Les constructions industrielles (partie 3/4)

## Objectifs et prérequis À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire les caractéristiques structurales des bâtiments industriels en béton armé et justifier le choix des sections selon les charges d’exploitation. - Réaliser le dimensionnement simplifié d’une poutre ou d’un poteau en béton armé à l’aide des formules de résistance et de flèche. - Expliquer le principe de la précontrainte, distinguer les systèmes pré‑tendue et post‑tendue, et identifier les pertes de précontrainte. - Calculer la force de précontrainte nécessaire pour un élément donné, en tenant compte des pertes élastiques, de fluage et de retrait. - Décrire les étapes de mise en œuvre du béton précontraint sur un chantier industriel (tension des câbles, groutage, contrôle). - Appliquer les normes de sécurité et d’hygiène spécifiques au béton armé et précontraint (port des EPI, vérification des ancrages, surveillance des fissures). **Prérequis** : connaissances des propriétés du béton et de l’acier armature (résistance à la compression, module d’élasticité, limite d’élasticité), notions de statique graphique (efforts internes, diagrammes de moments), lecture de plans d’exécution et utilisation des Eurocode 2 (ou normes NC équivalentes) pour le dimensionnement de base. --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, le développement des zones industrielles (Douala, Yaoundé, Garoua) s’appuie largement sur des bâtiments à grande portée où le béton armé demeure le matériau de prédilection pour sa résistance au feu, sa durabilité et sa facilité de mise en œuvre. Les halls de production, les entrepôts de stockage de matières premières (ciment, bois, produits agro‑alimentaires) et les ateliers de montage nécessitent des structures porteuses capables de supporter des charges élevées (machines, ponts roulants, systèmes de convoyage) tout en permettant des espaces libres sans poteaux intermédiaires. La première partie du chapitre a présenté les principes généraux du béton armé ; la présente unité approfondit deux aspects complémentaires : (1) le dimensionnement et les détails constructifs des structures industrielles en béton armé (Leçon 23) et (2) le béton précontraint, de son principe fondamental à sa mise en œuvre pratique (Leçons 25 et 27). Cette progression permet à l’élève de passer d’une conception « passive » (résistance uniquement par la section) à une conception « active » où la contrainte de compression introduite par les câbles améliore la portée et réduit les sections, répondant ainsi aux exigences économiques et fonctionnelles des projets industriels camerounais. --- ## I. Leçon 23 : Les constructions industrielles en structure porteuse en béton armé (partie 2) ### A. Caractéristiques des bâtiments industriels en béton armé Les bâtiments industriels se distinguent par : - **Grande portée** (souvent supérieure à 20 m) afin de libérer l’espace de travail. - **Charges verticales importantes** (machines, stockage en hauteur) et **charges horizontales** (effets du vent, activité sismique modérée dans certaines régions). - **Exigences de durabilité** face à l’abrasion, aux produits chimiques et aux variations thermiques. - **Nécessité de facilité d’entretien** (accès aux gaines, possibilité de renforcement local). > Un bâtiment industriel typique en béton armé présente une hauteur sous plafond de 8 à 12 m et une portée libre de 20 à 30 m pour les halls de production. ### B. Dimensionnement des poteaux et poutres Le dimensionnement suit la méthode des états limites (ELS et ELU) selon l’Eurocode 2. 