Similitudes directes du plan

# Similitudes directes du plan ## Introduction Les similitudes directes constituent une famille fondamentale de transformations géométriques du plan. Elles généralisent les translations, homothéties et rotations tout en préservant les angles orientés et en multipliant les distances par un facteur constant appelé rapport. L'étude de ces transformations s'appuie naturellement sur les nombres complexes, qui offrent un cadre algébrique puissant pour leur écriture, leur composition et l'étude de leurs effets sur les figures. Ce chapitre, au programme des séries C et E, vise à maîtriser l'écriture complexe et analytique des similitudes directes, la détermination de leurs éléments caractéristiques, ainsi que leur application à la résolution de problèmes de lieux géométriques, de constructions et de démonstrations de propriétés. --- ## I. Écriture complexe et expressions analytiques des applications usuelles du plan ### I.1. Rappels sur le plan complexe Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. À tout point $M$ de coordonnées $(x, y)$ est associé son affixe $z = x + iy$, où $i$ est le nombre complexe tel que $i^2 = -1$. Réciproquement, à tout nombre complexe $z = x + iy$ correspond le point $M(x, y)$. ### I.2. La translation **Définition.** Soit $\vec{w}$ un vecteur du plan d'affixe $b$. La translation de vecteur $\vec{w}$, notée $t_{\vec{w}}$, est l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{w}$. > **À retenir — Écriture complexe de la translation.** > La translation de vecteur $\vec{w}$ d'affixe $b$ a pour écriture complexe : > $$z' = z + b$$ > où $z$ et $z'$ sont respectivement les affixes de $M$ et de son image $M'$. **Expression analytique.** Si $b = \alpha + i\beta$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, alors en posant $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$, on obtient : $$x' = x + \alpha \quad \text{et} \quad y' = y + \beta$$ **Exemple.** Soit la translation de vecteur $\vec{w}(2, -3)$. Son écriture complexe est $z' = z + 2 - 3i$. L'image du point $A(1, 4)$ a pour affixe $z' = 1 + 4i + 2 - 3i = 3 + i$, soit le point $A'(3, 1)$. ### I.3. L'homothétie **Définition.** Soit $\Omega$ un point du plan d'affixe $\omega$ et $k$ un réel non nul. L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$, notée $h(\Omega, k)$, est l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\overrightarrow{\Omega M'} = k \cdot \overrightarrow{\Omega M}$. > **À retenir — Écriture complexe de l'homothétie.** > L'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ a pour écriture complexe : > $$z' - \omega = k(z - \omega)$$ > soit encore : > $$z' = kz + \omega(1 - k)$$ **Expression analytique.** En posant $\omega = a + ib$, $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$, on obtient : $$x' = kx + a(1 - k) \quad \text{et} \quad y' = ky + b(1 - k)$$ **Exemple.** Soit l'homothétie de centre $\Omega(1, 2)$ et de rapport $k = 3$. Son écriture complexe est $z' = 3z + (1 + 2i)(1 - 3) = 3z - 2 - 4i$. L'image du point $M(0, 1)$ d'affixe $z = i$ est $z' = 3i - 2 - 4i = -2 - i$, soit $M'(-2, -1)$. ### I.4. La rotation **Définition.** Soit $\Omega$ un point du plan d'affixe $\omega$ et $\theta$ un réel. La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$, notée $r(\Omega, \theta)$, est l'application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\Omega M' = \Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \theta$ (modulo $2\pi$). > **À retenir — Écriture complexe de la rotation.** > La rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ a pour écriture complexe : > $$z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$$ > soit encore : > $$z' = e^{i\theta} z + \omega(1 - e^{i\theta})$$ **Expression analytique.