Sequences and Series

# Sequences and Series ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les suites et séries numériques, en particulier les progressions arithmétiques et géométriques, leurs sommes, la notation sigma, la convergence/divergence, et l’application des fractions partielles à la sommation de séries. L’élève doit savoir identifier, calculer, démontrer et appliquer ces concepts dans des contextes variés. Prérequis : maîtrise des opérations sur les nombres réels, des équations du premier degré, des exposants et logarithmes de base, et de la notation fonctionnelle. --- ## I. Arithmetic Progression (The nth term and Arithmetic Mean) ### Définition Une **progression arithmétique** (PA) est une suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence s’appelle la **raison** et se note $d$. > **À retenir** : Une suite $(u_n)$ est une PA si et seulement si $u_{n+1} - u_n = d$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, avec $d \in \mathbb{R}$ constant. ### Formule du terme général Le $n$-ième terme d’une PA de premier terme $u_1$ et de raison $d$ est : $$ u_n = u_1 + (n-1)d $$ ### Moyenne arithmétique Dans une PA, tout terme intermédiaire est la moyenne arithmétique de ses deux voisins : > **À retenir** : Pour trois termes consécutifs $u_{n-1}, u_n, u_{n+1}$ d’une PA, on a $u_n = \dfrac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2}$. ### Exemple résolu Soit une PA dont le 3ème terme est 10 et le 7ème terme est 22. Trouver le premier terme et la raison. **Solution** : On écrit : $$ \begin{cases} u_3 = u_1 + 2d = 10 \\ u_7 = u_1 + 6d = 22 \end{cases} $$ Soustrayons la première équation de la seconde : $$ (u_1 + 6d) - (u_1 + 2d) = 22 - 10 \implies 4d = 12 \implies d = 3 $$ Puis : $$ u_1 + 2(3) = 10 \implies u_1 = 4 $$ Donc : $u_1 = 4$, $d = 3$. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Trouver le 15ème terme de la PA : 5, 9, 13, 17, … **Solution** : $u_1 = 5$, $d = 4$ $u_{15} = 5 + (15-1) \cdot 4 = 5 + 56 = 61$ **Exercice 2** : Dans une PA, $u_5 = 18$ et $u_{10} = 33$. Trouver $u_1$ et $d$. **Solution** : $$ \begin{cases} u_1 + 4d = 18 \\ u_1 + 9d = 33 \end{cases} \implies 5d = 15 \implies d = 3 \implies u_1 = 6 $$ **Exercice 3** : Trois nombres forment une PA. Leur somme est 27 et leur produit est 405. Trouver les nombres. **Solution** : Soit les termes $a-d, a, a+d$. Somme : $3a = 27 \implies a = 9$ Produit : $(9-d) \cdot 9 \cdot (9+d) = 405 \implies 81(81 - d^2) = 405$ Attention : $(9-d)(9+d) = 81 - d^2$, donc : $$ 9(81 - d^2) = 405 \implies 81 - d^2 = 45 \implies d^2 = 36 \implies d = \pm 6 $$ Les nombres sont donc : $3, 9, 15$ ou $15, 9, 3$ (même ensemble). --- ## II. Arithmetic Progression (The Sum of term(S_n)) ### Formule de la somme des $n$ premiers termes La somme $S_n$ des $n$ premiers termes d’une PA de premier terme $u_1$ et de raison $d$ est : $$ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) $$ Équivalentement, si l’on connaît le dernier terme $u_n$ : $$ S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) $$ > **À retenir** : La somme des $n$ premiers termes d’une PA est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. ### Exemple résolu Trouver la somme des 20 premiers termes de la PA : 7, 12, 17, 22, … **Solution** : $u_1 = 7$, $d = 5$, $n = 20$ $$ S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 7 + (20-1) \cdot 5\right) = 10 \left(14 + 95\right) = 10 \cdot 109 = 1090 $$ Vérification avec la seconde forme : $u_{20} = 7 + 19 \cdot 5 = 7 + 95 = 102$ $S_{20} = \frac{20}{2} (7 + 102) = 10 \cdot 109 = 1090$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Calculer $S_{12}$ pour la PA : $-3, 1, 5, 9, …$ **Solution** : $u_1 = -3$, $d = 4$ $S_{12} = \frac{12}{2} \left(2(-3) + 11 \cdot 4\right) = 6(-6 + 44) = 6 \cdot 38 = 228$ **Exercice 2** : La somme des $n$ premiers termes d’une PA est donnée par $S_n = 3n^2 + 5n$. Trouver le premier terme et la raison. **Solution** : On sait que $u_n = S_n - S_{n-1}$ pour $n \geq 2$, et $u_1 = S_1$. $S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8 \implies u_1 = 8$ Pour $n \geq 2$ : $$ u_n = S_n - S_{n-1} = [3n^2 + 5n] - [3(n-1)^2 + 5(n-1)] $$ $$ = 3n^2 + 5n - [3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5] = 3n^2 + 5n - [3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5] $$ $$ = 3n^2 + 5n - [3n^2 - n - 2] = 3n^2 + 5n - 3n^2 + n + 2 = 6n + 2 $$ Donc $u_n = 6n + 2$ pour $n \geq 2$. Vérifions pour $n=1$ : $6(1)+2=8 = u_1$, donc la formule vaut pour tout $n \geq 1$. Ainsi, $u_n = 6n + 2 = 2 + (n-1) \cdot 6$ → $u_1 = 2$, $d = 6$ ? Attendez : $u_n = 6n + 2 = 2 + 6n$. Mais la forme standard est $u_1 + (n-1)d$. Écrivons : $6n + 2 = 2 + 6n = (2 + 6) + 6(n-1) = 8 + 6(n-1)$ → donc $u_1 = 8$, $d = 6$. Vérification : $u_2 = 8+6=14$, $S_2 = 8+14=22$ ; $S_2 = 3(4)+5(2)=12+10=22$ ✓ Donc : premier terme = 8, raison = 6. **Exercice 3** : Trouver le nombre de termes de la PA : 2, 5, 8, …, 47 dont la somme est connue. **Solution** : On cherche $n$ tel que $u_n = 47$. $u_1 = 2$, $d = 3$ $u_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 47 \implies 3(n-1) = 45 \implies n-1 = 15 \implies n = 16$ Vérification de la somme : $S_{16} = \frac{16}{2}(2 + 47) = 8 \cdot 49 = 392$ --- ## III. Geometric Progression (The nth term and Geometric Mean) ### Définition Une **progression géométrique** (PG) est une suite où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport s’appelle la **raison** et se note $r$. > **À retenir** : Une suite $(u_n)$ est une PG si et seulement si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = r$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, avec $r \in \mathbb{R}$, $r \neq 0$. ### Formule du terme général Le $n$-ième terme d’une PG de premier terme $u_1$ et de raison $r$ est : $$ u_n = u_1 \cdot r^{n-1} $$ ### Moyenne géométrique Dans une PG, tout terme intermédiaire est la moyenne géométrique de ses deux voisins : > **À retenir** : Pour trois termes consécutifs $u_{n-1}, u_n, u_{n+1}$ d’une PG, on a $u_n = \sqrt{u_{n-1} \cdot u_{n+1}}$ (si les termes sont de même signe). ### Exemple résolu Soit une PG dont le 2ème terme est 6 et le 5ème terme est 162. Trouver le premier terme et la raison. **Solution** : $$ \begin{cases} u_2 = u_1 \cdot r = 6 \\ u_5 = u_1 \cdot r^4 = 162 \end{cases} $$ Divisons la seconde équation par la première : $$ \frac{u_1 r^4}{u_1 r} = \frac{162}{6} \implies r^3 = 27 \implies r = 3 $$ Puis : $$ u_1 \cdot 3 = 6 \implies u_1 = 2 $$ Donc : $u_1 = 2$, $r = 3$. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Trouver le 7ème terme de la PG : 3, 6, 12, 24, … **Solution** : $u_1 = 3$, $r = 2$ $u_7 = 3 \cdot 2^{6} = 3 \cdot 64 = 192$ **Exercice 2** : Dans une PG, $u_3 = 12$ et $u_6 = 96$. Trouver $u_1$ et $r$. **Solution** : $$ \begin{cases} u_1 r^2 = 12 \\ u_1 r^5 = 96 \end{cases} \implies \frac{u_1 r^5}{u_1 r^2} = \frac{96}{12} \implies r^3 = 8 \implies r = 2 $$ Puis : $u_1 \cdot 4 = 12 \implies u_1 = 3$ **Exercice 3** : Trois nombres forment une PG. Leur somme est 21 et leur produit est 64. Trouver les nombres. **Solution** : Soit les termes $\dfrac{a}{r}, a, ar$. Produit : $\dfrac{a}{r} \cdot a \cdot ar = a^3 = 64 \implies a = 4$ Somme : $\dfrac{4}{r} + 4 + 4r = 21$ Multiplions par $r$ : $4 + 4r + 4r^2 = 21r \implies 4r^2 - 17r + 4 = 0$ Résolution : $\Delta = 289 - 64 = 225 \implies r = \dfrac{17 \pm 15}{8}$ Donc $r = \dfrac{32}{8} = 4$ ou $r = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$ Si $r = 4$ : termes = $1, 4, 16$ Si $r = \frac{1}{4}$ : termes = $16, 4, 1$ Dans les deux cas, l’ensemble est $\{1, 4, 16\}$ --- ## IV. Geometric Progression (The Sum of term(S_n)) ### Formule de la somme des $n$ premiers termes La somme $S_n$ des $n$ premiers termes d’une PG de premier terme $u_1$ et de raison $r \neq 1$ est : $$ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$ Équivalentement : $$ S_n = u_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$ > **À retenir** : Pour $r = 1$, la PG est constante : $u_n = u_1$, donc $S_n = n \cdot u_1$. ### Exemple résolu Trouver la somme des 6 premiers termes de la PG : 5, 10, 20, 40, 80, 160 **Solution** : $u_1 = 5$, $r = 2$, $n = 6$ $$ S_6 = 5 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 5 \cdot \frac{1 - 64}{-1} = 5 \cdot \frac{-63}{-1} = 5 \cdot 63 = 315 $$ Vérification directe : $5+10+20+40+80+160 = 315$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Calculer $S_5$ pour la PG : $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8$ **Solution** : $u_1 = \frac{1}{2}$, $r = 2$ $S_5 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-32}{-1} = \frac{1}{2} \cdot 31 = \frac{31}{2} = 15.5$ **Exercice 2** : La somme des $n$ premiers termes d’une PG est $S_n = 2^{n+1} - 2$. Trouver le premier terme et la raison. **Solution** : $u_1 = S_1 = 2^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$ Pour $n \geq 2$ : $u_n = S_n - S_{n-1} = (2^{n+1} - 2) - (2^{n} - 2) = 2^{n+1} - 2^{n} = 2^{n}(2 - 1) = 2^{n}$ Mais $u_n = u_1 \cdot r^{n-1} = 2 \cdot r^{n-1}$ Donc : $2 \cdot r^{n-1} = 2^{n} \implies r^{n-1} = 2^{n-1} \implies r = 2$ Vérification : $u_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ ✓ Donc : premier terme = 2, raison = 2. **Exercice 3** : Trouver la somme des termes de la PG : 3, -6, 12, -24, … jusqu’au terme qui vaut -384. **Solution** : On cherche $n$ tel que $u_n = -384$. $u_1 = 3$, $r = -2$ $u_n = 3 \cdot (-2)^{n-1} = -384$ $\implies (-2)^{n-1} = -128 = (-2)^7$ (puisque $(-2)^7 = -128$) Donc $n-1 = 7 \implies n = 8$ Somme des 8 premiers termes : $$ S_8 = 3 \cdot \frac{1 - (-2)^8}{1 - (-2)} = 3 \cdot \frac{1 - 256}{1 + 2} = 3 \cdot \frac{-255}{3} = -255 $$ Vérification : $3 -6 +12 -24 +48 -96 +192 -384 = (3-6)=-3; (-3+12)=9; (9-24)=-15; (-15+48)=33; (33-96)=-63; (-63+192)=129; (129-384)=-255$ ✓ --- ## V. Determination of Un given Sn ### Principe Si l’on connaît la somme des $n$ premiers termes $S_n$, on peut récupérer le terme général $u_n$ par : $$ u_n = S_n - S_{n-1} \quad \text{pour } n \geq 2, \quad \text{et} \quad u_1 = S_1 $$ > **À retenir** : Le terme général d’une suite est obtenu par différence consécutive des sommes partielles : $u_n = S_n - S_{n-1}$ pour $n \geq 2$. ### Exemple résolu Soit $S_n = n^2 + 4n$. Trouver $u_n$ et vérifier que la suite est une PA ou PG. **Solution** : $u_1 = S_1 = 1 + 4 = 5$ Pour $n \geq 2$ : $$ u_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 4n) - [(n-1)^2 + 4(n-1)] $$ $$ = n^2 + 4n - [n^2 - 2n + 1 + 4n - 4] = n^2 + 4n - [n^2 + 2n - 3] $$ $$ = n^2 + 4n - n^2 - 2n + 3 = 2n + 3 $$ Vérifions pour $n=1$ : $2(1)+3=5 = u_1$ → donc $u_n = 2n + 3$ pour tout $n \geq 1$ C’est une PA de premier terme 5 et de raison 2. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Si $S_n = 3^n - 1$, trouver $u_n$. **Solution** : $u_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 2$ Pour $n \geq 2$ : $$ u_n = S_n - S_{n-1} = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1} $$ Vérifions pour $n=1$ : $2 \cdot 3^{0} = 2 = u_1$ → donc $u_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ C’est une PG de premier terme 2 et de raison 3. **Exercice 2** : Donné $S_n = 5n - n^2$, trouver $u_n$ et dire si la suite est une PA. **Solution** : $u_1 = S_1 = 5 - 1 = 4$ Pour $n \geq 2$ : $$ u_n = S_n - S_{n-1} = (5n - n^2) - [5(n-1) - (n-1)^2] $$ $$ = 5n - n^2 - [5n - 5 - (n^2 - 2n + 1)] = 5n - n^2 - [5n - 5 - n^2 + 2n - 1] $$ $$ = 5n - n^2 - [ -n^2 + 7n - 6 ] = 5n - n^2 + n^2 - 7n + 6 = -2n + 6 $$ Vérifions pour $n=1$ : $-2(1)+6=4 = u_1$ → donc $u_n = -2n + 6 = 6 - 2n$ C’est une PA de premier terme 6 et de raison $-2$ (puisque $u_n = 6 + (n-1)(-2)$). **Exercice 3** : Si $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, trouver $u_n$. **Solution** : On reconnaît $S_n$ comme la somme des $n$ premiers entiers naturels. $u_1 = S_1 = \dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$ Pour $n \geq 2$ : $$ u_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n}{2} [(n+1) - (n-1)] = \frac{n}{2} \cdot 2 = n $$ Donc $u_n = n$ pour tout $n \geq 1$ → suite des entiers naturels. --- ## VI. Limit of a Sequence / Series ### Définition de la limite d’une suite Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, on ait $|u_n - L| < \varepsilon$. On note $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. > **À retenir** : Une suite converge si ses termes s’approchent arbitrairement d’une valeur fixe lorsque $n$ devient très grand. ### Exemple résolu Trouver $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - 4}$ **Solution** : On divise numérateur et dénominateur par $n^2$ : $$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{5 - \frac{4}{n^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{5 - 0} = \frac{3}{5} $$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : $\lim_{n \to \infty} \dfrac{7n - 3}{2n + 5}$ **Solution** : Diviser par $n$ : $\dfrac{7 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{5}{n}} \to \dfrac{7}{2}$ **Exercice 2** : $\lim_{n \to \infty} \dfrac{4^n}{5^n}$ **Solution** : $\left(\dfrac{4}{5}\right)^n \to 0$ car $\frac{4}{5} < 1$ **Exercice 3** : $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{(n+1)!}$ **Solution** : $\dfrac{n!}{(n+1)n!} = \dfrac{1}{n+1} \to 0$ --- ## VII. Convergence and Divergence of a Geometric Series ### Série géométrique Une série géométrique est la somme des termes d’une PG : $\sum_{k=0}^{\infty} u_1 r^k$ > **À retenir** : La série géométrique infinie $\sum_{k=0}^{\infty} ar^k$ converge si et seulement si $|r| < 1$, et sa somme est $\dfrac{a}{1 - r}$. Si $|r| \geq 1$, la série diverge. ### Exemple résolu Déterminer si la série $\sum_{n=0}^{\infty} 3 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ converge et trouver sa somme si elle converge. **Solution** : Ici, $a = 3$, $r = \frac{1}{2}$, $|r| = \frac{1}{2} < 1$ → converge. Somme : $\dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{3}{\frac{1}{2}} = 6$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : $\sum_{n=0}^{\infty} 5 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$ **Solution** : $|r| = \frac{1}{3} < 1$ → converge. Somme : $\dfrac{5}{1 - (-\frac{1}{3})} = \dfrac{5}{1 + \frac{1}{3}} = \dfrac{5}{\frac{4}{3}} = \dfrac{15}{4}$ **Exercice 2** : $\sum_{n=0}^{\infty} 