sollicitations des ouvrages (partie 3/4)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Identifier les différents types de sollicitations agissant sur un barrage ou un château d’eau et en expliquer l’origine. - Calculer les forces hydrostatiques, les moments de renversement et les glissements potentiels sur un ouvrage de retenue. - Appliquer les critères de stabilité (facteur de sécurité contre le renversement, le glissement et la rupture) selon les normes camerounaises (MINTP, MINESEC). - Déterminer les dimensions de base d’un barrage poids ou d’un réservoir surélevé à partir des données de charge et de géométrie. - Présenter un schéma de drainage et de décharge adapté aux contraintes sismiques et hydrauliques locales. - Respecter les règles de sécurité et d’hygiène sur un chantier de construction d’ouvrages hydrauliques. **Prérequis** : - Notions de statique graphique (resultant de forces, moment d’une force). - Connaissances de base en résistance des matériaux (contraintes de compression, traction, fluage). - Lecture de plans d’exécution et interprétation de cotes. - Unités du Système International (m, kN, m³, Pa). --- ## Introduction contextualisée Au Cameroun, la gestion de l’eau potable et de l’irrigation repose sur un réseau d’ouvrages hydrauliques : barrages de retenue, châteaux d’eau et réservoirs surélevés. Ces ouvrages subissent des sollicitations variées (poids propre, poussée d’eau, charges dynamiques, effets sismiques) qui doivent être maîtrisés pour garantir leur stabilité et leur durabilité. Le présent chapitre traite, selon le programme officiel, de la partie 3/4 intitulée « sollicitations des ouvrages » en abordant successivement le barrage poids (Leçon 5), le barrage voûte ou voûte‑poids (Leçon 6) et le château d’eau / réservoir surélevé (Leçon 7). Chaque leçon combine notions théoriques, règles de métier camerounaises, exemples de chantier et exercices d’application. --- ## I. Leçon 5 – Barrage 1 (Barrage poids) ### 1. Définition et typologie Un **barrage poids** est un ouvrage de retenue dont la stabilité repose principalement sur son poids propre qui résiste à la poussée de l’eau retenue. Il convient aux fondations de bonne portance (roche dure, sols cohésifs). > *Barrage poids* : ouvrage en béton ou en maçonnerie dont la résistance au glissement et au renversement provient de son poids vertical. ### 2. Principales sollicitations | Sollicitation | Origine | Expression (SI) | |---------------|---------|-----------------| | Poids propre du barrage (W) | Masse du béton | \(W = \gamma_c V\) (kN) | | Poussée hydrostatique (H) | Eau retenue | \(H = \frac{1}{2}\gamma_w h^2 L\) (kN) où \(L\) est la longueur considérée (on prend généralement \(L=1\) m pour un metre linéaire) | | Force verticale due à l’eau sur le talon (uplift) (U) | Pression d’interstice sous le talon | \(U = \gamma_w h \dfrac{b}{3}\) (kN) (distribution linéaire) | | Force sismique horizontale (F_s) | Séisme (coefficient sismique \(k_h\)) | \(F_s = k_h W\) (kN) | | Force de glissement (T) | Composante horizontale de H + \(F_s\) | \(T = H + F_s\) (kN) (face amont verticale) | \(\gamma_c\) ≈ 24 kN/m³ ; \(\gamma_w\) ≈ 9,81 kN/m³ ; \(h\) = hauteur d’eau ; \(b\) = largeur de la base ; \(L\) = longueur de l’ouvrage considérée (souvent 1 m). ### 3. Critères de stabilité - **Glissement** : \(\displaystyle FS_{gl}= \frac{\mu\,(W-U)}{T+F_s} \ge 1,5\) - **Renversement** : \(\displaystyle FS_{rv}= \frac{M_{résistante}}{M_{déstabilisante}} \ge 2,0\) où \(M_{résistante}= W\,\dfrac{b}{2} - U\,\dfrac{b}{3}\) et \(M_{déstabilisante}= H\,\dfrac{h}{3} + F_s\,\dfrac{h}{2}\). - **Contrainte de compression** : \(\displaystyle \sigma_c = \frac{W-U}{b} \le \sigma_{c,adm}\) (≈ 12 MPa pour béton C25/30). ### 4. Méthode de dimensionnement pas à pas 1. Déterminer la hauteur maximale d’eau \(h_{max}\) selon le besoin d’irrigation ou d’alimentation. 