Appréhender la viscosité des liquides (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : à la fin de ce chapitre l’élève pourra - définir la viscosité dynamique d’un liquide et en donner l’unité SI ; - appliquer la loi de Newton pour relier contrainte de cisaillement et gradient de vitesse ; - expliquer l’influence de la température sur la viscosité et utiliser une loi d’Arrhenius simplifiée ; - déterminer expérimentalement la viscosité d’un liquide par la méthode capillaire (Poiseuille) ou la méthode de la balle tombante (Stokes) ; - résoudre des problèmes de calcul de débit, de temps d’écoulement ou de vitesse terminale en utilisant les formules appropriées. **Prérequis** : notions de force, de pression, d’écoulement laminaire, d’unités SI (Pa, m, s, kg), concept de contrainte de cisaillement et de gradient de vitesse, savoir manipuler les exponentials et les logarithmes naturels. --- ## Introduction Dans la vie quotidienne, on constate que certains liquides s’écoulent facilement (eau, alcool) tandis que d’autres sont plus « épais » (miel, huile moteur). Cette résistance à l’écoulement interne se quantifie par la **viscosité**. Elle joue un rôle essentiel dans de nombreux domaines : lubrification des moteurs, transport de pétrole dans les canalisations, formulation de peintures ou de produits cosmétiques, et même dans le fonctionnement du sang dans les vaisseaux. Le présent chapitre aborde successivement la définition de la viscosité, sa variation avec la température, puis les méthodes expérimentales permettant de la mesurer. --- ## I. Viscosité des liquides (Leçon 19) ### Définition et loi de Newton > **Définition** : la viscosité dynamique η d’un liquide est le rapport entre la contrainte de cisaillement τ appliquée à une couche de fluide et le gradient de vitesse perpendiculaire à cette couche : > $$\eta = \frac{\tau}{\dfrac{dv}{dy}}$$ > où \(dv/dy\) (en s⁻¹) représente la variation de la vitesse v selon la direction y normale au plan de cisaillement. - **Unité** : pascal·seconde (Pa·s) ; 1 poise = 0,1 Pa·s (le poise est encore utilisé en pratique). - **Fluide newtonien** : η est constante indépendamment de τ (eau, alcool, huiles minérales). - **Fluide non‑newtonien** : η varie avec τ (sang, peintures, polymères en solution). **Démonstration** (schéma des deux plaques) : considérons un fluide pris entre deux plaques parallèles séparées d’une distance d, la plaque supérieure se déplaçant à vitesse V tandis que l’inférieure est fixe. Dans un régime laminaire établi, la vitesse varie linéairement de 0 à V, donc \(dv/dy = V/d\). La force de frottement F exercée sur la plaque supérieure est proportionnelle à la surface A : \(F = \tau A\). En équilibrant la force appliquée avec la contrainte visqueuse, on obtient τ = η V/d, d’où la définition ci‑dessus. #### Exemple 1 – Calcul de η à partir de τ et du gradient Un liquide soumis à une contrainte de cisaillement τ = 0,50 Pa présente un gradient de vitesse \(dv/dy = 200\; \text{s}^{-1}\). \[ \eta = \frac{0,50\;\text{Pa}}{200\;\text{s}^{-1}} = 2,5\times10^{-3}\;\text{Pa·s}=2,5\;\text{mPa·s} \] #### Exemple 2 – Détermination de τ dans un écoulement entre deux plaques Deux plaques sont séparées par d = 2,0 mm = 2,0×10⁻³ m. La plaque supérieure se déplace à V = 0,10 m·s⁻¹, l’inférieure est fixe. \[ \frac{dv}{dy}= \frac{V}{d}= \frac{0,10}{2,0\times10^{-3}} = 50\;\text{s}^{-1} \] Si la viscosité