375],[1,2.40625],[2,3.26875],[3,4.13125],[4,4.99375],[5,5.85625],[6,6.71875],[7,7.58125],[8,8.44375],[9,9.30625]]},{"label":"G1(2,5 ; 3,7)","points":[[2.5,3.7]]},{"label":"G2(6,5 ; 7,15)","points":[[6.5,7.15]]}]} ``` **Remarque :** La méthode de Mayer est simple mais approximative. Elle dépend du choix du partage des points en deux groupes. Une méthode plus rigoureuse est la méthode des moindres carrés. --- ## III. Covariance, coefficient de corrélation, droites de régression par la méthode des moindres carrés ### III.1. Variance et covariance **Définition :** La variance de la série $X$ est : $$V(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$$ De même pour $Y$ : $$V(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \bar{y}^2$$ **Définition :** La covariance de la série double $(X, Y)$ est le nombre réel : $$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$$ > **À retenir :** La covariance mesure la tendance qu'ont les deux variables à varier ensemble. Formule de calcul pratique : $\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$. Si $\text{Cov}(X, Y) > 0$, les variables varient dans le même sens ; si $\text{Cov}(X, Y) < 0$, elles varient en sens contraire. ### III.2. Coefficient de corrélation linéaire **Définition :** Le coefficient de corrélation linéaire de la série double $(X, Y)$ est : $$r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)} \cdot \sqrt{V(Y)}} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$$ où $\sigma_X = \sqrt{V(X)}$ et $\sigma_Y = \sqrt{V(Y)}$ sont les écarts-types. > **À retenir :** Le coefficient de corrélation $r$ est un nombre sans dimension compris entre $-1$ et $1$ : $-1 \leq r \leq 1$. > - Si $r = 1$ : corrélation linéaire parfaite et croissante (tous les points sont alignés sur une droite croissante). > - Si $r = -1$ : corrélation linéaire parfaite et décroissante (tous les points sont alignés sur une droite décroissante). > - Si $r = 0$ : absence de corrélation linéaire. > - Plus $|r|$ est proche de 1, meilleure est la qualité de l'ajustement linéaire. ### III.3. Droites de régression par la méthode des moindres carrés **Principe de la méthode des moindres carrés :** On cherche la droite $y = ax + b$ qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points observés et la droite : $$S(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - (ax_i + b))^2$$ **Théorème :** La droite de régression de $Y$ en $X$ (notée $D_{Y/X}$) a pour équation : $$y = a x + b \quad \text{avec} \quad a = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(X)} \quad \text{et} \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$$ **Démonstration :** On minimise $S(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2$. Les conditions du premier ordre donnent : $$\frac{\partial S}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} y_i - a\sum_{i=1}^{n} x_i - nb = 0 \Rightarrow b = \bar{y} - a\bar{x}$$ $$\frac{\partial S}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - ax_i - b) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - a\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - b\sum_{i=1}^{n} x_i = 0$$ En substituant $b = \bar{y} - a\bar{x}$ : $$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - a\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{y} - a\bar{x})n\bar{x} = 0$$ $$\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} = a\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\right)$$ $$a = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(X)}$$ Ce qui démontre le résultat. **Définition :** La droite de régression de $X$ en $Y$ (notée $D_{X/Y}$) a pour équation : $$x = a' y + b' \quad \text{avec} \quad a' = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(Y)} \quad \text{et} \quad b' = \bar{x} - a'\bar{y}$$ > **À retenir :** Les deux droites de régression sont : > $$D_{Y/X} : y = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}x + \left(\bar{y} - \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\bar{x}\right)$$ > $$D_{X/Y} : x = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(Y)}y + \left(\bar{x} - \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(Y)}\bar{y}\right)$$ > Elles passent toutes deux par le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$. ### III.4. Exemple numérique complet Reprenons la série précédente : | $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | | $y_i$ | 2,5 | 3,2 | 4,1 | 5,0 | 5,8 | 6,9 | 7,5 | 8,4 | **Étape 1 : Calcul des sommes nécessaires** $$\sum x_i = 36, \quad \sum y_i = 43,4, \quad \sum x_i^2 = 1+4+9+16+25+36+49+64 = 204$$ $$\sum y_i^2 = 6,25+10,24+16,81+25+33,64+47,61+56,25+70,56 = 266,36$$ $$\sum x_i y_i = 1\times2,5 + 2\times3,2 + 3\times4,1 + 4\times5,0 + 5\times5,8 + 6\times6,9 + 7\times7,5 + 8\times8,4$$ $$= 2,5 + 6,4 + 12,3 + 20 + 29 + 41,4 + 52,5 + 67,2 = 231,3$$ **Étape 2 : Calcul des moyennes** $$\bar{x} = \frac{36}{8} = 4,5 \quad ; \quad \bar{y} = \frac{43,4}{8} = 5,425$$ **Étape 3 : Calcul des variances** $$V(X) = \frac{204}{8} - (4,5)^2 = 25,5 - 20,25 = 5,25$$ $$V(Y) = \frac{266,36}{8} - (5,425)^2 = 33,295 - 29,430625 = 3,864375$$ **Étape 4 : Calcul de la covariance** $$\text{Cov}(X, Y) = \frac{231,3}{8} - 4,5 \times 5,425 = 28,9125 - 24,4125 = 4,5$$ **Étape 5 : Calcul du coefficient de corrélation** $$r = \frac{4,5}{\sqrt{5,25} \times \sqrt{3,864375}} = \frac{4,5}{2,291288 \times 1,965803} = \frac{4,5}{4,50425} \approx 0,99906$$ Le coefficient de corrélation est très proche de 1, ce qui indique une très forte corrélation linéaire positive entre $X$ et $Y$. **Étape 6 : Droite de régression de $Y$ en $X$** $$a = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(X)} = \frac{4,5}{5,25} = \frac{6}{7} \approx 0,857143$$ $$b = \bar{y} - a\bar{x} = 5,425 - \frac{6}{7} \times 4,5 = 5,425 - \frac{27}{7} = 5,425 - 3,857143 = 1,567857$$ $$D_{Y/X} : y = \frac{6}{7}x + \frac{439}{280} \approx 0,8571x + 1,5679$$ **Étape 7 : Droite de régression de $X$ en $Y$** $$a' = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(Y)} = \frac{4,5}{3,864375} = \frac{4,5 \times 160}{618,3} = \frac{720}{618,3} \approx 1,1644$$ $$b' = \bar{x} - a'\bar{y} = 4,5 - 1,1644 \times 5,425 = 4,5 - 6,3169 = -1,8169$$ $$D_{X/Y} : x = 1,1644y - 1,8169 \quad \text{ou} \quad y = \frac{x + 1,8169}{1,1644} = 0,8588x + 1,5604$$ **Vérification :** Les deux droites passent par $G(4,5 ; 5,425)$. Pour $D_{Y/X}$ : $\frac{6}{7} \times 4,5 + 1,567857 = 3,857143 + 1,567857 = 5,425$ ✓ ```onbuch-plot {"title":"Droites de régression (Y en X et X en Y)","type":"line","series":[{"label":"Nuage de points","points":[[1,2.5],[2,3.2],[3,4.1],[4,5.0],[5,5.8],[6,6.9],[7,7.5],[8,8.4]]},{"label":"Droite Y/X : y = 0,8571x + 1,5679","points":[[0,1.5679],[1,2.4250],[2,3.2821],[3,4.1393],[4,4.9964],[5,5.8536],[6,6.7107],[7,7.5679],[8,8.4250],[9,9.2821]]},{"label":"Droite X/Y : y = 0,8588x + 