Isométries de l’espace

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève pourra - définir précisément une réflexion (symétrie) par rapport à un plan et un demi‑tour (rotation d’angle π) autour d’une droite dans l’espace euclidien $\mathbb R^{3}$ ; - écrire la matrice associée à chaque isométrie dans un repère orthonormé et déterminer son déterminant ; - démontrer les propriétés fondamentales (involution, ensemble des points fixes, préservation des distances et des angles) ; - résoudre des problèmes de localisation d’images, de composition d’isométries et de recherche d’axes ou de plans invariants ; - expliquer comment une réflexion ou un demi‑tour s’inscrivent dans le groupe des isométries de l’espace et reconnaître leurs effets sur des figures usuelles (droites, plans, sphères). **Prérequis** : - notions de vecteurs, de produit scalaire, de norme et de distance dans $\mathbb R^{3}$ ; - maîtrise des systèmes d’équations linéaires et des changements de base ; - connaissance des matrices de rotation dans un plan et de la matrice $-I_{3}$ (opposition centrale) ; - notion d’isométrie (transformation conservant les distances) et de déterminant d’une matrice orthogonale. > **À retenir** : Une isométrie de $\mathbb R^{3}$ est une application $f:\mathbb R^{3}\to\mathbb R^{3}$ telle que $\|f(\mathbf x)-f(\mathbf y)\|=\|\mathbf x-\mathbf y\|$ pour tout $\mathbf x,\mathbf y$. --- ## Introduction contextualisée Dans l’espace tridimensionnel, les mouvements rigides qui préservent la forme et la taille des objets sont appelés **isométries**. Elles se répartissent en deux familles selon le signe du déterminant de leur matrice orthogonale associée : les **isométries directes** (déterminant $+1$) qui conservent l’orientation, et les **isométries indirectes** (déterminant $-1$) qui l’inversent. Les deux transformations élémentaires étudiées ici – la **réflexion** par rapport à un plan et le **demi‑tour** (rotation d’angle $\pi$ autour d’une droite) – sont les briques de base permettant de construire toute isométrie de l’espace. En effet, d’après le théorème de Cartan‑Dieudonné, toute isométrie de $\mathbb R^{3}$ s’exprime comme composition d’au plus trois réflexions par rapport à des plans. Le demi‑tour apparaît naturellement comme composition de deux réflexions dont les plans sont perpendiculaires et se coupent selon une droite : cet axe devient alors l’axe de rotation. Ce chapitre vise donc à fournir une compréhension profonde de ces deux transformations, à en maîtriser le calcul matriciel, à en démontrer les propriétés essentielles et à les mettre en œuvre dans des exercices de type baccalauréat. --- ## I. Réflexions de l’espace (Leçon 57) ### 1. Définition Soit $\Pi$ un plan de $\mathbb R^{3}$ d’équation cartésienne $$ \mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{0})=0, $$ où $\mathbf n$ est un vecteur normal non nul et $\mathbf x_{0}$ un point quelconque de $\Pi$. La **réflexion** (ou **symétrie**) par rapport au plan $\Pi$ est l’application $s_{\Pi}:\mathbb R^{3}\to\mathbb R^{3}$ définie par $$ s_{\Pi}(\mathbf x)=\mathbf x-2\frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{0})}{\|\mathbf n\|^{2}}\;\mathbf n . $$ En d’autres termes, on projette orthogonnellement $\mathbf x$ sur $\Pi$, on double ce vecteur dirigé du point vers son image, puis on le soustrait au point de départ. > **À retenir** : La réflexion par rapport à un plan est une involution ($s_{\Pi}\circ s_{\Pi}= \text{Id}$) et son ensemble des points fixes est exactement le plan $\Pi$. ### 2. Matrice associée Dans un repère orthonormé $(\mathcal O;\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k)$, si le plan $\Pi$ passe par l’origine et a pour vecteur normal unitaire $\mathbf n=(a,b,c)^{\top}$ ($a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$), la réflexion s’écrit sous forme matricielle $$ S_{\Pi}=I_{3}-2\mathbf n\mathbf n^{\top} = \begin{pmatrix} 1-2a^{2} & -2ab & -2ac\\[2pt] -2ab & 1-2b^{2} & -2bc\\[2pt] -2ac & -2bc & 1-2c^{2} \end{pmatrix}. $$ Cette matrice est orthogonale ($S_{\Pi}^{\top}S_{\Pi}=I_{3}$) et son déterminant vaut $\det(S_{\Pi})=-1$ (isométrie indirecte). > **À retenir** : Pour une réflexion par rapport à un plan passant par l’origine, la matrice est $I_{3}-2\mathbf n\mathbf n^{\top}$ avec $\det=-1$. ### 3. Propriétés principales | Propriété | Énoncé | Justification rapide | |-----------|--------|----------------------| | **Involution** | $s_{\Pi}\circ s_{\Pi}= \text{Id}$ | Deux réflexions successives annulent le déplacement orthogonal. | | **Ensemble des points fixes** | $\operatorname{Fix}(s_{\Pi})=\Pi$ | Un point appartient à $\Pi$ ssi sa distance orthogonale