Sets and Representation

# Sets and Representation ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir et calculer la cardinalité d'un ensemble fini. - Construire l'ensemble des parties (power set) d'un ensemble donné et déterminer sa cardinalité. - Identifier l'universel set dans un contexte donné et appliquer les opérations ensemblistes (union, intersection, complément, différence). - Énoncer et appliquer les lois de De Morgan pour deux ensembles. - Utiliser les diagrammes de Venn pour représenter et prouver des relations ensemblistes. - Identifier et décrire les ensembles de nombres couramment utilisés en mathématiques (N, Z, Q, R, etc.). - Déterminer l'égalité de deux ensembles et évaluer leur comparabilité (inclusion, sous-ensemble propre). **Prérequis** : Notions de base sur les ensembles (définition, notation par extension ou compréhension), appartenance à un ensemble ($x \in A$), ensemble vide ($\emptyset$), et familiarité avec les nombres naturels, entiers, rationnels et réels. --- ## I. Cardinality of a set, power set ### Définition de la cardinalité > La cardinalité d'un ensemble fini $A$, notée $|A|$ ou $n(A)$, est le nombre d'éléments distincts qu'il contient. **Propriétés** : - Si $A = \emptyset$, alors $|A| = 0$. - Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $|A \cup B| = |A| + |B|$. - Pour tout ensemble fini $A$, $|A| \geq 0$ et est un entier naturel. **Exemple 1** : Soit $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Alors $|A| = 5$. **Exemple 2** : Soit $B = \{a, b, c, a, b\}$. Comme les doublons ne comptent pas, $B = \{a, b, c\}$, donc $|B| = 3$. **Exercice 1** : Trouver la cardinalité de : - $C = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 3\}$ - $D = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 < 16\}$ **Corrigé** : - $C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ → $|C| = 6$ - $D = \{1, 2, 3\}$ (puisque $0^2=0<16$ mais $0 \in \mathbb{N}$ dépend de la définition ; en système camerounais anglophone, $\mathbb{N}$ commence souvent à 1) → $|D| = 3$ > **À retenir** : La cardinalité compte uniquement les éléments distincts, sans répétition. ### Définition du power set > Le power set (ensemble des parties) d'un ensemble $A$, noté $\mathcal{P}(A)$, est l'ensemble de tous les sous-ensembles de $A$, y compris $\emptyset$ et $A$ lui-même. **Propriété clé** : Si $|A| = n$, alors $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$. **Exemple 3** : Soit $A = \{1, 2\}$. Alors : $$ \mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} $$ Donc $|\mathcal{P}(A)| = 4 = 2^2$. **Exemple 4** : Soit $B = \{a, b, c\}$. Alors $\mathcal{P}(B)$ contient $2^3 = 8$ éléments : $$ \mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}\} $$ **Exercice 2** : - Trouver $\mathcal{P}(\{x, y\})$ et vérifier sa cardinalité. - Si $|\mathcal{P}(A)| = 16$, quelle est $|A|$ ? **Corrigé** : - $\mathcal{P}(\{x, y\}) = \{\emptyset, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$, cardinalité = 4 = $2^2$. - $2^n = 16 \Rightarrow n = 4$, donc $|A| = 4$. > **À retenir** : Le nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini de cardinalité $n$ est $2^n$. --- ## II. Universal set, set operations, De Morgan’s law 1 ### Définition de l'universal set > L'universal set $U$ est l'ensemble contenant tous les éléments pertinents dans un contexte donné. Tous les autres ensembles considérés sont des sous-ensembles de $U$. **Exemple 5** : Si l'on travaille avec les élèves d'une classe, $U$ peut être l'ensemble de tous les élèves de cette classe. Si l'on travaille avec les nombres entiers entre 1 et 10, $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. ### Opérations ensemblistes de base Soit $A$ et $B$ deux sous-ensembles de $U$. - **Union** : $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}$ - **Intersection** : $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}$ - **Complément de $A$** : $A^c = \{x \in U \mid x \notin A\}$ (souvent noté $A'$ ou $\overline{A}$) - **Différence** : $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \notin B\}$ **Exemple 6** : Soit $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$. - $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$ - $A \cap B = \{3,4\}$ - $A^c = \{5,6,7,8\}$ - $A \setminus B = \{1,2\}$ - $B \setminus A = \{5,6\}$ **Exercice 3** : Avec $U = \{a,b,c,d,e,f\}$, $A = \{a,b,c\}$, $B = \{c,d,e\}$ : - Calculer $A \cup B$, $A \cap B$, $A^c$, $B^c$, $A \setminus B$, $B \setminus A$. **Corrigé** : - $A \cup B = \{a,b,c,d,e\}$ - $A \cap B = \{c\}$ - $A^c = \{d,e,f\}$ - $B^c = \{a,b,f\}$ - $A \setminus B = \{a,b\}$ - $B \setminus A = \{d,e\}$ > **À retenir** : Le complément dépend toujours de l'universal set $U$ choisi. ### Loi de De Morgan 1 > La complémentaire de l'union de deux ensembles est égale à l'intersection de leurs complémentaires : > $$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$$ **Preuve par appartenance** : Soit $x \in (A \cup B)^c$. Alors $x \notin A \cup B$, donc $x \notin A$ et $x \notin B$. Donc $x \in A^c$ et $x \in B^c$, donc $x \in A^c \cap B^c$. Réciproquement, si $x \in A^c \cap B^c$, alors $x \notin A$ et $x \notin B$, donc $x \notin A \cup B$, donc $x \in (A \cup B)^c$. Donc les deux ensembles sont égaux. **Exemple 7** : Avec $U = \{1,2,3,4,5\}$, $A = \{1,2\}$, $B = \{2,3\}$ : - $A \cup B = \{1,2,3\}$ → $(A \cup B)^c = \{4,5\}$ - $A^c = \{3,4,5\}$, $B^c = \{1,4,5\}$ → $A^c \cap B^c = \{4,5\}$ Donc l'égalité tient. **Exercice 4** : Vérifier la loi de De Morgan 1 pour $U = \{p,q,r,s,t\}$, $A = \{p,q\}$, $B = \{q,r,s\}$. **Corrigé** : - $A \cup B = \{p,q,r,s\}$ → $(A \cup B)^c = \{t\}$ - $A^c = \{r,s,t\}$, $B^c = \{p,t\}$ → $A^c \cap B^c = \{t\}$ Égalité vérifiée. > **À retenir** : $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ — l'opposé d'une union est l'intersection des opposés. --- ## III. Universal set, set operations, De Morgan’s law 2 ### Loi de De Morgan 2 > La complémentaire de l'intersection de deux ensembles est égale à l'union de leurs complémentaires : > $$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$$ **Preuve par appartenance** : Soit $x \in (A \cap B)^c$. Alors $x \notin A \cap B$, donc $x \notin A$ ou $x \notin B$ (ou les deux). Donc $x \in A^c$ ou $x \in B^c$, donc $x \in A^c \cup B^c$. Réciproquement, si $x \in A^c \cup B^c$, alors $x \notin A$ ou $x \notin B$, donc $x \notin A \cap B$, donc $x \in (A \cap B)^c$. Donc les deux ensembles sont égaux. **Exemple 8** : Avec $U = \{1,2,3,4,5,6\}$, $A = \{1,2,3\}$, $B = \{3,4,5\}$ : - $A \cap B = \{3\}$ → $(A \cap B)^c = \{1,2,4,5,6\}$ - $A^c = \{4,5,6\}$, $B^c = \{1,2,6\}$ → $A^c \cup B^c = \{1,2,4,5,6\}$ Égalité vérifiée. **Exercice 5** : Vérifier la loi de De Morgan 2 pour $U = \{a,b,c,d,e\}$, $A = \{a,b\}$, $B = \{b,c,d\}$. **Corrigé** : - $A \cap B = \{b\}$ → $(A \cap B)^c = \{a,c,d,e\}$ - $A^c = \{c,d,e\}$, $B^c = \{a,e\}$ → $A^c \cup B^c = \{a,c,d,e\}$ Égalité vérifiée. > **À retenir** : $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ — l'opposé d'une intersection est l'union des opposés. **Tableau récapitulatif des lois de De Morgan** : | Loi | Expression | Équivalent | |-----|------------|------------| | De Morgan 1 | $(A \cup B)^c$ | $A^c \cap B^c$ | | De Morgan 2 | $(A \cap B)^c$ | $A^c \cup B^c$ | --- ## IV. Using Venn diagrams to prove relationships involving sets ### Diagrammes de Venn : principe Un diagramme de Venn utilise des cercles dans un rectangle (représentant $U$) pour visualiser les ensembles et leurs relations. Chaque région correspond à une combinaison d'appartenance ou non-appartenance aux ensembles. **Exemple 9** : Montrer par diagramme de Venn que $A \setminus B = A \cap B^c$. - Dessiner deux cercles chevauchants $A$ et $B$ dans $U$. - $A \setminus B$ : partie de $A$ qui ne chevauche pas $B$ → région uniquement dans $A$. - $A \cap B^c$ : éléments dans $A$ et non dans $B$ → même région. Donc les deux expressions représentent la même région → égalité. **Exemple 