Functions

# Functions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir une compréhension approfondie des fonctions, de leur définition formelle à leurs propriétés avancées, en passant par leurs représentations graphiques et leurs transformations. À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir une fonction, son domaine, son contradomaine et son image, et utiliser correctement la notation fonctionnelle. - Identifier et classer les fonctions selon leur type d'application (injective, surjective, bijective). - Déterminer l'existence d'une fonction réciproque et la calculer lorsqu'elle existe. - Former et évaluer des fonctions composées. - Appliquer l'algèbre des fonctions (somme, différence, produit, quotient). - Reconnaître et caractériser les fonctions paires, impaires, périodiques et monotones. - Appliquer les transformations géométriques aux graphes de fonctions (translations, dilatations, réflexions). - Résoudre des problèmes concrets en modélisant des situations par des fonctions et en interprétant leurs propriétés. **Prérequis** : Maîtrise des ensembles, des relations, de la notation ensembliste, des équations du premier et du second degré, des inéquations, et de la représentation graphique de fonctions linéaires et quadratiques de base. --- ## I. Definition of a Function and Notations Une **fonction** est une relation particulière entre deux ensembles qui associe à chaque élément d'un premier ensemble (le domaine) exactement un élément d'un deuxième ensemble (le contradomaine). > **Définition** : Une fonction $f$ d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$, notée $f: A \to B$, est une relation telle que pour tout $x \in A$, il existe un et un seul $y \in B$ tel que $(x, y) \in f$. On écrit alors $y = f(x)$. L'ensemble $A$ est appelé **domaine** de $f$, noté $\text{Dom}(f)$. L'ensemble $B$ est appelé **contradomaine** de $f$, noté $\text{Codom}(f)$. L'ensemble des images réelles de $f$, c'est-à-dire $\{ f(x) \mid x \in \text{Dom}(f) \}$, est appelé **image** ou **ensemble des valeurs** de $f$, noté $\text{Im}(f)$ ou parfois $\text{Range}(f)$. > **Notation** : On évite l'ambiguïté en distinguant clairement : > - $f$ : la fonction elle-même (une règle d'association), > - $f(x)$ : la valeur de la fonction en $x$ (un élément de $B$), > - $f(A')$ : l'image d'un sous-ensemble $A' \subseteq A$ sous $f$. ### Exemple 1 : Déterminer si une relation est une fonction Soit $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{a, b, c\}$. Relation $R = \{(1, a), (2, b), (2, c), (3, a)\}$. Est-ce une fonction ? **Solution** : L'élément $2 \in A$ est associé à deux éléments de $B$ ($b$ et $c$). Donc, $R$ n'est **pas** une fonction. ### Exemple 2 : Notation et évaluation Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Alors : - $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, - $\text{Codom}(f) = \mathbb{R}$, - $f(0) = 1$, - $f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 0$, - $f(-1) = 2(1) + 3 + 1 = 6$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Soit $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = \frac{1}{x-2}$. Déterminer $\text{Dom}(g)$, $\text{Codom}(g)$, et calculer $g(3)$, $g(0)$, $g(2.5)$. **Solution** : - $g(x)$ est indéfinie lorsque $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Donc $\text{Dom}(g) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. - $\text{Codom}(g) = \mathbb{R}$ (par définition). - $g(3) = \frac{1}{3-2} = 1$, - $g(0) = \frac{1}{0-2} = -\frac{1}{2}$, - $g(2.5) = \frac{1}{2.5-2} = \frac{1}{0.5} = 2$. **Exercice 2** : Une relation $h$ est définie sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ par $h(n) = n^2$ si $n$ est pair, et $h(n) = n+1$ si $n$ est impair. Est-ce une fonction ? Justifier. **Solution** : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exactement