au plan est nulle. | | **Préservation des distances** | $\Vert s_{\Pi}(\mathbf x)-s_{\Pi}(\mathbf y)\Vert =\Vert \mathbf x-\mathbf y\Vert $ | La matrice $S_{\Pi}$ est orthogonale. | | **Inversion d’orientation** | $\det(S_{\Pi})=-1$ | Changement de signe du produit triple mixte. | | **Action sur une droite** | L’image d’une droite soit parallèle à $\Pi$, soit sécante, soit contenue dans $\Pi$ est respectivement une droite parallèle, sécante ou identique. | Découle de la linéarité de $s_{\Pi}$ et de la géométrie du plan. | ### 4. Démonstration d’un résultat clé : composition de deux réflexions **Théorème** : Soient $\Pi_{1}$ et $\Pi_{2}$ deux plans distincts. - Si $\Pi_{1}\parallel\Pi_{2}$ (plans parallèles), alors $s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ est une **translation** de vecteur $2\mathbf d$, où $\mathbf d$ est le vecteur quelconque orthogonal aux plans allant de $\Pi_{1}$ vers $\Pi_{2}$. - Si $\Pi_{1}$ et $\Pi_{2}$ se coupent selon une droite $\Delta$, alors $s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ est une **rotation** d’angle $2\theta$ autour de $\Delta$, où $\theta$ est l’angle dièdre entre les deux plans. *Preuve* : Écrivons les réflexions sous forme $s_{\Pi_{i}}(\mathbf x)=\mathbf x-2\frac{\mathbf n_{i}\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{i})}{\|\mathbf n_{i}\|^{2}}\mathbf n_{i}$ avec $\mathbf n_{i}$ normaux unitaires. Le produit $s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ s’exprime comme $$ \mathbf x\mapsto \mathbf x-2\frac{\mathbf n_{1}\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{1})}{\|\mathbf n_{1}\|^{2}}\mathbf n_{1} -2\frac{\mathbf n_{2}\cdot\bigl(\mathbf x-2\frac{\mathbf n_{1}\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{1})}{\|\mathbf n_{1}\|^{2}}\mathbf n_{1}-\mathbf x_{2}\bigr)}{\|\mathbf n_{2}\|^{2}}\mathbf n_{2}. $$ Après développement et regroupement, on obtient une application affine de la forme $\mathbf x\mapsto R\mathbf x+\mathbf t$ où $R$ est orthogonale. - Si $\mathbf n_{1}=\pm\mathbf n_{2}$ (plans parallèles), alors $R=I_{3}$ et $\mathbf t=2(\mathbf x_{2}-\mathbf x_{1})$ projeté sur la direction normale, d’où une translation. - Si $\mathbf n_{1}\neq\pm\mathbf n_{2}$, on montre que $R$ est une rotation autour de la droite $\Delta=\Pi_{1}\cap\Pi_{2}$ d’angle $2\arccos(\mathbf n_{1}\cdot\mathbf n_{2})$. Le détail utilise le fait que le plan engendré par $\mathbf n_{1}$ et $\mathbf n_{2}$ est orthogonal à $\Delta$ et que la réflexion dans ce plan produit une rotation double de l’angle entre les normales. ∎ > **À retenir** : La composition de deux réflexions donne soit une translation (plans parallèles) soit une rotation (plans sécants). ### 5. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Réflexion simple **Énoncé** : Trouver l’image du point $P(2,-1,4)$ par la réflexion par rapport au plan $\Pi$ d’équation $2x - y + 3z - 6 = 0$. **Solution** : 1. Vecteur normal $\mathbf n=(2,-1,3)$. Son norme au carré : $\|\mathbf n\|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}=4+1+9=14$. 2. Choisissons un point du plan, par exemple en posant $x=0,y=0$ → $3z-6=0\Rightarrow z=2$. Donc $\mathbf x_{0}=(0,0,2)$. 3. Calcul du produit scalaire : $\mathbf n\cdot(\mathbf P-\mathbf x_{0}) = (2,-1,3)\cdot(2-0,-1-0,4-2)= (2,-1,3)\cdot(2,-1,2)= 2\cdot2+(-1)\cdot(-1)+3\cdot2 =4+1+6=11$. 4. Appliquons la formule : $$ s_{\Pi}(\mathbf P)=\mathbf P-2\frac{11}{14}\mathbf n = (2,-1,4)-\frac{22}{14}(2,-1,3) = (2,-1,4)-\left(\frac{44}{14},-\frac{22}{14},\frac{66}{14}\right). $$ Simplifions : $\frac{44}{14}= \frac{22}{7},\; -\frac{22}{14}= -\frac{11}{7},\; \frac{66}{14}= \frac{33}{7}$. Donc $$ s_{\Pi}(\mathbf P)=\left(2-\frac{22}{7},\; -1+\frac{11}{7},\; 4-\frac{33}{7}\right) =\left(\frac{14-22}{7},\; \frac{-7+11}{7},\; \frac{28-33}{7}\right) =\left(-\frac{8}{7},\; \frac{4}{7},\; -\frac{5}{7}\right). $$ **Réponse** : $P' \left(-\dfrac{8}{7},\dfrac{4}{7},-\dfrac{5}{7}\right)$. #### Exemple 2 – Composition de deux réflexions (plans sécants) **Énoncé** : Soient les plans $\Pi_{1}: x=0$ (plan $yz$) et $\Pi_{2}: y=0$ (plan $xz$). Déterminer l’isométrie $f=s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ et en donner la description géométrique. **Solution** : 1. Les normales unitaires sont $\mathbf n_{1}=(1,0,0)$ et $\mathbf n_{2}=(0,1,0)$. 2. Les plans sont sécants selon la droite $\Delta: \{x=0,y=0\}$, c’est‑à‑droite $z$‑axe. 3. D’après le théorème vu précédemment, $f$ est une rotation autour de $\Delta$ d’angle $2\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les normales. $\cos\theta = \mathbf n_{1}\cdot\mathbf n_{2}=0\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$. Donc l’angle de rotation est $2\theta = \pi$. 