1. **Poteaux** : - Effort normal axial \(N\) provenant du poids propre et des charges verticales. - Moment fléchissant \(M\) dû à l’excentricité des charges ou aux effets du vent. - Vérification de la résistance à la compression : \[ \frac{N}{A_c \, f_{cd}} + \frac{M}{W_{c} \, f_{cd}} \le 1 \] où \(A_c\) est la surface du béton, \(W_{c}\) le module de résistance en flexion, \(f_{cd}= \alpha_{cc} f_{ck}/\gamma_{c}\) la résistance de calcul du béton. - Vérification du flambement : longueur efficace \(l_0\) comparée au rayon de giration \(i\). 2. **Poutres** : - Moment fléchissant maximal \(M_{Ed}\) provenant des charges uniformément réparties ou concentrées. - Résistance en flexion : \[ M_{Rd}= \alpha_{wt} \, f_{ck} \, b \, d^2 \left(1 - \frac{x}{d}\right) \] avec \(b\) largeur, \(d\) hauteur utile, \(x\) profondeur de la zone compressée. - Vérification du cisaillement : \[ V_{Rd,c}= \left[ C_{Rd,c} \, k \, (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} + k_1 \, \sigma_{cp} \right] b_w d \] (formule simplifiée, à adapter selon l’annexe nationale). > Pour une poutre rectangulaire de 30 cm de largeur et 45 cm de hauteur utile, avec du béton C25/30 (\(f_{ck}=25\) MPa) et de l’acier B500B (\(f_{yk}=500\) MPa), la moment résistante approximatif est \(M_{Rd}\approx 130\) kN·m. ### C. Armatures et détails de jonction - **Armature longitudinale** : barres longitudinales disposées dans les zones de traction (bas de la poutre, côtés du poteau). - **Armature transversale (étriers)** : espacement déterminé par le cisaillement et le confinement du béton dans les zones de nœud poteau‑poutre. - **Ancrages** : longueur d’ancrage \(l_{b,req}= \frac{\phi \, \sigma_{sd}}{4 \, \tau_{bd}}\) où \(\tau_{bd}\) est l’adhérence béton‑acier. - **Détails de nœud** : utilisation de plaques d’ancrage ou de corbeaux pour transmettre les moments entre poteau et poutre, avec vérification de la pression de contact (< 0,6 f_{cd}). ### D. Mise en œuvre et contrôle qualité - **Préparation du coffrage** : vérification de l’aplomb, du niveau et de l’étanchéité (joints en mousse ou bandes de jointoiement). - **Mise en place de l’armature** : ligature conforme au plan de ferraillage, utilisation de cales pour garantir l’enrobage minimal (20 mm pour les poteaux, 25 mm pour les poutres en intérieur). - **Coulée du béton** : débit continu, vibrage à l’aiguille ou à la table vibrante pour éviter les vides. - **Contrôles** : essai d’affaissement (Slump test) selon la consistance souhaitée, essais de compression sur éprouvettes à 7 j et 28 j, vérification de l’enrobage par mesure au couvre‑épaisseur, inspection visuelle des fissures de retrait. > Le délai de décoffrage d’un poteau de 30 cm de côté est généralement de 24 h à température ambiante (> 15 °C) si le béton a atteint au moins 5 MPa de résistance. ### E. Normes et sécurité/hygiène - **Eurocode 2 (EN 1992‑1‑1)** ou ses équivalents nationaux (NC) pour le dimensionnement. - **NF P 06‑001** (ou équivalent camerounais) pour la qualité du béton. - **Règlement de sécurité sur les chantiers** : port du casque, des gants anti‑coupure, des lunettes de protection, harnais anti‑chute pour travail en hauteur, zones de stockage des matériaux clairement délimitées, panneaux de signalisation autour des zones de coffrage et de vibrage. - **Hygiène** : points d’eau pour le lavage des mains, zones de repos éloignées des fumées de vibrage, gestion des déchets de béton (recyclage des agrégats lorsqu’ils sont propres). --- ## II. Leçon 25 : Le béton précontraint (partie 1) ### A. Principe de la précontrainte La