Indices, Surds and Logarithms

# Indices, Surds and Logarithms ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les lois des indices, des surds et des logarithmes, à simplifier des expressions algébriques complexes, à résoudre des équations exponentielles et logarithmiques, à tracer des fonctions associées, et à introduire les notions fondamentales de suites et séries. Les prérequis incluent une bonne maîtrise des opérations sur les nombres réels, des puissances entières, des fractions, et de la factorisation. --- ## I. Laws of indices and applications 1 ### Définition et propriétés Les lois des indices (ou exposants) régissent les opérations sur les puissances d'une même base. > **Loi 1** : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ > **Loi 2** : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (pour $a \neq 0$) > **Loi 3** : $(a^m)^n = a^{mn}$ > **Loi 4** : $a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$) > **Loi 5** : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (pour $a \neq 0$) > **Loi 6** : $(ab)^n = a^n b^n$ > **Loi 7** : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (pour $b \neq 0$) ### Exemple 1 : Simplifier $2^3 \cdot 2^5$ $$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 $$ ### Exemple 2 : Simplifier $\dfrac{5^7}{5^3}$ $$ \dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625 $$ ### Exemple 3 : Simplifier $(3^2)^4$ $$ (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Simplifier $x^4 \cdot x^{-2} \cdot x^3$ **Correction** : $x^4 \cdot x^{-2} \cdot x^3 = x^{4-2+3} = x^5$ **Exercice 2** : Simplifier $\dfrac{(2a^3b^2)^2}{4a^2b}$ **Correction** : Numérateur : $(2a^3b^2)^2 = 2^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 4a^6b^4$ Dénominateur : $4a^2b$ Résultat : $\dfrac{4a^6b^4}{4a^2b} = a^{6-2}b^{4-1} = a^4b^3$ **Exercice 3** : Écrire sans dénominateur : $\dfrac{1}{x^{-3}y^2}$ **Correction** : $\dfrac{1}{x^{-3}y^2} = \dfrac{1}{x^{-3}} \cdot \dfrac{1}{y^2} = x^3 \cdot y^{-2} = \dfrac{x^3}{y^2}$ --- ## II. Laws of indices and applications 2 ### Extension aux exposants fractionnaires Un exposant fractionnaire $a^{m/n}$ représente la racine $n$-ième de $a^m$ : $$ a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $$ Valable pour $a \geq 0$ si $n$ est pair. > **Règle** : $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ > **Règle** : $a^{-m/n} = \dfrac{1}{a^{m/n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ ### Exemple 1 : Calculer $8^{2/3}$ $$ 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 $$ ### Exemple 2 : Calculer $16^{-3/4}$ $$ 16^{-3/4} = \dfrac{1}{16^{3/4}} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} $$ ### Exemple 3 : Simplifier $(27x^6)^{1/3}$ $$ (27x^6)^{1/3} = 27^{1/3} \cdot (x^6)^{1/3} = 3 \cdot x^{6/3} = 3x^2 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer $64^{1/3} \cdot 64^{1/6}$ **Correction** : $64^{1/3} = 4$, $64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = 2$ (puisque $2^6=64$) $4 \cdot 2 = 8$ Ou directement : $64^{1/3 + 1/6} = 64^{1/2} = 8$ **Exercice 2** : Simplifier $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-3/2}$ **Correction** : $\left(\dfrac{1}{25}\right)^{-3/2} = 25^{3/2} = (\sqrt{25})^3 = 5^3 = 125$ **Exercice 3** : Écrire sous forme de puissance : $\sqrt[4]{x^3} \cdot \sqrt{x}$ **Correction** : $\sqrt[4]{x^3} = x^{3/4}$, $\sqrt{x} = x^{1/2}$ Produit : $x^{3/4 + 1/2} = x^{3/4 + 2/4} = x^{5/4}$ --- ## III. Rational and irrational numbers ### Définitions - Un **nombre rationnel** est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p, q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$. - Un **nombre irrationnel** est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers, $q \neq 0$. > **À retenir** : La somme ou le produit de deux nombres rationnels est rationnel. > **À retenir** : La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle. > **À retenir** : Le produit d'un non-nul rationnel et d'un irrationnel est irrationnel. ### Exemples de nombres irrationnels $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e$ sont irrationnels. Preuve classique de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ : par l'absurde, si $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ irréductible, alors $2q^2 = p^2$, donc $p$ pair, $p=2k$, alors $2q^2=4k^2 \Rightarrow q^2=2k^2$, donc $q$ pair, contradiction avec l'irréductibilité. ### Exemple 1 : Montrer que $\sqrt{8}$ est irrationnel $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel et $2$ est rationnel non nul, leur produit est irrationnel. ### Exemple 2 : Déterminer si $\dfrac{\sqrt{50}}{5}$ est rationnel $\dfrac{\sqrt{50}}{5} = \dfrac{\sqrt{25 \cdot 2}}{5} = \dfrac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2}$ → irrationnel. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Parmi les nombres suivants, lesquels sont rationnels ? $\sqrt{16}, \sqrt{18}, \dfrac{\sqrt{27}}{3}, \pi, 0.\overline{3}, \sqrt{0.04}$ **Correction** : $\sqrt{16}=4$ → rationnel $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ → irrationnel $\dfrac{\sqrt{27}}{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ → irrationnel $\pi$ → irrationnel $0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}$ → rationnel $\sqrt{0.04} = \sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0.2$ → rationnel → Rationnels : $\sqrt{16}, 0.\overline{3}, \sqrt{0.04}$ **Exercice 2** : Montrer que $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ est irrationnel **Correction** : Supposons que $\sqrt{3} + \sqrt{2} = r$ rationnel. Alors $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = r^2 \Rightarrow 3 + 2 + 2\sqrt{6} = r^2 \Rightarrow 5 + 2\sqrt{6} = r^2$ Donc $2\sqrt{6} = r^2 - 5$ → membre de droite rationnel, donc $\sqrt{6}$ rationnel → contradiction (puisque $\sqrt{6}$ irrationnel). Donc $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ est irrationnel. --- ## IV. Simplification of surds ### Définition Un **surd** est une racine $n$-ième d'un nombre rationnel qui ne peut pas être simplifiée pour enlever le radical (ex. : $\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}$). On simplifie un surd en extrayant les facteurs carrés (ou $n$-ièmes) du radicand. > **À retenir** : $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ pour $a, b \geq 0$ > **À retenir** : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a \geq 0, b > 0$ ### Exemple 1 : Simplifier $\sqrt{50}$ $$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $$ ### Exemple 2 : Simplifier $\sqrt[3]{108}$ $$ \sqrt[3]{108} = \sqrt[3]{27 \cdot 4} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4} = 3\sqrt[3]{4} $$ ### Exemple 3 : Simplifier $\sqrt{\dfrac{18}{8}}$ $$ \sqrt{\dfrac{18}{8}} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Simplifier $\sqrt{72} + \sqrt{8}$ **Correction** : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ Somme : $6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ **Exercice 2** : Simplifier $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ **Correction** : $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ Différence : $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ **Exercice 3** : Simplifier $\sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{9}$ **Correction** : $\sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{216} = 6$ (puisque $6^3=216$) --- ## V. Rationalization of the denominator of surds ### Objectif Éliminer les radicaux du dénominateur d'une fraction. > **À retenir** : Pour rationaliser $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$, multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt{b}$ : > $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$ > **À retenir** : Pour rationaliser $\dfrac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$, multiplier par le conjugué $\sqrt{b} - \sqrt{c}$ : > $\dfrac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \dfrac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}$ ### Exemple 1 : Rationaliser $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ $$ \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5} $$ ### Exemple 2 : Rationaliser $\dfrac{2}{\sqrt{3} + 1}$ $$ \dfrac{2}{\sqrt{3} + 1} \cdot \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1 $$ ### Exemple 3 : Rationaliser $\dfrac{5}{2\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ Multiplier par le conjugué $2\sqrt{7} + \sqrt{2}$ : $$ \dfrac{5}{2\sqrt{7} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{2\sqrt{7} + \sqrt{2}}{2\sqrt{7} + \sqrt{2}} = \dfrac{5(2\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{5(2\sqrt{7} + \sqrt{2})}{4 \cdot 7 - 2} = \dfrac{5(2\sqrt{7} + \sqrt{2})}{28 - 2} = \dfrac{5(2\sqrt{7} + \sqrt{2})}{26} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Rationaliser $\dfrac{7}{\sqrt{11}}$ **Correction** : $\dfrac{7\sqrt{11}}{11}$ **Exercice 2** : Rationaliser $\dfrac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ **Correction** : Multiplier par $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ : $\dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \dfrac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ **Exercice 3** : Rationaliser $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$ **Correction** : Pour une racine cubique, multiplier par $\sqrt[3]{2}$ (puisque $4 \cdot 2 = 8 = 2^3$) : $\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}$ --- ## VI. Laws of logarithms 1 ### Définition Le logarithme de base $b$ d'un nombre positif $x$ est l'exposant auquel il faut élever $b$ pour obtenir $x$ : Si $y = \log_b x$, alors $b^y = x$, avec $b > 0$, $b \neq 1$, $x > 0$. > **À retenir** : $\log_b (b^x) = x$ > **À retenir** : $b^{\log_b x} = x$ > **À retenir** : $\log_b 1 = 0$ (puisque $b^0 = 1$) > **À retenir** : $\log_b b = 1$ (puisque $b^1 = b$) ### Loi 1 : Produit $$ \log_b (xy) = \log_b x + \log_b y $$ ### Loi 2 : Quotient $$ \log_b \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y $$ ### Loi 3 : Puissance $$ \log_b (x^k) = k \log_b x $$ ### Exemple 1 : Calculer $\log_2 32$ $2^5 = 32$ → $\log_2 32 = 5$ ### Exemple 2 : Simplifier $\log_3 (9 \cdot 27)$ $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5$ (Vérification : $9 \cdot 27 = 243$, $3^5 = 243$) ### Exemple 3 : Simplifier $\log_5 \left(\dfrac{125}{25}\right)$ $\log_5 125 - \log_5 25 = 3 - 2 = 1$ (Vérification : $125/25 = 5$, $\log_5 5 = 1$) ### Exemple 4 : Simplifier $\log_4 (8^3)$ $3 \log_4 8$. Maintenant, $\log_4 8 = ?