Principe fondamental de la statique (partie 6/11)

## Principe fondamental de la statique et application aux solides soumis à 2 et 3 forces coplanaires ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** ! En mécanique, la statique est la branche qui étudie les corps au repos ou en mouvement à vitesse constante. Comprendre comment les forces s'équilibrent est crucial pour concevoir des structures stables, des ponts aux bâtiments. Aujourd'hui, nous allons explorer ce principe essentiel et apprendre à l'appliquer à des solides simples soumis à 2 ou 3 forces agissant dans un même plan (forces coplanaires). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la Statique ? La statique est l'étude des conditions d'équilibre des corps. Un corps est dit en équilibre s'il est : * **Au repos** (sa vitesse est nulle). * **En mouvement rectiligne uniforme** (sa vitesse est constante en direction, sens et intensité). Pour les applications pratiques en Seconde, nous nous concentrerons principalement sur les corps au repos. #### Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le PFS est la pierre angulaire de la statique. Il stipule que : **Pour qu'un solide soit en équilibre, la somme vectorielle de toutes les forces extérieures qui s'appliquent sur lui doit être nulle.** * **Formulation vectorielle :** \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] Où `\( \sum \vec{F}_{ext} \)` représente la somme de tous les vecteurs forces extérieures appliquées au solide. * **Implications pratiques :** Puisque la somme des vecteurs est nulle, cela signifie que la somme des composantes de ces forces sur chaque axe d'un repère cartésien (par exemple, x et y) doit également être nulle. \[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] Ces deux équations sont fondamentales pour résoudre les problèmes de statique. #### Représentation des Forces Une force est une action mécanique capable de modifier l'état de mouvement d'un corps ou de le déformer. Elle est représentée par un **vecteur force** caractérisé par : * **Point d'application :** L'endroit où la force agit sur le corps. * **Direction :** La droite selon laquelle la force s'exerce (par exemple, horizontale, verticale, inclinée). * **Sens :** L'orientation sur cette droite (par exemple, vers le haut, vers le bas, vers la droite). * **Intensité (ou Norme) :** La valeur numérique de la force, exprimée en Newtons (N). Pour les calculs, on utilise souvent un **repère orthogonal** (axes x et y). Une force `\( \vec{F} \)` inclinée d'un angle `\( \alpha \)` par rapport à l'axe des x peut être décomposée en deux **composantes** : * Composante horizontale : `\( F_x = F \cos(\alpha) \)` * Composante verticale : `\( F_y = F \sin(\alpha) \)` #### Application aux Solides Soumis à 2 Forces Coplanaires Lorsqu'un solide est en équilibre sous l'action de seulement deux forces `\( \vec{F_1} \)` et `\( \vec{F_2} \)`, le PFS devient : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0} \] Ce qui implique que : `\( \vec{F_1} = - \vec{F_2} \)` Les deux forces doivent donc avoir : * La même **droite d'action**. * Des **sens opposés**. * La même **intensité (norme)**. #### Application aux Solides Soumis à 3 Forces Coplanaires Lorsqu'un solide est en équilibre sous l'action de trois forces `\( \vec{F_1} \)`, `\( \vec{F_2} \)` et `\( \vec{F_3} \)`, le PFS s'écrit : \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] Il existe deux méthodes principales pour résoudre ce type de problème : 1. **Méthode Graphique (Triangle des Forces) :** Si l'on place les vecteurs forces bout à bout, ils doivent former un polygone fermé. Dans le cas de trois forces, cela forme un triangle fermé. C'est une bonne méthode pour vérifier visuellement l'équilibre ou pour trouver une force inconnue graphiquement. 