** En posant $\omega = a + ib$, $z = x + iy$, $z' = x' + iy'$ et $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, on obtient : $$x' = x\cos\theta - y\sin\theta + a(1 - \cos\theta) + b\sin\theta$$ $$y' = x\sin\theta + y\cos\theta + b(1 - \cos\theta) - a\sin\theta$$ **Exemple.** Soit la rotation de centre $\Omega(0, 0)$ et d'angle $\theta = \frac{\pi}{2}$. Son écriture complexe est $z' = e^{i\pi/2} z = iz$. L'image du point $M(2, 1)$ d'affixe $z = 2 + i$ est $z' = i(2 + i) = 2i + i^2 = -1 + 2i$, soit $M'(-1, 2)$. ### I.5. Tableau récapitulatif des écritures complexes | Transformation | Écriture complexe | Éléments caractéristiques | |---|---|---| | Translation $t_{\vec{w}}$ | $z' = z + b$ | Vecteur $\vec{w}$ d'affixe $b$ | | Homothétie $h(\Omega, k)$ | $z' = kz + \omega(1-k)$ | Centre $\Omega(\omega)$, rapport $k \in \mathbb{R}^*$ | | Rotation $r(\Omega, \theta)$ | $z' = e^{i\theta}z + \omega(1-e^{i\theta})$ | Centre $\Omega(\omega)$, angle $\theta$ | --- ## II. Éléments caractéristiques d'une similitude directe plane à partir de son écriture complexe ### II.1. Définition générale **Définition.** Une similitude directe du plan est une application $s$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $$z' = az + b$$ où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$. > **À retenir — Écriture complexe générale d'une similitude directe.** > Toute similitude directe $s$ s'écrit de manière unique sous la forme : > $$z' = az + b \quad \text{avec} \quad a \in \mathbb{C}^*, \; b \in \mathbb{C}$$ > Le nombre complexe $a$ est appelé le **rapport complexe** de la similitude, et $b$ sa **partie translative**. ### II.2. Rapport, angle et centre Soit $s$ une similitude directe d'écriture complexe $z' = az + b$, avec $a = \rho e^{i\theta}$ où $\rho = |a| > 0$ et $\theta = \arg(a)$ (modulo $2\pi$). **Définition.** Le **rapport** de la similitude directe $s$ est le réel positif $k = |a| = \rho$. L'**angle** de la similitude est $\theta = \arg(a)$ (modulo $2\pi$). **Propriété fondamentale.** Pour tous points $M$ et $N$ d'images respectives $M'$ et $N'$ par $s$, on a : $$M'N' = |a| \cdot MN = k \cdot MN$$ et l'angle orienté est préservé : $$(\overrightarrow{M'N'}, \overrightarrow{P'Q'}) = (\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ})$$ pour tous points $M, N, P, Q$ avec $M \neq N$ et $P \neq Q$. **Démonstration.** Soient $M(z)$, $N(w)$ deux points et $M'(z')$, $N'(w')$ leurs images. Alors $z' = az + b$ et $w' = aw + b$, donc $w' - z' = a(w - z)$. En prenant les modules : $|w' - z'| = |a| \cdot |w - z|$, ce qui donne $M'N' = |a| \cdot MN$. En prenant les arguments : $\arg(w' - z') = \arg(a) + \arg(w - z)$, donc l'angle orienté entre les vecteurs est préservé à l'addition de $\theta$ près, ce qui signifie que les angles orientés entre deux vecteurs sont conservés. **Cas particuliers.** - Si $a = 1$, alors $s$ est une translation de vecteur d'affixe $b$. - Si $a \in \mathbb{R}^*$ avec $a \neq 1$, alors $s$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$. - Si $|a| = 1$ avec $a \neq 1$, alors $s$ est une rotation d'angle $\arg(a)$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = \frac{b}{1-a}$. **Centre d'une similitude directe.** Si $a \neq 1$, la similitude directe $s$ admet un unique point fixe $\Omega$ appelé **centre** de la similitude. Son affixe $\omega$ vérifie : $$\omega = a\omega + b \quad \Longleftrightarrow \quad \omega = \frac{b}{1 - a}$$ > **À retenir — Éléments caractéristiques.** > Pour la similitude directe $s : z' = az + b$ avec $a = \rho e^{i\theta}$ : > - **Rapport** : $k = \rho = |a|$ > - **Angle** : $\theta = \arg(a)$ (modulo $2\pi$) > - **Centre** (si $a \neq 1$) : $\omega = \dfrac{b}{1 - a}$ > - Si $a = 1$ : $s$ est une translation (pas de centre). **Exemple.** Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z' = (1 + i)z + 2 - i$. On a $a = 1 + i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$. Donc : - Rapport : $k = |1 + i| = \sqrt{2}$ - Angle : $\theta = \arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$ - Centre : $\omega = \frac{2 - i}{1 - (1 + i)} = \frac{2 - i}{-i} = \frac{2 - i}{-i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{2i - i^2}{-i^2} = \frac{2i + 1}{1} = 1 + 2i$ Le centre est donc $\Omega(1, 2)$. **Vérification.** L'image de $\Omega$ par $s$ est $z' = (1 + i)(1 + 2i) + 2 - i = 1 + 2i + i + 2i^2 + 2 - i = 1 + 2i + i - 2 + 2 - i = 1 + 2i = \omega$. Le point $\Omega$ est bien fixe. ### II.3. Décomposition canonique **Théorème.** Toute similitude directe $s$ d'écriture complexe $z' = az + b$ avec $a \neq 1$ se décompose de manière unique comme la composée commutative d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k = |a|$ et d'une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta = \arg(a)$ : $$s = r(\Omega, \theta) \circ h(\Omega, k) = h(\Omega, k) \circ r(\Omega, \theta)$$ **Démonstration.** Soit $\omega = \frac{b}{1-a}$ l'affixe du centre. Pour tout $z$, on a : $$z' - \omega = az + b - \omega = az + b - \frac{b}{1-a} = az + \frac{b(1-a) - b}{1-a} = az - \frac{ab}{1-a} = a\left(z - \frac{b}{1-a}\right) = a(z - \omega)$$ Ainsi $z' - \omega = a(z - \omega) = \rho e^{i\theta}(z - \omega)$, ce qui montre que $s$ est la composée de l'homothétie de centre $\Omega$ de rapport $\rho$ et de la rotation de centre $\Omega$ d'angle $\theta$. La commutativité découle du fait que les deux transformations ont le même centre et que leurs écritures complexes commutent : $e^{i\theta}(\rho z) = \rho(e^{i\theta} z)$. --- ## III. Reconnaissance de l'écriture analytique d'une similitude directe, passage entre écritures analytique et complexe ### III.1. Reconnaissance de l'écriture analytique **Définition.** Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si son expression analytique est de la forme : $$x' = \alpha x - \beta y + p$$ $$y' = \beta x + \alpha y + q$$ où $\alpha, \beta, p, q \in \mathbb{R}$ avec $(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$. > **À retenir — Critère de reconnaissance.** > Une application affine $f : (x, y) \mapsto (x', y')$ définie par : > $$x' = ax + by + p$$ > $$y' = cx + dy + q$$ > est une similitude directe si et seulement si : > $$a = d \quad \text{et} \quad b = -c$$ > avec $(a, b) \neq (0, 0)$. > Le rapport est alors $k = \sqrt{a^2 + b^2}$ et l'angle $\theta$ vérifie $\cos\theta = \frac{a}{k}$ et $\sin\theta = \frac{b}{k}$. **Exemple.** Considérons l'application $f$ définie par : $$x' = 2x - 3y + 1$$ $$y' = 3x + 2y - 4$$ On a $a = 2$, $b = -3$, $c = 3$, $d = 2$. On vérifie que $a = d = 2$ et $b = -c = -3$. Donc $f$ est une similitude directe de rapport $k = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$ et d'angle $\theta$ tel que $\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$ et $\sin\theta = \frac{-3}{\sqrt{13}}$, soit $\theta = -\arctan\left(\frac{3}{2}\right)$ (modulo $2\pi$). **Contre-exemple.** L'application $g$ définie par $x' = 2x + 3y$ et $y' = 3x + 2y$ n'est pas une similitude directe car $a = 2 \neq d = 2$ (en fait $a = d$ mais $b = 3 \neq -c = -3$). C'est une symétrie orthogonale par rapport à la droite $y = x$, qui est une isométrie indirecte. ### III.2. Passage de l'écriture analytique à l'écriture complexe Soit une similitude directe donnée par son expression analytique : $$x' = \alpha x - \beta y + p$$ $$y' = \beta x + \alpha y + q$$ On pose $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$. Alors : $$z' = x' + iy' = (\alpha x - \beta y + p) + i(\beta x + \alpha y + q)$$ $$= \alpha x - \beta y + i\beta x + i\alpha y + p + iq$$ $$= \alpha(x + iy) + i\beta(x + iy) + p + iq$$ $$= (\alpha + i\beta)(x + iy) + p + iq$$ $$= (\alpha + i\beta)z + (p + iq)$$ > **À retenir — Passage analytique vers complexe.