Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

# Primitives d'une fonction continue sur un intervalle ## Introduction La notion de primitive est l'une des notions fondamentales de l'analyse. Elle constitue l'opération inverse de la dérivation et permet de résoudre de nombreux problèmes, notamment le calcul d'aires, la résolution d'équations différentielles et l'étude de grandeurs physiques. Dans ce chapitre, nous étudierons la définition d'une primitive, les conditions d'existence, les méthodes de détermination des primitives des fonctions usuelles et des fonctions composées, conformément au programme officiel du MINESEC pour les séries C et E. --- ## I. Primitives d'une fonction continue sur un intervalle : définition et exemples ### I.1. Définition d'une primitive > **Définition (Primitive)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On appelle **primitive** de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$ : > $$F'(x) = f(x)$$ **Exemple 1** : La fonction $F(x) = x^3$ est une primitive de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$ car $F'(x) = 3x^2 = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. **Exemple 2** : La fonction $F(x) = \sin x$ est une primitive de $f(x) = \cos x$ sur $\mathbb{R}$ car $F'(x) = \cos x = f(x)$. **Exemple 3** : La fonction $F(x) = \ln|x|$ est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur chacun des intervalles $]-\infty; 0[$ et $]0; +\infty[$. ### I.2. Ensemble des primitives d'une fonction > **Théorème (Ensemble des primitives)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $G$ définies par : > $$G(x) = F(x) + C, \quad \text{où } C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : Soit $G$ une autre primitive de $f$ sur $I$. Alors $G'(x) = f(x)$ et $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. On a donc : $$(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$ La fonction $H = G - F$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est nulle sur $I$. Comme $I$ est un intervalle, $H$ est constante sur $I$. Il existe donc $C \in \mathbb{R}$ tel que $H(x) = C$ pour tout $x \in I$, c'est-à-dire $G(x) = F(x) + C$. **Exemple** : Les primitives de $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $F(x) = x^2 + C$ où $C \in \mathbb{R}$. ### I.3. Existence de primitives > **Théorème (Existence)** : Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Ce théorème est fondamental : il garantit que pour toute fonction continue, le problème de recherche de primitives a toujours une solution. La démonstration de ce théorème utilise la notion d'intégrale de Riemann, qui sera étudiée ultérieurement. ### I.4. Tableau des primitives usuelles > **Tableau des primitives usuelles** : | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Intervalle | |:---:|:---:|:---:| | $a$ (constante) | $ax + C$ | $\mathbb{R}$ | | $x^n$ ($n \in \mathbb{N}$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x} + C$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ | | $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x} + C$ | $]0;+\infty[$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\vert x\vert + C$ | $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ | | $e^x$ | $e^x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sin x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | $\mathbb{R}$ | | $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ | $\tan x + C$ | $]-\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{2}+k\pi[$ | | $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x + C$ | $]k\pi; (k+1)\pi[$ | --- ## II. Détermination de la primitive $F$ sur $I$ d'une fonction $f$ continue sur $I$ qui prend la valeur $a$ en $b$ ### II.1. Énoncé du problème Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soient $a \in \mathbb{R}$ et $b \in I$. On cherche la primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que : $$F(b) = a$$ ### II.2. Théorème d'unicité > **Théorème (Primitive prenant une valeur donnée)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tout $b \in I$ et tout $a \in \mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(b) = a$. **Démonstration** : **Existence** : Soit $F_0$ une primitive quelconque de $f$ sur $I$ (elle