du liquide est η = 1,0 mPa·s = 1,0×10⁻³ Pa·s, alors \[ \tau = \eta \frac{dv}{dy}= (1,0\times10^{-3})(50)=5,0\times10^{-2}\;\text{Pa}=0,05\;\text{Pa} \] ### Propriétés essentielles > **Propriété** : pour un liquide donné, η dépend principalement de la température et, dans une moindre mesure, de la nature chimique ; elle est pratiquement indépendante de la pression jusqu’à plusieurs dizaines de MPa. - **Température** : η diminue généralement lorsque T augmente (les molécules ont plus d’énergie thermique et glissent plus facilement). - **Pression** : pour les liquides, l’effet de la pression est négligeable dans les gammes usuelles (< 0,1 GPa). --- ## II. Viscosité et température (Leçon 20) ### Influence de la température – loi d’Arrhenius simplifiée > **Loi d’Arrhenius pour la viscosité** : > $$\eta(T)=\eta_{0}\,\exp\!\left(\frac{E_{a}}{RT}\right)$$ > où η₀ est une constante préexponentielle, \(E_{a}\) l’énergie d’activation pour le mouvement moléculaire (J·mol⁻¹), R = 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹, T la température absolue en kelvins. **Démonstration** (modèle d’activation) : le passage d’une molécule d’un état d’équilibre à un état voisin nécessite de surmonter une barrière d’énergie \(E_{a}\). Selon la statistique de Boltzmann, la fraction de molécules possédant suffisamment d’énergie est \(\exp(-E_{a}/RT)\). L’inverse de cette fraction donne la résistance à l’écoulement, d’où l’exponentielle ci‑dessus. #### Exemple 1 – Calcul de η à deux températures Un huile possède η₁ = 1,20 mPa·s à T₁ = 20 °C (293 K). Son énergie d’activation est \(E_{a}=12,0\;\text{kJ·mol}^{-1}\). On veut η₂ à T₂ = 40 °C (313 K). \[ \frac{\eta_{2}}{\eta_{1}} = \exp\!\left[\frac{E_{a}}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)\right] \] \[ \frac{E_{a}}{R}= \frac{12,0\times10^{3}}{8,314}=1443\;\text{K} \] \[ \frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{313}-\frac{1}{293}= -2,18\times10^{-4}\;\text{K}^{-1} \] \[ \text{Exposant}=1443\times(-2,18\times10^{-4}) = -0,315 \] \[ \eta_{2}= \eta_{1}\,e^{-0,315}=1,20\;\text{mPa·s}\times0,730 = 0,88\;\text{mPa·s} \] #### Exemple 2 – Vérification avec l’eau Pour l’eau, on accepte approximativement \(E_{a}=18,0\;\text{kJ·mol}^{-1}\). À T₁ = 20 °C (293 K), η₁ = 1,00 mPa·s. Prédisons η à T₂ = 80 °C (353 K). \[ \frac{E_{a}}{R}= \frac{18,0\times10^{3}}{8,314}=2165\;\text{K} \] \[ \frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{353}-\frac{1}{293}= -5,18\times10^{-4}\;\text{K}^{-1} \] \[ \text{Exposant}=2165\times(-5,18\times10^{-4}) = -1,12 \] \[ \eta_{2}=1,00\;\text{mPa·s}\times e^{-1,12}=1,00\times0,326=0,33\;\text{mPa·s} \] Cette valeur (≈ 0,33 mPa·s) est proche de la viscosité mesurée de l’eau à 80 °C (≈ 0,35 mPa·s), confirmant la pertinence du modèle. ### Autres modèles empiriques - **Loi d’Andrade** : \(\displaystyle \eta = A\,\exp\!\left(\frac{B}{T}\right)\) (A, B constants). - **Équation de Vogel‑Fulcher‑Tammann** (plus adaptée aux liquides très visqueux près du point de verre) : \(\displaystyle \eta = \eta_{0}\exp\!