Integration

# Integration ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les techniques fondamentales de l'intégration, considérée comme l'opération inverse de la dérivation. À la fin de ce cours, l'élève sera capable de : - Reconnaître l'intégrale indéfinie comme antiderivée et appliquer les règles de base. - Intégrer des fonctions polynomiales, trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. - Utiliser la substitution (u-substitution) pour simplifier des intégrales composées. - Appliquer l'intégration par parties pour des produits de fonctions. - Décomposer des fractions rationnelles en fractions simples (partielles) lorsqu'applicable. - Gérer les intégrales impliquant la valeur absolue (modulus) en scindant l'intervalle. - Résoudre des intégrales spécifiques comme $ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx $ et $ \int \frac{1}{1+x^2} dx $ par substitution trigonométrique ou reconnaissance directe. - Vérifier ses résultats par dérivation. **Prérequis** : Maîtrise de la dérivation (règles de puissance, produit, quotient, chaîne), des fonctions usuelles (polynômes, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques), et de la manipulation algébrique (factorisation, développement, fractions). --- ## I. Integration as the reverse process of differentiation L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Si $ F'(x) = f(x) $, alors $ F(x) $ est une antiderivée de $ f(x) $, et on écrit : $$ \int f(x) \, dx = F(x) + C $$ où $ C $ est une constante arbitraire appelée constante d'intégration. > **À retenir** : L'intégrale indéfinie $ \int f(x) \, dx $ représente l'ensemble de toutes les fonctions dont la dérivée est $ f(x) $, différant seulement par une constante. ### Propriétés de base - $ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx $ pour toute constante $ k $ - $ \int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx $ ### Exemple 1 : Vérification par dérivation Soit $ f(x) = 3x^2 $. On sait que $ \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $, donc : $$ \int 3x^2 \, dx = x^3 + C $$ Vérification : $ \frac{d}{dx}(x^3 + C) = 3x^2 $ ✓ ### Exercice 1 : Trouver $ \int (4x^3 - 2x + 5) \, dx $ **Solution** : $$ \int (4x^3 - 2x + 5) \, dx = 4\int x^3 dx - 2\int x dx + 5\int dx = 4\cdot\frac{x^4}{4} - 2\cdot\frac{x^2}{2} + 5x + C = x^4 - x^2 + 5x + C $$ Vérification : Dérivée de $ x^4 - x^2 + 5x + C $ est $ 4x^3 - 2x + 5 $ ✓ **Corrigé** : $ x^4 - x^2 + 5x + C $ --- ## II. Indefinite integral (ʃx^ndx, ʃkdx ) ### Cas 1 : Intégrale de $ x^n $ (n ≠ -1) $$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ > **À retenir** : Pour $ n \neq -1 $, l'intégrale de $ x^n $ est $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $. ### Cas 2 : Intégrale d'une constante $ k $ $$ \int k \, dx = kx + C $$ > **À retenir** : L'intégrale d'une constante $ k $ est $ kx + C $. ### Exemple 2 : $ \int x^5 \, dx $ $$ \int x^5 \, dx = \frac{x^{6}}{6} + C $$ ### Exemple 3 : $ \int 7 \, dx $ $$ \int 7 \, dx = 7x + C $$ ### Exercice 2 : Calculer $ \int (x^{-2} + 4) \, dx $ **Solution** : $$ \int x^{-2} dx + \int 4 dx = \frac{x^{-1}}{-1} + 4x + C = -x^{-1} + 4x + C = -\frac{1}{x} + 4x + C $$ Vérification : Dérivée de $ -x^{-1} + 4x + C $ est $ x^{-2} + 4 $ ✓ **Corrigé** : $ -\frac{1}{x} + 4x + C $ --- ## III. Integration of ax^n and (ax+b)^n ### Cas 1 : $ \int ax^n \, dx $ $$ \int ax^n \, dx = a \int x^n dx = a \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ ### Cas 2 : $ \int (ax+b)^n \, dx $ On utilise la