** > Si $x' = \alpha x - \beta y + p$ et $y' = \beta x + \alpha y + q$, alors l'écriture complexe est : > $$z' = (\alpha + i\beta)z + (p + iq)$$ > Le rapport complexe est $a = \alpha + i\beta$ et la partie translative est $b = p + iq$. **Exemple.** Reprenons $f$ définie par $x' = 2x - 3y + 1$ et $y' = 3x + 2y - 4$. Ici $\alpha = 2$, $\beta = 3$, $p = 1$, $q = -4$. L'écriture complexe est : $$z' = (2 + 3i)z + (1 - 4i)$$ ### III.3. Passage de l'écriture complexe à l'écriture analytique Soit une similitude directe d'écriture complexe $z' = az + b$ avec $a = \alpha + i\beta$ et $b = p + iq$. En posant $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ : $$x' + iy' = (\alpha + i\beta)(x + iy) + p + iq = \alpha x - \beta y + p + i(\beta x + \alpha y + q)$$ En identifiant parties réelles et imaginaires : $$x' = \alpha x - \beta y + p$$ $$y' = \beta x + \alpha y + q$$ > **À retenir — Passage complexe vers analytique.** > Si $z' = (\alpha + i\beta)z + (p + iq)$, alors l'expression analytique est : > $$x' = \alpha x - \beta y + p$$ > $$y' = \beta x + \alpha y + q$$ **Exemple.** Soit $s$ d'écriture complexe $z' = (1 - 2i)z + 3 + i$. On a $\alpha = 1$, $\beta = -2$, $p = 3$, $q = 1$. L'expression analytique est : $$x' = 1 \cdot x - (-2) \cdot y + 3 = x + 2y + 3$$ $$y' = (-2) \cdot x + 1 \cdot y + 1 = -2x + y + 1$$ ### III.4. Méthode générale de détermination d'une similitude directe **Théorème.** Étant donnés deux couples de points $(A, B)$ et $(A', B')$ avec $A \neq B$ et $A' \neq B'$, il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$. **Démonstration.** Soient $z_A, z_B, z_{A'}, z_{B'}$ les affixes respectifs. On cherche $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$ tels que : $$z_{A'} = az_A + b$$ $$z_{B'} = az_B + b$$ En soustrayant : $z_{B'} - z_{A'} = a(z_B - z_A)$, d'où $a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A}$. Comme $A \neq B$ et $A' \neq B'$, on a $a \neq 0$. Puis $b = z_{A'} - az_A$. L'unicité est immédiate. **Exemple.** Déterminons la similitude directe $s$ telle que $s(A) = A'$ et $s(B) = B'$ avec $A(1, 0)$, $B(0, 1)$, $A'(2, 1)$, $B'(-1, 2)$. Affixes : $z_A = 1$, $z_B = i$, $z_{A'} = 2 + i$, $z_{B'} = -1 + 2i$. $$a = \frac{z_{B'} - z_{A'}}{z_B - z_A} = \frac{(-1 + 2i) - (2 + i)}{i - 1} = \frac{-3 + i}{-1 + i}$$ Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur $(-1 - i)$ : $$a = \frac{(-3 + i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)} = \frac{3 + 3i - i - i^2}{1 + 1} = \frac{3 + 2i + 1}{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i$$ Puis $b = z_{A'} - az_A = (2 + i) - (2 + i) \cdot 1 = 0$. La similitude est donc $z' = (2 + i)z$. Son rapport est $k = |2 + i| = \sqrt{5}$, son angle est $\theta = \arg(2 + i) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)$, et son centre est $\omega = \frac{0}{1 - (2 + i)} = 0$, donc le centre est $O(0, 0)$. --- ## IV. Images de configurations usuelles du plan par une similitude directe ### IV.1. Image d'une droite **Théorème.** L'image d'une droite $\mathcal{D}$ par une similitude directe $s$ de rapport $k$ et d'angle $\theta$ est une droite $\mathcal{D}'$. De plus, si $\mathcal{D}$ a pour équation $y = mx + p$ (avec $m$ fini), alors $\mathcal{D}'$ a pour équation $y' = m' x' + p'$ où : $$m' = \tan(\arctan(m) + \theta)$$ si $\arctan(m) + \theta \neq \frac{\pi}{2}$ (modulo $\pi$), et $\mathcal{D}'$ est verticale sinon. **Démonstration.