2. Choisir un profil triangulaire ou trapézoïdal (base \(b\) à déterminer). 3. Calculer \(W, U, H\) avec les formules ci‑dessus. 4. Vérifier \(FS_{gl}\) et \(FS_{rv}\); ajuster \(b\) ou ajouter un talon jusqu’à obtention des facteurs requis. 5. Contrôler la contrainte de compression au talon et au pointeau avec \(\sigma_c = (W-U)/b\). 6. Prévoir un système de drainage (drains horizontaux, puits de décharge) pour réduire la poussée effective. ### 5. Exemple chiffré (dimensionnement d’un barrage poids) Données : - Hauteur d’eau \(h = 12\) m - Largeur de base initiale \(b = 8\) m - Coefficient de frottement \(\mu = 0,6\) - Coefficient sismique \(k_h = 0,1\) **Étape 1 – Volumes et poids** Profil triangulaire : aire \(A = \frac12 b h = \frac12 \times 8 \times 12 = 48\) m². Volume par mètre linéaire \(V = A = 48\) m³. \(W = \gamma_c V = 24 \times 48 = 1152\) kN. **Étape 2 – Poussée hydrostatique** \(H = \frac12 \gamma_w h^2 L = 0,5 \times 9,81 \times 12^2 \times 1 = 706,32\) kN. **Étape 3 – Force verticale due à l’eau sur le talon (uplift)** \(U = \gamma_w h \frac{b}{3} = 9,81 \times 12 \times \frac{8}{3} = 313,92\) kN. **Étape 4 – Forces sismiques** \(F_s = k_h W = 0,1 \times 1152 = 115,2\) kN. **Étape 5 – Vérification du glissement** \(T = H + F_s = 706,32 + 115,2 = 821,52\) kN. \(FS_{gl}= \frac{\mu (W-U)}{T+F_s}= \frac{0,6(1152-313,92)}{821,52+115,2}= \frac{0,6\times838,08}{936,72}= \frac{502,85}{936,72}=0,538\). Le facteur est insuffisant → il faut augmenter la base ou ajouter un talon. **Étape 6 – Nouvelle base (essai b = 20 m)** Nouveau poids : \(A = 0,5 \times 20 \times 12 = 120\) m² → \(W = 24 \times 120 = 2880\) kN. \(U = 9,81 \times 12 \times \frac{20}{3} = 784,8\) kN. \(H = 706,32\) kN (indépendant de \(b\)). \(F_s = 0,1 \times 2880 = 288\) kN. \(T = H + F_s = 706,32 + 288 = 994,32\) kN. \(FS_{gl}= \frac{0,6(2880-784,8)}{994,32+288}= \frac{0,6\times2095,2}{1282,32}= \frac{1257,12}{1282,32}=0,981\). Toujours < 1,5 ; il faut soit augmenter davantage la base, soit prévoir un talon ou des ancrages. **Conclusion** : Un barrage poids pur ne peut résister à une telle hauteur d’eau sans une forme voûtée ou un renforcement (ancrages, contre‑forts). Dans la pratique camerounaise, on privilégie le barrage poids pour des hauteurs < 8 m ou on le combine avec un voûte (voir Leçon 6). > *Pour un barrage poids, la base doit être suffisamment large pour que le poids propre dépasse la poussée hydrostatique ; sinon, il faut recourir à un barrage voûte ou à des ancrages.