précontrainte consiste à introduire une contrainte de compression dans le béton avant qu’il ne soit soumis aux charges de service. Cette compression initiale compense partiellement ou totalement la traction induite par les charges, permettant d’augmenter la portée ou de réduire la section du béton. - **Béton** : reste principalement en compression, matériau peu résistant à la traction. - **Acier de précontrainte** : haute limite d’élasticité (≥ 1600 MPa), capacité à maintenir une force importante malgré les pertes. > La force de précontrainte \(P\) appliquée à un élément crée une contrainte moyenne de compression \(\sigma_{c}=P/A_c\) qui s’ajoute aux contraintes dues aux charges externes. ### B. Types de précontrainte | Type | Moment d’application | Avantages | Inconvénients | |------|----------------------|-----------|---------------| | **Précontrainte pré‑tendue** | Avant le coulage du béton (câbles tendus dans le moule) | Bonne maîtrise de la force initiale, moins de pertes par frottement | Nécessité de moules spécifiques, moins adapté aux éléments déjà en place | | **Précontrainte post‑tendue** | Après durcissement du béton (câbles introduits dans des gaines) | Flexibilité d’application sur éléments préfabriqués ou coulés en place | Pertes par frottement dans les gaines, besoin d’ancrages performants | ### C. Matériaux spécifiques - **Béton à haute résistance** : classe C40/50 à C60/75 (f_{ck} ≥ 40 MPa) pour réduire les déformations sous précontrainte. - **Acier de précontrainte** : fils ou brins de type 7‑wire (ex. : 15,2 mm de diamètre, surface nominale 140 mm²) avec caractéristique de résistance \(f_{pk} ≥ 1600\) MPa. - **Gainés** : gaines métalliques ondulées ou plastiques, diamètre intérieur légèrement supérieur au câble pour permettre le passage du coulis de grout. - **Ancrages** : plaques d’ancrage coniques ou cylindriques, avec dispositif de blocage (coin, cône) assurant le transfert de la force au béton. ### D. Calcul de la force de précontrainte et pertes 1. **Force initiale** : \[ P_{0}= A_{p} \, \sigma_{p0} \] où \(A_{p}\) est la section totale de l’acier de précontrainte et \(\sigma_{p0}\) la contrainte d’étirage initiale (souvent 0,8 \(f_{pk}\)). 2. **Pertes immédiates** (au moment du transfert) : - **Perte par élasticité du béton** : \(\Delta P_{el}= P_{0} \, \frac{E_{c}}{E_{c}+E_{p}} \, \frac{\Delta l}{l}\) (simplifiée à environ 5‑10 % de \(P_{0}\)). - **Perte par frottement dans les gaines** : \(\Delta P_{fr}= P_{0} \, \left(1-e^{-k \mu \theta}\right)\) où \(k\) est le coefficient de frottement, \(\mu\) le coefficient d’adhérence, \(\theta\) l’angle de courbure totale. 3. **Pertes différées** (après transfert) : - **Fluage du béton** : fonction du temps, généralement 10‑20 % de \(P_{0}\) après 6 mois. - **Retrait du béton** : dépend de l’humidité relative, environ 5 % de \(P_{0}\). - **Relaxation de l’acier** : fonction du temps et de la contrainte initiale, typiquement 3‑5 % de \(P_{0}\). > La somme des pertes est souvent estimée à 20‑25 % de la force initiale pour un élément post‑tendu en béton C40/50. ### E. Exemple chiffré (dimensionnement d’une poutre précontrainte simple) **Données** : - Portée libre \(L = 6\) m, charge uniformément répartie \(q = 20\) kN/m (poids propre + charges d’exploitation). - Béton C40/50 (\(f_{ck}=40\) MPa, \(E_c=35\) GPa). - Acier de précontrainte : brins 7‑wire, diamètre 15,2 mm, \(A_p=140\) mm², \(f_{pk}=1700\) MPa, \(E_p=200\) GPa. - Enrobage minimal 25 mm, largeur de la poutre \(b=30\) cm, hauteur totale \(h=50\) cm → hauteur utile \(d=h- enrobage = 45\) cm. **Étape 