une des deux conditions s'applique (pair ou impair), et dans chaque cas, une seule valeur est attribuée. Donc, $h$ **est** une fonction de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}$. --- ## II. ELesson 62 : Domain, Codomain and Range Cette leçon approfondit la distinction entre contradomaine et image, souvent source de confusion. > **Rappel** : > - Le **contradomaine** ($\text{Codom}(f)$) est l'ensemble auquel on prétend que les valeurs de $f$ appartiennent (choisi lors de la définition de $f$). > - L'**image** ($\text{Im}(f)$ ou $\text{Range}(f)$) est l'ensemble réel des valeurs prises par $f$ sur son domaine. > On a toujours : $\text{Im}(f) \subseteq \text{Codom}(f)$. L'égalité tient si et seulement si $f$ est surjective. ### Exemple 1 : Image vs contradomaine Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$. - $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, - $\text{Codom}(f) = \mathbb{R}$, - $\text{Im}(f) = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = x^2 \text{ pour quelque } x \in \mathbb{R} \} = [0, \infty)$. Donc $\text{Im}(f) \subsetneq \text{Codom}(f)$, car aucun réel négatif n'est le carré d'un réel. ### Exemple 2 : Ajuster le contradomaine pour obtenir une surjection La même fonction $f(x) = x^2$ peut être considérée comme $f: \mathbb{R} \to [0, \infty)$. Alors : - $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, - $\text{Codom}(f) = [0, \infty)$, - $\text{Im}(f) = [0, \infty)$. Donc maintenant $\text{Im}(f) = \text{Codom}(f)$, et $f$ est surjective sur cet ensemble. ### Exemple 3 : Fonction définie par morceaux Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $$ - $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, - $\text{Codom}(f) = \mathbb{R}$, - Pour $x < 0$, $f(x) = x+1 < 1$, et quand $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$ → cette partie donne $(-\infty, 1)$. - Pour $x \geq 0$, $f(x) = x^2 \geq 0$ → cette partie donne $[0, \infty)$. - Union : $\text{Im}(f) = (-\infty, 1) \cup [0, \infty) = \mathbb{R}$ (puisque $(-\infty, 1) \cup [0, \infty) = \mathbb{R}$). Donc ici $\text{Im}(f) = \text{Codom}(f) = \mathbb{R}$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Soit $k: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $k(x) = \sqrt{4 - x^2}$. Déterminer $\text{Dom}(k)$, $\text{Codom}(k)$, et $\text{Im}(k)$. **Solution** : - Le radicande doit être $\geq 0$ : $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$. Donc $\text{Dom}(k) = [-2, 2]$. - $\text{Codom}(k) = \mathbb{R}$ (par définition). - Pour $x \in [-2, 2]$, $x^2 \in [0, 4]$, donc $4 - x^2 \in [0, 4]$, donc $\sqrt{4 - x^2} \in [0, 2]$. - Lorsque $x=0$, $k(0)=2$ ; lorsque $x=\pm 2$, $k(\pm 2)=0$. - Donc $\text{Im}(k) = [0, 2]$. **Exercice 2** : Soit $p: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ définie par $p(n) = 2n + 1$. Déterminer $\text{Im}(p)$. Est-ce que $p$ est surjective sur $\mathbb{Z}$ ? **Solution** : - Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $p(n) = 2n+1$ est un entier impair. - Donc $\text{Im}(p) = \{ \text{nombres impairs} \} = \{ \dots, -3, -1, 1, 3, 5, \dots \}$. - Comme il existe des entiers pairs (ex. $0, 2, -2$) qui ne sont pas dans $\text{Im}(p)$, $p$ n'est **pas** surjective sur $\mathbb{Z}$. --- ## III. Types of Mappings Les fonctions peuvent être classées selon la manière dont elles préservent l'unicité des éléments du domaine dans leur image. > **Définition** : Une fonction $f: A \to B$ est : > - **Injective** (ou un-à-un) si deux éléments différents de $A$ ont des images différentes : > $\forall x_1, x_2 \in A, \; f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$. > - **Surjective** (ou sur) si tout élément de $B$ est l'image d'au moins un élément de $A$ : > $\forall y \in B, \; \exists x \in A \text{ tel que } f(x) = y$. > - **Bijective** si elle