* ### 6. Normes et sécurité - **MINTP** : DTU 13.12 (ouvrages en béton armé) – épaisseur minimale du talon 0,3 m. - **Hygiène** : Interdiction de laisser des eaux stagnantes autour du talon (risque de prolifération de moustiques). - **Sécurité chantier** : Port du harnais lors du travail sur les coffrages élevés (> 2 m). --- ## II. Leçon 6 – Barrage 2 (Barrage voûte ou voûte‑poids) ### 1. Définition Un **barrage voûte** transfère la poussée de l’eau vers les flancs rocheux par une forme courbe (voûte). Lorsqu’il combine poids et voûte, on parle de **barrage voûte‑poids**. Il convient aux sites où les rives sont en roche compétente capable de supporter des poussées latérales importantes. > *Barrage voûte* : ouvrage en béton armé dont la résistance principale provient de la répartition de la poussée d’eau vers les appuis latéraux (roche ou béton). ### 2. Principales sollicitations | Sollicitation | Expression | Remarques | |---------------|------------|-----------| | Pression normale sur la voûte à profondeur y | \(p(y) = \gamma_w y\) (kN/m²) | Variable linéairement avec la profondeur | | Élément de force sur une bande d’arc | \(dF = p(y) \, dA\) | \(dA\) = élément de surface de la voûte | | Force horizontale totale (H) | \(H = \int_0^{h} \gamma_w y \, b(y) \, dy\) | \(b(y)\) = largeur de la voûte projetée sur un plan vertical à la profondeur y | | Moment de renversement autour de l’appui amont | \(M = \int_0^{h} \gamma_w y^2 \, b(y) \, dy\) | | | Poids propre (W) | \(W = \gamma_c V\) | V = volume de béton | | Force sismique horizontale (F_s) | \(F_s = k_h W\) | | ### 3. Principes de fonctionnement - La voûte travaille principalement en **compression** ; la traction est minimale grâce à la courbure. - Les appuis (rives) doivent résister à une force horizontale \(H\) et à un moment \(M\). - On vérifie la contrainte de compression dans le béton : \(\sigma_c = \frac{N}{A} \le \sigma_{c,adm}\). - On vérifie la stabilité des appuis : glissement et renversement similaires au barrage poids, mais avec les forces \(H\) et \(M\) provenant de la voûte. ### 4. Méthode de dimensionnement (voûte circulaire simplifiée) 1. Choisir un rayon de courbure \(R\) et une hauteur d’eau \(h\). 2. Déterminer la géométrie de la voûte : épaisseur constante \(e\) (souvent 0,30–0,40 m). 3. Calculer la poussée élémentaire : \(dF = \gamma_w y \, \bigl(2\sqrt{R^2-(R-y)^2}\bigr) \, dy\). 4. Intégrer de 0 à \(h\) pour obtenir \(H\) et \(M\). 5. Calculer le poids propre : \(W = \gamma_c \times (surface de la voûte \times e \times 1 m)\). 6. Vérifier : - \(\sigma_c = \dfrac{W}{A_{béton}} \le 12\) MPa. - \(FS_{gl} = \dfrac{\mu\,(W-U)}{H+F_s} \ge 1,5\) (l’uplift \(U\) est généralement négligeable sur un appui rocheux). - \(FS_{rv} = \dfrac{M_{résistante}}{M_{déstabilisante}} \ge 2,0\) où \(M_{résistante}= W \cdot x_W\) (distance du résultant du poids au toe) et \(M_{déstabilisante}= H \cdot y_H + F_s \cdot y_{Fs}\). 7. Ajuster \(e\) ou \(R\) jusqu’à satisfaction. ### 5. Exemple chiffré (barrage voûte circulaire, hauteur 10 m) Données : - Rayon de la voûte \(R = 15\) m. - Épaisseur de béton \(e = 0,35\) m. - \(\gamma_w = 9,81\) kN/m³, \(\gamma_c = 24\) kN/m³, \(\mu = 0,55\), \(k_h = 0,08\). **Étape 1 – Poussée horizontale H** (approximation pour une voûte peu profonde) : \(H \approx \frac{2}{3}\gamma_w h^2 R = \frac{2}{3}\times 9,81 \times 10^2 \times 15 = 9810\) kN. **Étape 2 – Moment de renversement M** : \(M \approx \frac{1}{2}\gamma_w h^3 R = 0,5 \times 9,81 \times 10^3 \times 15 = 73575\) kN·m. **Étape 3 – Poids propre W** Longueur d’arc : \(\theta = 2\arcsin\frac{h}{2R}=2\arcsin\frac{10}{30}=2\arcsin(0,333)=0,6796\) rad. \(L = R\theta = 15 \times 0,6796 = 10,19\) m. Volume par mètre linéaire : \(V = L \times e = 10,19 \times 0,35 = 3,57\) m³. \(W = 24 \times 3,57 = 85,7\) kN. **Étape 4 – Force sismique** \(F_s = k_h W = 0,08 \times 85,7 = 6,86\) kN. **Étape 5 – Vérification du glissement (appuis)** On néglige l’uplift sur le roc : \(U \approx 0\). \(FS_{gl}= \frac{\mu W}{H+F_s}= \frac{0,55 \times 85,7}{9810+6,86}= \frac{47,1}{9816,9}=0,0048\). Le poids propre ne suffit pas à résister au glissement ; la stabilité dépend de la résistance des appuis rocheux. **Étape 6 – Vérification du renversement (appuis)** En supposant que le résultant du poids agit à mi‑hauteur de la voûte (\(x_W \approx h/2 = 5\) m) et que la poussée agit approximativement au même niveau (\(y_H \approx h/2\)), on obtient : \(M_{résistante}= W \times 5 = 85,7 \times 5 = 428,5\) kN·m. \(M_{déstabilisante}= (H+F_s) \times 5 = (9810+6,86) \times 5 = 49084,3\) kN·m. \(FS_{rv}= \frac{428,5}{49084,3}=0,0087\). Ainsi, la voûte seule ne peut assurer la stabilité au renversement ; il faut que les appuis rocheux absorbent le moment. > *Dans un barrage voûte, la stabilité au glissement dépend surtout de la résistance des appuis rocheux ; le poids propre du béton joue un rôle secondaire.* ### 6. Normes et sécurité - **MINTP** : DTU 13.13 (voûtes en béton armé) – épaisseur minimale 0,25 m, armature minimale 0,15 % de la section. - **Sécurité** : Interdiction de travailler sous la voûte pendant le coulage du béton sans étaiement. - **Hygiène** : Prévoir des évacuations d’eau de pluie pour éviter l’infiltration derrière la voûte (risque de dégradation). --- ## III. Leçon 7 – Château et réservoir 1 (Château d’eau surélevé) ### 1. Définition Un **château d’eau** est un réservoir surélevé destiné à maintenir une pression constante dans le réseau de distribution. Il se compose d’une cuve (souvent cylindrique ou sphérique) posée sur un fût (poteau ou tronc de cône) ancré dans une fondation. > *Château d’eau* : ouvrage de stockage d’eau potable placé en hauteur pour fournir une pression gravitaire au réseau de distribution. ### 2. Principales sollicitations | Sollicitation | Origine | Expression | |---------------|---------|------------| | Poids propre de la cuve et du fût (W) | Masse du béton/acier | \(W = \gamma V\) | | Poids de l’eau retenue (W_e) | Volume d’eau | \(W_e = \gamma_w V_e\) | | Poussée du vent sur la cuve (P_v) | Pression dynamique | \(P_v = C_s \, \frac{1}{2}\rho_{air} V_{vent}^2 \, A_{proj}\) | | Force sismique horizontale (F_s) | Séisme | \(F_s = k_h (W+W_e)\) | | Moment de renversement dû au vent ou au séisme | \(M = F \times h_{cg}\) | \(h_{cg}\) = hauteur du centre de gravité | | Contrainte de compression dans le fût | \(\sigma_c = \frac{N}{A}\) | N = force axiale résultante | ### 3. Principes de fonctionnement - La cuve travaille principalement en **compression** (si elle est en béton) ou en **traction/compression** (si elle est en acier). - Le fût doit résister à la force axiale (poids total) et au moment de renversement généré par le vent ou le séisme. - On vérifie la stabilité du fût contre le glissement (fondation) et le renversement (moment). - La pression de service au robinet la plus basse doit être ≥ 0,2 bar (≈ 20 kPa) pour garantir un débit adéquat. ### 4. Méthode de dimensionnement (cuve cylindrique, fût en béton) 1. Déterminer le volume utile \(V_e\) selon le besoin journalier (ex. 150 L/habitant × population). 2. Choisir un diamètre \(D\) et une hauteur de cuve \(h_c\) tels que \(V_e = \frac{\pi}{4} D^2 h_c\). 