4. Une rotation d’angle $\pi$ autour de l’axe $z$ envoie $(x,y,z)$ vers $(-x,-y,z)$. On peut vérifier directement par les matrices : $S_{\Pi_{1}}=I_{3}-2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, $S_{\Pi_{2}}=I_{3}-2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. Leur produit : $$ S_{\Pi_{2}}S_{\Pi_{1}}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, $$ qui est exactement la matrice de la rotation d’angle $\pi$ autour de l’axe $z$. **Réponse** : $f$ est le demi‑tour (rotation d’angle $\pi$) autour de l’axe $z$ : $f(x,y,z)=(-x,-y,z)$. --- ## II. Demi‑tours de l’espace (Leçon 58) ### 1. Définition Un **demi‑tour** (ou **rotation d’angle $\pi$**) autour d’une droite $\Delta$ (appelée *axe*) est l’application $r_{\Delta}:\mathbb R^{3}\to\mathbb R^{3}$ qui laisse fixe chaque point de $\Delta$ et envoie tout autre point $\mathbf x$ vers le point symétrique par rapport à $\Delta$ obtenu par une rotation de $\pi$ rad autour de $\Delta$. Si $\Delta$ passe par l’origine et a pour vecteur directeur unitaire $\mathbf u=(u_{1},u_{2},u_{3})^{\top}$, alors pour tout $\mathbf x\in\mathbb R^{3}$ $$ r_{\Delta}(\mathbf x)= -\mathbf x + 2(\mathbf u\cdot\mathbf x)\,\mathbf u . $$ En effet, on décompose $\mathbf x$ en sa composante parallèle à $\Delta$ ($\mathbf u(\mathbf u\cdot\mathbf x)$) et sa composante orthogonale ($\mathbf x-\mathbf u(\mathbf u\cdot\mathbf x)$) ; la rotation de $\pi$ inverse la composante orthogonale tout en laissant la composante parallèle inchangée. > **À retenir** : La matrice d’un demi‑tour autour d’un axe passant par l’origine et de directeur unitaire $\mathbf u$ est $R_{\Delta}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}$, avec $\det(R_{\Delta})=+1$ (isométrie directe). ### 2. Matrice associée Dans un repère orthonormé, si $\mathbf u=(a,b,c)^{\top}$ avec $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$, alors $$ R_{\Delta}= \begin{pmatrix} 2a^{2}-1 & 2ab & 2ac\\[2pt] 2ab & 2b^{2}-1 & 2bc\\[2pt] 2ac & 2bc & 2c^{2}-1 \end{pmatrix}. $$ Cette matrice est symétrique, orthogonale ($R_{\Delta}^{\top}R_{\Delta}=I_{3}$) et son trace vaut $\operatorname{tr}(R_{\Delta}) = -1$ (puisque $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-3 = 2-3 = -1$). > **À retenir** : Pour un demi‑tour d’axe $\mathbf u$, $R_{\Delta}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}$ ; $\det=+1$, $\operatorname{tr}=-1$. ### 3. Propriétés principales | Propriété | Énoncé | Justification | |-----------|--------|---------------| | **Involution** | $r_{\Delta}\circ r_{\Delta}= \text{Id}$ | Deux rotations de $\pi$ donnent un angle total $2\pi\equiv0$. | | **Ensemble des points fixes** | $\operatorname{Fix}(r_{\Delta})=\Delta$ | Seuls les points situés sur l’axe restent invariants. | | **Préservation des distances** | $\Vert r_{\Delta}(\mathbf x)-r_{\Delta}(\mathbf y)\Vert =\Vert \mathbf x-\mathbf y\Vert $ | $R_{\Delta}$ orthogonale. | | **Conservation de l’orientation** | $\det(R_{\Delta})=+1$ | Produit des valeurs propres $(1,-1,-1)$ donne $+1$. | | **Action sur un plan orthogonal à l’axe** | Un plan orthogonal à $\Delta$ est envoyé sur lui-même par une réflexion centrale (point par point) équivalente à une rotation de $\pi$ dans ce plan. | Dans le plan orthogonal, la matrice se réduit à $-I_{2}$. | | **Composition de deux demi‑tours** | Le produit de deux demi‑tours dont les axes sont distincts est une rotation dont l’angle vaut deux fois l’angle entre les axes. | Découle de la formule du produit de deux matrices $R_{\mathbf u}R_{\mathbf v}$. | ### 4. Démonstration d’un résultat clé : composition de deux demi‑tours **Théorème** : Soient $\Delta_{1}$ et $\Delta_{2}$ deux droites distinctes passant par l’origine, de directeurs unitaires $\mathbf u$ et $\mathbf v$. Alors $$ r_{\Delta_{2}}\circ r_{\Delta_{1}} = \text{Rotation d’angle }2\phi \text{ autour de l’axe } \mathbf w = \frac{\mathbf u\times\mathbf v}{\|\mathbf u\times\mathbf v\|}, $$ où $\phi$ est l’angle entre $\mathbf u$ et $\mathbf v$ ($0<\phi<\pi$). *Preuve* : On utilise les matrices $R_{\mathbf u}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}$ et $R_{\mathbf v}=2\mathbf v\mathbf v^{\top}-I_{3}$. Leur produit est $$ R_{\mathbf v}R_{\mathbf u}= (2\mathbf v\mathbf v^{\top}-I)(2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I) =4\mathbf v\mathbf v^{\top}\mathbf u\mathbf u^{\top}-2\mathbf v\mathbf v^{\top}-2\mathbf u\mathbf u^{\top}+I . $$ Puisque $\mathbf v^{\top}\mathbf u=\mathbf u^{\top}\mathbf v=\cos\phi$, on obtient $$ R_{\mathbf v}R_{\mathbf u}=4\cos\phi\,\mathbf v\mathbf u^{\top}-2\mathbf v\mathbf v^{\top}-2\mathbf