est à la fois injective et surjective. ### Exemple 1 : Test de l'injectivité Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x - 5$. Supposons $f(x_1) = f(x_2)$. Alors $3x_1 - 5 = 3x_2 - 5 \Rightarrow 3x_1 = 3x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$. Donc $f$ est injective. ### Exemple 2 : Test de la surjectivité Même fonction $f(x) = 3x - 5$. Soit $y \in \mathbb{R}$ quelconque. On veut résoudre $3x - 5 = y$ pour $x$. $3x = y + 5 \Rightarrow x = \frac{y+5}{3} \in \mathbb{R}$. Donc pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe un $x \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=y$. Donc $f$ est surjective. Puisqu'elle est les deux, $f$ est bijective. ### Exemple 3 : Fonction non injective Soit $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = x^2$. Alors $g(2) = 4$ et $g(-2) = 4$, mais $2 \neq -2$. Donc $g$ n'est **pas** injective. Est-elle surjective ? Non, car aucun réel $x$ ne donne $x^2 = -1$ (par exemple). Donc $g$ n'est ni injective ni surjective sur $\mathbb{R}$. ### Exemple 4 : Fonction surjective mais non injective Soit $h: \mathbb{R} \to [0, \infty)$ définie par $h(x) = x^2$. - Injectivité ? Non, car $h(2)=h(-2)=4$. - Surjectivité ? Pour tout $y \in [0, \infty)$, prendre $x = \sqrt{y} \in \mathbb{R}$, alors $h(x)=y$. Donc $h$ est surjective mais pas injective. ### Tableau récapitulatif des types de mappings | Propriété | Condition | Exemple ($f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$) | |-------------------|---------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------| | Injective | $f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$ | $f(x)=2x+1$ | | Surjective | $\forall y \in B, \; \exists x \in A: f(x)=y$ | $f(x)=x^3$ | | Bijective | Injective **et** surjective | $f(x)=x+1$ | | Ni l'un ni l'autre| Pas injective et pas surjective | $f(x)=x^2$ | | Surjective seulement| Surjective mais pas injective | $f(x)=x^2$ avec $B=[0,\infty)$ | | Injective seulement| Injective mais pas surjective | $f(x)=e^x$ avec $B=\mathbb{R}$ | ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Déterminer si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^3 - x$ est injective, surjective, ou les deux. **Solution** : - Injectivité ? Essayer $x_1=0$, $x_2=1$ : $f(0)=0$, $f(1)=1-1=0$. Donc $f(0)=f(1)$ mais $0\neq 1$ → pas injective. - Surjectivité ? Comme $f$ est un polynôme de degré impair, ses limites sont : $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$, et elle est continue → elle atteint tout réel. Donc $f$ est surjective. **Réponse** : Surjective mais pas injective. **Exercice 2** : Soit $g: \{1,2,3,4\} \to \{a,b,c,d\}$ définie par $g(1)=a$, $g(2)=b$, $g(3)=c$, $g(4)=d$. Quel type d'application est $g$ ? **Solution** : - Chaque élément du domaine a une image unique → bien définie. - Deux éléments différents du domaine donnent-ils la même image ? Non : toutes les images sont distinctes. - Tout élément du contradomaine est-il l'image d'un élément du domaine ? Oui : $a,b,c,d$ sont tous atteints. Donc $g$ est **bijective**. --- ## IV. Injective and Surjective Mappings Cette leçon renforce les critères pratiques pour tester l'injectivité et la surjectivité, en particulier par des méthodes algébriques et graphiques. > **Critère algébrique d'injectivité** : Pour montrer que $f$ est injective, supposons $f(x_1)=f(x_2)$ et démontrons que cela implique $x_1=x_2$. > **Critère algébrique de surjectivité** : Pour montrer que $f: A \to B$ est surjective, prenons un $y \in B$ quelconque et montrons qu'on peut résoudre $f(x)=y$ pour $x \in A$. ### Exemple 1 : Injectivité par récurrence Soit $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ définie par $f(n) = 2n$. Supposons $f(n_1)=f(n_2)$. Alors $2n_1 = 2n_2 \Rightarrow n_1 = n_2$. Donc $f$ est injective. ### Exemple 2 : Surjectivité par