2. **Méthode Analytique (Somme des Composantes) :** C'est la méthode la plus précise. On décompose chaque force selon les axes x et y, puis on applique les équations du PFS : \[ \sum F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = 0 \] \[ \sum F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 0 \] Ces deux équations permettent de résoudre pour deux inconnues (par exemple, les intensités de deux forces ou l'intensité et l'angle d'une force). ### Vocabulaire * **Statique :** Étude des corps au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. * **Équilibre :** État d'un corps dont le mouvement ne change pas (repos ou vitesse constante). * **Force :** Action mécanique capable de provoquer ou de modifier un mouvement, ou de déformer un corps. * **Vecteur force :** Représentation graphique d'une force (segment orienté). * **Coplanaires :** Se dit de forces dont les droites d'action sont toutes situées dans un même plan. * **Point d'application :** Point sur lequel une force s'exerce. * **Direction :** Droite le long de laquelle une force agit. * **Sens :** Orientation d'une force sur sa direction. * **Intensité (ou Norme) :** Valeur numérique d'une force, mesurée en Newtons (N). * **Composantes :** Projections d'un vecteur force sur les axes d'un repère. ### Exemples #### Exemple 1 : Un objet suspendu (2 forces) Imaginons une lampe de masse `\( m = 2 \text{ kg} \)` suspendue au plafond par un seul câble. La lampe est au repos. Les forces agissant sur la lampe sont : * Le **Poids** `\( \vec{P} \)` de la lampe, dirigé vers le bas. Son intensité est `\( P = m \cdot g \)` où `\( g \approx 9,81 \text{ N/kg} \)`. `\( P = 2 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ N/kg} = 19,62 \text{ N} \)`. * La **Tension** `\( \vec{T} \)` du câble, dirigée vers le haut. Puisque la lampe est en équilibre, le PFS s'applique : \[ \vec{P} + \vec{T} = \vec{0} \] Cela signifie que `\( \vec{T} = - \vec{P} \)`. Les deux forces ont la même direction (verticale), des sens opposés et la même intensité. Donc, `\( T = P = 19,62 \text{ N} \)`. #### Exemple 2 : Un panneau suspendu par deux câbles (3 forces) Un panneau publicitaire de masse `\( m = 10 \text{ kg} \)` est suspendu à l'aide de deux câbles. Le câble 1 fait un angle de `\( 30^\circ \)` avec l'horizontale et le câble 2 fait un angle de `\( 60^\circ \)` avec l'horizontale. On veut déterminer les tensions `\( T_1 \)` et `\( T_2 \)` dans chaque câble. 1. **Identifier les forces :** * **Poids `\( \vec{P} \)`** du panneau, vertical vers le bas. `\( P = m \cdot g = 10 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ N/kg} = 98,1 \text{ N} \)`. * **Tension `\( \vec{T_1} \)`** du câble 1, dirigée selon le câble. * **Tension `\( \vec{T_2} \)`** du câble 2, dirigée selon le câble. 2. **Appliquer le PFS :** \[ \vec{P} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = \vec{0} \] 3. **Décomposer les forces selon les axes x et y :** Prenons un repère avec l'axe x horizontal et l'axe y vertical vers le haut. * **Poids `\( \vec{P} \)` :** `\( P_x = 0 \)` `\( P_y = -98,1 \text{ N} \)` (vers le bas) * **Tension `\( \vec{T_1} \)` (angle `\( 30^\circ \)` avec l'horizontale, vers la gauche et le haut) :** `\( T_{1x} = -T_1 \cos(30^\circ) \)` `\( T_{1y} = T_1 \sin(30^\circ) \)` * **Tension `\( \vec{T_2} \)` (angle `\( 60^\circ \)` avec l'horizontale, vers la droite et le haut) :** `\( T_{2x} = T_2 \cos(60^\circ) \)` `\( T_{2y} = T_2 \sin(60^\circ) \)` 4. **Équations d'équilibre :** * `\( \sum F_x = 0 \)` : `\( -T_1 \cos(30^\circ) + T_2 \cos(60^\circ) = 0 \)` (Éq. 1) * `\( \sum F_y = 0 \)` : `\( T_1 \sin(30^\circ) + T_2 \sin(60^\circ) - P = 0 \)` `\( T_1 \sin(30^\circ) + T_2 \sin(60^\circ) = 98,1 \)` (Éq. 2) 5. **Résoudre le système d'équations :** De l'Éq. 1 : `\( T_2 \cos(60^\circ) = T_1 \cos(30^\circ) \)` `\( T_2 = T_1 \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(60^\circ)} = T_1 \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = T_1 \sqrt{3} \)` Substituons `\( T_2 \)` dans l'Éq. 2 : `\( T_1 \sin(30^\circ) + (T_1 \sqrt{3}) \sin(60^\circ) = 98,1 \)` `\( T_1 (1/2) + T_1 \sqrt{3} (\sqrt{3}/2) = 98,1 \)` `\( T_1 (1/2) + T_1 (3/2) = 98,1 \)` `\( T_1 (4/2) = 98,1 \)` `\( 2 T_1 = 98,1 \implies T_1 = 49,05 \text{ N} \)` Ensuite, `\( T_2 = T_1 \sqrt{3} = 49,05 \cdot \sqrt{3} \approx 84,96 \text{ N} \)`. Les tensions dans les câbles sont `\( T_1 \approx 49,05 \text{ N} \)` et `\( T_2 \approx 84,96 \text{ N} \)`. ### Exercices #### Exercice 1 : Livre sur une table Un livre de 1,5 kg est posé sur une table horizontale. 