1 – Moment de flexion dû aux charges** : \[ M_{Ed}= \frac{q L^{2}}{8}= \frac{20 \times 6^{2}}{8}= 90 \text{ kN·m} \] **Étape 2 – Force de précontrainte nécessaire pour annuler la traction** : On cherche \(P\) telle que la contrainte de traction maximale dans la fibre inférieure soit nulle : \[ \sigma_{t}= \frac{M_{Ed}}{W} - \frac{P}{A_c} \le 0 \] avec \(W = \frac{b h^{2}}{6}= \frac{0.30 \times 0.50^{2}}{6}=0.0125\) m³ et \(A_c = b h =0.30 \times 0.50 =0.15\) m². \[ \frac{M_{Ed}}{W}= \frac{90 \times 10^{3}}{0.0125}=7,2 \text{ MPa} \] \[ \frac{P}{A_c} \ge 7,2 \text{ MPa} \Rightarrow P \ge 7,2 \times 0,15 =1,08 \text{ MN}=1080 \text{ kN} \] **Étape 3 – Nombre de brins nécessaires** : Force par brin (après pertes estimées à 22 %) : \[ P_{brin,utile}= A_p \, f_{pk} \times 0,78 = 140 \times 10^{-6} \times 1700 \times 0,78 \approx 186 \text{ kN} \] \[ n = \frac{1080}{186} \approx 5,8 \rightarrow \text{arrondir à 6 brins} \] **Étape 4 – Vérification des contraintes finales** : Force totale après pertes : \(P = 6 \times 186 = 1116\) kN. Contrainte de compression moyenne : \(\sigma_c = P/A_c = 1116/0,15 = 7,44\) MPa (< 0,45 \(f_{ck}\)=18 MPa, donc admissible). Contrainte de traction résiduelle : \(\sigma_t = M_{Ed}/W - \sigma_c = 7,2 - 7,44 = -0,24\) MPa (compression, donc sûr). > Cette poutre précontrainte de 6 m de portée, armée de 6 brins de 15,2 mm, supporte la charge de 20 kN/m sans fissure de traction à l’état de service. ### F. Normes et sécurité spécifiques - **Eurocode 2 – Partie 1‑1** (dimensionnement du béton armé et précontraint). - **NF EN 1338** (précontraint – câbles et systèmes d’ancrage). - **Règlement de sécurité du travail** (arrêté n° 001/MINTP du 12 janvier 2018) : port du harnais lors de la tension des câbles, zone d’exclusion de 5 m autour du vérin hydraulique, vérification quotidienne de la pression du grout. - **Hygiène** : douches de secours à proximité des zones de groutage, collecte des eaux de lavage des gaines pour traitement avant rejet. --- ## III. Leçon 27 : Le béton précontraint (partie 2) ### A. Conception des éléments précontraints Les éléments les plus courants en milieu industriel sont : - **Dalles alvéolaires** (portées jusqu’à 12 m, épaisseur 20‑30 cm). - **Poutres en I ou en boîte** (portées 15‑25 m, utilisées pour les ponts roulants). - **Poteaux creux** (pour supporter des charges élevées tout en réduisant le poids propre). La conception suit les mêmes principes d’états limites que le béton armé, avec une attention particulière à : - **Répartition de la précontrainte** (câbles centrés, excentrés ou en profil). - **Vérification du flambement** des gaines et des ancrages sous compression. - **Analyse des états de service** (déformations, fissures) pour garantir la fonctionnalité des équipements sensibles (machines de précision, lignes de montage). ### B. Détails d’ancrage et de gaines - **Ancrage** : dispositif conique permettant de bloquer le câble après tension. La force transmise au béton doit être vérifiée par l’équation : \[ \sigma_{anc}= \frac{P}{A_{anc}} \le 0,6 f_{cd} \] où \(A_{anc}\) est la surface de pression de la plaque d’ancrage. - **Gaines** : doivent être débarrassées de tout débris avant insertion du câble ; leur rugosité influence le coefficient de frottement \(\mu\) (typiquement 0,20‑0,25 pour gaines métalliques ondulées). - **Groutage** : injection d’un coulis de ciment (eau/ciment ≈ 0,45) sous pression (0,5‑1,0 MPa) pour assurer le transfert de charge et protéger contre la corrosion. Le grout doit atteindre une résistance à la compression d’au moins 20 MPa après 24 h. > Un mauvais groutage (présence de poches d’air) peut réduire de 30 % la capacité de transmission de la force et favoriser la corrosion des câbles. ### C. Mise en œuvre sur chantier 1. **Préparation du moule ou du coffrage** : installation des gaines selon le tracé de précontrainte (souvent en forme de harpe ou de parallélépipède). 