\left[\frac{B}{T-T_{0}}\right]\). Au niveau du secondaire, la forme d’Arrhenius suffit pour expliquer la tendance générale. --- ## III. Mesure de la viscosité (Leçon 21) ### Méthode capillaire – loi de Poiseuille > **Loi de Poiseuille** (écoulement laminaire d’un fluide newtonien dans un tube circulaire) : > $$Q = \frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,\eta\,L}$$ > où Q est le débit volumique (m³·s⁻¹), ΔP la différence de pression entre les extrémités du capillaire (Pa), r son rayon (m), L sa longueur (m) et η la viscosité dynamique (Pa·s). **Démonstration** : on résout l’équation de Navier‑Stokes en coordonnées cylindriques pour un écoulement axysymétrique et stationnaire, on obtient un profil de vitesse parabolique \(v(r)=\frac{\Delta P}{4\eta L}(r^{2}-R^{2})\). En intégrant v(r) sur la section transversale, on retrouve l’expression ci‑dessus. #### Exemple 1 – Détermination de η à partir d’un débit mesuré Un capillaire de rayon r = 0,40 mm = 4,0×10⁻⁴ m et de longueur L = 15,0 cm = 0,150 m est soumis à une différence de pression ΔP = 1500 Pa. Le débit mesuré est Q = 3,2×10⁻⁹ m³·s⁻¹. \[ \eta = \frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,Q\,L} \] \[ r^{4}= (4,0\times10^{-4})^{4}=2,56\times10^{-14}\;\text{m}^{4} \] \[ \eta = \frac{\pi \times 1500 \times 2,56\times10^{-14}}{8 \times 3,2\times10^{-9} \times 0,150} = \frac{1,206\times10^{-10}}{3,84\times10^{-9}} = 3,14\times10^{-2}\;\text{Pa·s}=31,4\;\text{mPa·s} \] #### Exemple 2 – Viscosimètre d’Ostwald (temps d’écoulement) Dans un viscosimètre capillaire à gravité constante, le temps t nécessaire au passage d’un volume V entre deux repères est lié à la viscosité par : $$\eta = K\,\rho\,t$$ où ρ est la densité du liquide (kg·m⁻³) et K une constante dépendant de la géométrie du capillaire (déterminée avec un liquide de viscosité connue). Supposons K = 2,5×10⁻⁶ Pa·s·kg⁻¹·m³·s⁻¹ (valeur typique pour un capillaire de rayon 0,5 mm et longueur 10 cm). Un liquide de densité ρ = 950 kg·m⁻³ met t = 4,8 s pour parcourir la distance graduée. \[ \eta = (2,5\times10^{-6})\times 950 \times 4,8 = 2,5\times10^{-6}\times 4560 = 1,14\times10^{-2}\;\text{Pa·s}=11,4\;\text{mPa·s} \] ### Méthode de la balle tombante – loi de Stokes > **Loi de Stokes** (force de traînée sur une sphère de rayon r se déplaçant à vitesse v dans un fluide visqueux à faible nombre de Reynolds) : > $$F_{d}=6\pi\,\eta\,r\,v$$ À vitesse terminale \(v_{t}\), la force de poids diminuée de la poussée d’Archimède est équilibrée par la traînée : $$\frac{4}{3}\pi r^{3}(\rho_{s}-\rho_{l})g = 6\pi\eta r v_{t}$$ d’où $$\boxed{\displaystyle \eta = \frac{2\,r^{2}\,g\,(\rho_{s}-\rho_{l})}{9\,v_{t}}}$$ #### Exemple 3 – Viscosité d’une huile à partir d’une bille d’acier Une bille d’acier de rayon r = 1,0 mm = 1,0×10⁻³ m, densité \(\rho_{s}=7850\) kg·m⁻³, tombe dans une huile de densité \(\rho_{l}=900\) kg·m⁻³. On mesure une vitesse terminale \(v_{t}=0,025\) m·s⁻¹. \[ \eta = \frac{2(1,0\times10^{-3})^{2}(9,81)(7850-900)}{9(0,025)} \] \[ = \frac{2\times1,0\times10^{-6}\times9,81\times6950}{0,225} \] \[ = \frac{2\times1,0\times10^{-6}\times68\,179,5}{0,225} \] \[ = \frac{1,3636\times10^{-1}}{0,225}=0,606\;\text{Pa·s}=606\;\text{mPa·s} \] Cette valeur correspond à une huile assez visqueuse (type huile de moteur à basse température). ### Autres méthodes rapides (à citer) - **Viscosimètre rotatif (Couette)** : mesure du couple nécessaire pour faire tourner un cylindre intérieur à vitesse angulaire connue dans le liquide. - **Méthode de la bulle** : remontée d’une bulle d’air dans un tube vertical ; la vitesse dépend de η selon une relation analogue à celle de Stokes. - **Viscosimètre de chute de bille** : variante de la méthode précédente avec différentes tailles de billes pour vérifier