Fonctions numériques : limites, continuité et réciproque

# FONCTIONS NUMÉRIQUES : LIMITES, CONTINUITÉ ET RÉCIPROQUE ## Introduction Ce chapitre constitue un socle fondamental de l'analyse en Terminale C/E. Il approfondit la notion de limite, formalise la continuité sur un intervalle, établit le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et ses conséquences majeures, notamment l'existence et la régularité des fonctions réciproques. Nous y étudierons également l'inégalité des accroissements finis, outil puissant de comparaison et de résolution approchée, ainsi que les limites de fonctions trigonométriques et irrationnelles. Enfin, la maîtrise des branches infinies permettra une représentation graphique rigoureuse des courbes étudiées. --- ## I. FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE : IMAGE D'UN INTERVALLE ET THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES ### I.1. Continuité en un point et sur un intervalle **Définition (continuité en un point)** : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est **continue en $a$** si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. **Définition (continuité sur un intervalle)** : $f$ est **continue sur $I$** si elle est continue en tout point de $I$. > **À RETENIR** : Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si sa courbe représentative peut être tracée « sans lever le crayon » sur $I$. Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur domaine), trigonométriques, exponentielles et logarithmes sont continues sur leurs intervalles de définition. **Propriété (opérations sur les fonctions continues)** : Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors $f + g$, $f \times g$, $\lambda f$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) sont continues sur $I$. Si de plus $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$. Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$. ### I.2. Image d'un intervalle par une fonction continue **Théorème (image d'un intervalle)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. 1. Si $I = [a, b]$ est un segment (intervalle fermé borné), alors $f(I)$ est un segment $[m, M]$ où $m = \min_{x \in [a,b]} f(x)$ et $M = \max_{x \in [a,b]} f(x)$. 2. Si $I$ est un intervalle quelconque, alors $f(I)$ est un intervalle. > **À RETENIR** : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment : la fonction atteint ses bornes. **Démonstration (esquisse)** : Le point 2 découle du théorème des valeurs intermédiaires (démontré ci-dessous). Pour le point 1, on admet que $f$ est bornée sur $[a,b]$ (théorème de Heine-Borel en dimension 1) et qu'elle atteint ses bornes (théorème de Weierstrass). ### I.3. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) **Théorème (TVI)** : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a, b \in I$ avec $a < b$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$. > **À RETENIR** : Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution à l'équation $f(x) = k$ lorsque $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, mais ne donne pas d'unicité. L'unicité nécessite la stricte monotonie. **Corollaire (existence de solutions)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$. **Exemple résolu** : Montrer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une solution dans $]0, 1[$. **Solution** : Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$. $f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$. On calcule : $$f(0) = 0 - 0 + 1 = 1 > 0, \quad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0.$$ Ainsi $f(0) \cdot f(1) = 1 \times (-1) = -1 < 0$. Par le corollaire du TVI, il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$. L'équation admet donc au moins une solution dans $]0, 1[$. **Méthode de dichotomie** : Pour approcher une solution de $f(x) = 0$ sur $[a, b]$ avec $f(a) \cdot f(b) < 0$, on construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_0 = a$, $b_0 = b$, et pour tout $n$ : $$c_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \quad \text{si } f(c_n) \cdot f(a_n) \leq 0 \text{ alors } (a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n, c_n), \text{ sinon } (a_{n+1}, b_{n+1}) = (c_n, b_n).