2. **Insertion des câbles** : passage des brins dans les gaines, vérification de l’alignement et de l’absence de torsions. 3. **Tension** : utilisation d’un vérin hydraulique ou d’un système de traction à pompe ; la force est mesurée par un dynamomètre ou une jauge de contrainte. La tension est effectuée par étapes (ex. : 30 %, 60 %, 100 % de la force cible) pour contrôler les pertes par frottement. 4. **Ancrage** : blocage des câbles dès que la force souhaitée est atteinte ; contrôle de la position de la plaque d’ancrage par rapport au béton. 5. **Groutage** : après tension, injection du coulis sous pression ; maintien de la pression pendant 10‑15 min pour assurer le remplissage complet. 6. **Décoffrage** : généralement après 24 h lorsque le grout a atteint suffisamment de résistance pour supporter les efforts de manipulation. ### D. Contrôle et essais - **Essai de traction sur câble** avant mise en place (vérification de la limite d’élasticité). - **Mesure de la force de précontrainte** par cellule de charge ou par mesure d’allongement du câble (Δl = P·L/(A_p·E_p)). - **Essai de compression sur éprouvettes de grout** à 7 j et 28 j. - **Contrôle des déformations** par jauge de déformation ou nivellement géodésique après charge de service. - **Inspection visuelle** des ancrages pour détecter tout glissement ou fissure autour de la plaque. > La perte de force mesurée après 30 jours ne doit pas dépasser 5 % de la valeur initiale, sinon une nouvelle tension ou un contrôle des ancrages est requis. ### E. Applications industrielles typiques au Cameroun - **Hangars de stockage de cacao ou de café** : dalles précontraintes de 10 m de portée permettant un espace libre sans poteaux, facilitant la circulation des chariots élévateurs. - **Ateliers de montage de véhicules** : poutres en boîte précontraintes supportant des ponts roulants de 20 t. - **Silos à céréales** : parois en béton précontraint circulaire, résistance à la pression latérale du grain et aux variations hygrométriques. - **Ponts roulants dans les usines de transformation du bois** : poutres en I précontraintes réduisant la hauteur de construction tout en portant des charges élevées. ### F. Normes et sécurité spécifiques - **Eurocode 2 – Partie 1‑1** (dimensionnement du béton armé et précontraint). - **NF EN 1338** (précontraint – câbles et systèmes d’ancrage). - **Règlement de sécurité du travail** (arrêté n° 001/MINTP du 12 janvier 2018) : port du harnais lors de la tension des câbles, zone d’exclusion de 5 m autour du vérin hydraulique, vérification quotidienne de la pression du grout. - **Hygiène** : douches de secours à proximité des zones de groutage, collecte des eaux de lavage des gaines pour traitement avant rejet. --- ## Synthèse du chapitre - Les bâtiments industriels en béton armé nécessitent des sections généreuses pour résister aux fortes charges verticales et aux moments fléchissants liés aux portées importantes. - Le dimensionnement des poteaux et poutres s’appuie sur les équations de compression‑flexion et de cisaillement, avec vérification du flambement et des ancrages. - La précontrainte introduit une contrainte de compression dans le béton, permettant d’allonger les portées ou de réduire les sections tout en