** Une similitude directe est une application affine bijective, donc l'image d'une droite est une droite. L'angle entre la droite et l'axe des abscisses est préservé à l'addition de $\theta$ près, d'où la formule pour la pente. **Cas particulier.** Si $\mathcal{D}$ passe par le centre $\Omega$ de la similitude, alors $\mathcal{D}'$ passe aussi par $\Omega$ et l'angle entre $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ est exactement $\theta$. **Exemple.** Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z' = (1 + i)z + 1$. Déterminons l'image de la droite $\mathcal{D} : y = 2x + 1$. On a $a = 1 + i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$, donc $\theta = \frac{\pi}{4}$ et $k = \sqrt{2}$. La pente de $\mathcal{D}$ est $m = 2$, donc $\arctan(2) \approx 63{,}43^\circ$. La pente de l'image est : $$m' = \tan\left(\arctan(2) + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 + 1}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{3}{-1} = -3$$ Pour trouver l'ordonnée à l'origine, prenons un point de $\mathcal{D}$, par exemple $A(0, 1)$ d'affixe $z = i$. Son image est $z' = (1 + i)i + 1 = i + i^2 + 1 = i - 1 + 1 = i$, donc $A'(0, 1)$. L'image de $\mathcal{D}$ est la droite passant par $A'(0, 1)$ de pente $-3$ : $$\mathcal{D}' : y' = -3x' + 1$$ ### IV.2. Image d'un cercle **Théorème.** L'image d'un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $R$ par une similitude directe $s$ de rapport $k$ est le cercle $\mathcal{C}'$ de centre $O' = s(O)$ et de rayon $R' = kR$. **Démonstration.** Soit $M \in \mathcal{C}$, alors $OM = R$. L'image $M' = s(M)$ vérifie $O'M' = k \cdot OM = kR$ (propriété fondamentale des similitudes). Réciproquement, tout point $M'$ tel que $O'M' = kR$ est l'image d'un point $M$ de $\mathcal{C}$ (par bijectivité de $s$). Donc $\mathcal{C}'$ est bien le cercle de centre $O'$ et de rayon $kR$. > **À retenir — Image d'un cercle.** > Par une similitude directe de rapport $k$, l'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ est le cercle de centre $s(O)$ et de rayon $kR$. Le centre du cercle image est l'image du centre du cercle initial. **Exemple.** Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z' = 2iz + 1 - i$. Déterminons l'image du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O(0, 0)$ et de rayon $3$. Le rapport est $k = |2i| = 2$. Le centre $O'$ de l'image est $s(O)$, d'affixe $z' = 2i \cdot 0 + 1 - i = 1 - i$, donc $O'(1, -1)$. Le rayon est $R' = 2 \times 3 = 6$. L'image est le cercle $\mathcal{C}'$ de centre $O'(1, -1)$ et de rayon $6$. ### IV.3. Image d'autres configurations **Image d'un segment.** L'image d'un segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ où $A' = s(A)$ et $B' = s(B)$. La longueur est multipliée par $k$. **Image d'un triangle.** L'image d'un triangle $ABC$ est le triangle $A'B'C'$ qui lui est directement semblable : les longueurs des côtés sont multipliées par $k$ et les angles sont conservés. **Image d'un angle.** L'image d'un angle orienté $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ est l'angle $(\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'})$ de même mesure. **Exemple.** Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ avec $AB = 3$ et $AC = 4$. Par une similitude directe de rapport $k = 2$, l'image $A'B'C'$ est un triangle rectangle en $A'$ avec $A'B' = 6$ et $A'C' = 8$. L'hypoténuse $B'C'$ mesure $2 \times 5 = 10$. --- ## V. Transformations : lieux géométriques, constructions, démonstrations de propriétés ### V.1. Lieux géométriques **Méthode générale.