u\mathbf u^{\top}+I . $$ On montre que cette matrice est orthogonale de déterminant $+1$ et que son axe propre associé à la valeur propre $1$ est $\mathbf w=\mathbf u\times\mathbf v$ (produit vectoriel). En effet, $R_{\mathbf v}R_{\mathbf u}\mathbf w=\mathbf w$ car $\mathbf w$ est orthogonal à la fois à $\mathbf u$ et à $\mathbf v$. L’angle de rotation est donné par la trace : $\operatorname{tr}(R_{\mathbf v}R_{\mathbf u})=1+2\cos(2\phi)$. Comme le trace d’une rotation d’angle $\alpha$ vaut $1+2\cos\alpha$, on identifie $\alpha=2\phi$. ∎ > **À retenir** : La composition de deux demi‑tours dont les axes se coupent donne une rotation dont l’angle est le double de l’angle entre les axes, et l’axe de cette rotation est orthogonal aux deux axes initiaux. ### 5. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 – Demi‑tour autour d’une droite donnée **Énoncé** : Déterminer l’image du point $A(1,2,3)$ par le demi‑tour d’axe la droite passant par l’origine et de directeur $\mathbf u=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$. **Solution** : 1. Vecteur directeur unitaire : $\mathbf u=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. 2. Produit scalaire $\mathbf u\cdot\mathbf A = \frac{1}{\sqrt{3}}(1+2+3)=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$. 3. Composante parallèle : $(\mathbf u\cdot\mathbf A)\mathbf u = 2\sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = (2,2,2)$. 4. Composante orthogonale : $\mathbf A_{\perp}= \mathbf A - (2,2,2) = (-1,0,1)$. 5. Le demi‑tour inverse la composante orthogonale : $\mathbf A'_{\perp}= -\mathbf A_{\perp}= (1,0,-1)$. 6. On reconstruit l’image : $\mathbf A' = (2,2,2)+(1,0,-1) = (3,2,1)$. **Réponse** : $A'(3,2,1)$. On peut aussi vérifier avec la matrice : $R_{\Delta}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}= \begin{pmatrix} -1/3 & 2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & 2/3\\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \end{pmatrix}$. Multiplier par $(1,2,3)^{\top}$ donne $(3,2,1)^{\top}$. #### Exemple 2 – Composition de deux demi‑tours **Énoncé** : Soient les demi‑tours $r_{x}$ (axe $x$) et $r_{y}$ (axe $y$). Montrer que $r_{y}\circ r_{x}$ est une rotation autour de l’axe $z$ d’angle $\pi$, et donner la matrice correspondante. **Solution** : 1. Axes unitaires : $\mathbf u_{x}=(1,0,0)$, $\mathbf u_{y}=(0,1,0)$. 2. Matrices : $R_{x}=2\mathbf u_{x}\mathbf u_{x}^{\top}-I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix}$, $R_{y}=2\mathbf u_{y}\mathbf u_{y}^{\top}-I= \begin{pmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix}$. 3. Produit : $$ R_{y}R_{x}= \begin{pmatrix} -1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}. $$ 4. Cette matrice est exactement celle d’une rotation d’angle $\pi$ autour de l’axe $z$ (voir matrice standard $R_{z}(\pi)=\begin{pmatrix}\cos\pi&-\sin\pi&0\\\sin\pi&\cos\pi&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$). **Réponse** : $r_{y}\circ r_{x}$ est le demi‑tour autour de l’axe $z$ : $(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)$. --- ## III. Synthèse du chapitre - **Réflexion par rapport à un plan $\Pi$** : - Formule : $s_{\Pi}(\mathbf x)=\mathbf x-2\frac{\mathbf n\cdot(\mathbf x-\mathbf x_{0})}{\|\mathbf n\|^{2}}\mathbf n$. - Matrice (plan passant par l’origine) : $S_{\Pi}=I_{3}-2\mathbf n\mathbf n^{\top}$, $\det=-1$. - Involution, ensemble des points fixes = $\Pi$, isométrie indirecte. - Composition de deux réflexions : * plans parallèles → translation de vecteur $2\mathbf d$ ; * plans sécants → rotation d’angle $2\theta$ autour de leur intersection. - **Demi‑tour (rotation d’angle $\pi$) autour d’une droite $\Delta$** : - Formule : $r_{\Delta}(\mathbf x)=-\mathbf x+2(\mathbf u\cdot\mathbf x)\mathbf u$ avec $\mathbf u$ directeur unitaire de $\Delta$. - Matrice (axe passant par l’origine) : $R_{\Delta}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}$, $\det=+1$, $\operatorname{tr}=-1$. - Involution, ensemble des points fixes = $\Delta$, isométrie directe. - Composition de deux demi‑tours : rotation d’angle $2\phi$ autour de l’axe orthogonal aux deux axes, où $\phi$ est l’angle entre les axes. - **Liens** : - Un demi‑tour peut s’obtenir comme composition de deux réflexions dont les plans sont perpendiculaires et se coupent selon l’axe du demi‑tour. - Toute isométrie de l’espace s’écrit comme composition d’au plus trois réflexions (théorème de Cartan‑Dieudonné). > **À retenir** : Les matrices des réflexions et des demi‑tours sont respectivement $I-2\mathbf n\mathbf n^{\top}$ et $2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I$ ; leurs déterminants sont $-1$ et $+1$. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Isométrie** | Transformation de $\mathbb R^{3}$ qui préserve les distances entre tous les points. | | **Réflexion (symétrie) par rapport à un plan** | Application qui envoie chaque point vers son miroir orthogonale par rapport à un plan fixé. | | **Demi‑tour** | Rotation d’angle $\pi$ (180°) autour d’une droite appelée axe. | | **Plan invariant** | Ensemble de points laissés fixes par une isométrie ; pour une réflexion, c’est le plan de réflexion. | | **Axe de rotation** | Droite constituée des points fixes d’une rotation (demi‑tour inclus). | | **Matrice orthogonale** | Carré $Q$ telle que $Q^{\top}Q=I$ ; préserve le produit scalaire. | | **Déterminant** | Valeur scalaire associée à une matrice ; signe $+1$ pour isométrie directe, $-1$ pour indirecte. | | **Involution** | Application $f$ telle que $f\circ f=\text{Id}$. | | **Produit vectoriel** | Opération $\mathbf u\times\mathbf v$ donnant un vecteur orthogonal à $\mathbf u$ et $\mathbf v$. | | **Angle dièdre** | Angle formé par deux plans demi‑droites ayant une même intersection. | | **Translation** | Mouvement qui ajoute un vecteur constant à chaque point. | | **Rotation** | Isométrie directe qui laisse fixe une droite (axe) et tourne les plans orthogonaux à cet axe d’un certain angle. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 (niveau facile) **Énoncé** : Déterminer l’image du point $M(4,-2,5)$ par la réflexion par rapport au plan $\Pi$ d’équation $x+2y-2z+3=0$. **Corrigé** : 1. Vecteur normal $\mathbf n=(1,2,-2)$. $\|\mathbf n\|^{2}=1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}=1+4+4=9$. 2. Choisissons un point du plan : mettre $y=0,z=0$ → $x+3=0\Rightarrow x=-3$. Donc $\mathbf x_{0}=(-3,0,0)$. 3. $\mathbf M-\mathbf x_{0}=(4+3,-2-0,5-0)=(7,-2,5)$. 4. Produit scalaire : $\mathbf n\cdot(\mathbf M-\mathbf x_{0})=1\cdot7+2\cdot(-2)+(-2)\cdot5=7-4-10=-7$. 5. Application de la formule : $$ s_{\Pi}(\mathbf M)=\mathbf M-2\frac{-7}{9}\mathbf n = (4,-2,5)+\frac{14}{9}(1,2,-2) =\left(4+\frac{14}{9},\; -2+\frac{28}{9},\; 5-\frac{28}{9}\right). $$ Mettre au même dénominateur : $4=\frac{36}{9}$, $-2=-\frac{18}{9}$, $5=\frac{45}{9}$. Donc $$ s_{\Pi}(\mathbf M)=\left(\frac{36+14}{9},\; \frac{-18+28}{9},\; \frac{45-28}{9}\right) =\left(\frac{50}{9},\; \frac{10}{9},\; \frac{17}{9}\right). $$ **Réponse** : $M'\left(\dfrac{50}{9},\dfrac{10}{9},\dfrac{17}{9}\right)$. --- ### Exercice 2 (niveau facile) **Énoncé** : Trouver la matrice du demi‑tour d’axe la droite passant par l’origine et de directeur $\mathbf u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)$. **Corrigé** : $\mathbf u=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. Calculons $2\mathbf u\mathbf u^{\top}$ : $$ 2\mathbf u\mathbf u^{\top}=2 \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\[2pt] 0&0&0\\[2pt] \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix}. $$ Puis $R_{\Delta}=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I_{3}$ : $$ R_{\Delta}= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&0&0\\ 1&0&1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&-1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}. $$ **Réponse** : $R_{\Delta}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$. --- ### Exercice 3 (niveau intermédiaire) **Énoncé** : Soient les plans $\Pi_{1}: 2x - y + z = 0$ et $\Pi_{2}: x + 2y - 2z = 0$. Montrer que la composition $s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ est une rotation et déterminer son axe et son angle. **Corrigé** : 1. Normales unitaires (on peut travailler avec les non‑unitaires puis normaliser à la fin). $\mathbf n_{1}=(2,-1,1)$, $\|\mathbf n_{1}\|^{2}=4+1+1=6$. $\mathbf n_{2}=(1,2,-2)$, $\|\mathbf n_{2}\|^{2}=1+4+4=9$. 2. Les plans ne sont pas parallèles car $\mathbf n_{1}$ n’est pas multiple de $\mathbf n_{2}$. Leur intersection est une droite $\Delta$. On peut obtenir un directeur de $\Delta$ par produit vectoriel : $\mathbf d = \mathbf n_{1}\times\mathbf n_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf i((-1)(-2)-1\cdot2)-\mathbf j(2\cdot(-2)-1\cdot1)+\mathbf k(2\cdot2-(-1)\cdot1) = \mathbf i(2-2)-\mathbf j(-4-1)+\mathbf k(4+1) = 0\mathbf i+5\mathbf j+5\mathbf k = (0,5,5).$ On peut prendre $\mathbf u_{\Delta}=(0,1,1)/\sqrt{2}$ comme directeur unitaire. 3. D’après le théorème de la composition de deux réflexions, l’angle de rotation vaut $2\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les normales. $\cos\theta = \dfrac{\mathbf n_{1}\cdot\mathbf n_{2}}{\|\mathbf n_{1}\|\|\mathbf n_{2}\|} =\dfrac{2\cdot1+(-1)\cdot2+1\cdot(-2)}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{9}} =\dfrac{2-2-2}{\sqrt{54}} =\dfrac{-2}{\sqrt{54}} =-\dfrac{2}{3\sqrt{6}}$. Donc $\theta = \arccos\!