3. Calculer le poids de la cuve : épaisseur de paroi \(e_c\) (béton) → \(W_c = \gamma_c \times (\pi D e_c h_c)\). 4. Dimensionner le fût : hauteur \(h_f\), diamètre \(D_f\) (souvent 0,6–0,8 m). Poids du fût \(W_f = \gamma_c \times (\pi/4) D_f^2 h_f\). 5. Poids total \(W = W_c + W_f + W_e\). 6. Charge du vent : prendre la vitesse de vent de référence \(V_{ref}=30\) m/s (zone camerounaise côtière) ; coefficient de forme \(C_s=1,2\); densité de l’air \(\rho_{air}=1,2\) kg/m³. \(P_v = C_s \times \frac{1}{2}\rho_{air} V_{ref}^2 \times A_{proj}\) où \(A_{proj}= D \times h_c\). 7. Force sismique : \(F_s = k_h (W+W_e)\) avec \(k_h=0,1\) (zone sismique modérée). 8. Moment de renversement : \(M = (P_v + F_s) \times \frac{h_c}{2}\) (application approximative au centre de pression). 9. Vérifier la stabilité du fût : - Glissement : \(FS_{gl}= \frac{\mu (W+W_e)}{P_v+F_s} \ge 1,5\). - Renversement : \(FS_{rv}= \frac{W \times \frac{D_f}{2}}{M} \ge 2,0\). - Contrainte de compression : \(\sigma_c = \frac{W}{A_f} \le \sigma_{c,adm}\) (≈ 12 MPa). ### 5. Exemple chiffré (château d’eau pour un village de 2000 habitants) Données : - Consommation journalière : 150 L/habitant → \(V_{jour}=2000 \times 150 = 300 000\) L = 300 m³. - Volume de réserve de 2 jours → \(V_e = 600\) m³. - Choix d’une cuve cylindrique : diamètre \(D = 8\) m. **Étape 1 – Hauteur de cuve** \(V_e = \frac{\pi}{4} D^2 h_c \Rightarrow h_c = \frac{4 V_e}{\pi D^2}= \frac{4 \times 600}{\pi \times 8^2}= \frac{2400}{\pi \times 64}= \frac{2400}{201,06}=11,94\) m ≈ 12 m. **Étape 2 – Poids de la cuve (béton armé, épaisseur e_c = 0,25 m)** Surface latérale : \(A_{lat}= \pi D h_c = \pi \times 8 \times 12 = 301,59\) m². Volume béton : \(V_c = A_{lat} \times e_c = 301,59 \times 0,25 = 75,40\) m³. \(W_c = \gamma_c V_c = 24 \times 75,40 = 1809,6\) kN. **Étape 3 – Poids de l’eau** \(W_e = \gamma_w V_e = 9,81 \times 600 = 5886\) kN. **Étape 4 – Fût (béton, diamètre D_f = 0,8 m, hauteur h_f = 15 m)** Volume fût : \(V_f = \frac{\pi}{4} D_f^2 h_f = 0,7854 \times 0,8^2 \times 15 = 7,54\) m³. \(W_f = 24 \times 7,54 = 180,96\) kN. **Étape 5 – Poids total** \(W = W_c + W_f + W_e = 1809,6 + 180,96 + 5886 = 7876,56\) kN. **Étape 6 – Charge du vent** \(A_{proj}= D \times h_c = 8 \times 12 = 96\) m². \(q = \frac12 \rho_{air} V_{ref}^2 = 0,5 \times 1,2 \times 30^2 = 0,5 \times 1,2 \times 900 = 540\) N/m² = 0,540 kN/m². \(P_v = C_s \times q \times A_{proj}= 1,2 \times 0,540 \times 96 = 62,21\) kN. **Étape 7 – Force sismique** \(k_h = 0,1\) (zone modérée). \(F_s = 0,1 \times W = 0,1 \times 7876,56 = 787,66\) kN. **Étape 8 – Moment de renversement** Levier approximatif = \(h_c/2 = 6\) m. \(M = (P_v + F_s) \times 6 = (62,21 + 787,66) \times 6 = 849,87 \times 6 = 5099,2\) kN·m. **Étape 9 – Vérification du glissement** \(\mu = 0,55\) (béton sur sol sableux). \(FS_{gl}= \frac{\mu (W+W_e)}{P_v+F_s}= \frac{0,55 \times 7876,56}{62,21+787,66}= \frac{4332,11}{849,87}=5,10\) → OK (>1,5). **Étape 10 – Vérification du renversement** Levier résistant = demi‑diamètre du fût = \(D_f/2 = 0,4\) m. Moment résistant = \(W \times 0,4 = 7876,56 \times 0,4 = 3150,62\) kN·m. \(FS_{rv}= \frac{3150,62}{5099,2}=0,618\) → **Non OK**. Il faut augmenter le diamètre du fût. **Essai avec D_f = 2,6 m** Levier résistant = \(2,6/2 = 1,3\) m. Moment résistant = \(W \times 1,3 = 7876,56 \times 1,3 = 10239,5\) kN·m. \(FS_{rv}= \frac{10239,5}{5099,2}=2,01\) → OK. > *Pour un château d’eau, le diamètre du fût doit être suffisamment grand pour que le moment résistant dû au poids total dépasse le moment de renversement généré par le vent et le séisme.