** Pour déterminer le lieu d'un point $M'$ image d'un point $M$ décrivant une courbe connue par une similitude directe $s$, on utilise l'écriture complexe : si $M$ décrit un ensemble $\mathcal{E}$, alors $M' = s(M)$ décrit $s(\mathcal{E})$, dont on connaît la nature grâce aux résultats de la section IV. **Exemple 1.** Soit $M$ un point du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O(0, 0)$ et de rayon $2$. On considère la similitude directe $s$ d'écriture complexe $z' = (1 - i)z + 2 + i$. Déterminer le lieu de $M' = s(M)$ quand $M$ décrit $\mathcal{C}$. Le rapport est $k = |1 - i| = \sqrt{2}$. Le centre de $\mathcal{C}$ est $O(0, 0)$, son image est $O' = s(O)$ d'affixe $z' = 2 + i$, donc $O'(2, 1)$. Le rayon de l'image est $R' = \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$. Le lieu de $M'$ est le cercle de centre $O'(2, 1)$ et de rayon $2\sqrt{2}$. **Exemple 2.** Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D} : y = x$. On considère la similitude directe $s$ d'écriture complexe $z' = iz + 1$. Déterminer le lieu de $M' = s(M)$. La droite $\mathcal{D}$ a pour pente $m = 1$, donc $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. L'angle de $s$ est $\theta = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. La pente de l'image est : $$m' = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$$ Prenons un point de $\mathcal{D}$, par exemple $A(0, 0)$ d'affixe $0$. Son image est $z' = i \cdot 0 + 1 = 1$, donc $A'(1, 0)$. Le lieu de $M'$ est la droite passant par $A'(1, 0)$ de pente $-1$ : $$y' = -x' + 1$$ ### V.2. Constructions géométriques **Problème type.** Construire l'image d'un point $M$ donné par une similitude directe $s$ dont on connaît le centre $\Omega$, le rapport $k$ et l'angle $\theta$. **Méthode de construction.** 1. Tracer le segment $[\Omega M]$. 2. Construire le point $M_1$ sur la demi-droite $[\Omega M)$ tel que $\Omega M_1 = k \cdot \Omega M$ (image par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$). 3. Construire le point $M'$ image de $M_1$ par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ : tracer le cercle de centre $\Omega$ passant par $M_1$, puis la demi-droite issue de $\Omega$ faisant un angle $\theta$ avec $[\Omega M_1)$ ; l'intersection est $M'$. **Exemple.** Construire l'image du point $M(3, 1)$ par la similitude directe de centre $\Omega(1, 2)$, de rapport $k = 2$ et d'angle $\theta = \frac{\pi}{3}$. 1. $\overrightarrow{\Omega M} = (2, -1)$, donc $\Omega M = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. 2. $M_1$ est sur $[\Omega M)$ tel que $\Omega M_1 = 2\sqrt{5}$, donc $\overrightarrow{\Omega M_1} = 2 \cdot \overrightarrow{\Omega M} = (4, -2)$, d'où $M_1(5, 0)$. 3. On applique la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ à $M_1$. Le vecteur $\overrightarrow{\Omega M_1} = (4, -2)$ a pour image par la rotation : $$\overrightarrow{\Omega M'} = \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3} & -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sin\frac{\pi}{3} & \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \sqrt{3} \\ 2\sqrt{3} - 1 \end{pmatrix}$$ Donc $M'$ a pour coordonnées $(1 + 2 + \sqrt{3}, 2 + 2\sqrt{3} - 1) = (3 + \sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3})$. **Vérification par l'écriture complexe.** La similitude a pour écriture complexe $z' = 2e^{i\pi/3}(z - \omega) + \omega$ avec $\omega = 1 + 2i$. Pour $z = 3 + i$ : $$z' = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(3 + i - 1 - 2i) + 1 + 2i = (1 + i\sqrt{3})(2 - i) + 1 + 2i$$ $$= 2 - i + 2i\sqrt{3} - i^2\sqrt{3} + 1 + 2i = 2 - i + 2i\sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 + 2i = 3 + \sqrt{3} + i(1 + 2\sqrt{3})$$ On retrouve bien $M'(3 + \sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3})$. ### V.3. Démonstrations de propriétés **Propriété 1.