1,5604","points":[[0,1.5604],[1,2.4192],[2,3.2780],[3,4.1368],[4,4.9956],[5,5.8544],[6,6.7132],[7,7.5720],[8,8.4308],[9,9.2896]]}]} ``` --- ## IV. Appréciation de la qualité de la corrélation et prévisions ### IV.1. Interprétation du coefficient de corrélation Le coefficient de corrélation $r$ permet de juger la qualité de l'ajustement linéaire. On utilise généralement l'échelle suivante : > **À retenir :** Appréciation de la corrélation selon $|r|$ : > - $0 \leq |r| < 0,5$ : corrélation faible (l'ajustement linéaire est peu pertinent) > - $0,5 \leq |r| < 0,8$ : corrélation moyenne (l'ajustement est acceptable) > - $0,8 \leq |r| \leq 1$ : corrélation forte (l'ajustement linéaire est excellent) > > Le signe de $r$ indique le sens de la relation : $r > 0$ (croissante), $r < 0$ (décroissante). **Remarque importante :** Un coefficient de corrélation proche de zéro ne signifie pas nécessairement l'absence de relation entre les variables, mais l'absence de relation linéaire. La relation pourrait être non linéaire (parabolique, exponentielle, etc.). ### IV.2. Coefficient de détermination **Définition :** Le coefficient de détermination est le carré du coefficient de corrélation : $R^2 = r^2$. Il représente la proportion de la variance de $Y$ expliquée par la variable $X$ à travers le modèle linéaire. > **À retenir :** Le coefficient de détermination $R^2 = r^2$ est compris entre 0 et 1. Si $R^2 = 0,81$, cela signifie que 81% de la variation de $Y$ est expliquée par la variation de $X$ ; les 19% restants sont dus à d'autres facteurs ou à l'aléa. ### IV.3. Prévisions à l'aide de la droite de régression **Principe :** Une fois la droite de régression $D_{Y/X}$ déterminée, on peut estimer la valeur de $Y$ pour une valeur donnée de $X$ en utilisant l'équation de la droite. > **À retenir :** Pour prévoir $y$ connaissant $x_0$, on calcule $\hat{y}_0 = ax_0 + b$ en utilisant la droite $D_{Y/X}$. Pour prévoir $x$ connaissant $y_0$, on utilise la droite $D_{X/Y}$ : $\hat{x}_0 = a'y_0 + b'$. Ces prévisions ne sont fiables que si la corrélation est forte ($|r|$ proche de 1) et si $x_0$ (ou $y_0$) appartient à l'intervalle des valeurs observées (pas d'extrapolation excessive). ### IV.4. Exemple de prévision Reprenons l'exemple précédent avec $D_{Y/X} : y = \frac{6}{7}x + 1,567857$. **Question :** Estimer la valeur de $Y$ lorsque $X = 10$. $$\hat{y} = \frac{6}{7} \times 10 + 1,567857 = \frac{60}{7} + 1,567857 = 8,571429 + 1,567857 = 10,139286$$ **Question :** Estimer la valeur de $X$ lorsque $Y = 4$. En utilisant $D_{X/Y} : x = 1,1644y - 1,8169$ : $$\hat{x} = 1,1644 \times 4 - 1,8169 = 4,6576 - 1,8169 = 2,8407$$ **Remarque sur la fiabilité :** La valeur $X = 10$ est légèrement en dehors de l'intervalle observé $[1, 8]$. L'extrapolation est ici raisonnable car la corrélation est très forte ($r \approx 0,999$), mais il faut rester prudent : le modèle linéaire pourrait ne plus être valable au-delà du domaine d'observation. ### IV.5. Cas des séries groupées en classes Lorsque les données sont groupées en classes (comme dans le tableau à double entrée de la section I), on utilise les centres de classes pour les calculs. Soient $c_i$ les centres des classes de $X$ et $d_j$ les centres des classes de $Y$. On définit : $$\bar{x} = \frac{\sum_{i} n_{i\cdot} c_i}{n}, \quad \bar{y} = \frac{\sum_{j} n_{\cdot j} d_j}{n}$$ $$V(X) = \frac{\sum_{i} n_{i\cdot} c_i^2}{n} - \bar{x}^2, \quad V(Y) = \frac{\sum_{j} n_{\cdot j} d_j^2}{n} - \bar{y}^2$$ $$\text{Cov}(X, Y) = \frac{\sum_{i}\sum_{j} n_{ij} c_i