substitution : soit $ u = ax + b $, alors $ du = a \, dx $, donc $ dx = \frac{du}{a} $ $$ \int (ax+b)^n \, dx = \int u^n \cdot \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int u^n du = \frac{1}{a} \cdot \frac{u^{n+1}}{n+1} + C = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C \quad (n \neq -1) $$ > **À retenir** : $ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C $ pour $ n \neq -1 $. ### Exemple 4 : $ \int 3x^4 \, dx $ $$ \int 3x^4 dx = 3 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{3}{5}x^5 + C $$ ### Exemple 5 : $ \int (2x+3)^5 \, dx $ Soit $ u = 2x+3 $, $ du = 2dx $ → $ dx = du/2 $ $$ \int (2x+3)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{(2x+3)^6}{12} + C $$ ### Exercice 3 : Calculer $ \int (5x-2)^4 \, dx $ **Solution** : Soit $ u = 5x-2 $, $ du = 5dx $ → $ dx = du/5 $ $$ \int (5x-2)^4 dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{u^5}{25} + C = \frac{(5x-2)^5}{25} + C $$ Vérification : Dérivée de $ \frac{(5x-2)^5}{25} $ est $ \frac{5}{25} \cdot 5(5x-2)^4 = (5x-2)^4 $ ✓ **Corrigé** : $ \frac{(5x-2)^5}{25} + C $ --- ## IV. Integration of Trigonometric Functions Les intégrales de base des fonctions trigonométriques sont : $$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $$ $$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $$ $$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $$ $$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $$ $$ \int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C $$ $$ \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C $$ > **À retenir** : Les intégrales de $ \sin x $ et $ \cos x $ sont respectivement $ -\cos x + C $ et $ \sin x + C $. ### Exemple 6 : $ \int (2\sin x + 3\cos x) \, dx $ $$ \int 2\sin x dx + \int 3\cos x dx = 2(-\cos x) + 3(\sin x) + C = -2\cos x + 3\sin x + C $$ ### Exemple 7 : $ \int \sec^2(4x) \, dx $ Soit $ u = 4x $, $ du = 4dx $ → $ dx = du/4 $ $$ \int \sec^2(4x) dx = \int \sec^2 u \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \tan u + C = \frac{1}{4} \tan(4x) + C $$ ### Exercice 4 : Calculer $ \int (3\cos x - 4\sin 2x) \, dx $ **Solution** : $$ \int 3\cos x dx = 3\sin x $$ $$ \int -4\sin 2x dx = -4 \int \sin 2x dx $$ Soit $ u = 2x $, $ du = 2dx $ → $ dx = du/2 $ $$ \int \sin 2x dx = \int \sin u \cdot \frac{du}{2} = -\frac{1}{2} \cos u + C = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C $$ Donc : $$ -4 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) = 2 \cos(2x) $$ Résultat final : $$ 3\sin x + 2\cos(2x) + C $$ Vérification : Dérivée de $ 3\sin x + 2\cos(2x) $ est $ 3\cos x - 4\sin(2x) $ ✓ **Corrigé** : $ 3\sin x + 2\cos(2x) + C $ --- ## V. Integration of Exponential / Logarithmic Functions ### Fonction exponentielle $$ \int e^x \, dx = e^x + C $$ $$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1) $$ > **À retenir** : $ \int e^x dx = e^x + C $ ; pour $ a^x $, diviser par $ \ln a $. ### Fonction logarithmique $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \quad (x \neq 0) $$ > **À retenir** : L'intégrale de $ 1/x $ est $ \ln |x| + C $, la valeur absolue est essentielle pour $ x < 0 $. ### Exemple 8 : $ \int (2e^x + 5) \, dx $ $$ \int 2e^x dx + \int 5 dx = 2e^x + 5x + C $$ ### Exemple 9 : $ \int 3^x \, dx $ $$ \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C $$ ### Exemple 10 : $ \int \frac{4}{x} \, dx $ $$ \int \frac{4}{x} dx = 4 \int \frac{1}{x} dx = 4 \ln |x| + C $$ ### Exercice 5 : Calculer $ \int (e^{2x} - \frac{3}{x}) \, dx $ **Solution** : $$ \int e^{2x} dx : \text{soit } u = 2x, du = 2dx \rightarrow dx = du/2 \rightarrow \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x} + C $$ $$ \int -\frac{3}{x} dx = -3 \int \frac{1}{x} dx = -3 \ln |x| + C $$ Résultat : $$ \frac{1}{2} e^{2x} - 3 \ln |x| + C $$ Vérification : Dérivée de $ \frac{1}{2}e^{2x} $ est $ e^{2x} $ ; dérivée de $ -3\ln|x| $ est $ -3/x $ ✓ **Corrigé** : $ \frac{1}{2} e^{2x} - 3 \ln |x| + C $ --- ## VI. Integration of Fractions (Numerator as derivative of denominator) Lorsque le numérateur est la dérivée du dénominateur (ou un multiple constant), on utilise : $$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + C $$ > **À retenir** : Si le numérateur est la dérivée du dénominateur, l'intégrale est $ \ln |\text{dénominateur}| + C $. ### Exemple 11 : $ \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx $ Dérivée de $ x^2+1 $ est $ 2x $, donc : $$ \int \frac{2x}{x^2+1} dx = \ln |x^2+1| + C = \ln(x^2+1) + C \quad (\text{puisque } x^2+1 > 0) $$ ### Exemple 12 : $ \int \frac{3}{2x+5} \, dx $ Dérivée de $ 2x+5 $ est $ 2 $, donc on écrit : $$ \int \frac{3}{2x+5} dx = \frac{3}{2} \int \frac{2}{2x+5} dx = \frac{3}{2} \ln |2x+5| + C $$ ### Exercice 6 : Calculer $ \int \frac{6x}{3x^2-4} \, dx $ **Solution** : Dérivée de $ 3x^2-4 $ est $ 6x $, donc : $$ \int \frac{6x}{3x^2-4} dx = \ln |3x^2-4| + C $$ Vérification : Dérivée de $ \ln|3x^2-4| $ est $ \frac{6x}{3x^2-4} $ ✓ **Corrigé** : $ \ln |3x^2-4| + C $ --- ## VII. Integration of Fractions (Use of Partial Fractions) Lorsque l'on intègre une fraction rationnelle $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ où le degré de $ P $ est inférieur à celui de $ Q $, et $ Q(x) $ se factorise en facteurs linéaires distincts, on décompose en fractions simples. ### Cas : $ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} $, avec $ a \neq b $ On trouve $ A $ et $ B $ par : - Méthode des coefficients : égaler les numérateurs après mise au même dénominateur. - Méthode des valeurs particulières : substituer $ x = a $ et $ x = b $. > **À retenir** : Pour décomposer $ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} $, on écrit $ \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} $, puis on résout pour $ A $ et $ B $. ### Exemple 13 : $ \int \frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} \, dx $ Décomposition : $$ \frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} $$ Multiplier par $ (x-1)(x+2) $ : $$ 5x-1 = A(x+2) + B(x-1) $$ Soit $ x = 1 $ : $ 5(1)-1 = A(3) \rightarrow 4 = 3A \rightarrow A = \frac{4}{3} $ Soit $ x = -2 $ : $ 5(-2)-1 = B(-3) \rightarrow -11 = -3B \rightarrow B = \frac{11}{3} $ Donc : $$ \int \frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} dx = \int \left( \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2} \right) dx = \frac{4}{3} \ln |x-1| + \frac{11}{3} \ln |x+2| + C $$ ### Exercice 7 : Calculer $ \int \frac{3x+4}{(x+1)(x-2)} \, dx $ **Solution** : $$ \frac{3x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} $$ $$ 3x+4 = A(x-2) + B(x+1) $$ Soit $ x = -1 $ : $ 3(-1)+4 = A(-3) \rightarrow 1 = -3A \rightarrow A = -\frac{1}{3} $ Soit $ x = 2 $ : $ 3(2)+4 = B(3) \rightarrow 10 = 3B \rightarrow B = \frac{10}{3} $ $$ \int \left( -\frac{1}{3(x+1)} + \frac{10}{3(x-2)} \right) dx = -\frac{1}{3} \ln |x+1| + \frac{10}{3} \ln |x-2| + C $$ Vérification : Dérivée donne bien $ \frac{3x+4}{(x+1)(x-2)} $ ✓ **Corrigé** : $ -\frac{1}{3} \ln |x+1| + \frac{10}{3} \ln |x-2| + C $ --- ## VIII. Integration by Substitution La substitution (ou changement de