Vectors

# Vectors ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir une compréhension approfondie des vecteurs dans les espaces 2D et 3D, en couvrant leur définition, représentation, opérations algébriques, produits scalaires et vectoriels, ainsi que leurs applications géométriques aux droites et plans. À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Définir et représenter des vecteurs dans le plan et l'espace. - Calculer la magnitude et la direction d'un vecteur en 2D et 3D. - Utiliser les rapports directeurs et les cosinus directeurs pour décrire un vecteur dans l'espace. - Effectuer les opérations algébriques sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire). - Définir et utiliser les vecteurs unitaires et les vecteurs position. - Appliquer le théorème de Thalès vectoriel (Ratio Theorem) à un segment de droite. - Calculer le produit scalaire et le produit vectoriel, et en connaître les propriétés. - Déterminer si deux vecteurs sont parallèles ou perpendiculaires. - Établir l'équation vectorielle d'une droite sachant un point et un vecteur directeur, ou deux points. - Déduire les formes cartésienne et paramétrique d'une droite. - Trouver l'équation cartésienne d'un plan passant par trois points non alignés. - Déterminer l'équation paramétrique d'un plan. - Calculer la distance d'un point à un plan, et de l'origine à un plan. - Déterminer l'angle entre une droite et un plan. - Analyser l'intersection entre droites et plans (parallèle, sécante, confondue). **Prérequis** : Maîtrise des coordonnées cartésiennes en 2D et 3D, opérations sur les nombres réels, notions de base de la trigonométrie (cosinus, sinus, théorème de Pythagore), et résolution de systèmes linéaires simples. --- ## I. Definition of terms and Representation of vectors Un **vecteur** est une quantité possédant à la fois une magnitude (ou norme) et une direction. Il est représenté géométriquement par une flèche dirigée d'un point initial (origine) vers un point terminal. En notation, un vecteur est souvent désigné par une lettre en gras (**v**) ou avec une flèche au-dessus ($\vec{v}$). > **À retenir** : Un vecteur $\vec{v}$ est entièrement défini par sa magnitude $\vert \vec{v} \vert$ et sa direction. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même magnitude, la même direction et le même sens. En 2D, un vecteur peut être représenté par ses composantes : si $\vec{v}$ part de l'origine $O(0,0)$ vers le point $P(x,y)$, alors $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ou $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j}$, où $\hat{i}$ et $\hat{j}$ sont les vecteurs unitaires le long des axes $x$ et $y$. En 3D, de même : $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$, avec $\hat{k}$ le vecteur unitaire le long de l'axe $z$. **Exemple 1** : Soit le point $A(2, -1, 4)$ et $B(5, 3, -2)$. Trouver $\vec{AB}$. $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 3-(-1) \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix}$ **Exercice 1** : Donné $C(-1, 4, 2)$ et $D(3, -2, 7)$, trouver $\vec{CD}$ et sa magnitude. **Corrigé** : $\vec{CD} = \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ -2-4 \\ 7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix}$ $\vert \vec{CD} \vert = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 5^2} = \sqrt{16+36+25} = \sqrt{77}$ --- ## II. Magnitude and direction of a vector in 2D La magnitude (ou norme) d'un vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ en 2D est donnée par : > **À retenir** : $\vert \vec{v} \vert = \sqrt{x^2 + y^2}$ La direction d'un vecteur en 2D est l'angle $\theta$ qu'il forme avec l'axe des $x$ positif, mesuré dans le sens antihoraire. Elle est donnée par : > **À retenir** : $\tan \theta = \frac{y}{x}$, avec attention au quadrant. Les composantes peuvent être retrouvées par : $x = \vert \vec{v} \vert \cos \theta$, $y = \vert \vec{v} \vert \sin \theta$ **Exemple 2** : Trouver la magnitude et la direction de $\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\vert \vec{v} \vert = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ $\tan \theta = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$ → l'angle est dans le deuxième quadrant → $\theta = 180^\circ - \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 180^\circ - 53.13^\circ = 126.87^\circ$ **Exercice 2** : Un vecteur a une magnitude de 10 et forme un angle de $300^\circ$ avec l'axe $x$ positif. Trouver ses composantes. **Corrigé** : $x = 10 \cos 300^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ $y = 10 \sin 300^\circ = 10 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -5\sqrt{3}$ Donc $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5\sqrt{3} \end{pmatrix}$ --- ## III. Vectors in 3D (Direction ratios/Direction Cosines) En 3D, la direction d'un vecteur $\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ peut être décrite par ses **rapports directeurs** (direction ratios), qui sont simplement ses composantes $x, y, z$ (à un facteur multiplicatif près). Les **cosinus directeurs** sont les cosinus des angles que le vecteur forme avec les axes $x$, $y$, $z$. Notons ces angles $\alpha, \beta, \gamma$. Alors : > **À retenir** : $\cos \alpha = \frac{x}{\vert \vec{v} \vert}$, $\cos \beta = \frac{y}{\vert \vec{v} \vert}$, $\cos \gamma = \frac{z}{\vert \vec{v} \vert}$ Une propriété fondamentale est : > **À retenir** : $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ Cela découle du fait que $\left(\frac{x}{\vert \vec{v} \vert}\right)^2 + \left(\frac{y}{\vert \vec{v} \vert}\right)^2 + \left(\frac{z}{\vert \vec{v} \vert}\right)^2 = \frac{x^2+y^2+z^2}{\vert \vec{v} \vert^2} = 1$ **Exemple 3** : Trouver les cosinus directeurs de $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ $\vert \vec{v} \vert = \sqrt{2^2+3^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ $\cos \alpha = \frac{2}{7}$, $\cos \beta = \frac{3}{7}$, $\cos \gamma = \frac{6}{7}$ Vérification : $\left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{6}{7}\right)^2 = \frac{4+9+36}{49} = \frac{49}{49} = 1$ **Exercice 3** : Un vecteur a des cosinus directeurs $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$. Quelle est sa magnitude si sa composante $x$ est 4 ? **Corrigé** : $\cos \alpha = \frac{x}{\vert \vec{v} \vert} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ → $\frac{4}{\vert \vec{v} \vert} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ → $\vert \vec{v} \vert = 4\sqrt{3}$ --- ## IV. Algebra of vectors Les opérations algébriques sur les vecteurs sont définies composante par composante. Soit $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$, et $k$ un scalaire réel. > **À retenir** : Addition : $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{pmatrix}$ > **À retenir** : Soustraction : $\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1-v_1 \\ u_2-v_2 \\ u_3-v_3 \end{pmatrix}$ > **À retenir** : Multiplication par un scalaire : $k\vec{v} = \begin{pmatrix} k v_1 \\ k v_2 \\ k v_3 \end{pmatrix}$ Ces opérations obéissent aux lois de commutativité, associativité et distributivité (comme pour les nombres réels). **Exemple 4** : Donné $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, trouver $2\vec{a} - 3\vec{b}$ $2\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix}$, $3\vec{b} = \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$ $2\vec{a} - 3\vec{b} = \begin{pmatrix} 2-12 \\ -4-0 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix}$ **Exercice 4** : Si $\vec{p} + \vec{q} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ et $\vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, trouver $\vec{p}$ et $\vec{q}$. **Corrigé** : Addition des deux équations : $2\vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ → $\vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ Soustraction : $2\vec{q} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 1-3 \\ -2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -6 \end{pmatrix}$ → $\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ --- ## V. Unit vector/Position vectors Un **vecteur unitaire** est un vecteur de magnitude 1. Il est obtenu en divisant un vecteur non nul par sa magnitude. > **À retenir** : Le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{v}$ est $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\vert \vec{v} \vert}$ Un **vecteur position** d'un point $P(x,y,z)$ est le vecteur qui va de l'origine $O(0,0,0)$ à $P$. Il est noté $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ **Exemple 5** : Trouver le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vert \vec{v} \vert = \sqrt{(-4)^2+0^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ $\hat{v} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{5} \\ 0 \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix}$ **Exercice 5** : Le vecteur position d'un point $P$ est $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}$. Trouver le vecteur unitaire dans la direction de $\vec{OP}$ et la distance $OP$. **Corrigé** : $\vert \vec{OP} \vert = \sqrt{2^2+(-3)^2+6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$ $\hat{u} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} \\ -\frac{3}{7} \\ \frac{6}{7} \end{pmatrix}$ Distance $OP = 7$ --- ## VI. Properties of a line segment joining two points, the Ratio Theorem Soient deux points $A$ et $B$ avec vecteurs position $\vec{a}$ et $\vec{b}$. Le vecteur $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ Le **théorème de Thalès vectoriel** (ou Ratio Theorem) stipule que si un point $P$ divise le segment $AB$ dans le rapport $m:n$ (interne), alors : > **À retenir** : $\vec{p} = \frac{n \vec{a} + m \vec{b}}{m + n}$ Pour une division externe dans le rapport $m:n$, la formule devient : $\vec{p} = \frac{-n \vec{a} + m \vec{b}}{m - n}$ (si $m \ne n$) **Exemple 6** : Les points $A(1,2,3)$ et $B(4,5,6)$ sont donnés. Trouver le vecteur position du point $P$ qui divise $AB$ dans le rapport $2:1$ en interne. $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ $\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}}{2+1} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1+8 \\ 2+10 \\ 3+12 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$ **Exercice 6** : Le point $P(5,4,3)$ divise le segment $AB$ où $A(2,1,0)$ dans le rapport $3:2$ en interne. Trouver les coordonnées de $B$. **Corrigé** : $\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$ $5\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ $3\vec{b} = 5\vec{p} - 2\vec{a}$ $\vec{b} = \frac{1}{3} \left( 5\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} 25 \\ 20 \\ 15 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 21 \\ 18 \\ 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}$ --- ## VII. Scalar or dot product and its Properties Le **produit scalaire** (ou dot product) de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est défini par : > **À retenir** : $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$ (en 3D) > **À retenir** : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vert \vec{u} \vert \vert \vec{v} \vert \cos \theta$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs Propriétés : - Commutatif : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ - Distributif : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ - $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ - $\vec{u} \cdot \vec{u} = \vert \vec{u} \vert^2 \geq 0$, et égal à 0 seulement si $\vec{u} = \vec{0}$ Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$ **Exemple 7** : Donné $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$, trouver $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et l'angle entre eux. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (2)(0) + (-1)(4) = 3 + 0 - 4 = -1$ $\vert \vec{u} \vert = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$, $\vert \vec{v} \vert = \sqrt{9+0+16} = \sqrt{25} = 5$ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vert \vec{u} \vert \vert \vec{v} \vert} = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot 5} = -\frac{1}{5\sqrt{6}}$ $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{5\sqrt{6}}\right) \approx 95.2^\circ$ **Exercice 7** : Trouver la valeur de $k$ telle que les vecteurs $\begin{pmatrix} 2 \\ k \\ -3 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ soient perpendiculaires. **Corrigé** : Leur produit scalaire doit être nul : $(2)(-1) + (k)(4) + (-3)(2) = -2 + 4k - 6 = 4k - 8 = 0$ $4k = 8$ → $k = 2$ --- ## VIII. Vector or Cross Product and its Properties Le **produit vectoriel** (ou cross product) de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ en 3D est un vecteur perpendiculaire aux deux, dont la magnitude est