10** : Montrer que $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ avec un diagramme de Venn. - $(A \cup B)^c$ : région extérieure à la fois à $A$ et à $B$ (hors des deux cercles). - $A^c \cap B^c$ : éléments non dans $A$ ET non dans $B$ → même région extérieure. Donc égalité. **Exercice 6** : Utiliser un diagramme de Venn pour montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (loi de distributivité). **Corrigé** : - Dessiner trois cercles $A$, $B$, $C$ chevauchants. - Région de $A \cap (B \cup C)$ : parties de $A$ qui sont aussi dans $B$ ou $C$. - Région de $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ : union de ($A$ et $B$) et ($A$ et $C$) → mêmes régions. Les deux diagrammes montrent les mêmes régions colorées → égalité. > **À retenir** : Un diagramme de Venn prouve une égalité ensembliste si et seulement si les régions correspondantes sont identiques. **Tableau des régions courantes dans un diagramme de Venn à 2 ensembles** : | Région | Description | Notation ensembliste | |--------|-------------|----------------------| | I | Dans $A$ seulement | $A \setminus B$ | | II | Dans $A$ et $B$ | $A \cap B$ | | III | Dans $B$ seulement | $B \setminus A$ | | IV | Dans aucun | $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ | --- ## V. Sets of numbers commonly used in mathematics 1 ### Ensembles de nombres fondamentaux > Les ensembles de nombres suivants sont fondamentaux en mathématiques et sont souvent utilisés comme universal set ou sous-ensembles. - **$\mathbb{N}$** : Ensemble des nombres naturels. Dans le système éducatif camerounais anglophone, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ (en commençant à 1). - **$\mathbb{W}$** : Parfois utilisé pour les entiers naturels incluant 0 : $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$. (Non universellement standardisé ; on privilégie $\mathbb{N}_0$ si nécessaire.) - **$\mathbb{Z}$** : Ensemble des nombres entiers : $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$. - **$\mathbb{Q}$** : Ensemble des nombres rationnels : nombres pouvant être écrits sous la forme $\frac{a}{b}$ où $a, b \in \mathbb{Z}$ et $b \neq 0$. Exemples : $\frac{1}{2}, -3, 0, \frac{7}{5}$. - **$\mathbb{Q}^c$** : Ensemble des nombres irrationnels : nombres réels qui ne sont pas rationnels. Exemples : $\sqrt{2}, \pi, e$. **Propriétés d'inclusion** : $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $$ et $$ \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}^c = \mathbb{R}, \quad \mathbb{Q} \cap \mathbb{Q}^c = \emptyset $$ **Exemple 11** : Classer les nombres suivants : $-5, 0, \frac{2}{3}, \sqrt{3}, 4, \pi$. - $-5 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ - $0 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ (et parfois $\mathbb{W}$) - $\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ - $\sqrt{3} \in \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}$ - $4 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ - $\pi \in \mathbb{Q}^c, \mathbb{R}$ **Exercice 7** : Dire vrai ou faux : - a) Tout entier naturel est un entier relatif. - b) Tout nombre rationnel est un nombre réel. - c) $\sqrt{4}$ est irrationnel. - d) $\frac{\pi}{2}$ est rationnel. **Corrigé** : - a) Vrai ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$) - b) Vrai ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$) - c) Faux ($\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{Q}$) - d) Faux ($\pi$ irrationnel → quotient par 2 reste irrationnel) > **À retenir** : $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$, et les irrationnels complètent $\mathbb{Q}$ pour former $\mathbb{R}$. --- ## VI. Sets of numbers commonly used in mathematics 2 ### Ensembles de nombres réels : intervalles > Dans $\mathbb{R}$, on définit souvent des sous-ensembles par des intervalles, utiles pour décrire des domaines de définition ou des solutions d'inéquations. - **Intervalle fermé** : $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ - **Intervalle