variable) consiste à poser $ u = g(x) $, puis $ du = g'(x) dx $, pour transformer $ \int f(g(x)) g'(x) dx $ en $ \int f(u) du $. > **À retenir** : Si l'intégrande contient une fonction composée et sa dérivée (à un facteur près), utiliser $ u = \text{fonction intérieure} $. ### Exemple 14 : $ \int x \cos(x^2) \, dx $ Soit $ u = x^2 $, alors $ du = 2x dx $ → $ x dx = du/2 $ $$ \int x \cos(x^2) dx = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C $$ ### Exemple 15 : $ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx $ Soit $ u = \sqrt{x} = x^{1/2} $, alors $ du = \frac{1}{2} x^{-1/2} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx $ → $ \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du $ $$ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 du = 2e^u + C = 2e^{\sqrt{x}} + C $$ ### Exercice 8 : Calculer $ \int (3x+2)^7 \cdot 3 \, dx $ **Solution** : Soit $ u = 3x+2 $, alors $ du = 3 dx $ $$ \int (3x+2)^7 \cdot 3 dx = \int u^7 du = \frac{u^8}{8} + C = \frac{(3x+2)^8}{8} + C $$ Vérification : Dérivée de $ \frac{(3x+2)^8}{8} $ est $ (3x+2)^7 \cdot 3 $ ✓ **Corrigé** : $ \frac{(3x+2)^8}{8} + C $ --- ## IX. Integration by Substitution ( 1/√(1-x^2) and 1/1+x^2 ) Ces deux intégrales sont fondamentales et liées aux fonctions trigonométriques inverses. ### 1. $ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $ On pose $ x = \sin \theta $, alors $ dx = \cos \theta d\theta $, et $ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos \theta $ (pour $ \theta \in [-\pi/2, \pi/2] $) $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = \arcsin x + C $$ > **À retenir** : $ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C $ ### 2. $ \int \frac{1}{1+x^2} \, dx $ On pose $ x = \tan \theta $, alors $ dx = \sec^2 \theta d\theta $, et $ 1+x^2 = 1+\tan^2\theta = \sec^2\theta $ $$ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{\sec^2\theta} \cdot \sec^2\theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = \arctan x + C $$ > **À retenir** : $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ ### Exemple 16 : $ \int \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \, dx $ Factoriser : $ \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} $ Soit $ u = 2x $, $ du = 2dx $ → $ dx = du/2 $ $$ \int \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{2} = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u + C = \arcsin(2x) + C $$ ### Exemple 17 : $ \int \frac{3}{1+9x^2} \, dx $ $$ \int \frac{3}{1+9x^2} dx = 3 \int \frac{1}{1+(3x)^2} dx $$ Soit $ u = 3x $, $ du = 3dx $ → $ dx = du/3 $ $$ 3 \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{3} = \int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u + C = \arctan(3x) + C $$ ### Exercice 9 : Calculer $ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx $ **Solution** : $$ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{9(1-(x/3)^2)}} dx = \int \frac{1}{3\sqrt{1-(x/3)^2}} dx $$ Soit $ u = x/3 $, $ du = dx/3 $ → $ dx = 3 du $ $$ \int \frac{1}{3\sqrt{1-u^2}} \cdot 3 du = \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u + C = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C $$ Vérification : Dérivée de $ \arcsin(x/3) $ est $ \frac{1}{\sqrt{1-(x/3)^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt{1-x^2/9}} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} $ ✓ **Corrigé** : $ \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C $ --- ## X. Integration of Modulus Functions La fonction valeur absolue $ |f(x)| $ est définie par : $$ |f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{si } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{si } f(x) < 0 \end{cases} $$ Pour intégrer $ |f(x)| $ sur un intervalle, on scinde l'intégral en sous-intervalles où le signe de $ f(x) $ est constant. > **À retenir** : Pour intégrer $ |f(x)| $, trouver les racines de $ f(x) = 0 $, scinder l'intervalle selon le signe de $ f(x) $, puis intégrer séparément. ### Exemple 18 : $ \int_{-1}^{2} |x| \, dx $ $ |x| = -x $ pour $ x < 0 $, et $ |x| = x $ pour $ x \geq 0 $ $$ \int_{-1}^{2} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx $$ $$ = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \left(0 - (-\frac{1}{2})\right) + \left(\frac{4}{2} - 0\right) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} $$ ### Exemple 19 : $ \int_{0}^{3} |x-2| \, dx $ Racine de $ x-2=0 $ → $ x=2 $ $$ |x-2| = \begin{cases} -(x-2) = 2-x & \text{si } x < 2 \\ x-2 & \text{si } x \geq 2 \end{cases} $$ $$ \int_{0}^{3} |x-2| dx = \int_{0}^{2} (2-x) dx + \int_{2}^{3} (x-2) dx $$ $$ = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3} $$ Première partie : $ (4 - 2) - (0) = 2 $ Deuxième partie : $ \left(\frac{9}{2} - 6\right) - \left(\frac{4}{2} - 4\right) = (4.5 - 6) - (2 - 4) = (-1.5) - (-2) = 0.5 $ Total : $ 2 + 0.5 = 2.5 = \frac{5}{2} $ ### Exercice 10 : Calculer $ \int_{-2}^{1} |x+1| \, dx $ **Solution** : Racine de $ x+1=0 $ → $ x = -1 $ Sur $ [-2, -1] $ : $ x+1 < 0 $ → $ |x+1| = -(x+1) = -x-1 $ Sur $ [-1, 1] $ : $ x+1 \geq 0 $ → $ |x+1| = x+1 $ $$ \int_{-2}^{1} |x+1| dx = \int_{-2}^{-1} (-x-1) dx + \int_{-1}^{1} (x+1) dx $$ Première intégrale : $$ \int (-x-1) dx = -\frac{x^2}{2} - x $$ Évaluée de -2 à -1 : $$ \left[ -\frac{(-1)^2}{2} - (-1) \right] - \left[ -\frac{(-2)^2}{2} - (-2) \right] = \left[ -\frac{1}{2} + 1 \right] - \left[ -\frac{4}{2} + 2 \right] = \left[ \frac{1}{2} \right] - \left[ -2 + 2 \right] = 0.5 - 0 = 0.5 $$ Deuxième intégrale : $$ \int (x+1) dx = \frac{x^2}{2} + x $$ Évaluée de -1 à 1 : $$ \left[ \frac{1^2}{2} + 1 \right] - \left[ \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right] = \left[ 0.5 + 1 \right] - \left[ 0.5 - 1 \right] = 1.5 - (-0.5) = 2 $$ Total : $ 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2} $ **Corrigé** : $ \frac{5}{2} $ --- ## XI. Integration by Parts 1 La formule d'intégration par parties provient de la règle du produit pour la dérivation : $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ On choisit $ u $ et $ dv $ de telle sorte que $ du $ et $ v $ soient plus simples à intégrer. > **À retenir** : Pour $ \int u dv $, choisir $ u $ comme une fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, ln), et $ dv $ comme une fonction facile à intégrer (exp, trig, puissance). ### Règle de choix (LIATE) : - L : Logarithmique - I : Inverse trigonométrique - A : Algébrique (polynôme) - T : Trigonométrique - E : Exponentielle Choisir $ u $ en suivant cet ordre (du plus haut au plus bas). ### Exemple 20 : $ \int x e^x \, dx $ Choisir : - $ u = x $ (algébrique) → $ du = dx $ - $ dv = e^x dx $ → $ v = e^x $ $$ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C $$ ### Exemple 21 : $ \int x \cos x \, dx $ - $ u = x $ → $ du = dx $ - $ dv = \cos x dx $ → $ v = \sin x $ $$ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C $$ ### Exercice 11 : Calculer $ \int x \ln x \, dx $ **Solution** : - $ u = \ln x $ (logarithmique) → $ du = \frac{1}{x} dx $ - $ dv = x dx $ → $ v = \frac{x^2}{2} $ $$ \int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $$ Vérification : Dérivée de $ \frac{x^2}{2} \ln x $ est $ x \ln x + \frac{x}{2} $ ; dérivée de $ -\frac{x^2}{4} $ est $ -\frac{x}{2} $ ; somme : $ x \ln x $ ✓ **Corrigé** : $ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C $ --- ## XII. Integration by Parts 2 Parfois, une seule application de l'intégration par parties ne suffit pas ; il faut en appliquer deux, ou reconnaître un cycle. ### Exemple 22 : $ \int x^2 e^x \, dx $ Première application : - $ u = x^2 $ → $ du = 2x dx $ - $ dv = e^x dx $ → $ v = e^x $ $$ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx $$ On connaît $ \int x e^x dx = e^x(x-1) + C $ (d'Exemple 20) $$ = x^2 e^x - 2 \left[ e^x (x-1) \right] + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C $$ ### Exemple 23 : $ \int e^x \sin x \, dx $ (cycle) Première application : - $ u = e^x $ → $ du = e^x dx $ - $ dv = \sin x dx $ → $ v = -\cos x $ $$ \int e^x \sin x dx = -e^x \cos x - \int (-\cos x) e^x dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx $$ Deuxième application sur $ \int e^x \cos x dx $ : - $ u = e^x $ → $ du = e^x dx $ - $ dv = \cos x dx $ → $ v = \sin x $ $$ \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx $$ On remplace : $$ \int e^x \sin x dx = -e^x \cos x + \left[ e^x \sin x - \int e^x \sin x dx \right] $$ $$ \int e^x \sin x dx = -e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \sin x dx $$ On ramène l'intégrale inconnue à gauche : $$ 2 \int e^x \sin x dx = e^x (\sin x - \cos x) + C $$ $$ \int e^x \sin x dx = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C $$ ### Exercice 12 : Calculer $ \int x^2 \sin x \, dx $ **Solution** : Première application : - $ u = x^2 $ → $ du = 2x dx $ - $ dv = \sin x dx $ → $ v = -\cos x $ $$ \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x - \int (-\cos x) 2x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx $$ On connaît $ \int x \cos x dx = x \sin x + \cos x + C $ (d'Exemple 21) $$ = -x^2 \cos x + 2 \left[ x \sin x + \cos x \right] + C = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C $$ Vérification : Dérivée de $ -x^2 \cos x $ est $ -2x \cos x + x^2 \sin x $ ; de $ 2x \sin x $ est $ 2 \sin x + 2x \cos x $ ; de $ 2 \cos x $ est $ -2 \sin x $ ; somme : $ x^2 \sin x $ ✓ **Corrigé** : $ -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C $ --- ## XIII. Synthèse du chapitre - **Intégrale indéfinie** : $ \int f(x) dx = F(x) + C $ où $ F'(x) = f(x) $ - **Puissances** : $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ ($ n \neq -1 $), $ \int k dx = kx + C $ - **Fonctions linéaires** : $ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C $ ($ n \neq -1 $) - **Trigonométriques** : $ \int \sin x dx = -\cos x + C $, $ \int \cos x dx = \sin x + C $, etc. - **Exponentielles/logarithmiques** : $ \int e^x dx = e^x + C $, $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $ - **Forme $ \frac{f'}{f} $** : $ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C $ - **Fractions partielles** : Décomposer $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ en somme de $ \frac{A}{x-a} $ lorsque $ Q $ se factorise en facteurs linéaires distincts. - **Substitution** : Poser $ u = g(x) $ lorsque l'intégrande contient $ f(g(x)) g'(x) $. - **Formes spéciales** : $ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C $, $ \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C $ - **Valeur absolue** : Scinder l'intervalle aux racines de l'expression intérieure. - **Parties** : $ \int u dv = uv - \int v du $, choisir $ u $ selon LIATE. ---