limitant les fissures de traction. - Deux systèmes principaux : pré‑tendue (avant coulage) et post‑tendue (après durcissement), chacun avec ses avantages et ses contraintes de mise en œuvre. - Le calcul de la force de précontrainte doit tenir compte des pertes immédiates (élasticité, frottement) et différées (fluage, retrait, relaxation). - La mise en œuvre sur chantier implique la préparation des gaines, l’insertion et la tension des câbles, l’ancrage, le groutage et le contrôle qualité (essais de compression, mesure de force, inspection visuelle). - Les applications industrielles camerounaises (hangars, ateliers, silos, ponts roulants) bénéficient de la portée accrue et de la réduction de la hauteur de construction offerte par le béton précontraint. - Le respect des normes (Eurocode 2, NF EN 1338, arrêtés de sécurité) et des bonnes pratiques d’hygiène et de sécurité est indispensable pour garantir la durabilité et la sécurité des ouvrages. --- ## Glossaire - **Béton armé** : béton dans lequel des barres d’acier sont disposées pour résister à la traction. - **Précontrainte** : procédé consistant à appliquer une contrainte de compression dans le béton avant la mise en service afin de compenser les efforts de traction. - **Post‑tendue** : type de précontrainte où les câbles sont tendus après le durcissement du béton dans des gaines préalablement placées. - **Ancrage** : dispositif permettant de bloquer le câble et de transmettre sa force au béton (souvent une plaque conique). - **Gaine** : tube métallique ou plastique dans lequel passe le câble de précontrainte, destiné à réduire le frottement et à protéger contre la corrosion. - **Groutage** : opération d’injection d’un coulis de ciment sous pression dans les gaines pour assurer le transfert de charge et protéger l’acier. - **Fluage** : déformation progressive du béton sous charge constante dans le temps. - **Relaxation** : diminution de la contrainte dans l’acier de précontrainte sous deformation constante. - **Section efficace (A_c)** : surface du béton considérée pour le calcul des efforts de compression. - **Module de résistance en flexion (W)** : géométrie de la section permettant de relier le moment fléchissant à la contrainte de flexion (W = bh²/6 pour une section rectangulaire). --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’une poutre en béton armé **Données** : - Portée libre \(L = 5\) m. - Charge uniformément répartie \(q = 25\) kN/m (poids propre + charges d’exploitation). - Béton C30/37 (\(f_{ck}=30\) MPa, \(\gamma_c=1,5\)). - Acier B500B (\(f_{yk}=500\) MPa, \(\gamma_s=1,15\)). - Largeur de la poutre \(b = 25\) cm, hauteur totale \(h = 45\) cm, enrobage 25 mm → hauteur utile \(d = h - 2·enrobage = 40\) cm. **Demande** : Vérifier si la poutre résiste à la flexion à l’état limite ultime (ELU) et déterminer la surface d’acier nécessaire si elle est insuffisante. **Corrigé** : 1. Moment de flexion dû aux charges : \[ M_{Ed}= \frac{q L^{2}}{8}= \frac{25 \times 5^{2}}{8}= 78,125 \text{ kN·m} \] 2. Moment résistante du béton armé (formule simplifiée) : \[ M_{Rd}= 0,15 \, f_{ck} \, b \, d^{2} \left(1 - \frac{0,5 \, x}{d}\right) \] où \(x\) est la profondeur de la zone neutre approximée par \(x = \frac{0,8 \, f_{yk} \, A_s}{f_{ck} \, b}\). On commence par supposer une armature minimale \(A_s = 0,15\% \, b \, d = 0,0015 \times 0,25 \times 0,40 = 1,5 \times 10^{-4}\) m² = 150 mm². Calcul de \(x\) : \[ x = \frac{0,8 \times 500 \times 150 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{6} \times 0,25}= \frac{0,06}{7,5 \times 10^{6}} = 8,0 \times 10^{-9}\text{ m} \approx 0 \text{ mm (négligeable)} \] Donc \(M_{Rd} \approx 0,15 \times 30 \times 10^{6} \times 0,25 \times 0,40^{2}= 0,15 \times 30 \times 10^{6} \times 0,25 \times 0,16 = 0,15 \times 30 \times 10^{6} \times 0,04 = 0,15 \times 1,2 \times 10^{6}= 180\,000\) N·m = 180 kN·m. Puisque \(M_{Rd}=180\) kN·m > \(M_{Ed}=78,1\) kN·m, la poutre est suffisante en flexion avec l’armature minimale. 