Chap. 2 :Equations and Inequations

# Chap. 2 :Equations and Inequations ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Appliquer les règles fondamentales pour résoudre des inégalités. - Résoudre des inégalités linéaires et quadratiques, en interprétant leurs solutions sur la droite réelle. - Résoudre des inégalités à valeur absolue de la forme $|f(x)| < a$, $|f(x)| > a$, $|f(x)| < |g(x)|$ et $|f(x)| = \pm f(x)$. - Résoudre des systèmes d'inégalités à deux inconnues et représenter graphiquement leurs ensembles de solutions. - Utiliser la notation d'intervalle et les ensembles pour exprimer les solutions. **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les nombres réels, résolution d'équations linéaires et quadratiques, connaissance du symbole de valeur absolue, tracé de droites et de paraboles, notion de fonction et de signe d'une expression. --- ## I. Basic Rules of solving Inequalities Une inégalité est une comparaison entre deux expressions à l'aide des symboles $<$, $>$, $\leq$, $\geq$. Résoudre une inégalité consiste à trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l'inégalité est vérifiée. > **Règle 1** : Ajouter ou soustraire le même nombre réel aux deux membres d'une inégalité préserve le sens de l'inégalité. > Si $a < b$, alors $a + c < b + c$ et $a - c < b - c$ pour tout $c \in \mathbb{R}$. > **Règle 2** : Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre réel positif préserve le sens de l'inégalité. > Si $a < b$ et $c > 0$, alors $ac < bc$ et $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$. > **Règle 3** : Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre réel négatif inverse le sens de l'inégalité. > Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$ et $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$. > **Règle 4** : Si $a \geq 0$ et $b \geq 0$, alors $a^2 < b^2$ si et seulement si $a < b$. > Cette propriété permet de lever le carré sous condition de non-négativité. > **Règle 5** : Pour toute fonction strictement croissante $f$, si $a < b$ alors $f(a) < f(b)$. > Exemple : $f(x) = e^x$, $f(x) = \ln(x)$ pour $x > 0$. > **Règle 6** : La solution d'une inégalité est un ensemble (souvent un intervalle ou une union d'intervalles) sur la droite réelle. **Exemple 1** : Résoudre $3x - 5 < 7$ Étape 1 : Ajouter 5 aux deux membres : $3x < 12$ Étape 2 : Diviser par 3 (positif) : $x < 4$ Solution : $(-\infty, 4)$ **Exercice 1** : Résoudre $-2x + 7 \geq 3$ Correction : $-2x \geq 3 - 7$ → $-2x \geq -4$ Diviser par $-2$ (négatif, inversion) : $x \leq 2$ Solution : $(-\infty, 2]$ **Exercice 2** : Résoudre $\frac{5 - x}{2} < 1$ Correction : $5 - x < 2$ → $-x < -3$ → $x > 3$ Solution : $(3, +\infty)$ --- ## II. Linear inequalities Une inéquation linéaire est de la forme $ax + b < 0$ (ou $\leq$, $>$, $\geq$), où $a$ et $b$ sont des réels et $a \neq 0$. Sa résolution se fait en isolant $x$, en appliquant les règles de base. > **Méthode** : Pour résoudre $ax + b < c$ : > 1. Isoler le terme en $x$ : $ax < c - b$ > 2. Diviser par $a$ : si $a > 0$, le sens reste ; si $a < 0$, le sens s'inverse. **Exemple 2** : Résoudre $-4x + 3 \geq 11$ $-4x \geq 8$ Diviser par $-4$ : $x \leq -2$ Solution : $(-\infty, -2]$ **Exemple 3** : Résoudre $2(x - 3) < 5x + 1$ $2x - 6 < 5x + 1$ $-6 - 1 < 5x - 2x$ → $-7 < 3x$ $x > -\frac{7}{3}$ Solution : $(-\frac{7}{3}, +\infty)$ **Exercice 3** : Résoudre $3 - 2(4x - 1) \geq 5x + 7$ Correction : $3 - 8x + 2 \geq 5x + 7$ → $5 - 8x \geq 5x + 7$ $-8x - 5x \geq 7 - 5$ → $-13x \geq 2$ $x \leq -\frac{2}{13}$ Solution : $(-\infty, -\frac{2}{13}]$ **Exercice 4** : Résoudre $\frac{x+1}{3} - \frac{2x-5}{6} < 0$ Correction : Mettre au même dénominateur : $\frac{2(x+1) - (2x-5)}{6} < 0$ $\frac{2x+2 -2x +5}{6} < 0$ → $\frac{7}{6} < 0$ → Faux pour tout $x$ Solution : $\emptyset$ (ensemble vide) --- ## III. Quadratic Inequalities Une inéquation quadratique est de la forme $ax^2 + bx + c < 0$ (ou $\leq$, $>$, $\geq$), avec $a \neq 0$. Sa résolution dépend du signe du trinôme et de ses racines. > **Principe** : Le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ est constant entre ses racines réelles et opposé à celui de $a$ à l'extérieur des racines si le discriminant $\Delta > 0$. **Étapes de résolution** : 1. Mettre l'inéquation sous la forme $ax^2 + bx + c \bowtie 0$ ($\bowtie$ représente $<, \leq, >, \geq$). 2. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. 3. Trouver les racines réelles (si elles existent) : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. 4. Déterminer le signe du trinôme selon le signe de $a$ et la position par rapport aux racines. 5. Écrire la solution en intervalles. > **Cas 1** : $\Delta < 0$ > - Si $a > 0$, le trinôme est toujours positif → $ax^2 + bx + c > 0$ vrai pour tout $x$, $< 0$ jamais vrai. > - Si $a < 0$, le trinôme est toujours négatif → $ax^2 + bx + c < 0$ vrai pour tout $x$, $> 0$ jamais vrai. > **Cas 2** : $\Delta = 0$ > Racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$. > - Si $a > 0$, le trinôme est $\geq 0$, nul seulement en $x_0$. > - Si $a < 0$, le trinôme est $\leq 0$, nul seulement en $x_0$. > **Cas 3** : $\Delta > 0$ > Deux racines distinctes $x_1 < x_2$. > - Si $a > 0$ : trinôme $< 0$ entre $x_1$ et $x_2$, $> 0$ en dehors. > - Si $a < 0$ : trinôme $> 0$ entre $x_1$ et $x_2$, $< 0$ en dehors. **Exemple 4** : Résoudre $x^2 - 5x + 6 < 0$ $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$ Racines : $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ → $x_1 = 2$, $x_2 = 3$ $a = 1 > 0$ → négatif entre les racines Solution : $(2, 3)$ **Exemple 5** : Résoudre $-2x^2 + 4x + 6 \geq 0$ Factoriser : $-2(x^2 - 2x - 3) \geq 0$ → $x^2 - 2x - 3 \leq 0$ (division par $-2$, inversion) $\Delta = 4 + 12 = 16$ Racines : $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 3$ $a = 1 > 0$ pour le trinôme réduit → $\leq 0$ entre les racines Solution : $[-1, 3]$ **Exercice 5** : Résoudre $3x^2 - 12x + 12 > 0$ Correction : $\Delta = 144 - 144 = 0$ Racine double : $x = \frac{12}{6} = 2$ $a = 3 > 0$ → trinôme $\geq 0$, nul en $x=2$ $> 0$ partout sauf en $x=2$ Solution : $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ **Exercice 6** : Résoudre $x^2 + 4x + 5 < 0$ Correction : $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$ $a = 1 > 0$ → trinôme toujours positif $< 0$ jamais vrai Solution : $\emptyset$ --- ## IV. Solutions to quadratic inequalities Cette section consolide la méthode de résolution des inéquations quadratiques en mettant l'accent sur l'interprétation graphique et la notation des ensembles. > **Représentation graphique** : La solution de $ax^2 + bx + c < 0$ correspond aux valeurs de $x$ pour lesquelles la parabole $y = ax^2 + bx + c$ est située sous l'axe des $x$. **Exemple 6** : Résoudre graphiquement $x^2 - 4x + 3 \leq 0$ Parabole : sommet en $(2, -1)$, racines en $x=1$ et $x=3$, ouverte vers le haut. $\leq 0$ entre les racines, y compris les racines. Solution : $[1, 3]$ **Exemple 7** : Résoudre $2x^2 + 3x - 2 > 0$ $\Delta = 9 + 16 = 25$ Racines : $x = \frac{-3 \pm 5}{4}$ → $x_1 = -2$, $x_2 = \frac{1}{2}$ $a = 2 > 0$ → $> 0$ en dehors des racines Solution : $(-\infty, -2) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ **Exercice 7** : Résoudre $-x^2 + 6x - 8 \geq 0$ Correction : Multiplier par $-1$ (inversion) : $x^2 - 6x + 8 \leq 0$ $\Delta = 36 - 32 = 4$ Racines : $x = \frac{6 \pm 2}{2}$ → $x_1 = 2$, $x_2 = 4$ $a = 1 > 0$ → $\leq 0$ entre les racines Solution : $[2, 4]$ **Exercice 8** : Résoudre $4x^2 - 4x + 1 < 0$ Correction : $\Delta = 16 - 16 = 0$ Racine double : $x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ $a = 4 > 0$ → trinôme $\geq 0$, nul en $x=\frac{1}{2}$ $< 0$ jamais vrai Solution : $\emptyset$ --- ## V. Absolute value inequalities of the form $|f(x)| < a$ L'inégalité $|f(x)| < a$ (avec $a > 0$) signifie que la valeur absolue de $f(x)$ est strictement inférieure à $a$. > **Équivalence** : Pour $a > 0$, $|f(x)| < a$ si et seulement si $-a < f(x) < a$. > Si $a \leq 0$, alors $|f(x)| < a$ n'a pas de solution (car la valeur absolue est toujours $\geq 0$). **Exemple 8** : Résoudre $|2x - 3| < 5$ $-5 < 2x - 3 < 5$ Ajouter 3 : $-2 < 2x < 8$ Diviser par 2 : $-1 < x < 4$ Solution : $(-1, 4)$ **Exemple 9** : Résoudre $|x^2 - 4| < 3$ $-3 < x^2 - 4 < 3$ Ajouter 4 : $1 < x^2 < 7$ Résoudre les deux inégalités : $x^2 > 1$ → $x < -1$ ou $x > 1$ $x^2 < 7$ → $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$ Intersection : $(-\sqrt{7}, -1) \cup (1, \sqrt{7})$ Solution : $(-\sqrt{7}, -1) \cup (1, \sqrt{7})$ **Exercice 9** : Résoudre $|3x + 1| < 7$ Correction : $-7 < 3x + 1 < 7$ $-8 < 3x < 6$ $-\frac{8}{3} < x < 2$ Solution : $(-\frac{8}{3}, 2)$ **Exercice 10** : Résoudre $|x^2 - 9| < 5$ Correction : $-5 < x^2 - 9 < 5$ $4 < x^2 < 14$ $x^2 > 4$ → $x < -2$ ou $x > 2$ $x^2 < 14$ → $-\sqrt{14} < x < \sqrt{14}$ Intersection : $(-\sqrt{14}, -2) \cup (2, \sqrt{14})$ Solution : $(-\sqrt{14}, -2) \cup (2, \sqrt{14})$ --- ## VI. Absolute value inequalities of the form $|f(x)| > a$ L'inégalité $|f(x)| > a$ (avec $a \geq 0$) signifie que la valeur absolue de $f(x)$ est strictement supérieure à $a$. > **Équivalence** : Pour $a \geq 0$, $|f(x)| > a$ si et seulement si $f(x) < -a$ ou $f(x) > a$. > Si $a < 0$, alors $|f(x)| > a$ est vrai pour tout $x$ réel (car la valeur absolue est toujours $\geq 0 > a$). **Exemple 10** : Résoudre $|x - 4| > 2$ $x - 4 < -2$ ou $x - 4 > 2$ $x < 2$ ou $x > 6$ Solution : $(-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$ **Exemple 11** : Résoudre $|x^2 - 1| > 3$ $x^2 - 1 < -3$ ou $x^2 - 1 > 3$ Premier cas : $x^2 < -2$ → pas de solution réelle Second cas : $x^2 > 4$ → $x < -2$ ou $x > 2$ Solution : $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ **Exercice 11** : Résoudre $|5x - 10| > 0$ Correction : $5x - 10 < 0$ ou $5x - 10 > 0$ $x < 2$ ou $x > 2$ Solution : $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$ (tout réel sauf $x=2$) **Exercice 12** : Résoudre $|x^2 + 2x| > 3$ Correction : $x^2 + 2x < -3$ ou $x^2 + 2x > 3$ Premier cas : $x^2 + 2x + 3 < 0$ → $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$, $a=1>0$ → jamais vrai Second cas : $x^2 + 2x - 3 > 0$ → $\Delta = 4 + 12 = 16$ Racines : $x = \frac{-2 \pm 4}{2}$ → $x_1 = -3$, $x_2 = 1$ $a=1>0$ → $> 0$ en dehors : $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ Solution : $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ --- ## VII. Absolute value inequalities of the forms $|f(x)| < |g(x)|$ and $|f(x)| = \pm f(x)$ Cette section traite des inégalités où deux valeurs absolues sont comparées, et de l'équation $|f(x)| = \pm f(x)$ qui définit le signe de $f(x)$. > **Équivalence pour $|f(x)| < |g(x)|$** : Équivaut à $[f(x)]^2 < [g(x)]^2$, c'est-à-dire $[f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] < 0$, sous réserve que les deux côtés soient définis (toujours vrai pour les réels). > **Propriété du signe** : > - $|f(x)| = f(x)$ si et seulement si $f(x) \geq 0$ > - $|f(x)| = -f(x)$ si et seulement si $f(x) \leq 0$ **Exemple 12** : Résoudre $|x - 1| < |x + 2|$ Élever au carré : $(x-1)^2 < (x+2)^2$ $x^2 - 2x + 1 < x^2 + 4x + 4$ $-2x - 4x < 4 - 1$ $-6x < 3$ $x > -\frac{1}{2}$ (division par $-6$, inversion) Solution : $(-\frac{1}{2}, +\infty)$ **Exemple 13** : Résoudre $|2x| = -2x$ Par propriété : $|f(x)| = -f(x)$ si $f(x) \leq 0$ Ici $f(x) = 2x$, donc $2x \leq 0$ → $x \leq 0$ Solution : $(-\infty, 0]$ **Exemple 14** : Résoudre $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ Par propriété : $|f(x)| = f(x)$ si $f(x) \geq 0$ Donc $x^2 - 4 \geq 0$ → $x \leq -2$ ou $x \geq 2$ Solution : $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ **Exercice 13** : Résoudre $|x+3| < |2x-1|$ Correction : $(x+3)^2 < (2x-1)^2$ $x^2 + 6x + 9 < 4x^2 - 4x + 1$ $0 < 3x^2 - 10x - 8$ $3x^2 - 10x - 8 > 0$ $\Delta = 100 + 96 = 196$ Racines : $x = \frac{10 \pm 14}{6}$ → $x_1 = -1$, $x_2 = 4$ $a=3>0$ → $> 0$ en dehors : $(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$ Solution : $(-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$ **Exercice 14** : Résoudre $|3x| = 3x$ Correction : $|f(x)| = f(x)$ si $f(x) \geq 0$ → $3x \geq 0$ → $x \geq 0$ Solution : $[0, +\infty)$ --- ## VIII. SOLUTIONS to inequalities involving two unknowns Une inéquation à deux inconnues (comme $ax + by < c$) définit une demi-plan dans le plan cartésien. La solution d'un système d'inéquations à deux inconnues est l'intersection des demi-plans correspondants. > **Méthode graphique** : > 1. Tracer la droite associée à l'équation $ax + by = c$. > 2. Choisir un point test (souvent l'origine $(0,0)$ si elle n'est pas sur la droite). > 3. Vérifier si le point satisfait l'inéquation. > 4. Ombrager le demi-plan contenant le point test si oui, sinon l'autre demi-plan. > 5. Pour un système, l'ensemble solution est l'intersection des demi-plans ombragés. **Exemple 15** : Résoudre graphiquement $x + y < 4$ Droite : $x + y = 4$ (intercepts : $(4,0)$, $(0,4)$) Point test $(0,0)$ : $0 + 0 < 4$ → vrai Ombrager le demi-plan contenant l'origine (en dessous de la droite). Solution : tous les points sous la droite $x + y = 4$ (non incluse). **Exemple 16** : Résoudre le système : $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 5 \end{cases}$ - $x \geq 0$ : demi-plan à droite de l'axe $y$ (incluant l'axe) - $y \geq 0$ : demi-plan au-dessus de l'axe $x$ (incluant l'axe) - $x + y \leq 5$ : demi-plan sous la droite $x+y=5$ (incluant la droite) Intersection : triangle rectangle avec sommets en $(0,0)$, $(5,0)$, $(0,5)$, y compris les bords. Solution : ensemble fermé et borné. **Exemple 17** : Résoudre le système : $\begin{cases} y > 2x - 1 \\ y \leq -x + 4 \end{cases}$ - Première inéquation : droite $y = 2x - 1$, point test $(0,0)$ : $0 > -1$ → vrai → ombrager au-dessus de la droite (exclue, car $>$) - Deuxième inéquation : droite $y = -x + 4$, point test $(0,0)$ : $0 \leq 4$ → vrai → ombrager en dessous de la droite (incluse, car $\leq$) Intersection : région au-dessus de $y=2x-1$ et en dessous de $y=-x+4$. Trouver l'intersection des droites : $2x - 1 = -x + 4$ → $3x = 5$ → $x = \frac{5}{3}$, $y = 2\cdot\frac{5}{3} - 1 = \frac{7}{3}$ Solution : ensemble ouvert par rapport à la première droite, fermé par rapport à la seconde, borné. **Exercice 15** : Résoudre graphiquement $2x - y > 3$ Correction : Droite : $2x - y = 3$ → $y = 2x - 3$ Point test $(0,0)$ : $0 > 3$ → faux Ombrager le demi-plan ne contenant pas l'origine (au-dessus de la droite, car pour $x=0$, $y=-3$ donne $0 - (-3)=3$ pas $>3$; vérifier : prendre $(0,-4)$ : $0 - (-4)=4>3$ vrai → donc en dessous de la droite? Attendre: Réécrire : $2x - y > 3$ ↔ $y < 2x - 3$ Donc ombrager en dessous de la droite $y = 2x - 3$ (exclue). Solution : demi-plan strictement en dessous de la droite. **Exercice 16** : Résoudre le système : $\begin{cases} x + 2y \leq 6 \\ x - y \geq 1 \\ y \geq 0 \end{cases}$ Correction : - $x + 2y \leq 6$ : droite passant par $(6,0)$ et $(0,3)$, point test $(0,0)$ : $0 \leq 6$ vrai → ombrager en dessous de la droite (incluse) - $x - y \geq 1$ : droite passant par $(1,0)$ et $(0,-1)$, point test $(0,0)$ : $0 \geq 1$ faux → ombrager au-dessus de la droite (incluse) - $y \geq 0$ : au-dessus de l'axe $x$ (incluant l'axe) Intersection : polygone borné. Trouver les sommets : Intersection $x+2y=6$ et $x-y=1$ : soustraire : $3y=5$ → $y=\frac{5}{3}$, $x=1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$ → $(\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$ Intersection $x+2y=6$ et $y=0$ : $x=6$ → $(6,0)$ Intersection $x-y=1$ et $y=0$ : $x=1$ → $(1,0)$ Vérifier si tous satisfont les inéquations : oui. Solution : triangle avec sommets en $(1,0)$, $(6,0)$, $(\frac{8}{3}, \frac{5}{3})$, y compris les bords. --- ## ## Synthèse du chapitre - Les règles de base des inégalités permettent de manipuler les expressions tout en préservant ou inversant le sens selon les opérations effectuées. - Les inégalités linéaires se résolvent en isolant la variable, en faisant attention au signe du coefficient. - Les inégalités quadratiques nécessitent l'analyse du signe du trinôme via son discriminant et le coefficient directeur. - Les inégalités à valeur absolue de la forme $|f(x)| < a$ se traduisent par un double encadrement $-a < f(x) < a$ (pour $a>0$). - Les inégalités de la forme $|f(x)| > a$ se décomposent en deux cas disjoints : $f(x) < -a$ ou $f(x) > a$ (pour $a\geq0$). - Les comparaisons de valeurs absolues $|f(x)| < |g(x)|$ se résolvent en élevant au carré (équivalent à $[f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]<0$). - L'équation $|f(x)| = \pm f(x)$ permet de déterminer le signe de $f(x)$ : égale à $f(x)$ si $f(x)\geq0$, égale à $-f(x)$ si $f(x)\leq0$. - Les systèmes d'inégalités à deux inconnues se résolvent graphiquement par intersection de demi-plans, en utilisant un point test pour déterminer le côté à ombrager. - La solution d'une inéquation ou d'un système est exprimée sous forme d'intervalle(s), d'ensemble ou de région dans le plan. --- ## ## Glossaire - **Inéquation** : Une comparaison entre deux expressions utilisant $<$, $>$, $\leq$, ou $\geq$. - **Solution d'une inéquation** : L'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles l'inéquation est vérifiée. - **Discriminant** : Pour un trinôme $ax^2+bx+c$, noté $\Delta = b^2 - 4ac$, détermine le nombre et la nature des racines. - **Trinôme du second degré** : Expression de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$. - **Valeur absolue** : Notée $\vert x \vert$, égale à $x$ si $x\geq0$, et à $-x$ si $x<0$. - **Demi-plan** : Ensemble des points situés d'un côté d'une droite dans le plan cartésien. - **Point test** : Point utilisé pour déterminer quel côté d'une droite satisfait une inéquation à deux inconnues. - **Intersection** : Ensemble des éléments communs à deux ou plusieurs ensembles. - **Intervalle** : Sous-ensemble des nombres réels constitué de tous les nombres entre deux bornes. - **Ensemble vide** : Noté $\emptyset$, ensemble ne contenant aucun élément. - **Racine réelle** : Solution réelle de l'équation $ax^2+bx+c=0$. - **Signe d'un trinôme** : Positif, négatif ou nul selon la valeur de l'expression pour un donné $x$.