la linéarité de η avec r². --- ## Synthèse du chapitre - **Viscosité dynamique** : η = τ/(dv/dy) ; unité Pa·s (1 poise = 0,1 Pa·s). - **Fluide newtonien** : η constante ; sinon non‑newtonien. - **Effet température** : η diminue avec T ; modèle d’Arrhenius : η = η₀ exp(Ea/(RT)). - **Loi de Poiseuille** : Q = πΔPr⁴/(8ηL) → permet de déterminer η à partir d’un débit mesuré. - **Loi de Stokes** : Fd = 6πηrv → η = 2r²g(ρs−ρl)/(9vt) pour une balle tombante à vitesse terminale. - **Unités courantes** : mPa·s (centipoise) pour les liquides usuels. - **Précautions** : écoulement laminaire (Re < ~2000), température homogène, éviter les parois rugueuses ou les effets de paroi. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Viscosité dynamique (η) | Rapport contrainte de cisaillement / gradient de vitesse ; mesure de la résistance interne à l’écoulement. | | Contrainte de cisaillement (τ) | Force tangentielle exercée par unité de surface sur une couche de fluide. | | Gradient de vitesse (dv/dy) | Variation de la vitesse fluide selon la direction normale au plan de cisaillement. | | Fluide newtonien | Liquide dont η est indépendante du taux de cisaillement (eau, huiles minérales). | | Nombre de Reynolds (Re) | Rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses ; Re < 2000 → écoulement laminaire. | | Loi de Poiseuille | Relation entre débit, différence de pression, rayon et viscosité dans un tube cylindrique. | | Loi de Stokes | Expression de la force de traînée sur une sphère lente dans un fluide visqueux. | | Énergie d’activation (Ea) | Énergie minimale qu’une molécule doit acquérir pour glisser past une voisine ; intervient dans la dépendance en température de η. | | Viscosité cinématique (ν) | ν = η/ρ ; unité m²·s⁻¹ (stoke). | | Constante de Poiseuille (K) | Facteur géométrique reliant le temps d’écoulement dans un capillaire à η et ρ. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Un liquide de viscosité inconnue est placé entre deux plaques parallèles séparées de 1,5 mm. La plaque supérieure se déplace à 0,20 m·s⁻¹ tandis que l’inférieure est fixe. On mesure une contrainte de cisaillement τ = 0,12 Pa. Calculer η du liquide. **Corrigé** Gradient de vitesse : \(dv/dy = V/d = 0,20 / (1,5\times10^{-3}) = 133,33\;\text{s}^{-1}\). Viscosité : \(\displaystyle \eta = \frac{\tau}{dv/dy}= \frac{0,12}{133,33}=9,0\times10^{-4}\;\text{Pa·s}=0,90\;\text{mPa·s}\). --- ### Exercice 2 L’huile de moteur a une viscosité η = 250 mPa·s à 20 °C. Son énergie d’activation est \(E_{a}=20,0\;\text{kJ·mol}^{-1}\). Quelle sera sa viscosité à 80 °C ? **Corrigé** T₁ = 293 K, T₂ = 353 K. \[ \frac{\eta_{2}}{\eta_{1}} = \exp\!\left[\frac{E_{a}}{R}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)\right] \] \(\displaystyle \frac{E_{a}}{R}= \frac{20,0\times10^{3}}{8,314}=2405\;\text{K}\). \(\displaystyle \frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{353}-\frac{1}{293}= -5,18\times10^{-4}\;\text{K}^{-1}\). Exposant = 2405 × (‑5,18×10⁻⁴) = –1,245. \(\displaystyle \eta_{2}=250\;\text{mPa·s}\times e^{-1,245}=250\times0,288=72\;\text{mPa·s}\). --- ### Exercice 3 Un capillaire de rayon 0,30 mm et de longueur 12,0 cm est soumis à une différence de pression de 800 Pa. Le débit mesuré est 1,5×10⁻⁹ m³·s⁻¹. Déterminer la viscosité du liquide qui y circule. **Corrigé** \[ \eta = \frac{\pi\,\Delta P\,r^{4}}{8\,Q\,L} \] \(r^{4}= (3,0\times10^{-4})^{4}=8,1\times10^{-15}\;\text{m}^{4}\). \[ \eta = \frac{\pi \times 800 \times 8,1\times10^{-15}}{8 \times 1,5\times10^{-9} \times 0,12} = \frac{2,036\times10^{-11}}{1,44\times10^{-9}} = 1,41\times10^{-2}\;\text{Pa·s}=14,1\;\text{mPa·s} \] --- ### Exercice 4 Une bille de verre de rayon 0,80 mm (ρₛ = 2500 kg·m⁻³) tombe dans un liquide de densité ρₗ = 950 kg·m⁻³. On mesure une vitesse terminale vₜ = 0,018 m·s⁻¹. Calculer la viscosité du liquide. **Corrigé** \[ \eta = \frac{2\,r^{2}\,g\,(\rho_{s}-\rho_{l})}{9\,v_{t}} \] \(r^{2}= (0,80\times10^{-3})^{2}=6,4\times10^{-7}\;\text{m}^{2}\). \(\rho_{s}-\rho_{l}=2500-950=1550\;\text{kg·m}^{-3}\). \[ \eta = \frac{2 \times 6,4\times10^{-7} \times 9,81 \times 1550}{9 \times 0,018} = \frac{1,95\times10^{-2}}{0,162} = 0,120\;\text{Pa·s}=120\;\text{mPa·s} \] --- ### Exercice 5 Un liquide a une viscosité η = 0,85 mPa·s à 10 °C. En supposant que sa variation avec la température suit la loi d’Arrhenius avec \(E_{a}=15,0\;\text{kJ·mol}^{-1}\), estimer sa viscosité à 50 °C. **Corrigé** T₁ = 283 K, T₂ = 323 K. \(\displaystyle \frac{E_{a}}{R}= \frac{15,0\times10^{3}}{8,314}=1804\;\text{K}\). \(\displaystyle \frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}} = \frac{1}{323}-\frac{1}{283}= -4,30\times10^{-4}\;\text{K}^{-1}\). Exposant = 1804 × (‑4,30×10⁻⁴) = –0,776. \(\displaystyle \eta_{2}=0,85\;\text{mPa·s}\times e^{-0,776}=0,85\times0,460=0,39\;\text{mPa·s}\). --- ### Exercice 6 (défi) Dans un viscosimètre d’Ostwald, le temps d’écoulement entre deux repères est mesuré à t = 6,2 s pour un liquide de densité ρ = 1020 kg·m⁻³. La constante du capillaire, déterminée avec l’eau (ηₑₐᵤ = 1,00 mPa·s à 20 °C), vaut K = 1,8×10⁻⁶ Pa·s·kg⁻¹·m³·s⁻¹. Quelle est la viscosité du liquide étudié ? **Corrigé** \[ \eta = K\,\rho\,t = (1,8\times10^{-6})\times 1020 \times 6,2 = 1,8\times10^{-6}\times 6324 = 1,14\times10^{-2}\;\text{Pa·s}=11,4\;\text{mPa·s} \] --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | Confondre viscosité dynamique η et viscosité cinématique ν | On oublie de diviser par la densité ou on utilise la mauvaise unité. | Toujours vérifier la définition : ν = η/ρ ; écrire les unités (Pa·s vs m²·s⁻¹) dans le raisonnement. | | Utiliser la loi de Poiseuille avec un diamètre au lieu du rayon | La formule comporte r⁴ ; un diamètre introduit une erreur de facteur 16. | Rappeler que r = d/2 ; convertir systématiquement le diamètre en rayon avant de calculer. | | Négliger l’effet de la température sur η dans un problème de débit | On considère η constante alors que le problème donne deux températures. | Lire attentivement l’énoncé ; si deux T sont données, appliquer la loi d’Arrhenius ou une relation fournie. | | Appliquer la loi de Stokes sans vérifier le nombre de Reynolds | À vitesses élevées, l’écoulement n’est plus laminaire et la loi n’est plus valable. | Calculer Re = ρ v d / η ; s’assurer que Re < ~1 avant d’utiliser Stokes. | | Oublier de convertir les degrés Celsius en kelvins dans l’équation d’Arrhenius | L’exposant doit être adimensionnel ; utiliser directement °C donne une erreur énorme. | Toujours convertir : T(K) = T(°C) + 273,15 avant d’insérer dans la formule. | | Inverser le signe de l’exposant dans la loi d’Arrhenius (η = η₀ exp(‑Ea/RT)) | On confond la dépendance de la vitesse de réaction avec celle de la viscosité. | Rappeler que η augmente lorsque T diminue → exposant positif Ea/(RT). | --- *Fin du cours.*