construction Même fonction $f(n)=2n$ de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}$. Prenons $y \in \mathbb{N}$ quelconque. Pour que $f(n)=y$, il faudrait $2n=y \Rightarrow n=y/2$. Mais si $y$ est impair (ex. $y=3$), alors $n=1.5 \notin \mathbb{N}$. Donc il n'existe pas toujours un $n \in \mathbb{N}$ tel que $f(n)=y$. Donc $f$ n'est **pas** surjective sur $\mathbb{N}$. Son image est l'ensemble des nombres pairs naturels. ### Exemple 3 : Fonction bijective sur un ensemble fini Soit $f: \{a,b,c\} \to \{1,2,3\}$ définie par $f(a)=2$, $f(b)=3$, $f(c)=1$. - Injectivité ? Toutes les images sont distinctes : oui. - Surjectivité ? Chaque élément de $\{1,2,3\}$ est image de quelque chose : $1=f(c)$, $2=f(a)$, $3=f(b)$ : oui. Donc $f$ est bijective. ### Exemple 4 : Utilisation du test de la ligne horizontale (graphique) Une fonction représentée par une courbe dans le plan est injective si et seulement si aucune ligne horizontale ne coupe la courbe en plus d'un point. Elle est surjective sur son contradomaine si et seulement si chaque ligne horizontale à l'intérieur du contradomaine coupe la courbe au moins une fois. > **À retenir** : Le test de la ligne horizontale permet de déterminer graphiquement l'injectivité d'une fonction réelle. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$. Montrer que $f$ est injective sur $[0, \infty)$ mais pas sur $\mathbb{R}$. **Solution** : - Sur $[0, \infty)$ : supposons $f(x_1)=f(x_2)$ avec $x_1,x_2 \geq 0$. $\frac{x_1}{x_1^2+1} = \frac{x_2}{x_2^2+1}$. En effectuant un produit croisé : $x_1(x_2^2+1) = x_2(x_1^2+1)$ $\Rightarrow x_1 x_2^2 + x_1 = x_2 x_1^2 + x_2$ $\Rightarrow x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2 = x_2 - x_1$ $\Rightarrow x_1 x_2 (x_2 - x_1) = -(x_1 - x_2) = x_2 - x_1$ Si $x_1 \neq x_2$, on peut diviser par $(x_2 - x_1)$ : $x_1 x_2 = -1$. Mais $x_1,x_2 \geq 0 \Rightarrow x_1 x_2 \geq 0$, contradiction. Donc $x_1=x_2$ → injective sur $[0, \infty)$. - Sur $\mathbb{R}$ : notons que $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)$. Donc $f$ est impaire. En particulier, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(-1) = -\frac{1}{2}$ → pas égaux, mais attendons : En fait, $f(2) = \frac{2}{5}=0.4$, $f(-2)=-\frac{2}{5}=-0.4$ → toujours pas égaux. Cherchons deux valeurs différentes avec même image : Essayons $x=0.5$ : $f(0.5)=0.5/(0.25+1)=0.5/1.25=0.4$ Essayons $x=-2$ : $f(-2)=-2/(4+1)=-0.4$ → pas égal. Essayons $x=2$ : $0.4$, essayons $x=-0.5$ : $-0.5/(0.25+1)=-0.4$ → toujours pas. En fait, cette fonction est injective sur tout $\mathbb{R}$ ? Reprenons l'équation $f(x_1)=f(x_2)$ : $\frac{x_1}{x_1^2+1} = \frac{x_2}{x_2^2+1}$ Comme avant : $x_1 x_2^2 + x_1 = x_2 x_1^2 + x_2$ $\Rightarrow x_1 x_2 (x_2 - x_1) = x_2 - x_1$ $\Rightarrow (x_2 - x_1)(x_1 x_2 - 1) = 0$ Donc soit $x_1=x_2$, soit $x_1 x_2 = 1$. Donc si $x_1 \neq x_2$ mais $x_1 x_2 = 1$, alors $f(x_1)=f(x_2)$. Exemple : $x_1=2$, $x_2=1/2$ : $f(2)=2/(4+1)=2/5=0.4$, $f(0.5)=0.5/(0.25+1)=0.5/1.25=0.4$. Donc $f(2)=f(0.5)$ mais $2 \neq 0.5$ → pas injective sur $\mathbb{R}$. **Réponse** : Injective sur $[0,\infty)$, pas injective sur $\mathbb{R}$. **Exercice 2** : Soit $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $g(x) = e^x$. Montrer que $g$ est injective mais pas surjective sur $\mathbb{R}$. **Solution** : - Injectivité : supposons $e^{x_1} = e^{x_2}$. En appliquant le logarithme naturel : $x_1 = x_2$. Donc injective. - Surjectivité : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc aucun réel négatif ou nul n'est dans l'image de $g$. En particulier, $y=-1 \in \mathbb{R}$ n'a pas d'antécédent. Donc $g$ n'est pas surjective sur $\mathbb{R}$. Son image est $(0, \infty)$. --- ## V. Bijective Mappings Une fonction bijective établit une correspondance un-à-un parfaite entre les éléments du domaine et ceux du