3. Vérification du cisaillement (formule simplifiée) : \[ V_{Ed}= \frac{q L}{2}= \frac{25 \times 5}{2}=62,5 \text{ kN} \] Résistance au cisaillement du béton : \[ V_{Rd,c}= 0,12 \, k \, (100 \rho_l f_{ck})^{1/3} \, b_w \, d \] avec \(\rho_l = A_s/(b d)=150\times10^{-6}/(0,25\times0,40)=0,0015\), \(k=1+ \sqrt{200/d}\) (d en mm) → \(k=1+ \sqrt{200/400}=1+0,707=1,707\). \[ V_{Rd,c}=0,12 \times 1,707 \times (100 \times 0,0015 \times 30)^{1/3} \times 0,25 \times 0,40 \] \[ (100 \times 0,0015 \times 30)=4,5 \Rightarrow (4,5)^{1/3}=1,65 \] \[ V_{Rd,c}=0,12 \times 1,707 \times 1,65 \times 0,10 =0,0338 \text{ MN}=33,8 \text{ kN} \] Comme \(V_{Rd,c}<V_{Ed}\), il faut ajouter des étriers. Résistance apportée par les étriers : \[ V_{Rd,s}= \frac{A_{sw} \, f_{ywd} \, z}{s} \] En prenant \(f_{ywd}= f_{yk}/\gamma_s = 500/1.15 ≈ 435\) MPa (acier B500B), \(z≈0,9 d =0,36\) m, et en choisissant un espacement \(s=0,15\) m, on détermine \(A_{sw}\) nécessaire : \[ V_{Rd,s}= V_{Ed} - V_{Rd,c}=62,5-33,8=28,7 \text{ kN} \] \[ A_{sw}= \frac{V_{Rd,s} \, s}{f_{ywd} \, z}= \frac{28,7 \times 10^{3} \times 0,15}{435 \times 10^{6} \times 0,36}= \frac{4,305 \times 10^{3}}{156,6 \times 10^{6}}=2,75 \times 10^{-5}\text{ m²}=27,5 \text{ mm²} \] On choisit des étriers de diamètre 6 mm (section \(A_{sw}=2 \times \pi \times 3^{2}=56,5\) mm²) espacés chaque 15 cm. **Conclusion** : La poutre de 25 cm × 45 cm avec armature minimale de 150 mm² et des étriers Ø6 mm tous les 15 cm résiste à la flexion et au cisaillement sous la charge donnée. --- ### Exercice 2 – Calcul de la force de précontrainte pour une dalle alvéolaire **Données** : - Dalle rectangulaire de portée \(L = 8\) m, largeur utile \(b = 1,2\) m, épaisseur totale \(h = 0,25\) m. - Charge uniformément répartie \(q = 15\) kN/m² (poids propre + charges d’exploitation). - Béton C45/55 (\(f_{ck}=45\) MPa, \(E_c=34\) GPa). - Acier de précontrainte : brins 7‑wire, diamètre 12,7 mm, \(A_p=100\) mm², \(f_{pk}=1600\) MPa, \(E_p=200\) GPa. - Pertes estimées totales : 22 % (élasticité + frottement + fluage + retrait + relaxation). - Enrobage minimal 20 mm → hauteur utile \(d = h - 2·enrobage = 0,21\) m. **Demande** : Déterminer le nombre de brins nécessaires pour que la contrainte de traction maximale dans la fibre inférieure de la dalle soit nulle à l’état de service. **Corrigé** : 1. Moment de flexion dû à la charge (dalle simplement appuyée) : \[ M_{Ed}= \frac{q b L^{2}}{8}= \frac{15 \times 1,2 \times 8^{2}}{8}= 15 \times 1,2 \times 8 =144 \text{ kN·m} \] 2. Module de résistance en flexion de la dalle (section rectangulaire) : \[ W = \frac{b h^{2}}{6}= \frac{1,2 \times 0,25^{2}}{6}= \frac{1,2 \times 0,0625}{6}=0,0125 \text{ m³} \] 3. Contrainte de traction due au moment sans précontrainte : \[ \sigma_{t,0}= \frac{M_{Ed}}{W}= \frac{144 \times 10^{3}}{0,0125}=11,52 \text{ MPa} \] 4. On cherche la force de précontrainte \(P\) telle que la contrainte de compression moyenne \(\sigma_c = P/(b h)\) annule \(\sigma_{t,0}\) : \[ \sigma_{t}= \sigma_{t,0} - \frac{P}{b h} \le 0 \Rightarrow P \ge \sigma_{t,0} \, b h \] \[ b h = 1,2 \times 0,25 =0,30 \text{ m²} \] \[ P \ge 11,52 \times 0,30 =3,456 \text{ MN}=3456 \text{ kN} \] 5. Force