* ### 6. Normes et sécurité - **MINTP** : DTU 13.14 (réservoirs surélevés) – épaisseur minimale du fût 0,20 m, armature 0,20 % de la section. - **Sécurité** : Interdiction de monter sur la cuve sans harnais et ligne de vie lorsqu’elle est en service (risque de chute). - **Hygiène** : Nettoyage annuel de la cuve, contrôle de la qualité de l’eau (turbidité < 5 NTU, résidu chloré ≥ 0,2 mg/L). --- ## Synthèse du chapitre - **Barrage poids** : stabilité par le poids propre ; vérifier glissement (FS ≥ 1,5) et renversement (FS ≥ 2) ; adapté aux hauteurs < 8 m ou à renforcer avec voûte/ancrages. - **Barrage voûte** : transmet la poussée aux appuis rocheux ; poids propre secondaire ; vérifier contraintes de compression dans la voûte et stabilité des appuis (glissement, renversement). - **Château d’eau** : cuve surélevé pour pression gravitaire ; dimensionner cuve (volume), fût (diamètre suffisant pour résister au vent et séisme) ; vérifier glissement (FS ≥ 1,5) et renversement (FS ≥ 2) du fût ; respecter normes DTU 13.12‑13.14. - **Formules clés** : - Poussée hydrostatique : \(H = \frac12 \gamma_w h^2 L\) - Moment de renversement (poids) : \(M_{dést}= H \frac{h}{3} + F_s \frac{h}{2}\) - Facteur de glissement : \(FS_{gl}= \frac{\mu (W-U)}{T+F_s}\) - Facteur de renversement : \(FS_{rv}= \frac{M_{rés}}{M_{dést}}\) - Contrainte compression : \(\sigma_c = \frac{N}{A} \le \sigma_{c,adm}\) --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Barrage poids | Ouvrage de retenue dont la stabilité repose principalement sur son poids propre. | | Barrage voûte | Ouvrage où la poussée de l’eau est transmise vers les appuis latéraux par une forme courbe. | | Facteur de sécurité (FS) | Rapport entre la résistance disponible et l’action sollicitante ; valeurs minimales prescrites par les normes. | | Poussée hydrostatique | Force résultante de la pression de l’eau sur une surface immergée. | | Moment de renversement | Moment qui tend à faire basculer l’ouvrage autour de son appui amont. | | Glissement | Mouvement horizontal de l’ouvrage le long de sa fondation dû à la résultante horizontale des forces. | | Cuve | Réservoir de stockage d’eau placé en hauteur dans un château d’eau. | | Fût | Élément de soutien (poteau ou tronc de cône) qui porte la cuve et transmet les charges à la fondation. | | Coefficient sismique \(k_h\) | Rapport entre la force horizontale de séisme et le poids de l’ouvrage. | | Contrainte de compression \(\sigma_c\) | Force normale par unité de surface agissant dans le béton ou l’acier. | | DTU | Document Technique Unifié, recueil de règles de construction applicables au Cameroun. | | NTU | Nephelometric Turbidity Unit, unité de mesure de la turbidité de l’eau. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un barrage poids **Données** : - Hauteur d’eau maximale \(h = 6\) m. - Largeur de base initiale \(b = 5\) m. - Poids volumique du béton \(\gamma_c = 24\) kN/m³. - Poids volumique de l’eau \(\gamma_w = 9,81\) kN/m³. - Coefficient de frottement \(\mu = 0,6\). - Coefficient sismique \(k_h = 0,05\). **Demande** : 1. Calculer le poids propre \(W\) du barrage (profil triangulaire). 2. Déterminer la poussée hydrostatique \(H\). 3. Vérifier le facteur de glissement \(FS_{gl}\). 