2 \cdot (2)^n$ **Solution** : $|r| = 2 \geq 1$ → diverge (les termes croissent sans borne). **Exercice 3** : $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{4}{5^n}$ **Solution** : Réécriture : $4 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$ $|r| = \frac{1}{5} < 1$ → converge. Somme : $4 \cdot \dfrac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 4 \cdot \dfrac{1}{\frac{4}{5}} = 4 \cdot \dfrac{5}{4} = 5$ --- ## VIII. Sigma Notation and Summation of Simple Finite Series ### Notation sigma La somme $\sum_{k=m}^{n} a_k$ désigne la somme des termes $a_m, a_{m+1}, \dots, a_n$. > **À retenir** : $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ pour une constante $c$ ; $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ; $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ### Exemple résolu Calculer $\sum_{k=1}^{5} (2k + 3)$ **Solution** : $$ \sum_{k=1}^{5} (2k + 3) = 2\sum_{k=1}^{5} k + \sum_{k=1}^{5} 3 = 2 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} + 5 \cdot 3 = 2 \cdot 15 + 15 = 30 + 15 = 45 $$ Vérification directe : $k=1:5; k=2:7; k=3:9; k=4:11; k=5:13$ → $5+7+9+11+13=45$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : $\sum_{k=1}^{4} (k^2 - 2k)$ **Solution** : $\sum k^2 = 1+4+9+16=30$ ; $\sum 2k = 2(1+2+3+4)=20$ Donc $30 - 20 = 10$ Vérif : $k=1:1-2=-1; k=2:4-4=0; k=3:9-6=3; k=4:16-8=8$ → $-1+0+3+8=10$ **Exercice 2** : $\sum_{k=0}^{3} 5 \cdot 2^k$ **Solution** : $k=0:5\cdot1=5; k=1:5\cdot2=10; k=2:5\cdot4=20; k=3:5\cdot8=40$ → $5+10+20+40=75$ Ou : $5 \sum_{k=0}^{3} 2^k = 5 \cdot (1+2+4+8) = 5 \cdot 15 = 75$ **Exercice 3** : $\sum_{k=1}^{n} (3k - 1)$ **Solution** : $3\sum k - \sum 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n(n+1)}{2} - n = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}$ --- ## IX. Summation of some Standard Series ### Séries standards utiles - $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ - $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ - $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ - $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ > **À retenir** : La somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels est égale au carré de la somme des $n$ premiers entiers naturels. ### Exemple résolu Calculer $\sum_{k=1}^{10} k^3$ **Solution** : $$ \left[\frac{10 \cdot 11}{2}\right]^2 = [55]^2 = 3025 $$ Vérification (partielle) : $1^3=1, 2^3=8, 3^3=27, 4^3=64, 5^3=125$ → somme partielle = 225 ; on sait que $1^3+…+5^3=225=15^2$, donc pour 10 : $55^2=3025$ ✓ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : $\sum_{k=1}^{6} k^2$ **Solution** : $\dfrac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 7 \cdot 13 = 91$ **Exercice 2** : $\sum_{k=1}^{8} (k^3 - k)$ **Solution** : $\sum k^3 = \left[\frac{8 \cdot 9}{2}\right]^2 = [36]^2 = 1296$ $\sum k = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36$ Donc $1296 - 36 = 1260$ **Exercice 3** : $\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k - 1)$ **Solution** : $2\sum k^2 + 3\sum k - \sum 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n$ $$ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} - n $$ Mettre au même dénominateur (6) : $$ = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) - 6n}{6} $$ Factoriser $n$ : $$ = \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 9(n+1) - 6]}{6} $$ Développer dans les crochets : $2(n+1)(2n+1) = 2(2n^2 + 3n + 1) = 4n^2 + 6n + 2$ $9(n+1) = 9n + 9$ Donc : $4n^2 + 6n + 2 + 9n + 9 - 6 = 4n^2 + 15n + 5$ Résultat final : $\dfrac{n(4n^2 + 15n + 5)}{6}$ ---