** La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. **Démonstration.** Soient $s_1 : z \mapsto a_1 z + b_1$ et $s_2 : z \mapsto a_2 z + b_2$ deux similitudes directes. Alors : $$s_2 \circ s_1(z) = a_2(a_1 z + b_1) + b_2 = (a_2 a_1)z + (a_2 b_1 + b_2)$$ Comme $a_1 \neq 0$ et $a_2 \neq 0$, on a $a_2 a_1 \neq 0$, donc $s_2 \circ s_1$ est une similitude directe de rapport complexe $a_2 a_1$, de rapport $|a_2 a_1| = |a_2| \cdot |a_1|$ et d'angle $\arg(a_2 a_1) = \arg(a_2) + \arg(a_1)$ (modulo $2\pi$). **Propriété 2.** La réciproque d'une similitude directe est une similitude directe. **Démonstration.** Soit $s : z \mapsto az + b$ avec $a \neq 0$. Pour tout $z'$, on a $z' = az + b$, donc $z = \frac{z' - b}{a} = \frac{1}{a}z' - \frac{b}{a}$. La réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe $z \mapsto \frac{1}{a}z - \frac{b}{a}$, qui est bien une similitude directe de rapport complexe $\frac{1}{a}$. **Propriété 3.** L'ensemble des similitudes directes du plan, muni de la loi de composition, est un groupe non commutatif. **Démonstration.** La composition est associative, l'identité ($a = 1$, $b = 0$) est l'élément neutre, et d'après la propriété 2, toute similitude directe admet un inverse. La non-commutativité se vérifie par exemple avec $s_1 : z \mapsto iz$ et $s_2 : z \mapsto z + 1$ : $s_2 \circ s_1(z) = iz + 1$ tandis que $s_1 \circ s_2(z) = i(z + 1) = iz + i$. Ces deux applications sont différentes. **Propriété 4.** Une similitude directe qui admet deux points fixes distincts est l'identité. **Démonstration.** Soient $A$ et $B$ deux points fixes distincts de $s : z \mapsto az + b$. Alors $z_A = az_A + b$ et $z_B = az_B + b$. En soustrayant : $z_A - z_B = a(z_A - z_B)$, donc $(1 - a)(z_A - z_B) = 0$. Comme $z_A \neq z_B$, on a $a = 1$, puis $b = 0$. Donc $s$ est l'identité. **Propriété 5.** Une similitude directe de rapport $k \neq 1$ admet un unique point fixe (son centre). **Démonstration.** L'équation $z = az + b$ équivaut à $(1 - a)z = b$. Si $a \neq 1$, la solution est unique : $z = \frac{b}{1-a}$. Si $a = 1$, l'équation devient $0 = b$ : si $b = 0$, tous les points sont fixes (identité) ; si $b \neq 0$, aucun point n'est fixe (translation non triviale). **Exemple de démonstration complète.** Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct (c'est-à-dire que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \frac{\pi}{3}$). Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = B$, $s(B) = C$ et $s(C) = A$, et déterminer ses éléments caractéristiques. **Solution.** D'après le théorème d'existence et d'unicité, il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s(A) = B$ et $s(B) = C$. Montrons que $s(C) = A$. Plaçons-nous dans le plan complexe avec $A$ d'affixe $0$, $B$ d'affixe $1$ (on peut normaliser car une similitude préserve les rapports de distances). Comme $ABC$ est équilatéral direct, $C$ a pour affixe $e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. La similitude $s$ vérifie $s(0) = 1$ et $s(1) = e^{i\pi/3}$. Donc : $$a = \frac{e^{i\pi/3} - 1}{1 - 0} = e^{i\pi/3} - 1$$ $$b = 1 - a \cdot 0 = 1$$ Vérifions $s(e^{i\pi/3})$ : $$s(e^{i\pi/3}) = (e^{i\pi/3} - 1)e^{i\pi/3} + 1 = e^{2i\pi/3} - e^{i\pi/3} + 1$$ Or $e^{2i\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc : $$s(e^{i\pi/3}) = \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$$ Donc $s(C) = A$. La similitude $s$ permute cycliquement les sommets du triangle. **Éléments caractéristiques.