Rational Polynomial Functions

# Rational Polynomial Functions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser la décomposition en fractions partielles des fonctions rationnelles, un outil essentiel pour l'intégration, la résolution d'équations différentielles et l'analyse de fonctions. À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Décomposer une fonction rationnelle en fractions partielles selon la nature du dénominateur (facteurs linéaires distincts, répétés, irréductibles du second degré). - Gérer les cas où le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. - Appliquer la décomposition en fractions partielles pour calculer des intégrales de fonctions rationnelles. - Vérifier la correction d'une décomposition par recomposition algébrique. **Prérequis** : - Factorisation des polynômes (facteurs linéaires et quadratiques irréductibles sur ℝ). - Opérations sur les fractions algébriques (addition, soustraction, simplification). - Notion de degré d'un polynôme. - Intégrales de base : ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ dx/(x²+a²) = (1/a) arctan(x/a) + C, ∫ x/(x²+a²) dx = (1/2) ln(x²+a²) + C. --- ## I. Partial fractions in which the denominator is expressible as product of linear factors ### Définition Une fonction rationnelle est de la forme $ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $, où $ P(x) $ et $ Q(x) $ sont des polynômes à coefficients réels, et $ Q(x) \not\equiv 0 $. Si $ Q(x) $ se factorise en facteurs linéaires distincts sur ℝ, alors $ R(x) $ peut s'écrire comme une somme de fractions simples de la forme $ \frac{A}{x - a} $. > **Règle de décomposition** : Si $ Q(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n) $ avec $ a_i $ distincts, alors > $$ > \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x - a_1} + \frac{A_2}{x - a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - a_n} > $$ > où les constantes $ A_i $ sont déterminées par la méthode des coefficients indeterminés ou par la méthode de Heaviside (couverture). ### Exemple résolu 1 Décomposer $ \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} $ en fractions partielles. **Étape 1** : Écrire la forme générale : $$ \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ A(x + 2) + B(x - 1) = 3x + 5 $$ $$ Ax + 2A + Bx - B = 3x + 5 $$ $$ (A + B)x + (2A - B) = 3x + 5 $$ **Étape 4** : Système d'équations : $$ \begin{cases} A + B = 3 \\ 2A - B = 5 \end{cases} $$ Ajouter les deux équations : $ 3A = 8 \Rightarrow A = \frac{8}{3} $ Puis $ B = 3 - A = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} $ **Étape 5** : Résultat : $$ \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{8/3}{x - 1} + \frac{1/3}{x + 2} = \frac{8}{3(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 2)} $$ **Vérification** : $ \frac{8}{3(x - 1)} + \frac{1}{3(x + 2)} = \frac{8(x + 2) + (x - 1)}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{8x + 16 + x - 1}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{9x + 15}{3(x - 1)(x + 2)} = \frac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} $ ✅ ### Exercice d'application 1 Décomposer $ \frac{2x - 7}{(x + 3)(x - 4)} $ en fractions partielles. **Corrigé** : $$ \frac{2x - 7}{(x + 3)(x - 4)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 4} $$ $ A(x - 4) + B(x + 3) = 2x - 7 $ $ (A + B)x + (-4A + 3B) = 2x - 7 $ Système : $ A + B = 2 $ $ -4A + 3B = -7 $ D'après première équation : $ B = 2 - A $ Substituer : $ -4A + 3(2 - A) = -7 \Rightarrow -4A + 6 - 3A = -7 \Rightarrow -7A = -13 \Rightarrow A = \frac{13}{7} $ $ B = 2 - \frac{13}{7} = \frac{1}{7} $ Réponse : $ \frac{13}{7(x + 3)} + \frac{1}{7(x - 4)} $ --- ## II. Partial fractions in which the denominator has repeated factors ### Définition Si le dénominateur contient un facteur linéaire répété $ (x - a)^k $, alors la décomposition en fractions partielles inclut des termes pour chaque puissance de ce facteur jusqu'à $ k $. > **Règle de décomposition** : Si $ Q(x) $ contient $ (x - a)^k $, alors la partie correspondante dans la décomposition est : > $$ > \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x - a)^k} > $$ ### Exemple résolu 2 Décomposer $ \frac{5x^2 + 3x - 1}{(x - 1)^2(x + 2)} $ en fractions partielles. **Étape 1** : Forme générale : $$ \frac{5x^2 + 3x - 1}{(x - 1)^2(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x + 2} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x + 2)} = \frac{5x^2 + 3x - 1}{(x - 1)^2(x + 2)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ A(x - 1)(x + 2) + B(x + 2) + C(x - 1)^2 = 5x^2 + 3x - 1 $$ Étendre : $ A(x^2 + x - 2) + B(x + 2) + C(x^2 - 2x + 1) = 5x^2 + 3x - 1 $ $ Ax^2 + Ax - 2A + Bx + 2B + Cx^2 - 2Cx + C = 5x^2 + 3x - 1 $ Regrouper : $ (A + C)x^2 + (A + B - 2C)x + (-2A + 2B + C) = 5x^2 + 3x - 1 $ **Étape 4** : Système : $$ \begin{cases} A + C = 5 \\ A + B - 2C = 3 \\ -2A + 2B + C = -1 \end{cases} $$ D'après première équation : $ C = 5 - A $ Substituer dans la deuxième : $ A + B - 2(5 - A) = 3 \Rightarrow A + B - 10 + 2A = 3 \Rightarrow 3A + B = 13 \Rightarrow B = 13 - 3A $ Substituer dans la troisième : $ -2A + 2(13 - 3A) + (5 - A) = -1 \Rightarrow -2A + 26 - 6A + 5 - A = -1 \Rightarrow -9A + 31 = -1 \Rightarrow -9A = -32 \Rightarrow A = \frac{32}{9} $ Alors $ B = 13 - 3 \cdot \frac{32}{9} = 13 - \frac{96}{9} = \frac{117 - 96}{9} = \frac{21}{9} = \frac{7}{3} $ $ C = 5 - \frac{32}{9} = \frac{45 - 32}{9} = \frac{13}{9} $ **Étape 5** : Résultat : $$ \frac{5x^2 + 3x - 1}{(x - 1)^2(x + 2)} = \frac{32/9}{x - 1} + \frac{7/3}{(x - 1)^2} + \frac{13/9}{x + 2} $$ ### Exercice d'application 2 Décomposer $ \frac{x^2 + 4}{(x - 2)^2} $ en fractions partielles. **Corrigé** : $$ \frac{x^2 + 4}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2} $$ $ A(x - 2) + B = x^2 + 4 $ Attention : le numérateur est du degré 2, le dénominateur du degré 2 → on doit d'abord faire une division polynomiale car le degré du numérateur n'est pas inférieur à celui du dénominateur. **Erreur courante** : on oublie la division quand le degré du numérateur ≥ degré du dénominateur. On revient à cela dans les leçons IV et V. Pour ce cas, puisque le degré est égal, on fait d'abord la division. Mais ici, le dénominateur est $ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 $, degré 2, numérateur $ x^2 + 4 $, degré 2 → on doit faire la division. Diviser $ x^2 + 4 $ par $ x^2 - 4x + 4 $ : Quotient : 1, reste : $ (x^2 + 4) - 1\cdot(x^2 - 4x + 4) = 4x $ Donc : $$ \frac{x^2 + 4}{(x - 2)^2} = 1 + \frac{4x}{(x - 2)^2} $$ Maintenant, décomposer $ \frac{4x}{(x - 2)^2} $ : $$ \frac{4x}{(x - 2)^2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^2} $$ $ A(x - 2) + B = 4x $ $ Ax - 2A + B = 4x $ Donc : $ A = 4 $, $ -2A + B = 0 \Rightarrow B = 8 $ Donc : $$ \frac{4x}{(x - 2)^2} = \frac{4}{x - 2} + \frac{8}{(x - 2)^2} $$ Résultat final : $$ \frac{x^2 + 4}{(x - 2)^2} = 1 + \frac{4}{x - 2} + \frac{8}{(x - 2)^2} $$ --- ## III. Partial fractions in which the denominator contains irreducible quadratic factors ### Définition Un facteur quadratique irréductible sur ℝ est de la forme $ x^2 + bx + c $ avec discriminant $ \Delta = b^2 - 4c < 0 $. Dans la décomposition en fractions partielles, un tel facteur donne lieu à un terme de la forme $ \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} $. > **Règle de décomposition** : Si $ Q(x) $ contient un facteur irréductible $ x^2 + px + q $, alors la décomposition inclut un terme $ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} $. Si ce facteur est répété $ k $ fois, on inclut : > $$ > \frac{A_1x + B_1}{x^2 + px + q} + \frac{A_2x + B_2}{(x^2 + px + q)^2} + \cdots + \frac{A_kx + B_k}{(x^2 + px + q)^k} > $$ ### Exemple résolu 3 Décomposer $ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x^2 + 1)(x - 3)} $ en fractions partielles. **Étape 1** : Forme générale : $$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x^2 + 1)(x - 3)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x - 3} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{(Ax + B)(x - 3) + C(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x - 3)} = \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x^2 + 1)(x - 3)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ (Ax + B)(x - 3) + C(x^2 + 1) = 2x^2 + 3x + 1 $$ Étendre : $ Ax^2 - 3Ax + Bx - 3B + Cx^2 + C = 2x^2 + 3x + 1 $ Regrouper : $ (A + C)x^2 + (-3A + B)x + (-3B + C) = 2x^2 + 3x + 1 $ **Étape 4** : Système : $$ \begin{cases} A + C = 2 \\ -3A + B = 3 \\ -3B + C = 1 \end{cases} $$ D'après première : $ C = 2 - A $ Substituer dans troisième : $ -3B + (2 - A) = 1 \Rightarrow -3B - A = -1 \Rightarrow 3B + A = 1 $ Deuxième équation : $ -3A + B = 3 \Rightarrow B = 3 + 3A $ Substituer dans $ 3B + A = 1 $ : $ 3(3 + 3A) + A = 1 \Rightarrow 9 + 9A + A = 1 \Rightarrow 10A = -8 \Rightarrow A = -\frac{4}{5} $ Alors $ B = 3 + 3(-\frac{4}{5}) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15 - 12}{5} = \frac{3}{5} $ $ C = 2 - (-\frac{4}{5}) = 2 + \frac{4}{5} = \frac{14}{5} $ **Étape 5** : Résultat : $$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x^2 + 1)(x - 3)} = \frac{-\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}}{x^2 + 1} + \frac{14/5}{x - 3} = \frac{-4x + 3}{5(x^2 + 1)} + \frac{14}{5(x - 3)} $$ ### Exercice d'application 3 Décomposer $ \frac{x^3 + 2x}{(x^2 + 4)(x + 1)} $ en fractions partielles. **Corrigé** : Le numérateur est du degré 3, le dénominateur du degré 3 → on doit d'abord faire la division polynomiale car le degré du numérateur n'est pas inférieur à celui du dénominateur. Diviser $ x^3 + 2x $ par $ (x^2 + 4)(x + 1) = x^3 + x^2 + 4x + 4 $ : Quotient : 1, reste : $ (x^3 + 2x) - 1\cdot(x^3 + x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 2x - 4 $ Donc : $$ \frac{x^3 + 2x}{(x^2 + 4)(x + 1)} = 1 + \frac{-x^2 - 2x - 4}{(x^2 + 4)(x + 1)} $$ Maintenant, décomposer $ \frac{-x^2 - 2x - 4}{(x^2 + 4)(x + 1)} $ : $$ \frac{-x^2 - 2x - 4}{(x^2 + 4)(x + 1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 4} + \frac{C}{x + 1} $$ $ (Ax + B)(x + 1) + C(x^2 + 4) = -x^2 - 2x - 4 $ Étendre : $ Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + 4C = -x^2 - 2x - 4 $ Regrouper : $ (A + C)x^2 + (A + B)x + (B + 4C) = -x^2 - 2x - 4 $ Système : $ A + C = -1 $ $ A + B = -2 $ $ B + 4C = -4 $ D'après première : $ C = -1 - A $ Deuxième : $ B = -2 - A $ Substituer dans troisième : $ (-2 - A) + 4(-1 - A) = -4 \Rightarrow -2 - A - 4 - 4A = -4 \Rightarrow -5A - 6 = -4 \Rightarrow -5A = 2 \Rightarrow A = -\frac{2}{5} $ Alors $ B = -2 - (-\frac{2}{5}) = -2 + \frac{2}{5} = -\frac{8}{5} $ $ C = -1 - (-\frac{2}{5}) = -1 + \frac{2}{5} = -\frac{3}{5} $ Donc : $$ \frac{-x^2 - 2x - 4}{(x^2 + 4)(x + 1)} = \frac{-\frac{2}{5}x - \frac{8}{5}}{x^2 + 4} + \frac{-\frac{3}{5}}{x + 1} = \frac{-2x - 8}{5(x^2 + 4)} - \frac{3}{5(x + 1)} $$ Résultat final : $$ \frac{x^3 + 2x}{(x^2 + 4)(x + 1)} = 1 + \frac{-2x - 8}{5(x^2 + 4)} - \frac{3}{5(x + 1)} $$ --- ## IV. Partial fractions in which the degree of the numerator is greater than that of the denominator ### Définition Si $ \deg(P) \geq \deg(Q) $, alors la fonction rationnelle $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ est impropre. On doit d'abord effectuer une division polynomiale de $ P(x) $ par $ Q(x) $ pour obtenir un polynôme plus une fraction propre (où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur). Ensuite, on décompose la partie propre en fractions partielles. > **Règle de division** : > $$ > \frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} > $$ > où $ S(x) $ est le quotient (polynôme), $ R(x) $ est le reste avec $ \deg(R) < \deg(Q) $. ### Exemple résolu 4 Décomposer $ \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 - 1} $ en fractions partielles. **Étape 1** : Division polynomiale de $ x^3 + 2x^2 - x + 1 $ par $ x^2 - 1 $ : Diviser $ x^3 $ par $ x^2 $ → $ x $ Multiplier : $ x(x^2 - 1) = x^3 - x $ Soustraire : $ (x^3 + 2x^2 - x + 1) - (x^3 - x) = 2x^2 + 1 $ Diviser $ 2x^2 $ par $ x^2 $ → $ 2 $ Multiplier : $ 2(x^2 - 1) = 2x^2 - 2 $ Soustraire : $ (2x^2 + 1) - (2x^2 - 2) = 3 $ Donc : $$ \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 - 1} = x + 2 + \frac{3}{x^2 - 1} $$ **Étape 2** : Décomposer $ \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{3}{(x - 1)(x + 1)} $ : $$ \frac{3}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} $$ $ A(x + 1) + B(x - 1) = 3 $ $ (A + B)x + (A - B) = 3 $ Système : $ A + B = 0 $ $ A - B = 3 $ Ajouter : $ 2A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{2} $, puis $ B = -\frac{3}{2} $ Donc : $$ \frac{3}{x^2 - 1} = \frac{3/2}{x - 1} - \frac{3/2}{x + 1} $$ **Étape 3** : Résultat final : $$ \frac{x^3 + 2x^2 - x + 1}{x^2 - 1} = x + 2 + \frac{3}{2(x - 1)} - \frac{3}{2(x + 1)} $$ ### Exercice d'application 4 Décomposer $ \frac{2x^4 - x^3 + 3x^2 - 5}{x^2 + x - 2} $ en fractions partielles. **Corrigé** : Diviser $ 2x^4 - x^3 + 3x^2 - 5 $ par $ x^2 + x - 2 $ : - $ 2x^4 / x^2 = 2x^2 $ → multiplier : $ 2x^2(x^2 + x - 2) = 2x^4 + 2x^3 - 4x^2 $ Soustraire : $ (2x^4 - x^3 + 3x^2 - 5) - (2x^4 + 2x^3 - 4x^2) = -3x^3 + 7x^2 - 5 $ - $ -3x^3 / x^2 = -3x $ → multiplier : $ -3x(x^2 + x - 2) = -3x^3 - 3x^2 + 6x $ Soustraire : $ (-3x^3 + 7x^2 - 5) - (-3x^3 - 3x^2 + 6x) = 10x^2 - 6x - 5 $ - $ 10x^2 / x^2 = 10 $ → multiplier : $ 10(x^2 + x - 2) = 10x^2 + 10x - 20 $ Soustraire : $ (10x^2 - 6x - 5) - (10x^2 + 10x - 20) = -16x + 15 $ Donc : $$ \frac{2x^4 - x^3 + 3x^2 - 5}{x^2 + x - 2} = 2x^2 - 3x + 10 + \frac{-16x + 15}{x^2 + x - 2} $$ Factoriser le dénominateur : $ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $ Décomposer $ \frac{-16x + 15}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1} $ $ A(x - 1) + B(x + 2) = -16x + 15 $ $ (A + B)x + (-A + 2B) = -16x + 15 $ Système : $ A + B = -16 $ $ -A + 2B = 15 $ Ajouter les deux : $ 3B = -1 \Rightarrow B = -\frac{1}{3} $ Alors $ A = -16 - B = -16 + \frac{1}{3} = -\frac{48}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{47}{3} $ Donc : $$ \frac{-16x + 15}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{-47/3}{x + 2} + \frac{-1/3}{x - 1} = -\frac{47}{3(x + 2)} - \frac{1}{3(x - 1)} $$ Résultat final : $$ \frac{2x^4 - x^3 + 3x^2 - 5}{x^2 + x - 2} = 2x^2 - 3x + 10 - \frac{47}{3(x + 2)} - \frac{1}{3(x - 1)} $$ --- ## V. Partial fractions in which the degree of the numerator is equal to that of the denominator ### Définition Lorsque $ \deg(P) = \deg(Q) $, la division polynomiale donne un quotient constant (degré 0) et un reste de degré strictement inférieur à celui de $ Q(x) $. On procède donc comme dans le cas précédent : division, puis décomposition de la partie propre. > **Règle** : Si $ \deg(P) = \deg(Q) $, alors $ \frac{P(x)}{Q(x)} = k + \frac{R(x)}{Q(x)} $, où $ k $ est le rapport des coefficients dirigeants de $ P $ et $ Q $, et $ \deg(R) < \deg(Q) $. ### Exemple résolu 5 Décomposer $ \frac{3x^2 + 4x - 5}{2x^2 - x + 1} $ en fractions partielles. **Étape 1** : Division polynomiale : Coefficient dirigeant de $ P $ : 3, de $ Q $ : 2 → quotient constant $ k = \frac{3}{2} $ Multiplier : $ \frac{3}{2}(2x^2 - x + 1) = 3x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} $ Soustraire : $ (3x^2 + 4x - 5) - (3x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}) = (4x + \frac{3}{2}x) + (-5 - \frac{3}{2}) = \frac{11}{2}x - \frac{13}{2} $ Donc : $$ \frac{3x^2 + 4x - 5}{2x^2 - x + 1} = \frac{3}{2} + \frac{\frac{11}{2}x - \frac{13}{2}}{2x^2 - x + 1} = \frac{3}{2} + \frac{11x - 13}{2(2x^2 - x + 1)} $$ **Étape 2** : Vérifier si le dénominateur $ 2x^2 - x + 1 $ est irréductible : Discriminant : $ \Delta = (-1)^2 - 4\cdot2\cdot1 = 1 - 8 = -7 < 0 $ → irréductible sur ℝ. Donc, la partie restante est déjà sous la forme propre pour un facteur quadratique irréductible : pas besoin de décomposition supplémentaire. **Étape 3** : Résultat final : $$ \frac{3x^2 + 4x - 5}{2x^2 - x + 1} = \frac{3}{2} + \frac{11x - 13}{2(2x^2 - x + 1)} $$ ### Exercice d'application 5 Décomposer $ \frac{5x^3 - 2x^2 + x - 7}{x^3 + 4x} $ en fractions partielles. **Corrigé** : Factoriser le dénominateur : $ x^3 + 4x = x(x^2 + 4) $ Degrés égaux (3) → division polynomiale. Diviser $ 5x^3 - 2x^2 + x - 7 $ par $ x^3 + 4x $ : Quotient : $ 5 $ (puisque $ 5x^3 / x^3 = 5 $) Multiplier : $ 5(x^3 + 4x) = 5x^3 + 20x $ Soustraire : $ (5x^3 - 2x^2 + x - 7) - (5x^3 + 20x) = -2x^2 - 19x - 7 $ Donc : $$ \frac{5x^3 - 2x^2 + x - 7}{x^3 + 4x} = 5 + \frac{-2x^2 - 19x - 7}{x(x^2 + 4)} $$ Maintenant, décomposer $ \frac{-2x^2 - 19x - 7}{x(x^2 + 4)} $ : $$ \frac{-2x^2 - 19x - 7}{x(x^2 + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 4} $$ Multiplier par le dénominateur : $ A(x^2 + 4) + (Bx + C)x = -2x^2 - 19x - 7 $ Étendre : $ Ax^2 + 4A + Bx^2 + Cx = -2x^2 - 19x - 7 $ Regrouper : $ (A + B)x^2 + Cx + 4A = -2x^2 - 19x - 7 $ Système : $ A + B = -2 $ $ C = -19 $ $ 4A = -7 \Rightarrow A = -\frac{7}{4} $ Alors $ B = -2 - A = -2 + \frac{7}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{7}{4} = -\frac{1}{4} $ Donc : $$ \frac{-2x^2 - 19x - 7}{x(x^2 + 4)} = \frac{-7/4}{x} + \frac{-\frac{1}{4}x - 19}{x^2 + 4} = -\frac{7}{4x} - \frac{x + 76}{4(x^2 + 4)} $$ Résultat final : $$ \frac{5x^3 - 2x^2 + x - 7}{x^3 + 4x} = 5 - \frac{7}{4x} - \frac{x + 76}{4(x^2 + 4)} $$ ---