Principe fondamental de la statique (partie 9/11)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Identifier et représenter les forces d’action et de réaction selon le principe des actions mutuelles (troisième loi de Newton). - Décomposer un système de forces en composantes orthogonales et déterminer la résultante. - Appliquer le théorème de Lami pour résoudre l’équilibre d’un corps soumis à exactement trois forces non parallèles et concourantes. - Réaliser un schéma libre‑corps (free‑body diagram) correct, en respectant les conventions de signe utilisées en mécanique appliquée. - Vérifier la cohérence dimensionnelle des équations d’équilibre et en déduire les inconnues (forces, angles, moments). - Mettre en œuvre une démarche de résolution pas à pas adaptée aux situations d’atelier, de chantier ou de bureau technique au Cameroun. **Prérequis nécessaires :** - Maîtrise du système vectoriel (addition, soustraction, produit scalaire, résolution en composantes). - Notion de force, de moment d’une force par rapport à un point et d’équilibre statique (∑F = 0, ∑M = 0). - Savoir tracer un schéma libre‑corps et identifier les forces externes agissant sur un corps rigide. - Connaissances de base en trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) et en unités du Système International (N, m, rad). --- ## Introduction contextualisée En mécanique appliquée, la statique constitue le fondement de la conception et du contrôle des structures métalliques, des équipements de levage, des châssis de véhicules et des installations industrielles présentes dans les ateliers camerounais (soudure, menuiserie métallique, BTP). Un technicien doit être capable de prévoir si une pièce restera en repos sous l’action de plusieurs efforts, afin d’éviter les déformations excessives ou les ruptures prématurées. Le principe des actions mutuelles permet de comprendre comment les forces se transmettent entre les éléments d’un assemblage (boulons, soudures, rivets). Le cas particulier d’un corps soumis à trois forces apparaît fréquemment lorsqu’on analyse un point d’ancrage (câble, vérin, bras de levier) où seules trois actions externes sont significatives. Maîtriser ces deux notions garantit une analyse fiable, conforme aux normes de sécurité et d’hygiène du travail en vigueur au MINTP et au MINESEC. --- ## I. Activités de remédiation ### 1. Rappel du vecteur force > **Définition** : Une force est une grandeur vectorielle caractérisée par son point d’application, son intensité (en newtons, N), sa direction et son sens. Un vecteur force \(\vec{F}\) se décompose en composantes orthogonales : \(\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}\). ### 2. Équilibre d’un corps rigide Un corps est en équilibre statique si et seulement si : \[ \sum \vec{F}= \vec{0}\qquad\text{et}\qquad\sum \vec{M}_O=\vec{0} \] où \(\sum \vec{M}_O\) désigne la somme des moments des forces par rapport à un point quelconque \(O\). ### 3. Schéma libre‑corps (FBD) Étapes recommandées : 1. Isoler le corps considéré. 2. Representer toutes les forces externes (poids, réactions, charges appliquées, frottements). 3. Indiquer les dimensions et les angles connus. 