$$ On a $|b_n - a_n| = \dfrac{b - a}{2^n}$, ce qui donne une précision de $10^{-p}$ dès que $n \geq \dfrac{\ln(b-a) + p \ln 10}{\ln 2}$. **Exemple numérique** : Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $[0, 1]$, on a $f(0) = 1$, $f(1) = -1$. $c_0 = 0{,}5$, $f(0{,}5) = 0{,}125 - 1{,}5 + 1 = -0{,}375 < 0$. Donc la solution est dans $]0; 0{,}5[$. $c_1 = 0{,}25$, $f(0{,}25) = 0{,}015625 - 0{,}75 + 1 = 0{,}265625 > 0$. La solution est dans $]0{,}25; 0{,}5[$. $c_2 = 0{,}375$, $f(0{,}375) = 0{,}0527 - 1{,}125 + 1 = -0{,}0723 < 0$. La solution est dans $]0{,}25; 0{,}375[$. Après 10 itérations, on obtient $c \approx 0{,}3473$. --- ## II. FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE : RÉCIPROQUE, RACINES N-IÈMES ### II.1. Théorème de la bijection **Théorème (bijection)** : Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J = f(I)$, et $J$ est un intervalle de même nature que $I$ (ouvert, fermé, semi-ouvert, borné ou non). > **À RETENIR** : Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$. Sa réciproque $f^{-1}$ est également continue et strictement monotone sur $J = f(I)$, avec le même sens de variation que $f$. **Démonstration** : - **Injectivité** : Si $x_1 \neq x_2$ dans $I$, alors par stricte monotonie, $f(x_1) \neq f(x_2)$. Donc $f$ est injective. - **Surjectivité sur $J = f(I)$** : Par définition de $J$, $f$ est surjective de $I$ sur $J$. - **Continuité de $f^{-1}$** : On admet ce résultat (théorème de continuité de la réciproque). ### II.2. Continuité et dérivabilité de la fonction réciproque **Théorème (dérivabilité de la réciproque)** : Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, dérivable sur $I$. Soit $a \in I$ tel que $f'(a) \neq 0$. Alors $f^{-1}$ est dérivable en $b = f(a)$ et : $$\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}.$$ > **À RETENIR** : La dérivée de la fonction réciproque en $b$ est l'inverse de la dérivée de $f$ au point $a = f^{-1}(b)$, pourvu que cette dérivée soit non nulle. Si $f'(a) = 0$, la courbe de $f^{-1}$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $b$. **Démonstration** : Soit $b = f(a)$ et $h \neq 0$ tel que $b + h \in J$. Posons $k = f^{-1}(b+h) - f^{-1}(b) = f^{-1}(b+h) - a$. Par continuité de $f^{-1}$, quand $h \to 0$, $k \to 0$. On a : $$\frac{f^{-1}(b+h) - f^{-1}(b)}{h} = \frac{k}{f(a+k) - f(a)} = \frac{1}{\frac{f(a+k) - f(a)}{k}}.$$ Comme $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a) \neq 0$, le quotient $\frac{f(a+k) - f(a)}{k} \to f'(a)$ quand $k \to 0$. Par passage à l'inverse, on obtient le résultat. **Exemple résolu** : Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$. $f$ est continue, strictement croissante, dérivable, et $f'(x) = 3x^2$. Pour $x \neq 0$, $f'(x) \neq 0$. La réciproque est $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$, définie sur $\mathbb{R}$. Pour $b \neq 0$ : $$\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{3\left(\sqrt[3]{b}\right)^2} = \frac{1}{3 b^{2/3}}.$$ En $b = 0$, $f'(0) = 0$, donc la courbe de $f^{-1}$ admet une tangente verticale en $x = 0$. **Propriété géométrique** : Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ dans un repère orthonormé sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y = x$. ### II.3. Racines n-ièmes d'un réel positif **Définition** : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $a \in \mathbb{R}_+$. On appelle **racine n-ième de $a$**, notée $\sqrt[n]{a}$, l'unique réel positif $x$ tel que $x^n = a$. **Existence et unicité** : La fonction $f(x) = x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$ (car $f'(x) = n x^{n-1} > 0$ pour $x > 0$). Elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}_+$ sur $\mathbb{R}_+$. Pour tout $a \geq 0$, il existe un unique $x \geq 0$ tel que $x^n = a$. > **À RETENIR** : Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $a \geq 0$, il existe un unique réel positif $\sqrt[n]{a}$ tel que $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$. La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est la réciproque de $x \mapsto x^n$ sur $\mathbb{R}_+$. **Propriétés des racines n-ièmes** : Pour $a, b \geq 0$ et $n, m \in \mathbb{N}^*$ : 1. $\sqrt[n]{a^n} = a$ pour $a \geq 0$ ; $\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{m/n}$. 2. $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. 3. $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ pour $b > 0$. 4. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$. 5. $\sqrt[n]{a} = \sqrt[np]{a^p}$ pour $p \in \mathbb{N}^*$. 6. Si $0 \leq a < b$, alors $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ (croissance de la fonction racine n-ième). **Dérivabilité** : La fonction $g(x) = \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et : $$g'(x) = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}.