1. Identifiez toutes les forces agissant sur le livre. 2. Représentez ces forces schématiquement. 3. Calculez l'intensité de chaque force. 4. Vérifiez si le Principe Fondamental de la Statique est respecté. #### Exercice 2 : Lampe suspendue Une lampe de 5 kg est suspendue par deux fils. Le premier fil fait un angle de `\( 45^\circ \)` avec le plafond et le second fil fait un angle de `\( 30^\circ \)` avec le plafond. Déterminez les tensions dans chacun des fils pour que la lampe reste en équilibre. (Prenez `\( g = 9,81 \text{ N/kg} \)`). ### Devoir 1. Un tableau de 8 kg est accroché au mur par un seul câble qui fait un angle de `\( 20^\circ \)` avec la verticale. Une force horizontale `\( \vec{F} \)` est appliquée au bas du tableau pour le maintenir éloigné du mur. Déterminez l'intensité de la tension dans le câble et de la force `\( \vec{F} \)`. 2. Un enfant tire une luge de 15 kg sur une pente enneigée. La pente fait un angle de `\( 10^\circ \)` avec l'horizontale. La force de frottement est négligeable. L'enfant maintient la luge au repos. * Dessinez le diagramme des forces agissant sur la luge. * Calculez la tension dans la corde si la corde est parallèle à la pente. ### Résumé Nous avons exploré le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**, qui est la condition essentielle pour qu'un corps soit en équilibre. * Le PFS stipule que la **somme vectorielle des forces extérieures est nulle** (`\( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \)`). * Cela se traduit par la nullité de la somme des composantes des forces sur chaque axe : `\( \sum F_x = 0 \)` et `\( \sum F_y = 0 \)`. * Pour **2 forces coplanaires**, elles doivent avoir même direction, sens opposés et même intensité. * Pour **3 forces coplanaires**, on peut utiliser la méthode graphique (triangle des forces fermé) ou la méthode analytique (somme des composantes) pour trouver les forces inconnues. Maîtriser le PFS est une compétence clé en mécanique pour analyser la stabilité des structures et des systèmes. ## Cas pratiques de résolution analytique d'un problème de statique avec 3, 4 ou plusieurs forces coplanaires (partie 1) ### Introduction Bienvenue à cette première partie de notre leçon sur la résolution analytique des problèmes de statique. Nous allons nous concentrer sur la manière de déterminer les forces inconnues agissant sur un corps en équilibre, lorsque ces forces sont coplanaires (c'est-à-dire qu'elles agissent toutes dans un même plan). Ces compétences sont essentielles en mécanique appliquée pour comprendre comment les structures et les machines restent stables sous diverses charges. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps soit en équilibre (sans mouvement et sans rotation), deux conditions doivent être remplies : 1. **La somme vectorielle de toutes les forces externes appliquées au corps est nulle.** Cela signifie qu'il n'y a pas d'accélération linéaire. Mathematically, this is represented as: \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] 2. **La somme vectorielle de tous les moments (ou couples) externes appliqués au corps est nulle.** Cela signifie qu'il n'y a pas d'accélération angulaire. Mathematically, this is represented as: \[ \sum \vec{M} = \vec{0} \] Dans le cas des forces coplanaires agissant sur un point ou un corps où les moments sont nuls (ou ignorés pour le niveau Seconde dans cette partie), la première condition se traduit par : * La somme des composantes des forces selon l'axe des x est nulle: \( \sum F_x = 0 \) * La somme des composantes des forces selon l'axe des y est nulle: \( \sum F_y = 0 \) #### Décomposition des forces Pour appliquer les équations du PFS, il est crucial de décomposer chaque force en ses composantes horizontales (x) et verticales (y) dans un repère cartésien choisi. Si une force \( \vec{F} \) a une magnitude \( F \) et fait un angle \( \alpha \) avec l'axe positif des x : * **Composante horizontale (x):** \( F_x = F \cos(\alpha) \) * **Composante verticale (y):** \( F_y = F \sin(\alpha) \) **Note:** L'angle \( \alpha \) est toujours mesuré depuis l'axe positif des x dans le sens anti-horaire. #### Méthode de résolution analytique pour forces coplanaires concurrentes Suivez ces étapes pour résoudre un problème de statique avec plusieurs forces coplanaires agissant sur un point (concurrentes): 1. **Isoler le système:** Identifiez clairement le corps ou le point sur lequel les forces agissent. 