4. Choisir un système d’axes (souvent horizontal‑vertical) et résoudre les équations d’équilibre. > **Règle de métier** : Toujours vérifier que la somme des moments nulle est respectée autour d’au moins deux points différents pour détecter une erreur de signe ou d’omission. ### 4. Exemple de remédiation (atelier de soudure) Une plaque métallique de 2 kg est maintenue horizontalement par deux câbles faisant respectivement 30° et 45° avec l’horizontale. Le câble de 30° tire vers la gauche, celui de 45° vers la droite. Déterminer les tensions dans chaque câble. **Solution** : - Poids \(P = mg = 2\times9,81 = 19,62\; \text{N}\) dirigé vers le bas. - Équations d’équilibre (horizontal vers la droite, vertical vers le haut) : \[ \begin{cases} -T_1\cos30^\circ + T_2\cos45^\circ = 0 \\ T_1\sin30^\circ + T_2\sin45^\circ - P = 0 \end{cases} \] - D’après la première équation : \(T_2 = T_1\frac{\cos30^\circ}{\cos45^\circ}=T_1\frac{0,8660}{0,7071}=1,225\,T_1\). - Substitution dans la seconde : \[ T_1\sin30^\circ + (1,225\,T_1)\sin45^\circ = P \] \[ 0,5\,T_1 + 1,225\times0,7071\,T_1 = 0,5\,T_1 +0,8660\,T_1 =1,366\,T_1 =19,62 \] \[ T_1 = \frac{19,62}{1,366}\approx 14,4\; \text{N} \] \[ T_2 =1,225\times14,4 \approx 17,6\; \text{N} \] - Donc \(T_1\approx 14,4\; \text{N}\) (câble à 30° vers la gauche) et \(T_2\approx 17,6\; \text{N}\) (câble à 45° vers la droite). --- ## II. Leçon 13 – Principe des actions mutuelles ### 1. Énoncé du principe > **Principe des actions mutuelles (troisième loi de Newton)** : Toute action d’un corps A sur un corps B engendre une réaction égale en intensité, opposée en direction et de même ligne d’action, exercée par B sur A. Mathématiquement : \(\vec{F}_{A\rightarrow B}= -\vec{F}_{B\rightarrow A}\). ### 2. Forces internes vs forces externes - **Forces externes** : celles provenant du milieu extérieur au système considéré (poids, charges appliquées, réactions d’appui). - **Forces internes** : paires d’action‑réaction qui se compensent lorsqu’on considère l’ensemble du système ; elles n’apparaissent pas dans l’équation \(\sum \vec{F}=0\) du système global. ### 3. Application au schéma libre‑corps Lorsqu’on isole un élément, seules les forces externes agissant sur cet élément sont représentées. Les forces d’action‑réaction avec les éléments voisins apparaissent comme des forces externes sur l’isolat. > **Exemple professionnel** : Dans une charpente métallique, la force exercée par une boulon sur une plaque est égale et opposée à la force que la plaque exerce sur le boulon. Lors du calcul des efforts dans la plaque, on considère la réaction du boulon comme une force externe connue (ou à déterminer). ### 4. Tableau récapitulatif des paires d’action‑réaction fréquentes | Situation | Force d’action (sur A) | Réaction (sur B) | |----------------------------------------|---------------------------------------|--------------------------------------| | Contact entre deux pièces | \(\vec{N}_{A\rightarrow B}\) (normal) | \(-\vec{N}_{A\rightarrow B}\) | | Frottement glissant | \(\vec{f}_{A\rightarrow B}\) | \(-\vec{f}_{A\rightarrow B}\) | | Tension dans un câble | \(\vec{T}_{A\rightarrow B}\) | \(-\vec{T}_{A\rightarrow B}\) | ### 5. Méthode de résolution pas à pas 1. Définir le système d’étude et le découper en sous‑systèmes si nécessaire. 2. Pour chaque corps isolé, représenter toutes les forces externes (poids, charges, réactions, frottements). 3. Appliquer \(\sum \vec{F}=0\) et \(\sum \vec{M}=0\) à chaque corps. 4. Utiliser le principe des actions mutuelles pour égaler les grandeurs des paires d’action‑réaction apparaissant dans deux équations différentes. 