$$ En $x = 0$, $g$ est continue mais non dérivable (tangente verticale). **Cas particulier $n = 2$** : $\sqrt{x}$ est la racine carrée usuelle. La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ avec $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. **Exemple résolu** : Simplifier $A = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[6]{64}$. **Solution** : $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$. $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$. Donc $A = 3 \times 2 = 6$. **Exemple résolu** : Résoudre l'équation $x^5 = 32$ dans $\mathbb{R}$. **Solution** : $x^5 = 32 = 2^5$. Comme la fonction $x \mapsto x^5$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$), l'unique solution est $x = \sqrt[5]{32} = 2$. --- ## III. INÉGALITÉS DES ACCROISSEMENTS FINIS ### III.1. Énoncé du théorème **Théorème (égalité des accroissements finis)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. Alors il existe $c \in ]a, b[$ tel que : $$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).$$ **Théorème (inégalité des accroissements finis - IAF)** : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. S'il existe $M \geq 0$ tel que $|f'(x)| \leq M$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors : $$|f(b) - f(a)| \leq M |b - a|.$$ > **À RETENIR** : L'inégalité des accroissements finis fournit une majoration de la variation de $f$ entre $a$ et $b$ à partir d'une majoration de sa dérivée. Elle est valable même si $f'$ n'est pas continue. **Démonstration** : Par l'égalité des accroissements finis, il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. En prenant les valeurs absolues : $$|f(b) - f(a)| = |f'(c)| \cdot |b - a| \leq M |b - a|.$$ **Corollaire (fonction à dérivée nulle)** : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et si $f'(x) = 0$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors $f$ est constante sur $[a, b]$. **Corollaire (fonctions à dérivées égales)** : Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$, dérivables sur $]a, b[$ et si $f'(x) = g'(x)$ pour tout $x \in ]a, b[$, alors $f - g$ est constante sur $[a, b]$. ### III.2. Application à la comparaison de fonctions **Méthode générale** : Pour comparer deux fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle, on étudie le signe de $h = f - g$ en utilisant la dérivée $h' = f' - g'$ et une valeur particulière où $h$ s'annule. **Exemple résolu** : Montrer que pour tout $x \geq 0$, $\sin x \leq x$. **Solution** : Soit $h(x) = x - \sin x$. $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ et $h'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ car $\cos x \leq 1$. Donc $h$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. Comme $h(0) = 0$, on a $h(x) \geq h(0) = 0$ pour tout $x \geq 0$, c'est-à-dire $x - \sin x \geq 0$, donc $\sin x \leq x$. **Exemple résolu** : Montrer que pour tout $x \geq 0$, $\ln(1+x) \leq x$. **Solution** : Soit $h(x) = x - \ln(1+x)$. $h$ est dérivable sur $]-1, +\infty[$ et $h'(x) = 1 - \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x} \geq 0$ pour $x \geq 0$. Donc $h$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. Comme $h(0) = 0$, on a $h(x) \geq 0$, donc $\ln(1+x) \leq x$ pour tout $x \geq 0$. **Application de l'IAF à la comparaison** : Pour montrer $|f(b) - f(a)| \leq M|b-a|$, on majore $|f'|$ par $M$ sur l'intervalle considéré. **Exemple résolu** : Montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, $|\sin x - \sin y| \leq |x - y|$. **Solution** : Soit $f(t) = \sin t$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(t) = \cos t$. On a $|f'(t)| = |\cos t| \leq 1$ pour tout $t$. Par l'IAF appliquée sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $y$ (avec $M = 1$) : $$|\sin x - \sin y| = |f(x) - f(y)| \leq 1 \cdot |x - y|.$$ ### III.3. Application à la résolution de $x^n = a$ **Théorème (unicité et encadrement)** : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $a > 0$. L'équation $x^n = a$ admet une unique solution positive $\sqrt[n]{a}$. De plus, pour tout $x > 0$ : $$|x - \sqrt[n]{a}| \leq \frac{|x^n - a|}{n \cdot \min(x, \sqrt[n]{a})^{n-1}}.$$ **Démonstration** : Soit $f(x) = x^n$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $f'(x) = n x^{n-1}$. Par l'IAF, pour $x > 0$ : $$|f(x) - f(\sqrt[n]{a})| \leq M |x - \sqrt[n]{a}|$$ où $M = \max_{t \in I} |f'(t)|$ avec $I$ l'intervalle d'extrémités $x$ et $\sqrt[n]{a}$. Comme $f'$ est croissante sur $\mathbb{R}_+^*$ (car $n-1 \geq 0$), $M = n \cdot \max(x, \sqrt[n]{a})^{n-1}$. Donc : $$|x^n - a| \leq n \cdot \max(x, \sqrt[n]{a})^{n-1} \cdot |x - \sqrt[n]{a}|.$$ D'où : $$|x - \sqrt[n]{a}| \geq \frac{|x^n - a|}{n \cdot \max(x, \sqrt[n]{a})^{n-1}}.