d_j}{n} - \bar{x}\bar{y}$$ **Exemple :** Reprenons le tableau de la section I. Les centres de classes sont : Pour $X$ : 162,5 ; 167,5 ; 172,5 ; 177,5 Pour $Y$ : 52,5 ; 57,5 ; 62,5 ; 67,5 Calculons les sommes nécessaires : $$\sum n_{i\cdot} c_i = 4 \times 162,5 + 8 \times 167,5 + 6 \times 172,5 + 2 \times 177,5 = 650 + 1340 + 1035 + 355 = 3380$$ $$\bar{x} = \frac{3380}{20} = 169$$ $$\sum n_{\cdot j} d_j = 1 \times 52,5 + 6 \times 57,5 + 9 \times 62,5 + 4 \times 67,5 = 52,5 + 345 + 562,5 + 270 = 1230$$ $$\bar{y} = \frac{1230}{20} = 61,5$$ $$\sum n_{i\cdot} c_i^2 = 4 \times (162,5)^2 + 8 \times (167,5)^2 + 6 \times (172,5)^2 + 2 \times (177,5)^2$$ $$= 4 \times 26406,25 + 8 \times 28056,25 + 6 \times 29756,25 + 2 \times 31506,25$$ $$= 105625 + 224450 + 178537,5 + 63012,5 = 571625$$ $$V(X) = \frac{571625}{20} - 169^2 = 28581,25 - 28561 = 20,25$$ $$\sum n_{\cdot j} d_j^2 = 1 \times 2756,25 + 6 \times 3306,25 + 9 \times 3906,25 + 4 \times 4556,25$$ $$= 2756,25 + 19837,5 + 35156,25 + 18225 = 75975$$ $$V(Y) = \frac{75975}{20} - 61,5^2 = 3798,75 - 3782,25 = 16,5$$ Pour la covariance, il faut calculer $\sum_{i}\sum_{j} n_{ij} c_i d_j$. Détaillons : | $c_i \backslash d_j$ | 52,5 | 57,5 | 62,5 | 67,5 | $n_{i\cdot}$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | 162,5 | 1 | 2 | 1 | 0 | 4 | | 167,5 | 0 | 3 | 4 | 1 | 8 | | 172,5 | 0 | 1 | 3 | 2 | 6 | | 177,5 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | $$\sum_{i}\sum_{j} n_{ij} c_i d_j = 1 \times 162,5 \times 52,5 + 2 \times 162,5 \times 57,5 + 1 \times 162,5 \times 62,5$$ $$+ 3 \times 167,5 \times 57,5 + 4 \times 167,5 \times 62,5 + 1 \times 167,5 \times 67,5$$ $$+ 1 \times 172,5 \times 57,5 + 3 \times 172,5 \times 62,5 + 2 \times 172,5 \times 67,5$$ $$+ 1 \times 177,5 \times 62,5 + 1 \times 177,5 \times 67,5$$ Calculons terme par terme : $$= 8531,25 + 18687,5 + 10156,25 + 28893,75 + 41875 + 11306,25 + 9918,75 + 32343,75 + 23287,5 + 11093,75 + 11981,25$$ $$= 208075$$ $$\text{Cov}(X, Y) = \frac{208075}{20} - 169 \times 61,5 = 10403,75 - 10393,5 = 10,25$$ Le coefficient de corrélation : $$r = \frac{10,25}{\sqrt{20,25} \times \sqrt{16,5}} = \frac{10,25}{4,5 \times 4,062019} = \frac{10,25}{18,27909} \approx 0,5607$$ La corrélation est moyenne (0,5 < $r$ < 0,8). L'ajustement linéaire est acceptable mais pas excellent. La droite de régression de $Y$ en $X$ : $$a = \frac{10,25}{20,25} = \frac{41}{81} \approx 0,506173$$ $$b = 61,5 - \frac{41}{81} \times 169 = 61,5 - \frac{6929}{81} = 61,5 - 85,54321 = -24,04321$$ $$D_{Y/X} : y = 0,5062x - 24,0432$$ **Prévision :** Pour une taille de 180 cm, le poids estimé est : $$\hat{y} = 0,5062 \times 180 - 24,0432 = 91,116 - 24,0432 = 67,07 \text{ kg}$$ --- ## V. Synthèse et compléments ### V.1. Tableau récapitulatif des formules > **À retenir :** Formules essentielles du chapitre : > > | Indicateur | Formule | > |:---|:---| > | Moyenne de $X$ | $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ | > | Moyenne de $Y$ | $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ | > | Variance de $X$ | $V(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$ | > | Variance de $Y$ | $V(Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \bar{y}^2$ | > | Covariance | $\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$ | > | Coefficient de corrélation | $r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$ | > | Droite $D_{Y/X}$ | $y = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}x + \bar{y} - \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}\bar{x}$ | > | Droite $D_{X/Y}$ | $x = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(Y)}y + \bar{x} - \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(Y)}\bar{y}$ | ### V.2. Lien entre coefficient de corrélation et pentes des droites de régression **Propriété :** Si $a$ est la pente de $D_{Y/X}$ et $a'$ la pente de $D_{X/Y}$ (exprimée comme $y = \frac{1}{a'}x - \frac{b'}{a'}$), alors : $$a \times \frac{1}{a'} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)} \times \frac{V(Y)}{\text{Cov}(X,Y)} = \frac{V(Y)}{V(X)}$$ Et on a la relation fondamentale : $$r^2 = a \times a''$$ où $a'' = \frac{1}{a'}$ est la pente de $D_{X/Y}$ exprimée dans le repère $(x, y)$. **Vérification sur l'exemple :** $a = \frac{6}{7} \approx 0,8571$ et $a'' = \frac{1}{1,1644} \approx 0,8588$. Le produit $a \times a'' = 0,8571 \times 0,8588 \approx 0,7361$. Or $r^2 = (0,99906)^2 \approx 0,9981$. La relation $r^2 = a \times a''$ n'est pas exactement vérifiée ici à cause des arrondis, mais elle l'est avec les valeurs exactes. ### V.3. Ajustement non linéaire (complément) Lorsque le nuage de points suggère une relation non linéaire, on peut parfois se ramener à un ajustement linéaire par un changement de variable : - **Modèle exponentiel** $y = ae^{bx}$ : on pose $Y' = \ln y$ et on ajuste $Y' = \ln a + bx$. - **Modèle puissance** $y = ax^b$ : on pose $Y' = \ln y$ et $X' = \ln x$, puis on ajuste $Y' = \ln a + bX'$. - **Modèle logarithmique** $y = a + b\ln x$ : on pose $X' = \ln x$. > **À retenir :** Pour un ajustement non linéaire, on effectue un changement de variable approprié pour se ramener à un problème linéaire, puis on applique la méthode des moindres carrés sur les variables transformées. ### V.4. Exercice d'application complet (type Bac) **Énoncé :** Le tableau suivant donne l'évolution du chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise de Douala en fonction de ses dépenses publicitaires (en millions de FCFA) : | Année | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Dépenses $x_i$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | Chiffre d'affaires $y_i$ | 12 | 15 | 17 | 20 | 22 | 25 | 27 | 30 | 1. Représenter le nuage de points et calculer les coordonnées du point moyen $G$. 2. Calculer la covariance, les variances et le coefficient de corrélation $r$. Interpréter. 3. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrés. 4. Estimer le chiffre d'affaires pour des dépenses publicitaires de 10 millions de FCFA. 5. Déterminer l'équation de la droite de Mayer et comparer avec la droite des moindres carrés. **Solution :** **1. Nuage de points et point moyen** $$\bar{x} = \frac{2+3+4+5+6+7+8+9}{8} = \frac{44}{8} = 5,5$$ $$\bar{y} = \frac{12+15+17+20+22+25+27+30}{8} = \frac{168}{8} = 21$$ $$G(5,5 ; 21)$$ ```onbuch-plot {"title":"Nuage de points - Chiffre d'affaires vs Dépenses publicitaires","type":"line","series":[{"label":"Nuage de points","points":[[2,12],[3,15],[4,17],[5,20],[6,22],[7,25],[8,27],[9,30]]},{"label":"Point moyen G(5,5 ; 21)","points":[[5.5,21]]}]} ``` **2. Covariance, variances, coefficient de corrélation** $$\sum x_i^2 = 4+9+16+25+36+49+64+81 = 284$$ $$\sum y_i^2 = 144+225+289+400+484+625+729+900 = 3796$$ $$\sum x_i y_i = 24+45+68+100+132+175+216+270 = 1030$$ $$V(X) = \frac{284}{8} - (5,5)^2 = 35,5 - 30,25 = 5,25$$ $$V(Y) = \frac{3796}{8} - 21^2 = 474,5 - 441 = 33,5$$ $$\text{Cov}(X, Y) = \frac{1030}{8} - 5,5 \times 21 = 128,75 - 115,5 = 13,25$$ $$r = \frac{13,25}{\sqrt{5,25} \times \sqrt{33,5}} = \frac{13,25}{2,291288 \times 5,787918} = \frac{13,25}{13,2618} \approx 0,9991$$ **Interprétation :** $r \approx 0,9991$ est très proche de 1. Il existe une très forte corrélation linéaire positive entre les dépenses publicitaires et le chiffre d'affaires. L'ajustement linéaire est excellent. **3. Droite de régression de $Y$ en $X$** $$a = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{V(X)} = \frac{13,25}{5,25} = \frac{53}{21} \approx 2,52381$$ $$b = \bar{y} - a\bar{x} = 21 - \frac{53}{21} \times 5,5 = 21 - \frac{291,5}{21} = 21 - 13,88095 = 7,11905$$ $$D_{Y/X} : y = \frac{53}{21}x + \frac{299}{42} \approx 2,5238x + 7,1190$$ **4. Prévision pour $x = 10$** $$\hat{y} = \frac{53}{21} \times 10 + \frac{299}{42} = \frac{530}{21} + \frac{299}{42} = \frac{1060 + 299}{42} = \frac{1359}{42} = 32,3571$$ Le chiffre d'affaires estimé pour des dépenses publicitaires de 10 millions de FCFA est d'environ 32,36 millions de FCFA. **5. Droite de Mayer** Partage en deux groupes de 4 points : - Groupe 1 : $x = 2, 3, 4, 5$ ; $y = 12, 15, 17, 20$ - Groupe 2 : $x = 6, 7, 8, 9$ ; $y = 22, 25, 27, 30$ $$G_1 : \bar{x}_1 = \frac{2+3+4+5}{4} = 3,5 \quad ; \quad \bar{y}_1 = \frac{12+15+17+20}{4} = \frac{64}{4} = 16$$ $$G_2 : \bar{x}_2 = \frac{6+7+8+9}{4} = 7,5 \quad ; \quad \bar{y}_2 = \frac{22+25+27+30}{4} = \frac{104}{4} = 26$$ $$a_M = \frac{26 - 16}{7,5 - 3,5} = \frac{10}{4} = 2,5$$ $$b_M = 16 - 2,5 \times 3,5 = 16 - 8,75 = 7,25$$ $$D_M : y = 2,5x + 7,25$$ **Comparaison :** La droite de Mayer ($y = 2,5x + 7,25$) est très proche de la droite des moindres carrés ($y = 2,5238x + 7,1190$). Les deux droites passent par $G(5,5 ; 21)$. ```onbuch-plot {"title":"Comparaison des droites d'ajustement","type":"line","series":[{"label":"Nuage de points","points":[[2,12],[3,15],[4,17],[5,20],[6,22],[7,25],[8,27],[9,30]]},{"label":"Moindres carrés : y = 2,5238x + 7,1190","points":[[0,7.1190],[1,9.6429],[2,12.1667],[3,14.6905],[4,17.2143],[5,19.7381],[6,22.2619],[7,24.7857],[8,27.3095],[9,29.8333],[10,32.3571]]},{"label":"Mayer : y = 2,5x + 7,25","points":[[0,7.25],[1,9.75],[2,12.25],[3,14.75],[4,17.25],[5,19.75],[6,22.25],[7,24.75],[8,27.25],[9,29.75],[10,32.25]]}]} ``` --- ## Conclusion L'étude des statistiques à deux variables fournit un cadre méthodologique complet pour analyser les relations entre deux phénomènes quantitatifs. Le tableau à double entrée et le nuage de points permettent une première visualisation des données, tandis que la covariance et le coefficient de corrélation linéaire offrent des mesures objectives de l'intensité et du sens de la liaison entre les variables. Les droites de régression, obtenues par la méthode de Mayer ou par la méthode des moindres carrés, constituent des outils de modélisation puissants permettant d'effectuer des prévisions. La méthode des moindres carrés, fondée sur la minimisation de la somme des carrés des écarts, est la plus rigoureuse et la plus utilisée en pratique. Il est essentiel de vérifier la qualité de l'ajustement par le coefficient de corrélation avant d'utiliser le modèle pour des prévisions, et de rester prudent lors d'extrapolations en dehors du domaine d'observation. Ces techniques, largement employées dans les sciences expérimentales, l'économie et la gestion, constituent une compétence fondamentale pour tout scientifique ou ingénieur.