5. Résoudre le système linéaire obtenu (souvent 2 à 4 équations). ### 6. Exemple chiffré (pont roulant) Une poutre de 4 m de longueur supporte une charge concentrée de 5 kN à son milieu. Elle est appuyée en A (rotule) et en B (support glissant). Déterminer les réactions d’appui. **Solution** : - Poids négligeable par rapport à la charge. - Équations d’équilibre global : \[ \sum F_y = R_A + R_B - 5\text{ kN}=0 \] \[ \sum M_A = R_B\cdot4\text{ m} - 5\text{ kN}\cdot2\text{ m}=0 \;\Rightarrow\; R_B = \frac{5\cdot2}{4}=2,5\text{ kN} \] Donc \(R_A = 5-2,5 = 2,5\text{ kN}\). - Par principe des actions mutuelles, la poutre exerce sur les appuis des forces égales et opposées : \(-R_A\) en A et \(-R_B\) en B. --- ## III. Leçon 14 – Corps soumis à trois forces ### 1. Condition d’équilibre pour trois forces Un corps rigide est en équilibre sous l’action de trois forces non nulles si et seulement si : - Les trois forces sont **concourantes** (elles passent par un même point) **OU** - Deux d’entre elles sont **parallèles** et la troisième est égale et opposée à leur résultante. > **Règle de sécurité** : Dans un assemblage boulonné, vérifier toujours la concourance des lignes d’action des forces afin d’éviter un moment de flexion non prévu. ### 2. Théorème de Lami Si trois forces \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) agissent sur un point et sont en équilibre, alors : \[ \frac{F_1}{\sin\alpha_1}= \frac{F_2}{\sin\alpha_2}= \frac{F_3}{\sin\alpha_3} \] où \(\alpha_i\) est l’angle opposé à la force \(\vec{F}_i\) formé par les deux autres forces. ### 3. Démarche de résolution 1. Identifier le point d’application commun des trois forces (souvent le centre d’une poulie, le nœud d’une treille, ou le point d’ancrage d’un vérin). 2. Déterminer les angles entre chaque paire de forces (à l’aide du schéma ou des données géométriques). 3. Appliquer le théorème de Lami pour obtenir les inconnues (souvent une ou deux forces). 4. Vérifier le résultat par la somme vectorielle nulle : \(\vec{F}_1+\vec{F}_2+\vec{F}_3=0\). ### 4. Exemple d’atelier (vérin hydraulique) Un vérin de poussée exerce une force \(F_v\) horizontale vers la droite sur une pièce métallique. Cette pièce est également soumise à son poids \(P=150\text{ N}\) dirigé vers le bas et à la réaction normale \(R\) d’un appui incliné faisant un angle de \(20^\circ\) avec l’horizontale (la normale pointe vers le haut‑gauche). Les trois forces sont concourantes au point de contact du vérin. Déterminer \(F_v\) et \(R\). **Solution** : - Angles entre les forces : * Entre \(F_v\) (horizontale droite) et \(P\) (verticale bas) : \(90^\circ\). * Entre \(P\) et \(R\) : l’appui fait \(20^\circ\) avec l’horizontale, donc l’angle entre la verticale (P) et la normale R est \(90^\circ-20^\circ=70^\circ\). * Entre \(R\) et \(F_v\) : l’angle est \(90^\circ+20^\circ=110^\circ\). - Application du théorème de Lami : \[ \frac{F_v}{\sin70^\circ}= \frac{150}{\sin110^\circ}= \frac{R}{\sin90^\circ} \] Puisque \(\sin110^\circ=\sin70^\circ\) et \(\sin90^\circ=1\) : \[ \frac{F_v}{\sin70^\circ}= \frac{150}{\sin70^\circ}\;\Rightarrow\; F_v =150\text{ N} \] \[ R = \frac{150}{\sin70^\circ}\times 1 = \frac{150}{0,9397}\approx 159,6\text{ N} \] - Vérification : * Horizontale : \(F_v - R\cos20^\circ =150 - 159,6\times0,9397\approx0\). * Verticale : \(-P + R\sin20^\circ = -150 + 159,6\times0,3420\approx0\). Donc \(F_v =150\text{ N}\) et \(R\approx 159,6\text{ N}\). ### 5. Cas particulier : deux forces parallèles Si deux forces sont parallèles, la troisième doit être égale et opposée à leur somme vectorielle. Exemple : une poutre soumise à deux charges verticales \(F_1\) et \(F_2\) aux extrémités et à une réaction d’appui \(R\) au centre. Alors \(R = -(F_1+F_2)\). > **Astuce de métier** : Dans le calcul des efforts sur un échafaudage, traiter le poids du travailleur et le poids du matériel comme deux forces verticales parallèles ; la réaction du sol doit alors équilibrer leur