$$ Pour une minoration de l'erreur, on utilise $\min$ au dénominateur. **Méthode de Newton pour $x^n = a$** : La suite définie par $u_0 > 0$ et $u_{k+1} = \dfrac{1}{n}\left((n-1)u_k + \dfrac{a}{u_k^{n-1}}\right)$ converge vers $\sqrt[n]{a}$. **Exemple résolu** : Approcher $\sqrt[3]{10}$ à $10^{-3}$ près. **Solution** : On cherche $x$ tel que $x^3 = 10$. On sait que $2^3 = 8 < 10 < 27 = 3^3$, donc $2 < \sqrt[3]{10} < 3$. Utilisons la méthode de Newton avec $n = 3$, $a = 10$, $u_0 = 2$ : $$u_1 = \frac{1}{3}\left(2 \times 2 + \frac{10}{2^2}\right) = \frac{1}{3}(4 + 2{,}5) = \frac{6{,}5}{3} \approx 2{,}1667.$$ $$u_2 = \frac{1}{3}\left(2 \times 2{,}1667 + \frac{10}{2{,}1667^2}\right) = \frac{1}{3}\left(4{,}3333 + \frac{10}{4{,}6944}\right) = \frac{1}{3}(4{,}3333 + 2{,}1302) \approx 2{,}1545.$$ $$u_3 = \frac{1}{3}\left(2 \times 2{,}1545 + \frac{10}{2{,}1545^2}\right) = \frac{1}{3}\left(4{,}309 + \frac{10}{4{,}6419}\right) = \frac{1}{3}(4{,}309 + 2{,}1543) \approx 2{,}1544.$$ Vérifions : $2{,}1544^3 = 2{,}1544 \times 2{,}1544 \times 2{,}1544 \approx 10{,}0001$. Donc $\sqrt[3]{10} \approx 2{,}154$ à $10^{-3}$ près. --- ## IV. LIMITES DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET DES FONCTIONS IRRATIONNELLES ### IV.1. Limites fondamentales des fonctions trigonométriques **Limites de référence** : $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1.$$ > **À RETENIR** : Les limites $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$ sont des résultats fondamentaux à connaître par cœur. Elles permettent de lever les formes indéterminées $\dfrac{0}{0}$. **Démonstration de $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$** : On utilise l'encadrement classique. Pour $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$, on considère le cercle trigonométrique. L'aire du secteur angulaire d'angle $x$ est $\dfrac{x}{2}$, l'aire du triangle $OIA$ (où $A$ est le point du cercle) est $\dfrac{\sin x}{2}$, et l'aire du triangle $OIT$ (où $T$ est l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses) est $\dfrac{\tan x}{2}$. On a : $$\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}.$$ Donc $\sin x \leq x \leq \tan x$. En divisant par $\sin x > 0$ : $$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}.$$ En prenant l'inverse : $\cos x \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq 1$. Par le théorème des gendarmes, comme $\cos x \to 1$ quand $x \to 0$, on obtient $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. Par parité, le résultat s'étend à $x \to 0^-$. **Démonstration de $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$** : On utilise $\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1 - \cos x}{2}$. Donc : $$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2.$$ Comme $\dfrac{\sin(x/2)}{x/2} \to 1$ quand $x \to 0$, on obtient $\dfrac{1 - \cos x}{x^2} \to \dfrac{1}{2}$. **Limites composées** : Pour $u(x) \to 0$ quand $x \to a$ : $$\lim_{x \to a} \frac{\sin(u(x))}{u(x)} = 1, \quad \lim_{x \to a} \frac{1 - \cos(u(x))}{u(x)^2} = \frac{1}{2}.$$ **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$. **Solution** : On écrit $\dfrac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \dfrac{\sin(3x)}{3x}$. Comme $3x \to 0$ quand $x \to 0$, on a $\dfrac{\sin(3x)}{3x} \to 1$. Donc $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x} = 3 \times 1 = 3$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}$. **Solution** : $\dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2} = 4 \cdot \dfrac{1 - \cos(2x)}{(2x)^2}$. Comme $2x \to 0$, $\dfrac{1 - \cos(2x)}{(2x)^2} \to \dfrac{1}{2}$. Donc la limite vaut $4 \times \dfrac{1}{2} = 2$. **Limites en l'infini** : Les fonctions $\sin x$ et $\cos x$ n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$ (elles oscillent entre $-1$ et $1$). On a : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{x} = 0$$ par le théorème des gendarmes, car $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$ pour $x > 0$. ### IV.2. Limites des fonctions irrationnelles **Définition** : Une fonction irrationnelle est une fonction faisant intervenir des racines carrées, cubiques ou n-ièmes de polynômes. **Technique de la quantité conjuguée** : Pour lever une forme indéterminée du type $\sqrt{u(x)} - \sqrt{v(x)}$ quand $x \to a$, on multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{u} - \sqrt{v} = \frac{u - v}{\sqrt{u} + \sqrt{v}}.$$ **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$. **Solution** : On a une forme $\dfrac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}.