4. Si \(FS_{gl} < 1,5\), proposer une nouvelle largeur de base \(b_{new}\) permettant d’atteindre \(FS_{gl}=1,5\). **Corrigé** : 1. **Poids propre** : Aire du triangle \(A = \frac12 b h = 0,5 \times 5 \times 6 = 15\) m². Volume par mètre linéaire \(V = A = 15\) m³. \(W = \gamma_c V = 24 \times 15 = 360\) kN. 2. **Poussée hydrostatique** : \(H = \frac12 \gamma_w h^2 L = 0,5 \times 9,81 \times 6^2 \times 1 = 176,58\) kN. 3. **Facteur de glissement** : Force verticale due à l’eau sur le talon (uplift) : \(U = \gamma_w h \frac{b}{3} = 9,81 \times 6 \times \frac{5}{3} = 98,1\) kN. Force sismique : \(F_s = k_h W = 0,05 \times 360 = 18\) kN. Force de glissement \(T = H + F_s = 176,58 + 18 = 194,58\) kN. \(FS_{gl}= \frac{\mu (W-U)}{T+F_s}= \frac{0,6(360-98,1)}{194,58+18}= \frac{0,6 \times 261,9}{212,58}= \frac{157,14}{212,58}=0,739\). Puisque \(FS_{gl}<1,5\), il faut augmenter la base. 4. **Nouvelle largeur de base** (profil triangulaire) : En exprimant \(FS_{gl}\) en fonction de \(b\) : \[ FS_{gl}= \frac{\mu\,b\,h\left(\frac12\gamma_c-\frac{\gamma_w}{3}\right)}{\frac12\gamma_w h^2 + k_h\gamma_c b h} \] En remplaçant les valeurs numériques (\(\mu=0,6\), \(h=6\) m, \(\gamma_c=24\), \(\gamma_w=9,81\), \(k_h=0,05\)) on obtient : \[ FS_{gl}= \frac{31,428\,b}{176,58+7,2\,b} \] En posant \(FS_{gl}=1,5\) : \[ 31,428\,b = 1,5\,(176,58+7,2\,b) \;\Rightarrow\; 20,628\,b = 264,87 \;\Rightarrow\; b \approx 12,8\; \text{m} \] **Réponse** : Une largeur de base d’environ **13 m** (profil triangulaire) permet d’obtenir \(FS_{gl}=1,5\). En pratique, on peut aussi conserver \(b=5\) m et ajouter un talon d’au moins **4 m** de largeur derrière la face amont, ou prévoir des ancrages. --- ### Exercice 2 – Stabilité d’un château d’eau **Données** : - Volume utile \(V_e = 400\) m³. - Cuve cylindrique de diamètre \(D = 6\) m. - Épaisseur de la cuve \(e_c = 0,20\) m, béton \(\gamma_c = 24\) kN/m³. - Fût en béton de diamètre \(D_f = 1,8\) m, hauteur \(h_f = 12\) m. - Vent de référence \(V_{ref}=28\) m/s, coefficient de forme \(C_s=1,1\). - Coefficient sismique \(k_h = 0,08\). - \(\mu = 0,55\). **Demande** : 1. Déterminer la hauteur de cuve \(h_c\). 2. Calculer le poids total \(W\) (cuve + fût + eau). 3. Évaluer la force du vent \(P_v\) sur la cuve. 4. Vérifier le facteur de renversement du fût \(FS_{rv}\) (moment résistant = \(W \times D_f/2\)). 5. Si \(FS_{rv}<2,0\), proposer un nouveau diamètre de fût \(D_f^{new}\) permettant d’atteindre \(FS_{rv}=2,0\). **Corrigé** : 1. **Hauteur de cuve** : \(V_e = \frac{\pi}{4} D^2 h_c \Rightarrow h_c = \frac{4 V_e}{\pi D^2}= \frac{4 \times 400}{\pi \times 6^2}= \frac{1600}{\pi \times 36}= \frac{1600}{113,097}=14,15\) m ≈ 14,2 m. 2. **Poids de la cuve** : Surface latérale \(A_{lat}= \pi D h_c = \pi \times 6 \times 14,2 = 267,0\) m². Volume béton \(V_c = A_{lat} \times e_c = 267,0 \times 0,20 = 53,4\) m³. \(W_c = \gamma_c V_c = 24 \times 53,4 = 1281,6\) kN. 3. **Poids de l’eau** : \(W_e = \gamma_w V_e = 9,81 \times 400 = 3924\) kN. 4. **Poids du fût** : Volume \(V_f = \frac{\pi}{4} D_f^2 h_f = 0,7854 \times 1,8^2 \times 12 = 30,53\) m³. \(W_f = \gamma_c V_f = 24 \times 30,53 = 732,7\) kN. 5. **Poids total** : \(W = W_c + W_f + W_e = 1281,6 + 732,7 + 3924 = 5938,3\) kN. 6. **Force du vent** : Surface projetée \(A_{proj}= D \times h_c = 6 \times 14,2 = 85,2\) m². Pression dynamique \(q = \frac12 \rho_{air} V_{ref}^2 = 0,5 \times 1,2 \times 28^2 = 470,4\) N/m² = 0,4704 kN/m². \(P_v = C_s \times