égale à l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. > **À retenir** : $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 - u_3 v_2)\hat{i} - (u_1 v_3 - u_3 v_1)\hat{j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1)\hat{k}$ Propriétés : - Anticommutatif : $\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$ - Distributif : $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$ - $(k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v})$ - $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ - $\vert \vec{u} \times \vec{v} \vert = \vert \vec{u} \vert \vert \vec{v} \vert \sin \theta$, où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ Deux vecteurs sont parallèles si et seulement si leur produit vectoriel est nul : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} \parallel \vec{v}$ **Exemple 8** : Calculer $\vec{u} \times \vec{v}$ où $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ $$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\cdot6 - 3\cdot5) - \hat{j}(1\cdot6 - 3\cdot4) + \hat{k}(1\cdot5 - 2\cdot4) = \hat{i}(12-15) - \hat{j}(6-12) + \hat{k}(5-8) = -3\hat{i} + 6\hat{j} -3\hat{k} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} $$ **Exercice 8** : Trouver un vecteur unitaire perpendiculaire à la fois à $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ et $\vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0\cdot1 - 2\cdot3) - \hat{j}(1\cdot1 - 2\cdot(-1)) + \hat{k}(1\cdot3 - 0\cdot(-1)) = \hat{i}(0-6) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(3-0) = -6\hat{i} -3\hat{j} +3\hat{k} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ Magnitude : $\vert \vec{a} \times \vec{b} \vert = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{36+9+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ Vecteur unitaire : $\frac{1}{3\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$ --- ## IX. Parallel, perpendicular vectors Deux vecteurs sont : - **Parallèles** si l'un est un scalaire non nul de l'autre : $\vec{u} = k \vec{v}$ pour quelque $k \in \mathbb{R}, k \ne 0$ Équivalentement : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ ou les composantes sont proportionnelles. > **À retenir** : $\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$ (si aucun dénominateur n'est nul) - **Perpendiculaires** si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ **Exemple 9** : Montrer que $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sont parallèles. $\vec{u} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2\vec{v}$ → donc parallèles. **Exercice 9** : Déterminer si les vecteurs $\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ sont parallèles, perpendiculaires ou aucun des deux. **Corrigé** : $\frac{3}{-1} = -3$, $\frac{-6}{2} = -3$, $\frac{9}{-3} = -3$ → tous les rapports sont égaux à $-3$ → donc $\vec{u} = -3 \vec{v}$ → parallèles. --- ## X. Vector equation of a straight line (Given Position and Direction Vector) L'équation vectorielle d'une droite passant par un point $A$ de vecteur position $\vec{a}$ et ayant un vecteur directeur $\vec{d}$ est : > **À retenir** : $\vec{r} = \vec{a} + t \vec{d}$, où $t \in \mathbb{R}$ est un paramètre. Ici, $\vec{r}$ est le vecteur position d'un point générique $P$ sur la droite. **Exemple 10** : Trouver l'équation vectorielle de la droite passant par $A(1, -2, 3)$ avec vecteur directeur $\vec{d} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ -2+t \\ 3-t \end{pmatrix}$ **Exercice 10** : Une droite passe par le point $B(0, 4, -1)$ et est parallèle au vecteur $\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$. Écrire son équation vectorielle. **Corrigé** : $\vec{r} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3t \\ 4 \\ -1+5t \end{pmatrix}$ --- ## XI. Vector equation of a straight line through two fixed points Si une droite passe par deux points $A$ et $B$ de vecteurs position $\vec{a}$ et $\vec{b}$, alors un vecteur directeur est $\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$. Donc : > **À retenir** : $\vec{r} = \vec{a} + t (\vec{b} - \vec{a}) = (1-t)\vec{a} + t \vec{b}$, où $t \in \mathbb{R}$ Lorsque $t=0$, on est en $A$ ; lorsque $t=1$, on est en $B$. **Exemple 11** : Trouver l'équation vectorielle