2. **Représenter les forces:** Dessinez un diagramme de corps libre (DCL) montrant toutes les forces connues et inconnues agissant sur le système. Indiquez leurs directions et magnitudes (si connues). 3. **Choisir un repère:** Établissez un système de coordonnées cartésiennes (x, y). Orientez-le de manière à simplifier la décomposition des forces si possible. 4. **Décomposer les forces:** Décomposez chaque force en ses composantes \( F_x \) et \( F_y \). 5. **Appliquer le PFS:** Écrivez les deux équations d'équilibre : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) 6. **Résoudre le système d'équations:** Résolvez les équations pour trouver les magnitudes et/ou les directions des forces inconnues. ### Vocabulaire * **Statique:** Branche de la mécanique étudiant les corps au repos ou en mouvement à vitesse constante. * **Équilibre:** État d'un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nulles. * **Force:** Action capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. C'est une grandeur vectorielle. * **Vecteur:** Représentation d'une grandeur ayant une magnitude, une direction et un sens. * **Composantes:** Projections d'un vecteur sur les axes d'un repère (ex: \( F_x \) et \( F_y \)). * **Coplanaires:** Se dit de forces dont les lignes d'action sont toutes situées dans un même plan. * **Concurrentes:** Se dit de forces dont les lignes d'action se coupent en un seul point. * **Principe Fondamental de la Statique (PFS):** Les conditions nécessaires pour qu'un corps soit en équilibre. * **Repère cartésien:** Système de coordonnées (x, y) orthogonal servant à localiser des points et décomposer des vecteurs. ### Exemples #### Exemple 1: Objet suspendu par deux câbles (3 forces) Un panneau de masse \( m = 5 \text{ kg} \) est suspendu par deux câbles. Le câble 1 fait un angle de \( 30^\circ \) avec l'horizontale et le câble 2 fait un angle de \( 60^\circ \) avec l'horizontale. Déterminez les tensions \( T_1 \) et \( T_2 \) dans chaque câble. 1. **Forces:** Poids \( P = mg = 5 \times 9.81 = 49.05 \text{ N} \) (vertical vers le bas), Tension \( T_1 \), Tension \( T_2 \). 2. **Repère:** Axe x horizontal, axe y vertical, origine au point de suspension du panneau. 3. **Décomposition:** * \( P_x = 0 \), \( P_y = -49.05 \text{ N} \) * \( T_{1x} = -T_1 \cos(30^\circ) \), \( T_{1y} = T_1 \sin(30^\circ) \) * \( T_{2x} = T_2 \cos(60^\circ) \), \( T_{2y} = T_2 \sin(60^\circ) \) 4. **PFS:** * \( \sum F_x = -T_1 \cos(30^\circ) + T_2 \cos(60^\circ) = 0 \) * \( \sum F_y = T_1 \sin(30^\circ) + T_2 \sin(60^\circ) - 49.05 = 0 \) 5. **Résolution:** * De la première équation: \( T_2 = T_1 \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(60^\circ)} = T_1 \frac{0.866}{0.5} = 1.732 T_1 \) * Substituez dans la deuxième: \( T_1 (0.5) + (1.732 T_1) (0.866) - 49.05 = 0 \) * \( T_1 (0.5 + 1.5) - 49.05 = 0 \) * \( 2 T_1 = 49.05 \implies T_1 = 24.525 \text{ N} \) * Alors \( T_2 = 1.732 \times 24.525 = 42.48 \text{ N} \) #### Exemple 2: Équilibre d'un anneau sous 4 forces Un petit anneau est tiré par trois forces. Une quatrième force \( \vec{F_4} \) est appliquée pour maintenir l'anneau en équilibre. Déterminez la magnitude et la direction de \( \vec{F_4} \). * \( \vec{F_1} \): 50 N à \( 0^\circ \) (horizontal vers la droite) * \( \vec{F_2} \): 70 N à \( 90^\circ \) (vertical vers le haut) * \( \vec{F_3} \): 60 N à \( 210^\circ \) (dans le 3ème quadrant) 1. **Forces:** \( \vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4} \). 2. **Repère:** Standard (x horizontal, y vertical). 