\left(-\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right)$. L’angle de rotation est $\alpha = 2\theta = 2\arccos\!\left(-\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right)$. On peut laisser l’expression sous cette forme ou calculer une approximation numérique : $\sqrt{6}\approx2.449$, $3\sqrt{6}\approx7.348$, $-2/7.348\approx-0.272$, $\arccos(-0.272)\approx1.845\text{ rad}$, donc $\alpha\approx3.69\text{ rad}\approx211.5^{\circ}$. (On remarque que l’angle dépasse $\pi$ ; toutefois une rotation d’angle $\alpha$ est équivalente à une rotation d’angle $2\pi-\alpha$ dans le sens opposé ; on peut aussi prendre l’angle aigu $2\pi-\alpha\approx2.59\text{ rad}$ si on privilégie la plus petite rotation.) 4. L’axe de cette rotation est la droite d’intersection $\Delta$ trouvée ci‑dessus, dirigée par $\mathbf u_{\Delta}=(0,1,1)/\sqrt{2}$. **Réponse** : La composition est une rotation autour de l’axe $\Delta:\{(0,t,t)\mid t\in\mathbb R\}$ d’angle $\alpha=2\arccos\!\left(-\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right)$ (environ $3.69$ rad, soit $211.5^{\circ}$ ; équivalent à une rotation de $-148.5^{\circ}$ dans le sens opposé). --- ### Exercice 4 (niveau intermédiaire) **Énoncé** : Déterminer l’image du triangle sommets $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(0,0,1)$ par le demi‑tour d’axe la droite passant par les points $P(0,0,0)$ et $Q(1,1,1)$. **Corrigé** : 1. Directeur de l’axe : $\mathbf v = Q-P = (1,1,1)$. Unitaire : $\mathbf u = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$. 2. Utilisons la formule $r_{\Delta}(\mathbf x)= -\mathbf x + 2(\mathbf u\cdot\mathbf x)\mathbf u$. - Pour $A$: $\mathbf u\cdot A = \frac{1}{\sqrt{3}}(1+0+0)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. $2(\mathbf u\cdot A)\mathbf u = \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)=\frac{2}{3}(1,1,1)$. $r(A)= - (1,0,0) + \frac{2}{3}(1,1,1)=\left(-1+\frac{2}{3},\;0+\frac{2}{3},\;0+\frac{2}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$. - Pour $B$: $\mathbf u\cdot B = \frac{1}{\sqrt{3}}(0+1+0)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Même calcul que pour $A$ mais avec les coordonnées permutées : $r(B)= (0,-1,0)+\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\frac{2}{3},-1+\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$. - Pour $C$: $\mathbf u\cdot C = \frac{1}{\sqrt{3}}(0+0+1)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. $r(C)= (0,0,-1)+\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-1+\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$. **Réponse** : Le triangle image a pour sommets $A'\left(-\dfrac13,\dfrac23,\dfrac23\right)$, $B'\left(\dfrac23,-\dfrac13,\dfrac23\right)$, $C'\left(\dfrac23,\dfrac23,-\dfrac13\right)$. On remarque que le triangle image est symétrique du triangle initial par rapport au point $\left(\dfrac13,\dfrac13,\dfrac13\right)$ (centre du cube unitaire), ce qui confirme que le demi‑tour d’axe $(1,1,1)$ envoie chaque sommet vers le point opposé relativement au centre du cube. --- ### Exercice 5 (niveau avancé) **Énoncé** : Soit $f$ l’isométrie définie par $f(\mathbf x)=S\mathbf x+\mathbf t$ où $$ S=\begin{pmatrix} 0&0&-1\\ 0&-1&0\\ -1&0&0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf t=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}. $$ 1. Montrer que $f$ est une réflexion ou un demi‑tour. 2. Dans le cas où c’est une réflexion, déterminer le plan de réflexion ; dans le cas d’un demi‑tour, déterminer son axe. **Corrigé** : 1. Calcul du déterminant de $S$ : $\det S = 0\cdot((-1)\cdot0-0\cdot0)-0\cdot(0\cdot0-(-1)\cdot(-1))+(-1)\cdot(0\cdot0-(-1)\cdot0)= -1\cdot(0-0)=0$? Attendez, calculons proprement : Utilisons la règle de Sarrus ou développement : $$ \det S = 0\cdot\begin{vmatrix}-1&0\\0&0\end{vmatrix} -0\cdot\begin{vmatrix}0&0\\-1&0\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}0&-1\\-1&0\end{vmatrix} = 0 -0 + (-1)\cdot(0\cdot0-(-1)(-1)) = -1\cdot(0-1)=1. $$ Donc $\det S = +1$. Une isométrie avec déterminant $+1$ est directe → candidate à être un demi‑tour (ou une rotation). Vérifions si $S$ est symétrique : $S^{\top}= \begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}=S$. Donc $S$ est symétrique orthogonale. Une matrice orthogonale symétrique a pour valeurs propres uniquement $\pm1$. Puisque $\det=+1$, le produit des trois valeurs propres est $+1$. Les possibilités : $(1,1,1)$ (identité) ou $(1,-1,-1)$. Comme $S\neq I$, on doit avoir deux valeurs propres $-1$ et une valeur propre $+1$. Cela caractérise exactement une rotation d’angle $\pi$ (demi‑tour). Donc $f$ est un demi‑tour suivi d’une translation (un **vis sans fin** ou **rototranslation**). Comme la translation $\mathbf t$ n’est pas nulle, $f$ n’est pas un demi‑tour pur mais un **vis sans fin** ou **rototranslation**. Pour déterminer l’axe du demi‑tour sous‑jacent, on cherche les vecteurs $\mathbf v$ tels que $S\mathbf v=\mathbf v$ (espace propre associé à la valeur propre $+1$). Résolvons $(S-I)\mathbf v=0$ : $$ S-I= \begin{pmatrix} -1&0&-1\\ 0&-2&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}. $$ Le système donne : $-v_{1}-v_{3}=0\Rightarrow v_{1}=-v_{3}$, $-2v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=0$, $-v_{1}-v_{3}=0$ (redondant). Ainsi les vecteurs propres sont de la forme $(-t,0,t)=t(-1,0,1)$. Un directeur d’axe est $\mathbf u_{a}=(-1,0,1)$ (on peut aussi prendre $(1,0,-1)$). On peut normaliser : $\|\mathbf u_{a}\|=\sqrt{2}$, donc $\mathbf u_{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)$. 2. Puisque $f$ contient une translation $\mathbf t$, on vérifie si cette translation est parallèle à l’axe. $\mathbf t=(2,-1,3)$. Produit scalaire avec $\mathbf u_{a}$ : $\mathbf u_{a}\cdot\mathbf t = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot3)=\frac{1}{\sqrt{2}}( -2+3)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Comme le produit scalaire n’est pas nul, $\mathbf t$ possède une composante le long de l’axe. On peut décomposer $\mathbf t = \mathbf t_{\parallel}+\mathbf t_{\perp}$ où $\mathbf t_{\parallel}= (\mathbf u_{a}\cdot\mathbf t)\mathbf u_{a}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)=\frac{1}{2}(-1,0,1)=\left(-\frac12,0,\frac12\right)$. $\mathbf t_{\perp}= \mathbf t-\mathbf t_{\parallel}= (2,-1,3)-\left(-\frac12,0,\frac12\right)=\left(2+\frac12,-1,3-\frac12\right)=\left(\frac52,-1,\frac52\right)$. La partie $\mathbf t_{\perp}$ est orthogonale à l’axe. Ainsi $f$ équivaut à : d’abord un demi‑tour autour de l’axe dirigé par $(-1,0,1)$, puis une translation de vecteur $\mathbf t_{\parallel}$ le long de cet axe, suivie d’une translation orthogonale $\mathbf t_{\perp}$. Comme la translation orthogonale ne commute pas avec le demi‑tour, l’ensemble n’est pas une simple vis sans fin mais une **rototranslation** générale. Toutefois, si l’on ne considère que la partie linéaire $S$, on conclut que la partie linéaire est un demi‑tour d’axe $\Delta:\{( -t,0,t )\mid t\in\mathbb R\}$. **Réponse** : - La partie linéaire $S$ est un demi‑tour (rotation d’angle $\pi$) d’axe dirigé par le vecteur $(-1,0,1)$ (ou équivalentement $(1,0,-1)$). - L’isométrie complète $f$ est la composition de ce demi‑tour avec la translation $\mathbf t=(2,-1,3)$ ; elle n’est pas une réflexion pure ni un demi‑tour pur, mais une rototranslation (demi‑tour suivi d’une translation). --- ### Exercice 6 (niveau avancé) **Énoncé** : Soit $g$ l’application définie par $g(\mathbf x)=R\mathbf x$ où $$ R=\begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}{2} & 0\\[2pt] -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12 & 0\\[2pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. $$ 1. Identifier le type d’isométrie représentée par $R$. 2. Déterminer l’axe et l’angle de la rotation éventuelle. 3. Donner une description géométrique de $g$ (effet sur un objet quelconque). **Corrigé** : 1. Calcul du déterminant : $\det R = \frac12\cdot\left(\frac12\cdot(-1)-0\cdot0\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\cdot(-1)-0\cdot0\right)+0\cdot(\ldots)$ $= \frac12\cdot\left(-\frac12\right)-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$ $= -\frac14-\frac{3}{4}= -1$. Donc $\det R = -1$ → isométrie **indirecte**. La matrice est orthogonale (on peut vérifier $R^{\top}R=I$). Une matrice orthogonale de déterminant $-1$ en dimension 3 représente soit une réflexion, soit un **rotoreflection** (réflexion suivie d’une rotation autour de l’axe normal au plan de réflexion). Observons la forme bloc : la sous‑matrice $2\times2$ en haut à gauche est $\begin{pmatrix}\frac12 & \frac{\sqrt3}{2}\\ -\frac{\sqrt3}{2} & \frac12\end{pmatrix}$, qui est une rotation d’angle $\theta$ où $\cos\theta=\frac12$, $\sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ → $\theta=\frac{\pi}{3}$ (60°) dans le sens **horaire** (c’est‑à‑dire négatif par rapport au sens trigonométrique). Le troisième ligne/colonne indique que la coordonnée $z$ est changée de signe ($-1$). Donc $g$ est la composition d’une réflexion par rapport au plan $xy$ (qui envoie $z\mapsto -z$) suivie d’une rotation d’angle $-\frac{\pi}{3}$ (c’est‑à‑dire de $\frac{\pi}{3}$ dans le sens horaire) autour de l’axe $z$. Cette transformation s’appelle **rotoreflection** (ou **réflexion rotatoire**) d’axe $z$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$ (la direction de la rotation étant horaire). 