ouvert** : $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ - **Intervalle semi-ouvert** : $[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$, $(a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$ - **Illimités** : $(-\infty, b]$, $[a, \infty)$, $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ **Exemple 12** : Soit $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 9\}$. Alors $x^2 < 9 \Leftrightarrow -3 < x < 3$, donc $A = (-3, 3)$. **Exemple 13** : Soit $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \leq x \leq 2\}$. Alors $B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ (ensemble fini, pas un intervalle de $\mathbb{R}$ mais des points isolés). **Exercice 8** : Écrire en notation d'intervalle : - a) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 5\}$ - b) $\{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 4\}$ - c) $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 \leq 16\}$ **Corrigé** : - a) $[5, \infty)$ - b) $(-1, 4]$ - c) $x^2 \leq 16 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq 4$ → $[-4, 4]$ > **À retenir** : Les intervalles décrivent des sous-ensembles connexes de $\mathbb{R}$ ; les extrémités sont incluses si l'inégalité est large ($\leq$ ou $\geq$), exclues si stricte ($<$ ou $>$). ### Densité des ensembles > Bien que non requis en détail, noter que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (entre deux réels, il y a un rationnel), tandis que $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{N}$ ne le sont pas. --- ## VII. Equality of sets, comparability of sets ### Définition de l'égalité d'ensembles > Deux ensembles $A$ et $B$ sont égaux, noté $A = B$, s'ils contiennent exactement les mêmes éléments. Équivalentement : $A \subseteq B$ et $B \subseteq A$. **Méthode de preuve** : Pour montrer $A = B$, prouver les deux inclusions : 1. $A \subseteq B$ : tout élément de $A$ est dans $B$ 2. $B \subseteq A$ : tout élément de $B$ est dans $A$ **Exemple 14** : Montrer que $\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 4\} = \{-2, 2\}$. - Gauche : $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -2$ → $\{-2, 2\}$ - Droite : $\{-2, 2\}$ Donc égaux. **Exercice 9** : Montrer que $\{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\} = \{1,2,3,4\}$. **Corrigé** : - Gauche : $x \in \mathbb{N}$ et $x < 5$ → $x = 1,2,3,4$ (puisque $\mathbb{N}$ commence à 1) - Droite : $\{1,2,3,4\}$ Égalité vérifiée. > **À retenir** : $A = B$ si et seulement si $A \subseteq B$ et $B \subseteq A$. ### Comparabilité des ensembles : inclusion > On dit que $A$ est un sous-ensemble de $B$, noté $A \subseteq B$, si tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$. - Si $A \subseteq B$ et $A \neq B$, alors $A$ est un sous-ensemble propre de $B$, noté $A \subset B$. - Toute ensemble est sous-ensemble de lui-même : $A \subseteq A$. - L'ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble : $\emptyset \subseteq A$ pour tout $A$. **Exemple 15** : Soit $A = \{1,2,3\}$, $B = \{1,2,3,4,5\}$, $C = \{2,4,6\}$. - $A \subseteq B$ ? Oui, car $1,2,3 \in B$ → $A \subset B$ (propre) - $B \subseteq A$ ? Non, car $4 \in B$ mais $4 \notin A$ - $A \subseteq C$ ? Non, car $1 \in A$ mais $1 \notin C$ - $C \subseteq B$ ? Non, car $6 \in C$ mais $6 \notin B$ - $\emptyset \subseteq A$ ? Oui, toujours vrai. **Exercice 10** : Avec $U = \{a,b,c,d,e\}$, $A = \{a,b\}$, $B = \{b,c,d\}$, $C = \{a,b,c\}$ : - Déterminer toutes les relations d'inclusion vraies parmi $A$, $B$, $C$. **Corrigé** : - $A \subseteq C$ ? $a,b \in C$ → oui, et $A \neq C$ → $A \subset C$ - $B \subseteq C$ ? $b,c \in C$ mais $d \notin C$ → non - $C \subseteq B$ ? $a \in C$ mais $a \notin B$ → non - $A \subseteq B$ ? $a \in A$ mais $a \notin B$ → non - $B \subseteq A$ ? non - $C \subseteq A$ ? non - Aussi : $A \subseteq A$, $B \subseteq B$, $C \subseteq C$, $\emptyset \subseteq A,B,C$ Relations d'inclusion propres vraies : $A \subset C$ > **À retenir** : $A \subseteq B$ signifie "chaque