de la droite passant par $P(2,1,-1)$ et $Q(5,4,2)$ $\vec{d} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 4-1 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+3t \\ 1+3t \\ -1+3t \end{pmatrix}$ **Exercice 11** : La droite passant par $A(-1,3,0)$ et $B(2,-1,4)$ rencontre le plan $xy$ en un point $C$. Trouver les coordonnées de $C$. **Corrigé** : Équation vectorielle : $\vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ -1-3 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+3t \\ 3-4t \\ 4t \end{pmatrix}$ Le plan $xy$ a pour équation $z=0$. On pose $4t = 0$ → $t=0$ Alors $x = -1+0 = -1$, $y = 3-0 = 3$ → $C(-1,3,0)$ En fait, le point $A$ est déjà sur le plan $xy$ (puisque $z_A=0$), donc $C=A$. --- ## XII. Application of the scalar product, angle between a pair of lines L'angle $\theta$ entre deux droites est défini comme l'angle entre leurs vecteurs directeurs. Si les droites ont pour vecteurs directeurs $\vec{d}_1$ et $\vec{d}_2$, alors : > **À retenir** : $\cos \theta = \frac{ \vert \vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 \vert }{ \vert \vec{d}_1 \vert \vert \vec{d}_2 \vert }$ On prend la valeur absolue pour obtenir l'angle aigu ($\leq 90^\circ$) entre les droites. **Exemple 12** : Trouver l'angle entre les droites ayant pour équations vectorielles : $L_1: \vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $L_2: \vec{r} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ Vecteurs directeurs : $\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{d}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ $\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = 2 - 2 - 6 = -6$ $\vert \vec{d}_1 \vert = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ $\vert \vec{d}_2 \vert = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$ $\cos \theta = \frac{ \vert -6 \vert }{ \sqrt{14} \cdot 3 } = \frac{6}{3\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$ $\theta = \cos^{-1}\left( \frac{2}{\sqrt{14}} \right) \approx 57.7^\circ$ **Exercice 12** : Trouver l'angle aigu entre les droites dont les équations cartésiennes sont : $\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-4}{3}$ et $\frac{x+2}{-1} = \frac{y-5}{2} = \frac{z+1}{1}$ **Corrigé** : Vecteurs directeurs : Première droite : $\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ Deuxième droite : $\vec{d}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (2)(-1) + (-1)(2) + (3)(1) = -2 -2 +3 = -1$ $\vert \vec{d}_1 \vert = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$ $\vert \vec{d}_2 \vert = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$ $\cos \theta = \frac{ \vert -1 \vert }{ \sqrt{14} \cdot \sqrt{6} } = \frac{1}{\sqrt{84}} = \frac{1}{2\sqrt{21}}$ $\theta = \cos^{-1}\left( \frac{1}{2\sqrt{21}} \right) \approx 83.7^\circ$ --- ## XIII. Cartesian and parametric form of the equation of a straight line À partir de l'équation vectorielle $\vec{r} = \vec{a} + t \vec{d}$, où $\vec{a} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix}$ et $\vec{d} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$, on obtient : **Forme paramétrique** : > **À retenir** : $\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{cases}$, $t \in \mathbb{R}$ **Forme cartésienne** (si $a,b,c \ne 0$) : > **À retenir** : $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$ Si une composante du vecteur directeur est nulle, on écrit l'égalité correspondante comme une équation constante (ex: si $a=0$, alors $x = x_0$). **Exemple 13** : Trouver les formes paramétrique et cartésienne de la droite passant par $A(1,2,-3)$ avec vecteur directeur $\vec{d} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ Paramétrique : $\begin{cases} x = 1 + 0\cdot t = 1 \\ y = 2 + 4t \\ z = -3 - 2t \end{cases}$ Cartésienne : Puisque $x$ est constant, on écrit : $x = 1$ et $\frac{y-2}{4} = \frac{z+3}{-2}$ (on peut simplifier : $\frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{-1}$) **Exercice 13** : Une droite a pour équations paramétriques : $x = 3 - 2t$, $y = -1 + 5t$, $z = 4 + t$. Trouver son équation cartésienne. **Corrigé** : On isole $t$ dans chaque équation : $t = \frac{3 - x}{2}$ $t = \frac{y + 1}{5}$ $t = z - 4$ Donc : $\frac{3 - x}{2} = \frac{y + 1}{5} = z - 4$ ---