Matrices

# Matrices ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les concepts fondamentaux des matrices et leurs applications en algèbre linéaire, géométrie et résolution de systèmes d'équations. À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir une matrice, son ordre et identifier ses différents types. - Effectuer les opérations algébriques sur les matrices (addition, soustraction, multiplication). - Calculer la transposée d'une matrice et en exploiter les propriétés. - Déterminer le déterminant d'une matrice carrée, notamment 2x2 et 3x3, et en connaître les propriétés. - Calculer les cofacteurs, la matrice adjointe et l'inverse d'une matrice 3x3. - Résoudre des systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues par la méthode des matrices (méthode de Cramer et matrice inverse). - Appliquer les déterminants pour vérifier la colinéarité de points. - Interpréter géométriquement les transformations linéaires dans le plan et dans l'espace. - Déterminer les points et droites invariants sous une transformation. - Calculer les facteurs d'échelle d'aire et de volume associés à une transformation linéaire. - Composer des transformations linéaires et analyser leur effet combiné. **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les nombres réels, résolution de systèmes d'équations linéaires par substitution ou élimination, notions de vecteurs dans le plan et dans l'espace, propriétés des droites et plans. --- ## I. Definition of a matrix, order of a matrix, types of matrices Une **matrice** est un tableau rectangulaire de nombres réels (ou complexes) disposés en lignes et en colonnes. Elle est généralement notée par une lettre majuscule (A, B, C, etc.). > **Définition** : Une matrice $A$ d'ordre $m \times n$ est un tableau comportant $m$ lignes et $n$ colonnes, notée : > $$ > A = \begin{pmatrix} > a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ > a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ > \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ > a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} > \end{pmatrix} > $$ > où $a_{ij}$ désigne l'élément situé à la $i$-ième ligne et $j$-ième colonne. L'**ordre** d'une matrice est le couple $(m, n)$, où $m$ est le nombre de lignes et $n$ le nombre de colonnes. On dit qu'une matrice est carrée si $m = n$. ### Types de matrices - **Matrice ligne** : une matrice d'ordre $1 \times n$ (une seule ligne). - **Matrice colonne** : une matrice d'ordre $m \times 1$ (une seule colonne). - **Matrice nulle** : toutes ses entrées sont nulles, notée $O$ ou $0_{m \times n}$. - **Matrice identité** : matrice carrée $I_n$ avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs : $$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$ - **Matrice diagonale** : matrice carrée où tous les éléments hors diagonale principale sont nuls. - **Matrice symétrique** : matrice carrée telle que $A^T = A$, c'est-à-dire $a_{ij} = a_{ji}$ pour tout $i, j$. - **Matrice antisymétrique** : matrice carrée telle que $A^T = -A$, donc $a_{ij} = -a_{ji}$ et $a_{ii} = 0$. - **Matrice supérieure triangulaire** : matrice carrée où tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls ($a_{ij} = 0$ pour $i > j$). - **Matrice inférieure triangulaire** : matrice carrée où tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls ($a_{ij} = 0$ pour $i < j$). ### Exemple 1 : Identification de types Soit : $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ - $A$ est une matrice supérieure triangulaire. - $B$ est antisymétrique ($B^T = -B$). - $C$ est la matrice identité $I_3$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Donnez l'ordre de chaque matrice suivante et indiquez son type : $$ M_1 = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : - $M_1$ : ordre $3 \times 2$, matrice générale (ni ligne, ni colonne, ni nulle, ni identité). - $M_2$ : ordre $2 \times 3$, matrice nulle. - $M_3$ : ordre $3 \times 1$, matrice colonne. **Exercice 2** : Vérifiez si la matrice suivante est symétrique : $$ D = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : Calculons $D^T$ : $$ D^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 \\ -2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} = D $$ Donc $D$ est symétrique. --- ## II. Algebra of matrices 1 Les opérations de base sur les matrices sont l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire. Elles sont définies terme à terme, sous condition d'avoir le même ordre pour l'addition et la soustraction. > **Règle** : Deux matrices $A$ et $B$ de même ordre $m \times n$ peuvent être ajoutées ou soustraites : > $$ > (A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} > $$ > **Règle** : La multiplication d'une matrice $A$ d'ordre $m \times n$ par un scalaire $k$ donne : > $$ > (kA)_{ij} = k \cdot a_{ij} > $$ ### Propriétés de l'addition et de la multiplication par un scalaire - Commutativité : $A + B = B + A$ - Associativité : $(A + B) + C = A + (B + C)$ - Élément neutre : $A + O = A$ - Opposé : $A + (-A) = O$ - Distributivité : $k(A + B) = kA + kB$, $(k + l)A = kA + lA$ - Associativité scalaire : $k(lA) = (kl)A$ ### Exemple 2 : Opérations sur des matrices Soit : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad k = 2 $$ Alors : $$ A + B = \begin{pmatrix} 1+3 & 2+(-1) \\ -1+0 & 0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ 2A = \begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \\ 2\cdot(-1) & 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A - B = \begin{pmatrix} 1-3 & 2-(-1) \\ -1-0 & 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 3** : Soit $$ P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$ Calculez $3P - 2Q$. **Corrigé** : $$ 3P = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \quad 2Q = \begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ 3P - 2Q = \begin{pmatrix} 6-(-2) & -3-8 \\ 0-4 & 9-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -11 \\ -4 & 9 \end{pmatrix} $$ **Exercice 4** : Trouvez $k$ tel que : $$ k \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : $$ k \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 2k \\ -k & 3k \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} k & 2k \\ -k & 3k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k-2 & 2k+1 \\ -k & 3k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} $$ Égalons les termes : - $k - 2 = 0 \Rightarrow k = 2$ - $2k + 1 = 5 \Rightarrow 2(2)+1=5$ ✓ - $-k = -2 \Rightarrow k=2$ ✓ - $3k - 1 = 8 \Rightarrow 6-1=5$ ✗ → Erreur ! Vérifions : $3k - 1 = 8 \Rightarrow 3k = 9 \Rightarrow k=3$. Incohérence. Reprenons l'égalité : $$ \begin{pmatrix} k-2 & 2k+1 \\ -k & 3k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 8 \end{pmatrix} $$ Donc : 1. $k - 2 = 0 \Rightarrow k=2$ 2. $2k + 1 = 5 \Rightarrow 4+1=5$ ✓ 3. $-k = -2 \Rightarrow k=2$ ✓ 4. $3k - 1 = 8 \Rightarrow 6-1=5 \neq 8$ → contradiction. Il n'existe pas de $k$ satisfaisant toutes les équations. Donc **aucune solution**. > **À retenir** : Pour résoudre une équation matricielle, chaque terme correspondant doit être égal. Si une incohérence apparaît, il n'y a pas de solution. --- ## III. Algebra of matrices 2 La multiplication de deux matrices est définie uniquement lorsque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde. > **Définition** : Soit $A$ une matrice d'ordre $m \times p$ et $B$ une matrice d'ordre $p \times n$. Leur produit $C = AB$ est une matrice d'ordre $m \times n$ telle que : > $$ > c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj} > $$ > c'est-à-dire le produit scalaire de la $i$-ième ligne de $A$ avec la $j$-ième colonne de $B$. ### Propriétés de la multiplication matricielle - Associativité : $(AB)C = A(BC)$ - Distributivité : $A(B + C) = AB + AC$ et $(A + B)C = AC + BC$ - **Non-commutativité** : en général, $AB \neq BA$ - Élément neutre : $AI_n = A$ et $I_m A = A$ pour $A$ d'ordre $m \times n$ - Produit nul : $AB = O$ n'implique pas nécessairement $A=O$ ou $B=O$ ### Exemple 3 : Multiplication de matrices Soit : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \quad (3 \times 2), \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad (2 \times 3) $$ Alors $AB$ est d'ordre $3 \times 3$ : $$ AB = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot0 & 1\cdot(-1) + 2\cdot3 & 1\cdot0 + 2\cdot1 \\ -1\cdot2 + 0\cdot0 & -1\cdot(-1) + 0\cdot3 & -1\cdot0 + 0\cdot1 \\ 3\cdot2 + (-2)\cdot0 & 3\cdot(-1) + (-2)\cdot3 & 3\cdot0 + (-2)\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ 6 & -9 & -2 \end{pmatrix} $$ Calculons $BA$ : $B$ est $2 \times 3$, $A$ est $3 \times 2$, donc $BA$ est $2 \times 2$ : $$ BA = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot(-1) + 0\cdot3 & 2\cdot2 + (-1)\cdot0 + 0\cdot(-2) \\ 0\cdot1 + 3\cdot(-1) + 1\cdot3 & 0\cdot2 + 3\cdot0 + 1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1+0 & 4+0+0 \\ 0-3+3 & 0+0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$ On voit bien que $AB \neq BA$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 5** : Soit $$ M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} $$ Calculez $MN$ et $NM$ si possible. **Corrigé** : - $M$ est $2 \times 2$, $N$ est $2 \times 3$ → $MN$ est $2 \times 3$ : $$ MN = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot4 & 2\cdot0 + (-1)\cdot(-1) & 2\cdot(-2) + (-1)\cdot3 \\ 0\cdot1 + 3\cdot4 & 0\cdot0 + 3\cdot(-1) & 0\cdot(-2) + 3\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-4 & 0+1 & -4-3 \\ 0+12 & 0-3 & 0+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -7 \\ 12 & -3 & 9 \end{pmatrix} $$ - $N$ est $2 \times 3$, $M$ est $2 \times 2$ → le nombre de colonnes de $N$ (3) ≠ nombre de lignes de $M$ (2) → $NM$ **n'est pas défini**. **Exercice 6** : Vérifiez la propriété distributive : $A(B + C) = AB + AC$ avec $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : D'abord, $B + C = \begin{pmatrix} 3+(-2) & -1+0 \\ 0+1 & 2+(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ Puis $A(B + C) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot1 & 1\cdot(-1)+2\cdot(-1) \\ -1\cdot1+0\cdot1 & -1\cdot(-1)+0\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ Maintenant, $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ $AC = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2 & 0-6 \\ 2+0 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ Donc $AB + AC = \begin{pmatrix} 3+0 & 3+(-6) \\ -3+2 & 1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = A(B + C)$ ✓ --- ## IV. Transpose of a matrix and its properties, determinant of a matrix La **transposée** d'une matrice $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes. > **Définition** : Si $A = (a_{ij})$ d'ordre $m \times n$, alors $A^T = (a_{ji})$ d'ordre $n \times m$. > **Propriétés de la transposée** : > - $(A^T)^T = A$ > - $(A + B)^T = A^T + B^T$ > - $(kA)^T = kA^T$ > - $(AB)^T = B^T A^T$ Le **déterminant** d'une matrice carrée est un scalaire qui fournit des informations essentielles sur la matrice (inversibilité, volume, etc.). > **Définition** : Pour une matrice $2 \times 2$ : > $$ > \det(A) = \begin{vmatrix} > a & b \\ > c & d > \end{vmatrix} = ad - bc > $$ > Pour une matrice $3 \times 3$ : > $$ > \det(A) = \begin{vmatrix} > a & b & c \\ > d & e & f \\ > g & h & i > \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) > $$ > (règle de Sarrus ou développement selon une ligne/colonne). ### Exemple 4 : Transposée et déterminant Soit : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \end{pmatrix} \quad (2 \times 3) $$ Alors : $$ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \quad (3 \times 2) $$ Soit maintenant : $$ B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(B) = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11 $$ $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ \det(C) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1(-1\cdot1 - 4\cdot0) - 2(0\cdot1 - 4\cdot2) + 3(0\cdot0 - (-1)\cdot2) = 1(-1) - 2(-8) + 3(2) = -1 + 16 + 6 = 21 $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 7** : Soit $$ D = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} $$ Calculez $\det(D)$ et $D^T$. **Corrigé** : $$ D^T = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} $$ $$ \det(D) = (-2) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} $$ $$ = (-2)[(-1)(-3) - (2)(4)] - 1[(3)(-3) - (2)(0)] + 0 = (-2)[3 - 8] - 1[-9 - 0] = (-2)(-5) - (-9) = 10 + 9 = 19 $$ **Exercice 8** : Vérifiez que $(AB)^T = B^T A^T$ avec $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : Nous avons déjà calculé $AB = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ dans l'Exercice 6. Donc $(AB)^T = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ Maintenant, $A^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$, $B^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ Alors : $$ B^T A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + 0\cdot2 & 3\cdot(-1) + 0\cdot0 \\ -1\cdot1 + 2\cdot2 & -1\cdot(-1) + 2\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = (AB)^T ✓ $$ --- ## V. Properties of the determinant of a 3 by 3 matrix Le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ possède plusieurs propriétés importantes qui facilitent son calcul ou son interprétation. > **Propriétés du déterminant** (pour une matrice carrée $A$) : > 1. $\det(A^T) = \det(A)$ > 2. Si deux lignes (ou deux colonnes) sont égales, alors $\det(A) = 0$ > 3. Si une ligne (ou une colonne) est nulle, alors $\det(A) = 0$ > 4. $\det(kA) = k^n \det(A)$ pour une matrice $n \times n$ (ici $n=3$ : $\det(kA) = k^3 \det(A)$) > 5. Si une ligne est multipliée par un scalaire $k$, le déterminant est multiplié par $k$ > 6. Si l'on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas > 7. $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ > 8. $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ si $A$ est inversible > 9. $\det(A) = 0$ si et seulement si $A$ est singulière (non inversible) ### Exemple 5 : Application des propriétés Soit : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$ On remarque que la deuxième ligne est le double de la première : $R_2 = 2R_1$. Donc, par propriété 2, $\det(A) = 0$. Vérifions par calcul : $$ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 1(36-48) - 2(18-42) + 3(16-28) = (-12) - 2(-24) + 3(-12) = -12 + 48 - 36 = 0 ✓ $$ Soit maintenant : $$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$ C'est une matrice diagonale. Son déterminant est le produit des éléments diagonaux : $\det(B) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. On peut aussi utiliser la propriété 4 : si on factorise, mais ici c'est direct. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 9** : Sans calculer explicitement, déterminez si le déterminant de chaque matrice suivante est nul : $$ M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : - $M_1$ : Les lignes forment une progression arithmétique. En fait, $R_3 - R_2 = (3,3,3)$ et $R_2 - R_1 = (3,3,3)$, donc les lignes sont linéairement dépendantes → $\det(M_1) = 0$. - $M_2$ : Première ligne nulle → $\det(M_2) = 0$ (propriété 3). - $M_3$ : Aucune ligne nulle, aucune ligne égale, pas de multiple évident. On doit calculer ou utiliser d'autres propriétés. Calculons : $$ \det(M_3) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 2(4 - 1) + 1[(-1)(2) - (-1)(0)] + 0 = 2(3) + 1[-2 - 0] = 6 - 2 = 4 \neq 0 $$ Donc $\det(M_3) \neq 0$. **Exercice 10** : Soit $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} $$ Calculez $\det(2A)$ et vérifiez avec la propriété $\det(kA) = k^3 \det(A)$. **Corrigé** : D'abord, $\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 - 2(-20) + 3(-5) = -24 + 40 - 15 = 1$ Alors $\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \cdot 1 = 8$. Vérifions directement : $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 0 \end{pmatrix}$ $$ \det(2A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 12 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 8 \\ 10 & 0 \end{vmatrix} + 6 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 10 & 12 \end{vmatrix} = 2(0-96) - 4(0-80) + 6(0-20) = -192 - 4(-80) + 6(-20) = -192 + 320 - 120 = 8 ✓ $$ ---