élément de $A$ est dans $B$"; si en plus $A \neq B$, alors $A \subset B$ (sous-ensemble propre). **Tableau récapitulatif des relations d'inclusion** : | Relation | Signification | Symbole | Exemple vrai si $A=\{1,2\}$, $B=\{1,2,3\}$ | |----------|---------------|---------|------------------------------------------| | Sous-ensemble | Tout élément de $A$ est dans $B$ | $A \subseteq B$ | Oui | | Sous-ensemble propre | $A \subseteq B$ et $A \neq B$ | $A \subset B$ | Oui | | Égalité | $A \subseteq B$ et $B \subseteq A$ | $A = B$ | Non (ici $A \neq B$) | | Non-sous-ensemble | Il existe un élément de $A$ pas dans $B$ | $A \nsubseteq B$ | Non (ici faux) | --- ## Synthèse du chapitre - La **cardinalité** $|A|$ compte les éléments distincts d'un ensemble fini $A$. - Le **power set** $\mathcal{P}(A)$ contient tous les sous-ensembles de $A$; si $|A| = n$, alors $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$. - L'**universal set** $U$ définit le contexte; toutes les opérations ensemblistes s'y réfèrent. - Les opérations de base : union ($\cup$), intersection ($\cap$), complément ($^c$), différence ($\setminus$). - Les **lois de De Morgan** : - $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ - $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ - Les **diagrammes de Venn** permettent de visualiser et de prouver des égalités ensemblistes par comparaison de régions. - Les **ensembles de nombres** usuels : $\mathbb{N}$ (naturels, à partir de 1), $\mathbb{Z}$ (entiers), $\mathbb{Q}$ (rationnels), $\mathbb{Q}^c$ (irrationnels), $\mathbb{R}$ (réels), avec inclusions $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. - Deux ensembles sont **égaux** s'ils ont les mêmes éléments: $A = B \iff A \subseteq B \land B \subseteq A$. - L'**inclusion** $A \subseteq B$ signifie que tout élément de $A$ est dans $B$; si $A \neq B$, alors $A \subset B$ est un sous-ensemble propre. - L'ensemble vide $\emptyset$ est sous-ensemble de tout ensemble. --- ## Glossaire - **Cardinalité** : Nombre d'éléments distincts dans un ensemble fini, noté $|A|$. - **Power set** : Ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné, noté $\mathcal{P}(A)$. - **Universal set** : Ensemble contenant tous les éléments pertinents dans un contexte donné, noté $U$. - **Union** : Opération notée $A \cup B$, formée des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ (ou aux deux). - **Intersection** : Opération notée $A \cap B$, formée des éléments appartenant à la fois à $A$ et à $B$. - **Complément** : Opération notée $A^c$, formée des éléments de $U$ n'appartenant pas à $A$. - **Différence** : Opération notée $A \setminus B$, formée des éléments de $A$ n'appartenant pas à $B$. - **Loi de De Morgan** : Règles permettant de distribuer le complément sur une union ou une intersection. - **Diagramme de Venn** : Représentation graphique des ensembles utilisant des régions dans un rectangle symbolisant $U$. - **Égalité d'ensembles** : Relation $A = B$ vraie lorsque $A$ et $B$ contiennent exactement les mêmes éléments. - **Inclusion** : Relation $A \subseteq B$ vraie lorsque tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$. - **Sous-ensemble propre** : Relation $A \subset B$ vraie lorsque $A \subseteq B$ et $A \neq B$. - **Ensemble vide** : Ensemble ne contenant aucun élément, noté $\emptyset$, sous-ensemble de tout ensemble. - **Nombre naturel** : Élément de $\mathbb{N}$; dans ce contexte, $\mathbb{N} = \{1,2,3,\dots\}$. - **Nombre entier** : Élément de $\mathbb{Z}$, incluant les négatifs, zéro et les positifs. - **Nombre rationnel** : Élément de $\mathbb{Q}$, exprimable comme quotient de deux entiers (dénominateur non nul). - **Nombre irrationnel** : Élément de $\mathbb{Q}^c$, réel mais non rationnel (ex. $\sqrt{2}$, $\pi$). - **Nombre réel** : Élément de $\mathbb{R}$, regroupant rationnels et irrationnels. - **Intervalle** : Sous-ensemble de $\mathbb{R}$ défini par une borne inférieure et supérieure, ouvert, fermé ou semi-ouvert.