$ $4^x = 8 \Rightarrow (2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$ Donc $3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Simplifier $\log_2 (8 \cdot 4)$ **Correction** : $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$ **Exercice 2** : Simplifier $\log_7 \left(\dfrac{343}{49}\right)$ **Correction** : $\log_7 343 - \log_7 49 = 3 - 2 = 1$ **Exercice 3** : Simplifier $2 \log_3 9 + \log_3 27$ **Correction** : $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$ **Exercice 4** : Écrire sous forme d'un seul logarithme : $\log 5 + \log 2 - \log 10$ **Correction** : $\log (5 \cdot 2) - \log 10 = \log 10 - \log 10 = 0$ --- ## VII. Laws of Logarithms 2 ### Changement de base $$ \log_b x = \dfrac{\log_k x}{\log_k b} $$ pour tout $k > 0$, $k \neq 1$. > **À retenir** : $\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b} = \dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} b}$ ### Exemple 1 : Calculer $\log_2 8$ en utilisant le changement de base vers la base 10 $\log_2 8 = \dfrac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2} \approx \dfrac{0.9031}{0.3010} \approx 3$ ### Exemple 2 : Calculer $\log_5 25$ en utilisant le logarithme naturel $\log_5 25 = \dfrac{\ln 25}{\ln 5} = \dfrac{\ln (5^2)}{\ln 5} = \dfrac{2 \ln 5}{\ln 5} = 2$ ### Exemple 3 : Exprimer $\log_3 7$ en termes de $\ln$ $\log_3 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 3}$ ### Loi supplémentaire : Logarithme d'une puissance de la base $$ \log_{b^k} x = \dfrac{1}{k} \log_b x $$ Démonstration : $\log_{b^k} x = \dfrac{\log_b x}{\log_b (b^k)} = \dfrac{\log_b x}{k}$ ### Exemple 4 : Calculer $\log_{4} 8$ $\log_{4} 8 = \log_{2^2} 8 = \dfrac{1}{2} \log_2 8 = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}$ (Vérification : $4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$) ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer $\log_3 81$ en utilisant le changement de base vers $e$ **Correction** : $\log_3 81 = \dfrac{\ln 81}{\ln 3} = \dfrac{\ln (3^4)}{\ln 3} = \dfrac{4 \ln 3}{\ln 3} = 4$ **Exercice 2** : Exprimer $\log_{16} 4$ en termes de $\log_2$ **Correction** : $\log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \dfrac{1}{4} \log_2 (2^2) = \dfrac{1}{4} \cdot 2 = \dfrac{1}{2}$ Ou : $\dfrac{\log_2 4}{\log_2 16} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ **Exercice 3** : Calculer $\log_{27} 9$ **Correction** : $\log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 = \dfrac{1}{3} \log_3 (3^2) = \dfrac{1}{3} \cdot 2 = \dfrac{2}{3}$ --- ## VIII. Common Logarithms and change of base ### Logarithmes communs Le logarithme commun est le logarithme en base 10, noté $\log x$ (sans base indiquée = base 10). Le logarithme naturel est en base $e \approx 2.718$, noté $\ln x$. > **À retenir** : $\log x = \log_{10} x$ > **À retenir** : $\ln x = \log_e x$ ### Exemple 1 : Calculer $\log 1000$ $10^3 = 1000$ → $\log 1000 = 3$ ### Exemple 2 : Calculer $\ln e^5$ $\ln e^5 = 5$ ### Exemple 3 : Utiliser le changement de base pour calculer $\log_5 100$ $\log_5 100 = \dfrac{\log 100}{\log 5} = \dfrac{2}{\log 5} \approx \dfrac{2}{0.6990} \approx 2.861$ ### Exemple 4 : Calculer $\log_2 10$ $\log_2 10 = \dfrac{\log 10}{\log 2} = \dfrac{1}{0.3010} \approx 3.322$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer $\log 0.001$ **Correction** : $0.001 = 10^{-3}$ → $\log 0.001 = -3$ **Exercice 2** : Calculer $\ln 1$ **Correction** : $\ln 1 = 0$ (puisque $e^0 = 1$) **Exercice 3** : Exprimer $\log_4 64$ en utilisant les logarithmes communs **Correction** : $\log_4 64 = \dfrac{\log 64}{\log 4} = \dfrac{\log (2^6)}{\log (2^2)} = \dfrac{6 \log 2}{2 \log 2} = 3$ **Exercice 4** : Calculer $\log_{0.5} 8$ **Correction** : $\log_{0.5} 8 = \dfrac{\log 8}{\log 0.5} = \dfrac{\log (2^3)}{\log (2^{-1})} = \dfrac{3 \log 2}{- \log 2} = -3$ (Vérification : $(0.5)^{-3} = (1/2)^{-3} = 2^3 = 8$) --- ## IX. Solving logarithmic and exponential equations 1 ### Méthode générale - Pour résoudre une équation exponentielle $a^{f(x)} = b$, prendre le logarithme des deux côtés. - Pour résoudre une équation logarithmique $\log_b f(x) = c$, réécrire sous forme exponentielle : $f(x) = b^c$. > **À retenir** : Si $a^x = a^y$, alors $x = y$ (pour $a > 0$, $a \neq 1$) > **À retenir** : Si $\log_b x = \log_b y$, alors $x = y$ (pour $x, y > 0$, $b > 0$, $b \neq 1$) ### Exemple 1 : Résoudre $2^{x+1} = 16$ $16 = 2^4$ → $2^{x+1} = 2^4$ → $x+1 = 4$ → $x = 3$ ### Exemple 2 : Résoudre $\log_3 (x-2) = 4$ Réécrire : $x-2 = 3^4 = 81$ → $x = 83$ Vérification : $x-2 = 81 > 0$ → valide. ### Exemple 3 : Résoudre $5^{2x} = 125$ $125 = 5^3$ → $5^{2x} = 5^3$ → $2x = 3$ → $x = \dfrac{3}{2}$ ### Exemple 4 : Résoudre $\log_2 (x^2 - 4) = 3$ $x^2 - 4 = 2^3 = 8$ → $x^2 = 12$ → $x = \pm 2\sqrt{3}$ Vérification : Pour $x = 2\sqrt{3}$ : $x^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0$ → valide Pour $x = -2\sqrt{3}$ : $x^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0$ → valide Donc deux solutions : $x = 2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Résoudre $3^{2x-1} = 81$ **Correction** : $81 = 3^4$ → $2x-1 = 4$ → $2x = 5$ → $x = \dfrac{5}{2}$ **Exercice 2** : Résoudre $\log_4 (x+5) = 2$ **Correction** : $x+5 = 4^2 = 16$ → $x = 11$ Vérification : $x+5 = 16 > 0$ → valide. **Exercice 3** : Résoudre $e^{2x} = 7$ **Correction** : Prendre $\ln$ des deux côtés : $2x = \ln 7$ → $x = \dfrac{\ln 7}{2}$ **Exercice 4** : Résoudre $\log_5 (x^2 - 9) = 1$ **Correction** : $x^2 - 9 = 5^1 = 5$ → $x^2 = 14$ → $x = \pm \sqrt{14}$ Vérification : $x^2 - 9 = 14 - 9 = 5 > 0$ pour les deux → valides. --- ## X. Solving logarithmic and exponential equations 2 ### Équations avec plusieurs logarithmes Utiliser les lois des logarithmes pour combiner les termes en un seul logarithme. > **À retenir** : Pour résoudre $\log_b A + \log_b B = C$, combiner : $\log_b (AB) = C$ → $AB = b^C$ > **À retenir** : Pour résoudre $\log_b A - \log_b B = C$, combiner : $\log_b (A/B) = C$ → $A/B = b^C$ ### Exemple 1 : Résoudre $\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3$ Combiner : $\log_2 [x(x-2)] = 3$ → $x(x-2) = 2^3 = 8$ $x^2 - 2x - 8 = 0$ → $(x-4)(x+2) = 0$ → $x = 4$ ou $x = -2$ Vérification : $x = 4$ : $\log_2 