existe d'après le théorème d'existence). On définit : $$F(x) = F_0(x) - F_0(b) + a$$ Alors $F$ est une primitive de $f$ (car $F'(x) = F_0'(x) = f(x)$) et : $$F(b) = F_0(b) - F_0(b) + a = a$$ **Unicité** : Supposons que $F_1$ et $F_2$ soient deux primitives de $f$ sur $I$ vérifiant $F_1(b) = F_2(b) = a$. Alors $F_1 - F_2$ est une fonction constante sur $I$ (car sa dérivée est nulle). Donc $F_1(x) - F_2(x) = C$ pour tout $x \in I$. En particulier, en $x = b$ : $$F_1(b) - F_2(b) = a - a = 0 = C$$ Donc $C = 0$ et $F_1 = F_2$ sur $I$. L'unicité est démontrée. ### II.3. Méthode de détermination **Méthode pratique** : 1. Déterminer l'ensemble des primitives de $f$ : $F(x) = F_0(x) + C$ où $F_0$ est une primitive particulière. 2. Utiliser la condition $F(b) = a$ pour déterminer la constante $C$ : $$F_0(b) + C = a \implies C = a - F_0(b)$$ 3. La primitive cherchée est : $F(x) = F_0(x) + a - F_0(b)$ **Exemple 1** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 4$. **Solution** : Les primitives de $f$ sont : $$F(x) = x^3 - x^2 + x + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ La condition $F(1) = 4$ donne : $$1^3 - 1^2 + 1 + C = 4 \implies 1 - 1 + 1 + C = 4 \implies 1 + C = 4 \implies C = 3$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = x^3 - x^2 + x + 3$$ **Vérification** : $F'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = f(x)$ et $F(1) = 1 - 1 + 1 + 3 = 4$. ✓ **Exemple 2** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \cos x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$. **Solution** : Les primitives de $f$ sont : $F(x) = \sin x + C$. La condition $F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2$ donne : $$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + C = 2 \implies 1 + C = 2 \implies C = 1$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = \sin x + 1$$ **Exemple 3** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0; +\infty[$ telle que $F(2) = 1$. **Solution** : Les primitives de $f$ sur $]0; +\infty[$ sont : $F(x) = -\dfrac{1}{x} + C$. La condition $F(2) = 1$ donne : $$-\dfrac{1}{2} + C = 1 \implies C = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}$$ **Exemple 4** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 3$. **Solution** : On sait que $\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)' = e^{2x}$. Les primitives de $f$ sont donc : $$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$$ La condition $F(0) = 3$ donne : $$\dfrac{1}{2}e^{0} + C = 3 \implies \dfrac{1}{2} + C = 3 \implies C = \dfrac{5}{2}$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} + \dfrac{5}{2}$$ --- ## III. Détermination de primitives de fonctions composées ### III.1. Primitives de type $x \mapsto ax^r$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété** : Soit $a \in \mathbb{R}^*$ et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Les primitives de la fonction $f(x) = ax^r$ sur un intervalle $I$ où $x^r$ est définie sont : > $$F(x) = \dfrac{a}{r+1}x^{r+1} + C, \quad C \in \mathbb{R}$$ **Démonstration** : On vérifie que $F'(x) = \dfrac{a}{r+1} \cdot (r+1)x^{r} = ax^r = f(x)$. **Remarque importante** : L'intervalle $I$ doit être choisi de sorte que $x^r$ soit définie. En particulier : - Si $r \in \mathbb{N}$, $I = \mathbb{R}$. - Si $r \in \mathbb{Z}$ négatif, $I = ]-\infty; 0[$ ou $]0; +\infty[$. - Si $r = \dfrac{p}{q}$ avec $q$ impair, $I = \mathbb{R}$. - Si $r = \dfrac{p}{q}$ avec $q$ pair, $I = ]0; +\infty[$ (ou $[0; +\infty[$ si $r > 0$). **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = 5x^3$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \dfrac{5}{3+1}x^{3+1} + C = \dfrac{5}{4}x^4 + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2}$ sur $]0; +\infty[$. $$F(x) = \dfrac{3}{-2+1}x^{-2+1} + C = \dfrac{3}{-1}x^{-1} + C = -\dfrac{3}{x} + C$$ **Exemple 3** : Déterminer les primitives de $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$ sur $]0; +\infty[$. $$F(x) = \dfrac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} + C = \dfrac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{4}{3}x\sqrt{x} + C$$ **Exemple 4** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-2/3}$ sur $]0; +\infty[$. $$F(x) = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}+1}x^{-\frac{2}{3}+1} + C = \dfrac{1}{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C$$ **Exemple 5** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ sur $]0; +\infty[$. $$F(x) = \dfrac{4}{-3+1}x^{-3+1} + C = \dfrac{4}{-2}x^{-2} + C = -\dfrac{2}{x^2} + C$$ ### III.2. Primitives de type $x \mapsto A\cos(ax+b)$ et $x \mapsto A\sin(ax+b)$ > **Propriété** : Soient $A \in \mathbb{R}^*$, $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$. Les primitives sur $\mathbb{R}$ de : > $$f(x) = A\cos(ax+b) \quad \text{sont} \quad F(x) = \dfrac{A}{a}\sin(ax+b) + C$$ > $$f(x) = A\sin(ax+b) \quad \text{sont} \quad F(x) = -\dfrac{A}{a}\cos(ax+b) + C$$ **Démonstration** : On vérifie que $\left(\dfrac{A}{a}\sin(ax+b)\right)' = \dfrac{A}{a} \cdot a\cos(ax+b) = A\cos(ax+b)$. De même, $\left(-\dfrac{A}{a}\cos(ax+b)\right)' = -\dfrac{A}{a} \cdot (-a\sin(ax+b)) = A\sin(ax+b)$. **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = 3\cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \dfrac{3}{2}\sin(2x) + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = -5\sin\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = -\dfrac{-5}{3}\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) + C = \dfrac{5}{3}\cos\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right) + C$$ **Exemple 3** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = 2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(\pi) = 1$. Les primitives de $f$ sont : $F(x) = \dfrac{2}{1/2}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) + C = 4\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) + C$. La condition $F(\pi) = 1$ donne : $$4\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + C = 1 \implies 4 \cdot 1 + C = 1 \implies C = -3$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = 4\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) - 3$$ **Exemple 4** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)$ sur $\mathbb{R}$. $$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{-2}{1}\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + C = \dfrac{1}{2}\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 2\cos\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) + C$$ ### III.3. Primitives de type $x \mapsto \cos^n x$ et $x \mapsto \sin^n x$ #### III.3.1. Cas $n$ impair > **Méthode pour $n$ impair** : Pour $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{N}$), on utilise $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ ou $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ pour se ramener à la forme $u' \cdot u^r$. **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$. On écrit $\cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x)\cos x$. En posant $u(x) = \sin x$, on a $u'(x) = \cos x$. Donc : $$\cos^3 x = (1 - u^2)u' = u' - u'u^2$$ Les primitives sont : $$F(x) = \sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^5 x$ sur $\mathbb{R}$. On écrit $\sin^5 x = \sin^4 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x)^2 \sin x = (1 - 2\cos^2 x + \cos^4 x)\sin x$. En posant $u(x) = \cos x$, on a $u'(x) = -\sin x$, donc $\sin x = -u'$ : $$\sin^5 x = -(1 - 2u^2 + u^4)u' = -u' + 2u'u^2 - u'u^4$$ Les primitives sont : $$F(x) = -\cos x + \dfrac{2\cos^3 x}{3} - \dfrac{\cos^5 x}{5} + C$$ #### III.3.2. Cas $n$ pair > **Méthode pour $n$ pair** : Pour $n = 2k$ ($k \in \mathbb{N}^*$), on linéarise à l'aide des formules : > $$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} \quad \text{et} \quad \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$$ **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^2 x$ sur $\mathbb{R}$. $$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin(2x)}{2} + C = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. $$\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$$ **Exemple 3** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^4 x$ sur $\mathbb{R}$. $$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\dfrac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \dfrac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$$ Or $\cos^2(2x) = \dfrac{1 + \cos(4x)}{2}$. Donc : $$\cos^4 x = \dfrac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \dfrac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \dfrac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{3x}{8} + \dfrac{4\sin(2x)}{8 \cdot 2} + \dfrac{\sin(4x)}{8 \cdot 4} + C = \dfrac{3x}{8} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + \dfrac{\sin(4x)}{32} + C$$ **Exemple 4** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin^4 x$ sur $\mathbb{R}$. $$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = \left(\dfrac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \dfrac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$$ $$\sin^4 x = \dfrac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1+\cos(4x)}{2}}{4} = \dfrac{3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{3x}{8} - \dfrac{\sin(2x)}{4} + \dfrac{\sin(4x)}{32} + C$$ **Exemple 5** : Déterminer les primitives de $f(x) = \cos^2 x \cdot \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. $$\cos^2 x \cdot \sin^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} \cdot \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} = \dfrac{1 - \cos^2(2x)}{4} = \dfrac{\sin^2(2x)}{4}$$ $$\cos^2 x \cdot \sin^2 x = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1 - \cos(4x)}{2} = \dfrac{1 - \cos(4x)}{8}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin(4x)}{32} + C$$ ### III.4. Primitives de type $x \mapsto \dfrac{a}{(cx+d)^r}$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété** : Soient $a \in \mathbb{R}^*$, $c \in \mathbb{R}^*$, $d \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Les primitives de $f(x) = \dfrac{a}{(cx+d)^r}$ sur un intervalle $I$ où la fonction est définie sont : > $$F(x) = \dfrac{a}{c(1-r)}(cx+d)^{1-r} + C = \dfrac{a}{c(1-r)}(cx+d)^{-r+1} + C$$ **Démonstration** : On pose $u(x) = cx + d$, alors $u'(x) = c$. On a $f(x) = a(cx+d)^{-r} = \dfrac{a}{c} \cdot c(cx+d)^{-r} = \dfrac{a}{c} \cdot u'(x) \cdot u(x)^{-r}$. D'après la formule $u'u^r$ (avec $r' = -r$), on obtient : $$F(x) = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{u(x)^{-r+1}}{-r+1} + C = \dfrac{a}{c(1-r)}(cx+d)^{1-r} + C$$ **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{3}{(2x+1)^2}$ sur $]-\frac{1}{2}; +\infty[$. Ici $a = 3$, $c = 2$, $d = 1$, $r = 2$. Donc : $$F(x) = \dfrac{3}{2(1-2)}(2x+1)^{1-2} + C = \dfrac{3}{-2}(2x+1)^{-1} + C = -\dfrac{3}{2(2x+1)} + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{5}{(3x-2)^3}$ sur $]\frac{2}{3}; +\infty[$. Ici $a = 5$, $c = 3$, $d = -2$, $r = 3$. Donc : $$F(x) = \dfrac{5}{3(1-3)}(3x-2)^{1-3} + C = \dfrac{5}{-6}(3x-2)^{-2} + C = -\dfrac{5}{6(3x-2)^2} + C$$ **Exemple 3** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$ sur $]-\frac{1}{4}; +\infty[$. On écrit $f(x) = \dfrac{2}{(4x+1)^{1/2}}$. Ici $a = 2$, $c = 4$, $d = 1$, $r = \dfrac{1}{2}$. Donc : $$F(x) = \dfrac{2}{4(1-\frac{1}{2})}(4x+1)^{1-\frac{1}{2}} + C = \dfrac{2}{4 \cdot \frac{1}{2}}(4x+1)^{\frac{1}{2}} + C = \dfrac{2}{2}\sqrt{4x+1} + C = \sqrt{4x+1} + C$$ **Exemple 4** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{1}{(2x+3)^4}$ sur $]-\frac{3}{2}; +\infty[$. Ici $a = 1$, $c = 2$, $d = 3$, $r = 4$. Donc : $$F(x) = \dfrac{1}{2(1-4)}(2x+3)^{1-4} + C = \dfrac{1}{-6}(2x+3)^{-3} + C = -\dfrac{1}{6(2x+3)^3} + C$$ **Exemple 5** : Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = \dfrac{4}{(x-1)^2}$ sur $]1; +\infty[$ telle que $F(2) = 3$. Les primitives de $f$ sont : $F(x) = \dfrac{4}{1(1-2)}(x-1)^{1-2} + C = -4(x-1)^{-1} + C = -\dfrac{4}{x-1} + C$. La condition $F(2) = 3$ donne : $$-\dfrac{4}{2-1} + C = 3 \implies -4 + C = 3 \implies C = 7$$ La primitive cherchée est : $$F(x) = -\dfrac{4}{x-1} + 7$$ ### III.5. Primitives de type $x \mapsto au'u^r$ avec $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ > **Propriété (Formule générale)** : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, $a \in \mathbb{R}^*$ et $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$. Les primitives de $f(x) = a \cdot u'(x) \cdot u(x)^r$ sur $I$ sont : > $$F(x) = \dfrac{a}{r+1} \cdot u(x)^{r+1} + C$$ **Démonstration** : On vérifie que $F'(x) = \dfrac{a}{r+1} \cdot (r+1) \cdot u'(x) \cdot u(x)^r = a \cdot u'(x) \cdot u(x)^r = f(x)$. **Exemple 1** : Déterminer les primitives de $f(x) = 3(2x+1)(x^2+x)^4$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 + x$, alors $u'(x) = 2x + 