contradomaine. Cette propriété est essentielle pour l'existence d'une fonction réciproque. > **Définition** : Une fonction $f: A \to B$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective. > Cela signifie que chaque élément de $B$ est l'image de **un et un seul** élément de $A$. > **À retenir** : Une fonction est bijective si et seulement si elle admet une réciproque qui est aussi une fonction. ### Exemple 1 : Fonction linéaire bijective Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 4x - 7$. - Injectivité : $4x_1 - 7 = 4x_2 - 7 \Rightarrow 4x_1=4x_2 \Rightarrow x_1=x_2$. - Surjectivité : Pour tout $y \in \mathbb{R}$, résoudre $4x - 7 = y \Rightarrow x = \frac{y+7}{4} \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est bijective. ### Exemple 2 : Fonction bijective sur un ensemble fini Soit $f: \{1,2,3,4\} \to \{a,b,c,d\}$ définie par $f(1)=b$, $f(2)=d$, $f(3)=a$, $f(4)=c$. - Injectivité ? Images : $b,d,a,c$ → toutes distinctes → oui. - Surjectivité ? Chaque élément de $\{a,b,c,d\}$ apparaît exactement une fois → oui. Donc $f$ est bijective. ### Exemple 3 : Fonction qui n'est pas bijective car pas surjective Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = e^x$. Comme vu précédemment, elle est injective mais pas surjective (car $e^x > 0$). Donc elle n'est **pas** bijective sur $\mathbb{R}$. Cependant, si on restreint le contradomaine à $(0, \infty)$, alors $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ définie par $f(x)=e^x$ devient bijective. ### Exemple 4 : Fonction qui n'est pas bijective car pas injective Soit $f: \mathbb{R} \to [0, \infty)$ définie par $f(x) = x^2$. Elle est surjective (comme vu auparavant) mais pas injective ($f(2)=f(-2)$). Donc elle n'est **pas** bijective. Cependant, si on restreint le domaine à $[0, \infty)$, alors $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ définie par $f(x)=x^2$ devient bijective. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Déterminer si la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^3 + 2x$ est bijective. **Solution** : - Injectivité : supposons $x_1^3 + 2x_1 = x_2^3 + 2x_2$. Alors $x_1^3 - x_2^3 + 2(x_1 - x_2) = 0$ $\Rightarrow (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) + 2(x_1 - x_2) = 0$ $\Rightarrow (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 + 2) = 0$ Maintenant, $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \frac{1}{2}[(x_1+x_2)^2 + x_1^2 + x_2^2] \geq 0$, donc $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 + 2 \geq 2 > 0$. Donc le deuxième facteur est toujours positif. Donc $x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$. Donc $f$ est injective. - Surjectivité : $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$, et $f$ est continue (polynôme). Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ atteint tout réel. Donc $f$ est surjective. Puisqu'elle est les deux, $f$ est **bijective**. **Exercice 2** : Soit $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ définie par $g(n) = -n$. Montrer que $g$ est bijective. **Solution** : - Injectivité : supposons $-n_1 = -n_2$. Alors en multipliant par $-1$ : $n_1 = n_2$. Donc injective. - Surjectivité : soit $m \in \mathbb{Z}$ quelconque. On veut trouver $n \in \mathbb{Z}$ tel que $g(n)=m$, c'est-à-dire $-n = m$. Alors $n = -m$. Puisque $m \in \mathbb{Z}$, $-m \in \mathbb{Z}$. Donc $n=-m$ fonctionne. Donc pour tout $m \in \mathbb{Z}$, il existe $n=-m \in \mathbb{Z}$ tel que $g(n)=m$. Donc $g$ est surjective. Puisqu'elle est les deux, $g$ est **bijective**. --- ## VI. Inverse Functions La fonction réciproque (ou inverse) d'une fonction bijective « annule » l'effet de la fonction originale. > **Définition** : Soit $f: A \to B$ une fonction bijective. Alors sa **fonction réciproque**, notée $f^{-1}: B \to A$, est définie par : > pour tout $y \in B$, $f^{-1}(y)$ est l'élément unique $x \in A$ tel que $f(x) = y$. > Équivalentement, $f^{-1}$ satisfait : > $f(f^{-1}(y)) = y$ pour tout $y \in B$, et > $f^{-1}(f(x)) = x$ pour tout $x \in A$. > **À retenir** : Une fonction admet une réciproque qui est aussi une fonction si et seulement si elle est bijective. ### Méthode pour trouver $f^{-1}$ 1. Écrire $y = f(x)$. 