$$ Donc $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \dfrac{1}{\sqrt{1} + 1} = \dfrac{1}{2}$. (On retrouve la dérivée de $\sqrt{x}$ en $x = 1$.) **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$. **Solution** : Forme indéterminée $+\infty - \infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : $$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x^2 + 1} + x \to +\infty$, donc la limite est $0$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)$. **Solution** : On factorise par $x$ sous la racine : $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \dfrac{3}{x}}$ pour $x > 0$. Donc : $$\sqrt{x^2 + 3x} - x = x\left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right).$$ On utilise $\sqrt{1 + u} \approx 1 + \dfrac{u}{2}$ quand $u \to 0$ (développement limité). Avec $u = \dfrac{3}{x} \to 0$ : $$\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1 \sim \frac{3}{2x}.$$ Donc $x\left(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} - 1\right) \sim x \cdot \dfrac{3}{2x} = \dfrac{3}{2}$. La limite est $\dfrac{3}{2}$. **Limites avec racines n-ièmes** : Pour $n \in \mathbb{N}^*$ : $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \sqrt[n]{x} = 0.$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[n]{x}}{x} = 0 \quad \text{(croissance lente des racines)}.$$ **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x + 2}$. **Solution** : On factorise par $x$ au dénominateur et par $\sqrt{x}$ au numérateur : $$\frac{\sqrt{x} + 1}{x + 2} = \frac{\sqrt{x}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{x\left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{2}{x}}.$$ Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ et $\dfrac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{1 + \frac{2}{x}} \to 1$. Donc la limite est $0$. ### IV.3. Limites composées avec fonctions trigonométriques et irrationnelles **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{x}$ pour $x > 0$. **Solution** : On écrit $\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{x} = \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. Quand $x \to 0^+$, $\sqrt{x} \to 0$, donc $\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \to 1$. Mais $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$. Donc la limite est $+\infty$. **Exemple résolu** : Calculer $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sin x}$. **Solution** : Forme $\dfrac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée au numérateur : $$\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sin x} = \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{\sin x (\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1}.$$ Or $\dfrac{x}{\sin x} = \dfrac{1}{\sin x / x} \to 1$ quand $x \to 0$, et $\dfrac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \to \dfrac{1}{2}$. Donc la limite est $1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$. --- ## V. REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES : BRANCHES INFINIES ET COURBES ### V.1. Recherche des branches infinies **Définition** : Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ (respectivement $-\infty$). On appelle **branche infinie** de la courbe $\mathcal{C}_f$ le comportement de la courbe quand $x \to +\infty$ (respectivement $x \to -\infty$). **Cas 1 : Limite infinie en un point fini (asymptote verticale)** : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x = a$ est une **asymptote verticale** à $\mathcal{C}_f$. **Cas 2 : Limite finie en l'infini (asymptote horizontale)** : Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (finie), alors la droite $y = L$ est une **asymptote horizontale** à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. De même en $-\infty$. **Cas 3 : Limite infinie en l'infini (branche parabolique ou asymptote oblique)** : Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$, on étudie $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ : - Si $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty$, la courbe admet une **branche parabolique de direction l'axe des ordonnées**. - Si $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a$ (finie) et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) = \pm\infty$, la courbe admet une **branche parabolique de direction la droite $y = ax$**. - Si $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a$ (finie) et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) = b$ (finie), la droite $y = ax + b$ est une **asymptote oblique** à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. > **À