1$. On a : $$f(x) = 3 \cdot u'(x) \cdot u(x)^4$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{3}{4+1}u(x)^{4+1} + C = \dfrac{3}{5}(x^2+x)^5 + C$$ **Exemple 2** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2x}{(x^2+1)^3}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 + 1$, alors $u'(x) = 2x$. On a : $$f(x) = u'(x) \cdot u(x)^{-3}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{-3+1}u(x)^{-3+1} + C = \dfrac{1}{-2}u(x)^{-2} + C = -\dfrac{1}{2(x^2+1)^2} + C$$ **Exemple 3** : Déterminer les primitives de $f(x) = \sin x \cdot \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = \cos x$, alors $u'(x) = -\sin x$. On a : $$f(x) = \sin x \cdot \cos^3 x = -u'(x) \cdot u(x)^3$$ Les primitives sont : $$F(x) = -\dfrac{1}{3+1}u(x)^{3+1} + C = -\dfrac{1}{4}\cos^4 x + C$$ **Exemple 4** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = e^x + 1$, alors $u'(x) = e^x$. On a : $$f(x) = u'(x) \cdot u(x)^{-1/2}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{-\frac{1}{2}+1}u(x)^{-\frac{1}{2}+1} + C = \dfrac{1}{\frac{1}{2}}u(x)^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{e^x+1} + C$$ **Exemple 5** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{3x^2}{(x^3-1)^2}$ sur $]1; +\infty[$. On pose $u(x) = x^3 - 1$, alors $u'(x) = 3x^2$. On a : $$f(x) = u'(x) \cdot u(x)^{-2}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{-2+1}u(x)^{-2+1} + C = \dfrac{1}{-1}u(x)^{-1} + C = -\dfrac{1}{x^3-1} + C$$ **Exemple 6** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0; +\infty[$. On pose $u(x) = \ln x$, alors $u'(x) = \dfrac{1}{x}$. On a : $$f(x) = u'(x) \cdot u(x)$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{1+1}u(x)^{1+1} + C = \dfrac{1}{2}(\ln x)^2 + C$$ **Exemple 7** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2x+3}{(x^2+3x-1)^3}$ sur un intervalle où $x^2+3x-1 \neq 0$. On pose $u(x) = x^2 + 3x - 1$, alors $u'(x) = 2x + 3$. On a : $$f(x) = u'(x) \cdot u(x)^{-3}$$ Les primitives sont : $$F(x) = \dfrac{1}{-3+1}u(x)^{-3+1} + C = -\dfrac{1}{2(x^2+3x-1)^2} + C$$ ### III.6. Cas particulier : $r = -1$ (fonction $x \mapsto \dfrac{u'}{u}$) > **Propriété (Cas $r = -1$)** : Soit $u$ une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle $I$. Les primitives de $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ sur $I$ sont : > $$F(x) = \ln|u(x)| + C$$ **Exemple** : Déterminer les primitives de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$. On pose $u(x) = x^2 + 1 > 0$, alors $u'(x) = 2x$. Donc : $$F(x) = \ln(x^2+1) + C$$ ### III.7. Récapitulatif des formules essentielles > **Tableau récapitulatif des primitives composées** : | Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Condition | |:---:|:---:|:---:| | $u'(x) \cdot u(x)^r$ ($r \neq -1$) | $\dfrac{u(x)^{r+1}}{r+1} + C$ | $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ | | $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ | $\ln\Vert u(x)\Vert + C$ | $u$ ne s'annule pas | | $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ | $e^{u(x)} + C$ | — | | $u'(x) \cdot \cos(u(x))$ | $\sin(u(x)) + C$ | — | | $u'(x) \cdot \sin(u(x))$ | $-\cos(u(x)) + C$ | — | | $\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$ | $2\sqrt{u(x)} + C$ | $u > 0$ | | $\dfrac{u'(x)}{u(x)^2}$ | $-\dfrac{1}{u(x)} + C$ | $u \neq 0$ | --- ## Conclusion La détermination des primitives est une compétence essentielle en analyse. Nous avons vu que toute fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives, différant d'une constante additive, et qu'il existe une unique primitive prenant une valeur donnée en un point donné. Les techniques de détermination reposent sur la reconnaissance de formes usuelles et sur la formule de composition $u'u^r$, qui permet de traiter efficacement les fonctions de type $x \mapsto ax^r$, $x \mapsto A\cos(ax+b)$, $x \mapsto A\sin(ax+b)$, $x \mapsto \cos^n x$, $x \mapsto \sin^n x$, $x \mapsto \dfrac{a}{(cx+d)^r}$ et $x \mapsto au'u^r$. Ces compétences seront mobilisées dans les chapitres suivants, notamment pour le calcul intégral, les équations différentielles et l'étude de fonctions. La maîtrise des primitives est donc un prérequis indispensable pour la réussite à l'épreuve de Mathématiques du Baccalauréat camerounais, séries C et E.