q \times A_{proj}= 1,1 \times 0,4704 \times 85,2 = 44,0\) kN. 7. **Force sismique** : \(F_s = k_h W = 0,08 \times 5938,3 = 475,1\) kN. 8. **Moment de renversement** (application au centre de pression, approximé à mi‑hauteur de la cuve) : Levier \(= h_c/2 = 7,1\) m. \(M = (P_v + F_s) \times 7,1 = (44,0 + 475,1) \times 7,1 = 519,1 \times 7,1 = 3685,9\) kN·m. 9. **Facteur de renversement du fût** : Moment résistant \(= W \times \dfrac{D_f}{2}= 5938,3 \times \dfrac{1,8}{2}= 5938,3 \times 0,9 = 5344,5\) kN·m. \(FS_{rv}= \dfrac{5344,5}{3685,9}=1,45\). Puisque \(FS_{rv}<2,0\), il faut augmenter le diamètre du fût. 10. **Nouveau diamètre de fût** : On cherche \(D_f\) tel que \[ FS_{rv}= \frac{W \times D_f/2}{M}=2,0 \;\Rightarrow\; D_f = \frac{4M}{W} \] En remplaçant : \[ D_f = \frac{4 \times 3685,9}{5938,3}= \frac{14743,6}{5938,3}=2,48\; \text{m} \] Arrondir à la valeur commerciale supérieure : **\(D_f^{new}=2,5\) m**. Vérification : Moment résistant \(= 5938,3 \times (2,5/2)= 5938,3 \times 1,25 = 7422,9\) kN·m. \(FS_{rv}= 7422,9 / 3685,9 = 2,01\) → OK. **Réponse** : La hauteur de cuve est de 14,2 m ; le poids total est de 5938 kN ; la force du vent vaut 44 kN ; le facteur de renversement initial du fût de 1,8 m est de 1,45 ; il faut porter le diamètre du fût à 2,5 m pour obtenir \(FS_{rv}\ge2,0\). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Négliger la poussée hydrostatique sur le talon d’un barrage poids (considérer seulement le poids propre). | Sous‑estimation de la force de glissement → risque de glissement de l’ouvrage. | Toujours inclure la composante verticale de la poussée (\(U = \gamma_w h b/3\)) dans le calcul du glissement. | | 2 | Utiliser un profil triangulaire pur pour un barrage poids sans talon ni ancrage lorsqu’on dépasse 5 m de hauteur d’eau. | Facteur de glissement resté constant et insuffisant (voir Exercice 1). | Ajouter un talon de largeur suffisante ou prévoir des ancrages/contre‑forts pour augmenter le poids sans augmenter proportionnellement la poussée. | | 3 | Omettre le coefficient sismique \(k_h\) dans le calcul des forces horizontales d’un château d’eau. | Sous‑estimation du moment de renversement → risque de basculement du fût lors d’un séisme. | Appliquer systématiquement \(F_s = k_h (W+W_e)\) avec la valeur de \(k_h\) correspondant à la zone sismique (consulter la carte de sismicité du Cameroun). | | 4 | Oublier de vérifier la contrainte de compression dans le fût d’un château d’eau (on ne contrôle que le renversement). | Éclatement ou fluage du béton sous charge axiale élevée. | Calculer \(\sigma_c = \frac{W}{A_f}\) et le comparer à la contrainte admissible du béton (≈ 12 MPa pour C25/30). | | 5 | Utiliser une valeur de coefficient de frottement \(\mu\) trop élevée (ex. 0,8) pour un sol sableux sans essais sur site. | Surestimation de la capacité de résistance au glissement → conception non sûre. | Réaliser un essai de cisaillement sur le sol de fondation ou utiliser les valeurs prescrites par le guide géotechnique camerounais (ex. \(\mu=0,45\) pour sable lâche, \(\mu=0,55\) pour sable dense). | | 6 | Ne pas prévoir de système de drainage derrière le talon d’un barrage poids. | Accumulation d’eau, augmentation de la poussée effective et risque de rupture par érosion interne. | Installer des drains horizontaux ou des puits de décharge munis de filtres géotextiles, conformément au DTU 13.12. | --- *Fin du cours.*