somme. ### 6. Tableau récapitulatif des cas d’équilibre à trois forces | Cas | Condition géométrique | Relation entre les forces | |----------------------------------|--------------------------------------|--------------------------------------------------------| | Trois forces concourantes | Toutes passent par un même point O | \(\displaystyle \frac{F_1}{\sin\alpha_1}= \frac{F_2}{\sin\alpha_2}= \frac{F_3}{\sin\alpha_3}\) (Lami) | | Deux forces parallèles + troisième| \( \vec{F}_1 \parallel \vec{F}_2\) | \(\vec{F}_3 = -(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\) | | Une force nulle (dégenéré) | Une des forces vaut zéro | Réduit à l’équilibre de deux forces (collinéaires, opposées) | --- ## Synthèse du chapitre - **Principe des actions mutuelles** : toute force d’action engendre une réaction égale et opposée. - **Forces internes** : se compensent dans le système global ; ne figurent pas dans \(\sum \vec{F}=0\). - **Schémas libres‑corps** : isoler le corps, représenter toutes les forces externes, choisir un système d’axes. - **Équilibre d’un corps rigide** : \(\sum \vec{F}=0\) et \(\sum \vec{M}_O=0\). - **Corps soumis à trois forces** : équilibre si concourance (Théorème de Lami) ou deux forces parallèles + troisième opposée à leur somme. - **Théorème de Lami** : \(\displaystyle \frac{F_i}{\sin\alpha_i}= \text{constante}\). - **Méthode de résolution** : déterminer les angles, appliquer Lami ou la somme vectorielle, vérifier par les composantes. - **Applications professionnelles** : vérins hydrauliques, poulies, assemblages boulonnés, échafaudages, ponts roulants. - **Sécurité** : vérifier la concourance des lignes d’action pour éviter des moments inattendus; contrôler les réactions d’appui avant toute mise en charge. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |---------------------------|-----------------------------------------------------------------------------| | Force | Grandeur vectorielle (intensité, direction, sens, point d’application). | | Résultante | Vecteur somme de plusieurs forces agissant sur un même corps. | | Moment d’une force | Produit vectoriel \(\vec{M}= \vec{r}\times\vec{F}\) (r = bras de levier). | | Équilibre statique | État où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. | | Schéma libre‑corps (FBD) | Représentation isolée d’un corps avec toutes les forces externes agissant sur lui. | | Action‑réaction | Paire de forces égales en intensité, opposées en sens, sur deux corps différents. | | Forces internes | Paires d’action‑réaction qui se compensent lorsqu’on considère l’ensemble du système. | | Théorème de Lami | Relation entre trois forces concourantes en équilibre et les sinus des angles opposés. | | Concourance | Propriété de plusieurs droites passant par un même point. | | Force normale | Composante d’une réaction perpendiculaire à la surface de contact. | | Frottement | Force tangentielle s’opposant au mouvement relatif entre deux surfaces en contact. | | Réaction d’appui | Force exercée par un support sur un corps pour empêcher son déplacement ou sa rotation. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Portique de levage (atelier de métallurgie) Un portique constitué d’une poutre horizontale de 5 m de longueur supporte deux charges verticales : \(P_1=3\text{ kN}\) à 1 m du support gauche A et \(P_2=4\text{ kN}\) à 3,5 m du même support. Le portique est appuyé en A (rotule) et en B (support glissant). Déterminer les réactions d’appui \(R_A\) et \(R_B\). **Corrigé** : 1. Équilibre des forces verticales : \[ R_A+R_B-P_1-P_2=0 \;\Rightarrow\; R_A+R_B=7\text{ kN} \] 2. Équilibre des moments autour de A : \[ \sum M_A = R_B\cdot5 - P_1\cdot1 - P_2\cdot3,5 =0 \] \[ R_B\cdot5 = 3\cdot1 + 4\cdot3,5 = 3 + 14 = 17\text{ kN·m} \] \[ R_B = \frac{17}{5}=3,4\text{ kN} \] 3. Alors \(R_A = 7-3,4 = 3,6\text{ kN}\). **Vérification** : Moment autour de B donne le même résultat. --- ### Exercice 2 – Bras de levier d’une presse (atelier de menuiserie métallique) Un levier horizontal de longueur 0,8 m est articulé en son extrémité gauche O (rotule). À l’extrémité droite, une charge verticale de 200 N est suspendue. En même temps, une force \(F\) est appliquée à cette même extrémité droite, formant un angle de \(30^\circ\) avec le levier (vers le haut). Déterminer la valeur de \(F\) nécessaire pour maintenir le levier en équilibre horizontal. **Corrigé** : - Le levier est horizontal, donc le point d’application de la charge et de la force \(F\) se trouve à une distance \(d=0,8\) m du pivot O. - Moment de la charge autour de O (sens horaire) : \[ M_P = 200\text{ N}\times0,8\text{ m}=160\text{ N·m} \] - La force \(F\) possède une composante perpendiculaire au levier égale à \(F\sin30^\circ\). Son bras de levier par rapport à O est la distance totale \(d=0,8\) m, donc le moment de \(F\) autour de O (sens anti‑horaire) est : \[ M_F = F \times d \times \sin30^\circ = F \times 0,8 \times 0,5 = 0,4\,F \] - Équilibre des moments : \(M_F = M_P\) \[ 0,4\,F = 160 \;\Rightarrow\; F = \frac{160}{0,4}=400\text{ N} \] - Vérification des forces verticales : la composante verticale de \(F\) est \(F\sin30^\circ =400\times0,5=200\text{ N}\) vers le haut, qui équilibre exactement la charge de 200 N vers le bas. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|----------------------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------------| | 1 | Oublier de représenter la réaction d’appui dans le schéma libre‑corps. | Équation d’équilibre incomplète → résultat faux (souvent sous‑estimation des efforts). | Toujours isoler le corps puis ajouter **toutes** les forces de contact, y compris les réactions. | | 2 | Confondre le sens du moment (horaire/anti‑horaire) lors du calcul de \(\sum M\). | Signe erroné → équation de moment donnant une valeur négative non physique. | Choisir un sens positif (ex. anti‑horaire) et le respecter systématiquement ; vérifier avec la règle de la main droite. | | 3 | Appliquer le théorème de Lami à des forces non concourantes (ex. deux forces parallèles + une troisième non opposée). | Résultat incohérent, souvent une force nulle ou imaginaire. | Vérifier la concourance avant d’utiliser Lami ; sinon utiliser la somme vectorielle nulle. | | 4 | Négliger le poids propre d’une poutre ou d’une pièce dans les calculs d’équilibre. | Sous‑estimation des réactions d’appui, risque de flambage ou de déformation excessive. | Inclure toujours le poids \(P=mg\) comme force verticale appliquée au centre de gravité, sauf si spécifié négligeable. | | 5 | Utiliser des unités incohérentes (ex. N avec mm) dans les équations de moment. | Erreur de facteur 10³ ou 10⁶, conduisant à des valeurs irréalistes. | Convertir toutes les longueurs en mètres (ou toutes en millimètres) avant de calculer ; garder la cohérence N·m ou N·mm. | | 6 | Ne pas vérifier la somme des forces après avoir trouvé les inconnues (auto‑vérification). | Erreur de calcul non détectée, pouvant mener à une conception sous‑dimensionnée. | Après résolution, remplacer les valeurs trouvées dans les équations originales et confirmer que les deux sommes sont nulles (ou proches de zéro compte tenu des arrondis). | --- *Fin du cours.*