3. **Décomposition:** * \( F_{1x} = 50 \cos(0^\circ) = 50 \text{ N} \), \( F_{1y} = 50 \sin(0^\circ) = 0 \text{ N} \) * \( F_{2x} = 70 \cos(90^\circ) = 0 \text{ N} \), \( F_{2y} = 70 \sin(90^\circ) = 70 \text{ N} \) * \( F_{3x} = 60 \cos(210^\circ) = 60(-0.866) = -51.96 \text{ N} \), \( F_{3y} = 60 \sin(210^\circ) = 60(-0.5) = -30 \text{ N} \) * \( F_{4x} = ? \), \( F_{4y} = ? \) 4. **PFS:** * \( \sum F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + F_{4x} = 0 \) \( 50 + 0 - 51.96 + F_{4x} = 0 \implies -1.96 + F_{4x} = 0 \implies F_{4x} = 1.96 \text{ N} \) * \( \sum F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + F_{4y} = 0 \) \( 0 + 70 - 30 + F_{4y} = 0 \implies 40 + F_{4y} = 0 \implies F_{4y} = -40 \text{ N} \) 5. **Magnitude et direction de \( \vec{F_4} \):** * Magnitude: \( |\vec{F_4}| = \sqrt{F_{4x}^2 + F_{4y}^2} = \sqrt{(1.96)^2 + (-40)^2} = \sqrt{3.8416 + 1600} = \sqrt{1603.8416} \approx 40.05 \text{ N} \) * Direction (angle \( \theta \) par rapport à l'axe des x): \( \tan(\theta) = \frac{F_{4y}}{F_{4x}} = \frac{-40}{1.96} \approx -20.41 \) Comme \( F_{4x} > 0 \) et \( F_{4y} < 0 \), la force est dans le 4ème quadrant. \( \theta = \arctan(-20.41) \approx -87.2^\circ \) ou \( 360^\circ - 87.2^\circ = 272.8^\circ \) Donc, \( \vec{F_4} \) a une magnitude d'environ 40.05 N et une direction d'environ \( 272.8^\circ \). ### Exercices 1. Un lampadaire est soutenu par trois haubans. Le lampadaire exerce une force verticale de 2000 N vers le bas au point de raccordement des haubans. Les haubans sont placés de la manière suivante (angles par rapport à l'horizontale) : * Hauban A: \( 45^\circ \) (vers la gauche) * Hauban B: \( 30^\circ \) (vers la droite) Déterminez les tensions \( T_A \) et \( T_B \) dans les haubans. 2. Un anneau de levage est soumis à trois forces coplanaires: * \( \vec{F_1} \): 100 N à \( 0^\circ \) * \( \vec{F_2} \): 80 N à \( 120^\circ \) * \( \vec{F_3} \): 120 N à \( 270^\circ \) Quelle est la magnitude et la direction de la force \( \vec{F_4} \) nécessaire pour maintenir l'anneau en équilibre ? ### Devoirs Un pont suspendu miniature est modélisé par un point central sur lequel agissent quatre forces. Trois de ces forces sont dues aux câbles et la quatrième est le poids de la section du pont au point de jonction (500 N, vertical vers le bas). * Câble 1: \( T_1 \) (inconnue), angle \( 150^\circ \) par rapport à l'horizontale. * Câble 2: 300 N, angle \( 60^\circ \) par rapport à l'horizontale. * Câble 3: \( T_3 \) (inconnue), angle \( 300^\circ \) par rapport à l'horizontale. Déterminez les tensions \( T_1 \) et \( T_3 \) dans les câbles 1 et 3 pour que le point central du pont soit en équilibre. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons revu le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** et appliqué ses équations pour résoudre des problèmes avec 3, 4 ou plus de forces coplanaires agissant sur un point. La clé est de : 1. **Identifier toutes les forces** agissant sur le corps ou le point. 2. **Choisir un repère cartésien** approprié. 3. **Décomposer chaque force** en ses composantes \( F_x \) et \( F_y \). 4. **Appliquer les équations d'équilibre** \( \sum F_x = 0 \) et \( \sum F_y = 0 \). 5. **Résoudre le système d'équations** pour trouver les inconnues. Maîtriser cette méthode est fondamental pour l'analyse des structures en ingénierie et en mécanique appliquée. ## Cas pratiques de résolution graphique d'un problème de statique avec 3, 4 ou plusieurs forces coplanaires (partie 2) ### Introduction Dans la partie 1, nous avons introduit le Principe Fondamental de la Statique (PFS) et appris à résoudre graphiquement des problèmes avec deux ou trois forces à l'aide du triangle des forces. Aujourd'hui, nous allons approfondir cette méthode en explorant comment résoudre graphiquement des situations impliquant **quatre forces ou plus**, toujours dans un plan (forces coplanaires). Nous utiliserons le **polygone des forces**, une extension du triangle des forces, pour déterminer les forces inconnues nécessaires à l'équilibre. ### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le Principe