2. Résoudre cette équation pour $x$ en termes de $y$. 3. L'expression obtenue est $x = f^{-1}(y)$. 4. Éventuellement, remplacer $y$ par $x$ pour écrire $f^{-1}(x)$ (variable muette). ### Exemple 1 : Fonction linéaire Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 3x + 4$. Étape 1 : $y = 3x + 4$ Étape 2 : $3x = y - 4 \Rightarrow x = \frac{y - 4}{3}$ Étape 3 : Donc $f^{-1}(y) = \frac{y - 4}{3}$ Étape 4 : En écrivant avec la variable $x$ : $f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{3}$ Vérification : $f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x-4}{3}\right) = 3\cdot\frac{x-4}{3} + 4 = x-4+4 = x$ $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x+4) = \frac{(3x+4)-4}{3} = \frac{3x}{3} = x$ ### Exemple 2 : Fonction au carré avec restriction de domaine Soit $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ définie par $f(x) = x^2$. Étape 1 : $y = x^2$ Étape 2 : Comme $x \geq 0$, on prend la racine carrée positive : $x = \sqrt{y}$ Étape 3 : Donc $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ Étape 4 : $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ Vérification : $f(f^{-1}(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$ (pour $x \geq 0$) $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| = x$ (puisque $x \geq 0$) ### Exemple 3 : Fonction qui n'a pas de réciproque globale Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2$. Comme vu auparavant, elle n'est pas injective sur $\mathbb{R}$ (puisque $f(2)=f(-2)$). Donc elle n'admet **pas** de réciproque qui soit une fonction sur $\mathbb{R}$. Cependant, si on restreint le domaine à $[0, \infty)$ ou à $(-\infty, 0]$, alors elle devient bijective sur son image et admet une réciproque. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver la fonction réciproque de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{2x - 1}{3}$. **Solution** : Étape 1 : $y = \frac{2x - 1}{3}$ Étape 2 : $3y = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 3y + 1 \Rightarrow x = \frac{3y + 1}{2}$ Étape 3 : $f^{-1}(y) = \frac{3y + 1}{2}$ Étape 4 : $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{2}$ Vérification : $f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{3x+1}{2}\right) = \frac{2\cdot\frac{3x+1}{2} - 1}{3} = \frac{(3x+1) - 1}{3} = \frac{3x}{3} = x$ $f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{2x-1}{3}\right) = \frac{3\cdot\frac{2x-1}{3} + 1}{2} = \frac{(2x-1) + 1}{2} = \frac{2x}{2} = x$ **Exercice 2** : La fonction $g: [1, \infty) \to [0, \infty)$ est définie par $g(x) = (x-1)^2$. Trouver $g^{-1}$ et vérifier son domaine et son contradomaine. **Solution** : Étape 1 : $y = (x-1)^2$ Étape 2 : Comme $x \geq 1$, alors $x-1 \geq 0$, donc on prend la racine carrée positive : $\sqrt{y} = x - 1 \Rightarrow x = \sqrt{y} + 1$ Étape 3 : $g^{-1}(y) = \sqrt{y} + 1$ Étape 4 : $g^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$ Vérification du domaine et contradomaine de $g^{-1}$ : - Puisque $g: [1, \infty) \to [0, \infty)$, alors $g^{-1}: [0, \infty) \to [1, \infty)$. - Pour $g^{-1}(x) = \sqrt{x} + 1$ : - Défini lorsque $x \geq 0$ → domaine = $[0, \infty)$ ✓ - Lorsque $x \geq 0$, $\sqrt{x} \geq 0$, donc $\sqrt{x}+1 \geq 1$ → contradomaine = $[1, \infty)$ ✓ Vérification fonctionnelle : $g(g^{-1}(x)) = g(\sqrt{x}+1) = ((\sqrt{x}+1)-1)^2 = (\sqrt{x})^2 = x$ $g^{-1}(g(x)) = g^{-1}((x-1)^2) = \sqrt{(x-1)^2} + 1 = |x-1| + 1 = (x-1)+1 = x$ (puisque $x \geq 1 \Rightarrow x-1 \geq 0$) ---