4 + \log_2 2 = 2 + 1 = 3$ → valide $x = -2$ : $\log_2 (-2)$ indefini → rejeté Donc $x = 4$ ### Exemple 2 : Résoudre $\log_3 (x+1) - \log_3 (x-1) = 1$ Combiner : $\log_3 \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = 1$ → $\dfrac{x+1}{x-1} = 3^1 = 3$ $x+1 = 3(x-1)$ → $x+1 = 3x - 3$ → $1+3 = 3x - x$ → $4 = 2x$ → $x = 2$ Vérification : $x+1 = 3 > 0$, $x-1 = 1 > 0$ → valide $\log_3 3 - \log_3 1 = 1 - 0 = 1$ → correct. ### Exemple 3 : Résoudre $2^x + 2^{x+1} = 24$ Factoriser : $2^x + 2 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x = 24$ → $2^x = 8$ → $2^x = 2^3$ → $x = 3$ ### Exemple 4 : Résoudre $\ln (x-1) + \ln (x+1) = \ln 8$ Combiner : $\ln [(x-1)(x+1)] = \ln 8$ → $(x-1)(x+1) = 8$ → $x^2 - 1 = 8$ → $x^2 = 9$ → $x = \pm 3$ Vérification : $x = 3$ : $x-1=2>0$, $x+1=4>0$ → valide $x = -3$ : $x-1=-4<0$ → rejeté Donc $x = 3$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Résoudre $\log_5 x + \log_5 (x-4) = 1$ **Correction** : $\log_2 [x(x-4)] = 1$ → $x(x-4) = 5^1 = 5$ → $x^2 - 4x - 5 = 0$ → $(x-5)(x+1)=0$ → $x=5$ ou $x=-1$ Vérification : $x=5$ : $5>0$, $5-4=1>0$ → valide $x=-1$ : $-1<0$ → rejeté → $x=5$ **Exercice 2** : Résoudre $\log_2 (x+3) - \log_2 (x-1) = 2$ **Correction** : $\log_2 \left(\dfrac{x+3}{x-1}\right) = 2$ → $\dfrac{x+3}{x-1} = 4$ → $x+3 = 4(x-1)$ → $x+3 = 4x - 4$ → $3+4 = 4x - x$ → $7 = 3x$ → $x = \dfrac{7}{3}$ Vérification : $x+3 = \dfrac{7}{3}+3 = \dfrac{16}{3}>0$, $x-1 = \dfrac{7}{3}-1 = \dfrac{4}{3}>0$ → valide **Exercice 3** : Résoudre $3^{2x} - 3^{x+1} + 2 = 0$ **Correction** : Soit $u = 3^x$ → $u^2 - 3u + 2 = 0$ → $(u-1)(u-2)=0$ → $u=1$ ou $u=2$ Si $u=1$ : $3^x = 1$ → $x=0$ Si $u=2$ : $3^x = 2$ → $x = \log_3 2$ Vérification : les deux valeurs donnent $3^x > 0$ → valides → $x = 0$ ou $x = \log_3 2$ **Exercice 4** : Résoudre $\ln (x^2 - 4) = \ln 5$ **Correction** : $x^2 - 4 = 5$ → $x^2 = 9$ → $x = \pm 3$ Vérification : $x=3$ : $x^2-4=9-4=5>0$ → valide $x=-3$ : $x^2-4=9-4=5>0$ → valide → $x = 3$ ou $x = -3$ --- ## XI. Natural Logarithms : Rules of natural Logarithms ### Définition Le logarithme naturel, noté $\ln x$, est le logarithme en base $e$, où $e \approx 2.71828$ est le nombre d'Euler. > **À retenir** : $\ln e = 1$ > **À retenir** : $\ln 1 = 0$ > **À retenir** : $\ln (e^x) = x$ > **À retenir** : $e^{\ln x} = x$ (pour $x > 0$) ### Lois (identiques à celles des logarithmes généraux, base $e$) - $\ln (xy) = \ln x + \ln y$ - $\ln \left(\dfrac{x}{y}\right) = \ln x - \ln y$ - $\ln (x^k) = k \ln x$ ### Exemple 1 : Simplifier $\ln (e^3 \cdot e^5)$ $\ln (e^3 \cdot e^5) = \ln e^3 + \ln e^5 = 3 + 5 = 8$ (Vérification : $e^3 \cdot e^5 = e^8$, $\ln e^8 = 8$) ### Exemple 2 : Simplifier $\ln \left(\dfrac{e^7}{e^2}\right)$ $\ln e^7 - \ln e^2 = 7 - 2 = 5$ ### Exemple 3 : Simplifier $\ln (\sqrt{e})$ $\ln (e^{1/2}) = \dfrac{1}{2} \ln e = \dfrac{1}{2}$ ### Exemple 4 : Calculer $\ln (e^{2x})$ $\ln (e^{2x}) = 2x$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Simplifier $\ln (e^4 \cdot e^{-2})$ **Correction** : $\ln e^4 + \ln e^{-2} = 4 + (-2) = 2$ **Exercice 2** : Simplifier $\ln \left(\dfrac{e^{3x}}{e^x}\right)$ **Correction** : $\ln e^{3x} - \ln e^x = 3x - x = 2x$ **Exercice 3** : Calculer $\ln (e^{1/3})$ **Correction** : $\dfrac{1}{3}$ **Exercice 4** : Résoudre $\ln (x+2) = 3$ **Correction** : $x+2 = e^3$ → $x = e^3 - 2$ ---