2. Axe : la droite $z$ (équations $x=0,y=0$). Angle de la partie rotationnelle : $\frac{\pi}{3}$ rad ($60^\circ$) (sens horaire). La réflexion intervient automatiquement car le déterminant est $-1$ ; on peut aussi voir que la matrice admet une valeur propre $-1$ associée au vecteur $(0,0,1)$ (en effet $R(0,0,1)^{\top}=(0,0,-1)^{\top}$). 3. Description géométrique : - Tout point $(x,y,z)$ est d’abord réfléchi par rapport au plan $z=0$ (symétrie axiale par rapport au plan horizontal) : $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$. - Puis le résultat est tourné autour de l’axe $z$ d’un angle de $60^\circ$ dans le sens horaire : $(x',y',-z)\mapsto (x'\cos\frac{\pi}{3}+y'\sin\frac{\pi}{3},\; -x'\sin\frac{\pi}{3}+y'\cos\frac{\pi}{3},\; -z)$. - L’ensemble conserve les distances, inverse l’orientation (comme toute réflexion). L’unique point fixe est l’origine $(0,0,0)$, car tout point de l’axe $z$ de la forme $(0,0,z)$ devient $(0,0,-z)$ après la réflexion, puis reste $(0,0,-z)$ après la rotation (qui ne change que $x,y$). Ainsi seul le point avec $z=0$ reste invariant, c’est‑à‑dire l’origine. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | **Confondre le déterminant d’une réflexion avec celui d’un demi‑tour** | On oublie que la réflexion a $\det=-1$ alors que le demi‑tour a $\det=+1$. | Toujours calculer le déterminant de la matrice associée (ou rappeler que une réflexion change l’orientation, un demi‑tour la conserve). | | **Prendre l’axe d’un demi‑tour comme l’ensemble des points fixes** | On pense que, comme en plan, tous les points de l’axe sont fixes, alors qu’en espace seuls les points de l’axe le sont, mais la réflexion d’un plan orthogonal peut déplacer des points de l’axe si la transformation n’est pas pure. | Vérifier l’équation $f(\mathbf x)=\mathbf x$ ; pour un demi‑tour pur, l’ensemble des solutions est exactement l’axe. | | **Oublier de normaliser le vecteur directeur lorsqu’on utilise la formule $R=2\mathbf u\mathbf u^{\top}-I$** | La formule exige un vecteur unitaire ; sinon on obtient une matrice qui n’est pas orthogonale. | Toujours diviser le directeur par sa norme avant d’appliquer la formule. | | **Mélanger l’ordre de composition dans les théorèmes (réflexion‑réflexion → translation/rotation)** | On croit que $s_{\Pi_{2}}\circ s_{\Pi_{1}}$ donne toujours une rotation, oubliant le cas des plans parallèles. | Tester d’abord la parallélisme des normales : si $\mathbf n_{1}=\pm\mathbf n_{2}$ → translation, sinon → rotation. | | **Ne pas décomposer la translation lorsqu’on a une rototranslation** | On pense que la présence d’un terme $\mathbf t$ annule le caractère de demi‑tour ou de réflexion. | Séparer la partie linéaire (déterminer son type) puis étudier la translation : décomposer en composante parallèle et orthogonale à l’axe/plan pour interpréter la transformation globale. | | **Confondre angle de rotation d’une composition de deux réflexions avec l’angle entre les plans** | On oublie le facteur 2 : l’angle de rotation vaut deux fois l’angle entre les plans (ou entre leurs normales). | Se rappeler le théorème : composition de deux réflexions → rotation d’angle $2\theta$ où $\theta$ est l’angle entre les plans. | | **Utiliser le produit scalaire au lieu du produit vectoriel pour trouver l’axe d’une rotation issue de deux demi‑tour** | On cherche un vecteur orthogonal aux deux axes, donc il faut le produit vectoriel, pas le produit scalaire. | Pour obtenir l’axe orthogonal à deux directions, calculer $\mathbf u\times\mathbf v$. | | **Ne pas vérifier l’orthogonalité d’une matrice avant d’en tirer des conclusions** | On peut prendre une matrice qui ressemble à une réflexion mais qui n’est pas orthogonale (ex. faute de signe). | Toujours vérifier $M^{\top}M=I$ (ou que les colonnes forment une base orthonormée). | | **Confondre plan invariant d’une réflexion avec plan invariant d’un demi‑tour** | On pense que le plan invariant d’un demi‑tour est celui orthogonal à l’axe, alors qu’il n’y a pas de plan invariant (seul l’axe l’est). Rappeler que le demi‑tour laisse fixe uniquement son axe ; un plan orthogonal est envoyé sur lui-même par réflexion centrale, mais pas point par point. | Distinguer clairement les deux cas : réflexion → plan fixe ; demi‑tour → axe fixe uniquement. | --- **Fin du cours**. Vous disposez maintenant de toutes les définitions, propriétés, démonstrations, exemples détaillés et exercices corrigés nécessaires pour maîtriser les isométries de l’espace au niveau du Baccalauréat camerounais série C/E. Bon travail et bonne révision !