utile d’un brin après pertes : \[ P_{brin,utile}= A_p \, f_{pk} \times (1-0,22)= 100 \times 10^{-6} \times 1600 \times 0,78 =0,1248 \text{ MN}=124,8 \text{ kN} \] 6. Nombre de brins nécessaires : \[ n = \frac{3456}{124,8}=27,7 \rightarrow \text{arrondir à 28 brins} \] 7. Vérification de la contrainte de compression moyenne : \[ \sigma_c = \frac{P}{b h}= \frac{28 \times 124,8 \times 10^{3}}{0,30}= \frac{3,494 \times 10^{6}}{0,30}=11,65 \text{ MPa} \] Cette valeur reste inférieure à la limite de compression admissible du béton (0,45 \(f_{ck}\)=20,25 MPa), donc acceptable. **Conclusion** : Une dalle alvéolaire de 8 m de portée, 1,2 m de largeur et 0,25 m d’épaisseur nécessite 28 brins de précontrainte de 12,7 mm de diamètre (section 100 mm² chacun) pour annuler la traction à l’état de service, compte tenu d’une perte totale de 22 %. > Une dalle alvéolaire de 8 m de portée, 1,2 m de largeur et 0,25 m d’épaisseur nécessite 28 brins de précontrainte de 12,7 mm de diamètre (section 100 mm² chacun) pour annuler la traction à l’état de service, compte tenu d’une perte totale de 22 %. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | **Oubli de vérifier l’enrobage minimal** avant le coulage du béton armé. | Corrosion de l’armature, réduction de la durée de vie, risque de fissuration prématurée. | Utiliser un calibre d’enrobage ( règle ou gabarit ) sur chaque barre avant le coulage ; noter l’enrobage sur le plan de ferraillage et le contrôler à l’aide d’un couvre‑épaisseur. | | 2 | **Tension excessive des câbles de précontrainte sans mesure de la force** (reliance uniquement au déplacement du vérin). | Sur‑contrainte du béton pouvant entraîner une fissure de compression ou un éclatement de la zone d’ancrage. | Mesurer la force avec une cellule de charge ou un dynamomètre calibré à chaque étape de la tension ; ne jamais dépasser 0,8 \(f_{pk}\) sans validation. | | 3 | **Groutage insuffisant ou présence de poches d’air** dans les gaines après tension. | Perte de transmission de la force, corrosion locale des câbles, réduction de la capacité portante. | Effectuer le groutage sous pression (0,5‑1,0 MPa) ; maintenir la pression pendant au moins 10 min ; réaliser un essai de pénétration (aiguille) pour détecter les vides avant le durcissement complet. | | 4 | **Manque de protection individuelle lors du coulage du béton** (pas de lunettes, pas de gants anti‑coupure, pas de masque anti‑poussière). | Risques de projections de béton caustique, de coupures par les armatures, d’inhalation de poussières de silice. | Imposer le port du casque, des lunettes de protection, des gants résistants à l’abrasion, et d’un masque filtrant (FFP2) lors de la manipulation du béton sec ou du coulage. | | 5 | **Utilisation d’équerres ou de cales non conformes pour maintenir l’enrobage des armatures** (ex. : bouts de bois, morceaux de ferraille). | Déplacement des armatures pendant le coulage, entraînement d’un enrobage insuffisant voire nul à certains endroits. | Utiliser uniquement des cales en plastique ou en acier inoxydable prévues à cet effet, certifiées pour la résistance au poids du béton et à la corrosion. | | 6 | **Ne pas réaliser d’essai de compression sur éprouvettes de grout** avant de considérer la dalle ou la poutre comme prête à recevoir des charges. | Sous‑estimation de la résistance du grout, risque de glissement de l’ancrage sous charge. | Préparer trois éprouvettes de grout (50 mm × 50 mm × 150 mm) lors de chaque groutage ; les tester à 7 j et 28 j ; accepter le grout seulement si la résistance moyenne ≥ 20 MPa. | --- *Fin du cours.*