** Le rapport complexe est $a = e^{i\pi/3} - 1 = \left(\frac{1}{2} - 1\right) + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{2i\pi/3}$. Donc le rapport est $k = |e^{2i\pi/3}| = 1$ et l'angle est $\theta = \frac{2\pi}{3}$. C'est une rotation d'angle $\frac{2\pi}{3}$. Son centre est : $$\omega = \frac{b}{1 - a} = \frac{1}{1 - e^{2i\pi/3}} = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ Multiplions par le conjugué : $$\omega = \frac{1}{\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$$ Le centre est donc $\Omega\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)$, qui est le centre de gravité du triangle $ABC$ (en effet, le centre de gravité a pour affixe $\frac{0 + 1 + e^{i\pi/3}}{3} = \frac{1 + \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{6}$). ### V.4. Problème de synthèse **Énoncé.** Dans le plan complexe, on considère les points $A(1, 0)$, $B(0, 1)$ et $C(-1, 0)$. Soit $s$ la similitude directe telle que $s(A) = B$ et $s(B) = C$. 1. Déterminer l'écriture complexe de $s$. 2. Déterminer le rapport, l'angle et le centre de $s$. 3. Déterminer l'image par $s$ du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A$ et de rayon $2$. 4. Déterminer le lieu du point $M' = s(M)$ quand $M$ décrit la droite $\mathcal{D} : y = x + 1$. **Solution.** 1. Affixes : $z_A = 1$, $z_B = i$, $z_C = -1$. On a : $$a = \frac{z_C - z_B}{z_B - z_A} = \frac{-1 - i}{i - 1} = \frac{-(1 + i)}{-1 + i} = \frac{1 + i}{1 - i}$$ Multiplions par le conjugué du dénominateur : $$a = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$$ Puis $b = z_B - az_A = i - i \cdot 1 = 0$. L'écriture complexe est donc : $$z' = iz$$ 2. Rapport : $k = |i| = 1$. Angle : $\theta = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$. Comme $a = i \neq 1$, le centre est : $$\omega = \frac{b}{1 - a} = \frac{0}{1 - i} = 0$$ La similitude $s$ est la rotation de centre $O(0, 0)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. 3. L'image du cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(1, 0)$ et de rayon $2$ est le cercle de centre $A' = s(A) = B(0, 1)$ et de rayon $k \times 2 = 2$. Donc $\mathcal{C}'$ est le cercle de centre $B(0, 1)$ et de rayon $2$. 4. La droite $\mathcal{D} : y = x + 1$ a pour pente $m = 1$, donc $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$. L'angle de $s$ est $\frac{\pi}{2}$. La pente de l'image est : $$m' = \tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$$ Prenons un point de $\mathcal{D}$, par exemple $P(0, 1)$ d'affixe $i$. Son image est $z' = i \cdot i = i^2 = -1$, donc $P'(-1, 0)$. Le lieu de $M'$ est la droite passant par $P'(-1, 0)$ de pente $-1$ : $$y' = -x' - 1$$ **Vérification.** On peut aussi utiliser l'écriture analytique de $s$ : $z' = i(x + iy) = -y + ix$, donc $x' = -y$ et $y' = x$. Si $M(x, y)$ est sur $\mathcal{D}$, alors $y = x + 1$, donc $x' = -(x + 1) = -x - 1$ et $y' = x$. On a bien $y' = -x' - 1$, ce qui confirme le résultat. --- ## Conclusion Les similitudes directes du plan constituent un outil puissant et unificateur de la géométrie euclidienne. Leur écriture complexe $z' = az + b$ permet de les caractériser complètement par leur rapport $|a|$, leur angle $\arg(a)$ et leur centre $\frac{b}{1-a}$ (lorsqu'il existe). La maîtrise du passage entre les écritures complexe et analytique est essentielle pour résoudre efficacement les problèmes, qu'il s'agisse de reconnaître une similitude directe, de déterminer ses éléments caractéristiques, ou d'étudier l'image de configurations usuelles. Les similitudes directes trouvent des applications dans de nombreux domaines : résolution de problèmes de lieux géométriques, constructions géométriques, démonstrations de propriétés de figures, et modélisation de transformations dans le plan. Leur étude approfondie prépare également à des notions plus avancées comme les transformations du plan en général et leurs invariants.