RETENIR** : Pour déterminer une asymptote oblique $y = ax + b$, on calcule successivement $a = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ puis $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$. Si ces deux limites existent et sont finies, l'asymptote existe. **Position de la courbe par rapport à l'asymptote** : On étudie le signe de $f(x) - (ax + b)$. **Exemple résolu** : Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$. Déterminer les branches infinies. **Solution** : - Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. - **Asymptote verticale** : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} = \dfrac{2}{0^+} = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Donc $x = 1$ est asymptote verticale. - **Comportement en $+\infty$** : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. On calcule $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x^2 + 1}{x(x-1)} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - x}$. En factorisant par $x^2$ : $\dfrac{1 + 1/x^2}{1 - 1/x} \to 1$. Donc $a = 1$. Puis $f(x) - x = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} - x = \dfrac{x^2 + 1 - x(x-1)}{x - 1} = \dfrac{x^2 + 1 - x^2 + x}{x - 1} = \dfrac{x + 1}{x - 1} \to 1$. Donc $b = 1$. L'asymptote oblique en $+\infty$ est $y = x + 1$. - **Position** : $f(x) - (x + 1) = \dfrac{x + 1}{x - 1} - (x + 1) = \dfrac{x + 1 - (x+1)(x-1)}{x - 1} = \dfrac{x + 1 - (x^2 - 1)}{x - 1} = \dfrac{-x^2 + x + 2}{x - 1}$. Le signe dépend de $x$. Pour $x > 1$, le numérateur $-x^2 + x + 2 = -(x-2)(x+1)$ est positif sur $]1, 2[$ et négatif sur $]2, +\infty[$. La courbe est au-dessus de l'asymptote sur $]1, 2[$ et en dessous sur $]2, +\infty[$. ```onbuch-plot {"title":"f(x) = (x²+1)/(x-1) et asymptote y = x+1", "type":"line", "series":[{"label":"f(x)", "points":[[-5,-4.333],[-4,-3.4],[-3,-2.5],[-2,-1.667],[-1.5,-1.3],[-1,-1],[-0.5,-0.833],[0,-1],[0.5,-2.5],[1.5,6.5],[2,5],[2.5,4.833],[3,5],[3.5,5.417],[4,5.667],[4.5,5.9],[5,6.5],[6,7.4],[7,8.333],[8,9.286],[9,10.25],[10,11.222]]}, {"label":"y = x+1", "points":[[-5,-4],[-4,-3],[-3,-2],[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[5,6],[6,7],[7,8],[8,9],[9,10],[10,11]]}]} ``` ### V.2. Construction de courbes de fonctions irrationnelles **Méthode générale** : 1. Déterminer le domaine de définition. 2. Étudier la parité ou la périodicité éventuelle. 3. Calculer les limites aux bornes du domaine. 4. Rechercher les branches infinies. 5. Calculer la dérivée, étudier son signe, dresser le tableau de variations. 6. Tracer la courbe. **Exemple résolu** : Étudier et tracer $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$. **Solution** : - **Domaine** : $x^2 - 1 \geq 0 \iff x \in ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[$. - **Parité** : $f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 1} = f(x)$. $f$ est paire. On étudie sur $[1, +\infty[$ puis on symétrise par rapport à l'axe des ordonnées. - **Limites** : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 0$. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - **Branche infinie** : $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^2}} \to 1$ quand $x \to +\infty$. Donc $a = 1$. $f(x) - x = \sqrt{x^2 - 1} - x = \dfrac{x^2 - 1 - x^2}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2 - 1} + x} \to 0$. Donc $b = 0$. L'asymptote oblique est $y = x$ en $+\infty$. Par parité, $y = -x$ est asymptote en $-\infty$. - **Dérivée** : $f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$ pour $x > 1$. $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$. $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$. - **Dérivée seconde** : $f''(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2 - 1} = \dfrac{x^2 - 1 - x^2}{(x^2-1)^{3/2}} = \dfrac{-1}{(x^2-1)^{3/2}} < 0$. La courbe est concave. ```onbuch-plot {"title":"f(x) = sqrt(x²-1)", "type":"line", "series":[{"label":"f(x)", "points":[[-5,4.899],[-4.5,4.387],[-4,3.873],[-3.5,3.354],[-3,2.828],[-2.5,2.291],[-2,1.732],[-1.5,1.118],[-1.2,0.663],[-1.05,0.32],[-1,0],[1,0],[1.05,0.32],[1.2,0.663],[1.5,1.118],[2,1.732],[2.5,2.291],[3,2.828],[3.5,3.354],[4,3.873],[4.5,4.387],[5,4.899]]}, {"label":"y = x", "points":[[-5,-5],[-4,-4],[-3,-3],[-2,-2],[-1,-1],[0,0],[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5]]}, {"label":"y = -x", "points":[[-5,5],[-4,4],[-3,3],[-2,2],[-1,1],[0,0],[1,-1],[2,-2],[3,-3],[4,-4],[5,-5]]}]} ``` **Exemple résolu** : Étudier et tracer $g(x) = \sqrt{x} + \sqrt{4 - x}$. **Solution** : - **Domaine** : $x \geq 0$ et $4 - x \geq 0$, donc $x \in [0, 4]$. - **Continuité** : $g$ est continue sur $[0, 4]$ comme somme de fonctions continues. - **Dérivée** : $g'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{2\sqrt{4-x}} = \dfrac{\sqrt{4-x} - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{4-x}}$. - **Signe** : $g'(x) = 0 \iff \sqrt{4-x} = \sqrt{x} \iff 4 - x = x \iff x = 2$. $g'(x) > 0 \iff \sqrt{4-x} > \sqrt{x} \iff 4 - x > x \iff x < 2$. Donc $g$ est croissante sur $[0, 2]$ et décroissante sur $[2, 4]$. - **Valeurs** : $g(0) = 2$, $g(4) = 2$, $g(2) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828$. - **Maximum** : $g$ admet un maximum en $x = 2$ valant $2\sqrt{2}$. ```onbuch-plot {"title":"g(x) = sqrt(x) + sqrt(4-x)", "type":"line", "series":[{"label":"g(x)", "points":[[0,2],[0.2,2.447],[0.4,2.633],[0.6,2.775],[0.8,2.894],[1,3],[1.2,3.095],[1.4,3.181],[1.6,3.259],[1.8,3.33],[2,3.394],[2.2,3.33],[2.4,3.259],[2.6,3.181],[2.8,3.095],[3,3],[3.2,2.894],[3.4,2.775],[3.6,2.633],[3.8,2.447],[4,2]]}]} ``` ### V.3. Construction de courbes de fonctions trigonométriques et de leurs réciproques **Fonctions trigonométriques réciproques** : **Définition (arcsinus)** : La fonction $\sin$ est continue et strictement croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, et $\sin\left(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\right) = [-1, 1]$. Sa bijection réciproque est appelée **arcsinus**, notée $\arcsin$ : $$\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].$$ **Définition (arccosinus)** : La fonction $\cos$ est continue et strictement décroissante sur $[0, \pi]$, et $\cos([0, \pi]) = [-1, 1]$. Sa bijection réciproque est appelée **arccosinus**, notée $\arccos$ : $$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi].$$ **Définition (arctangente)** : La fonction $\tan$ est continue et strictement croissante sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$, et $\tan\left(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\right) = \mathbb{R}$. Sa bijection réciproque est appelée **arctangente**, notée $\arctan$ : $$\arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[.$$ > **À RETENIR** : > - $\arcsin$ est définie sur $[-1, 1]$, à valeurs dans $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, impaire, strictement croissante. > - $\arccos$ est définie sur $[-1, 1]$, à valeurs dans $[0, \pi]$, strictement décroissante. > - $\arctan$ est définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, impaire, strictement croissante. > - Pour tout $x \in [-1, 1]$ : $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$. **Dérivées des fonctions réciproques trigonométriques** : $$\left(\arcsin x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{pour } x \in ]-1, 1[.$$ $$\left(\arccos x\right)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{pour } x \in ]-1, 1[.$$ $$\left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1 + x^2} \quad \text{pour } x \in \mathbb{R}.$$ **Démonstration pour $\arcsin$** : Soit $f(x) = \sin x$ sur $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. $f'(x) = \cos x > 0$ sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$. Pour $y = f(x) = \sin x$ : $$\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{\cos x}.$$ Or $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - y^2}$ (positif car $x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$). Donc $\left(\arcsin y\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$. **Limites importantes** : $$\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}.$$ **Exemple résolu** : Étudier et tracer $h(x) = \arctan x$. **Solution** : - **Domaine** : $\mathbb{R}$. - **Parité** : $\arctan(-x) = -\arctan x$ (impaire). On étudie sur $\mathbb{R}_+$ puis on symétrise. - **Limites** : $\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}$, $\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\dfrac{\pi}{2}$. Asymptotes horizontales $y = \pm\dfrac{\pi}{2}$. - **Dérivée** : $h'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} > 0$ pour tout $x$. $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - **Dérivée seconde** : $h''(x) = -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$. $h''(x) > 0$ sur $]-\infty, 0[$ (convexe) et $h''(x) < 0$ sur $]0, +\infty[$ (concave). Point d'inflexion en $(0, 0)$. ```onbuch-plot {"title":"h(x) = arctan(x)", "type":"line", "series":[{"label":"arctan(x)", "points":[[-10,-1.471],[-8,-1.446],[-6,-1.406],[-5,-1.373],[-4,-1.326],[-3,-1.249],[-2.5,-1.19],[-2,-1.107],[-1.5,-0.983],[-1,-0.785],[-0.5,-0.464],[0,0],[0.5,0.464],[1,0.785],[1.5,0.983],[2,1.107],[2.5,1.19],[3,1.249],[4,1.326],[5,1.373],[6,1.406],[8,1.446],[10,1.471]]}, {"label":"y = pi/2", "points":[[-10,1.571],[-8,1.571],[-6,1.571],[-4,1.571],[-2,1.571],[0,1.571],[2,1.571],[4,1.571],[6,1.571],[8,1.571],[10,1.571]]}, {"label":"y = -pi/2", "points":[[-10,-1.571],[-8,-1.571],[-6,-1.571],[-4,-1.571],[-2,-1.571],[0,-1.571],[2,-1.571],[4,-1.571],[6,-1.571],[8,-1.571],[10,-1.571]]}]} ``` **Exemple résolu** : Étudier et tracer $\varphi(x) = \arcsin x$. **Solution** : - **Domaine** : $[-1, 1]$. - **Parité** : $\arcsin(-x) = -\arcsin x$ (impaire). - **Valeurs** : $\arcsin(0) = 0$, $\arcsin(1) = \dfrac{\pi}{2}$, $\arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2}$. - **Dérivée** : $\varphi'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} > 0$ sur $]-1, 1[$. $\varphi$ est strictement croissante. - **Limites de la dérivée** : $\lim_{x \to 1^-} \varphi'(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -1^+} \varphi'(x) = +\infty$. Tangentes verticales en $x = \pm 1$. - **Dérivée seconde** : $\varphi''(x) = \dfrac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$. $\varphi''(x) > 0$ sur $]0, 1[$ (convexe), $\varphi''(x) < 0$ sur $]-1, 0[$ (concave). Point d'inflexion en $(0, 0)$. ```onbuch-plot {"title":"phi(x) = arcsin(x)", "type":"line", "series":[{"label":"arcsin(x)", "points":[[-1,-1.571],[-0.95,-1.253],[-0.9,-1.12],[-0.8,-0.927],[-0.7,-0.775],[-0.6,-0.644],[-0.5,-0.524],[-0.4,-0.412],[-0.3,-0.305],[-0.2,-0.201],[-0.1,-0.1],[0,0],[0.1,0.1],[0.2,0.201],[0.3,0.305],[0.4,0.412],[0.5,0.524],[0.6,0.644],[0.7,0.775],[0.8,0.927],[0.9,1.12],[0.95,1.253],[1,1.571]]}]} ``` **Exemple résolu** : Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\arcsin x = \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right)$. **Solution** : $\arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3}$ car $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\pi}{3} \in [0, \pi]$. On cherche $x \in [-1, 1]$ tel que $\arcsin x = \dfrac{\pi}{3}$. Comme $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $x = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. ### V.4. Courbes de fonctions composées avec réciproques **Exemple résolu** : Étudier et tracer $F(x) = \arctan\left(\dfrac{1}{x}\right)$ pour $x \neq 0$. **Solution** : - **Domaine** : $\mathbb{R}^*$. - **Parité** : $F(-x) = \arctan\left(-\dfrac{1}{x}\right) = -\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = -F(x)$. $F$ est impaire. - **Limites** : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to 0^+} F(x) = \dfrac{\pi}{2}$. $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$, donc $\lim_{x \to 0^-} F(x) = -\dfrac{\pi}{2}$. $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0$. De même $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$. - **Dérivée** : $F'(x) = \dfrac{1}{1 + (1/x)^2} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{x^2 + 1}$. $F'(x) < 0$ pour tout $x \neq 0$. $F$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$. - **Asymptotes** : $y = \dfrac{\pi}{2}$ en $0^+$, $y = -\dfrac{\pi}{2}$ en $0^-$, $y = 0$ en $\pm\infty$. ```onbuch-plot {"title":"F(x) = arctan(1/x)", "type":"line", "series":[{"label":"F(x)", "points":[[-10,-0.0997],[-8,-0.124],[-6,-0.165],[-5,-0.197],[-4,-0.245],[-3,-0.322],[-2.5,-0.381],[-2,-0.464],[-1.5,-0.588],[-1,-0.785],[-0.8,-0.896],[-0.6,-1.03],[-0.4,-1.19],[-0.2,-1.373],[-0.1,-1.471],[-0.05,-1.521],[0.05,1.521],[0.1,1.471],[0.2,1.373],[0.4,1.19],[0.6,1.03],[0.8,0.896],[1,0.785],[1.5,0.588],[2,0.464],[2.5,0.381],[3,0.322],[4,0.245],[5,0.197],[6,0.165],[8,0.124],[10,0.0997]]}, {"label":"y = pi/2", "points":[[-10,1.571],[-5,1.571],[0,1.571],[5,1.571],[10,1.571]]}, {"label":"y = -pi/2", "points":[[-10,-1.571],[-5,-1.571],[0,-1.571],[5,-1.571],[10,-1.571]]}]} ``` --- ## Conclusion Ce chapitre a établi les fondements de l'analyse réelle nécessaires pour la suite du programme. Le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection permettent de garantir l'existence et l'unicité de solutions d'équations, tandis que l'inégalité des accroissements finis fournit un outil de comparaison et d'encadrement puissant. Les fonctions réciproques, notamment les racines n-ièmes et les fonctions trigonométriques réciproques, enrichissent considérablement la palette des fonctions étudiables. La maîtrise des limites et des branches infinies est indispensable pour une représentation graphique rigoureuse. Ces outils seront mobilisés dans les chapitres suivants : calcul intégral, équations différentielles et étude approfondie des fonctions exponentielles et logarithmes.