Fondamental de la Statique stipule qu'un corps est en équilibre si la somme vectorielle de toutes les forces externes qui lui sont appliquées est égale au vecteur nul. Cela se traduit mathématiquement par : \[ \sum \vec{F} = \vec{0} \] Graphiquement, cela signifie que si l'on représente toutes les forces bout à bout, le point d'arrivée de la dernière force doit coïncider avec le point de départ de la première force, formant ainsi une figure fermée (un polygone). ### Résolution graphique pour trois forces (Rappel) Comme vu précédemment, si un système est en équilibre sous l'action de trois forces coplanaires, leurs lignes d'action doivent être concourantes et leur représentation vectorielle bout à bout forme un **triangle fermé**. ### Résolution graphique pour quatre forces ou plus : Le polygone des forces #### Principe Lorsque plus de trois forces coplanaires agissent sur un corps en équilibre, la somme vectorielle de ces forces doit toujours être nulle. Graphiquement, cela signifie que la représentation de ces forces, placées bout à bout, doit former un **polygone fermé**. #### Étapes de construction du polygone des forces 1. **Choisir une échelle :** Il est essentiel de définir une échelle de forces (par exemple, 1 cm = 50 N) pour pouvoir représenter les grandeurs des forces sur votre feuille. Plus l'échelle est grande, plus la précision sera meilleure. 2. **Représenter les forces connues :** * Commencez par un point d'origine (arbitraire). * Tracez le premier vecteur force (par exemple, \( \vec{F_1} \)) en respectant sa direction, son sens et sa longueur (selon l'échelle choisie). * À l'extrémité du premier vecteur, tracez le deuxième vecteur (\( \vec{F_2} \)) de la même manière, et ainsi de suite pour toutes les forces connues. Vous formez ainsi une "chaîne" de vecteurs. 3. **Déterminer les forces inconnues :** * **Cas 1 : Une seule force inconnue en grandeur et en direction.** * Le polygone doit se fermer. La force inconnue sera le vecteur allant de l'extrémité de la dernière force connue au point de départ de la première force. Sa longueur, mesurée et convertie avec l'échelle, donnera sa grandeur. Sa direction et son sens seront ceux du vecteur tracé. * **Cas 2 : Une ou plusieurs forces inconnues avec des directions connues mais des grandeurs inconnues.** * Après avoir tracé toutes les forces connues, tracez, depuis l'extrémité du dernier vecteur connu, une droite (trait de construction fin) parallèle à la direction de la première force inconnue. * Depuis le point de départ de la première force du polygone, tracez une autre droite (trait de construction fin) parallèle à la direction de la deuxième force inconnue (si elle existe). Si c'est la seule force inconnue, cette droite doit relier le point de départ à la première droite tracée. * L'intersection de ces droites donne les points de fermeture du polygone. Les segments formés par ces droites représentent les forces inconnues, et leurs longueurs (mesurées et converties) leurs grandeurs. ### Vocabulaire * **Forces coplanaires :** Des forces dont les lignes d'action sont toutes situées dans un même plan. * **Forces concourantes :** Des forces dont les lignes d'action se coupent en un même point. * **Polygone des forces :** Représentation graphique des forces agissant sur un corps, où chaque force est représentée par un vecteur placé bout à bout. Si le corps est en équilibre, le polygone est fermé. * **Équilibre statique :** État d'un corps immobile (ou en mouvement rectiligne uniforme) où la somme vectorielle des forces est nulle. ### Exemples pratiques #### Exemple 1 : Équilibre d'un anneau sous trois forces (Rappel) Un anneau est en équilibre sous l'action de trois forces : \( \vec{F_1} \) (horizontale vers la droite, 100 N), \( \vec{F_2} \) (verticale vers le bas, 150 N), et \( \vec{F_3} \) (inconnue en grandeur et direction). 1. **Échelle :** 1 cm = 50 N. 2. **Tracé :** * Dessinez \( \vec{F_1} \) (2 cm vers la droite) à partir d'un point d'origine O. * À l'extrémité de \( \vec{F_1} \), dessinez \( \vec{F_2} \) (3 cm vers le bas). * Pour que l'anneau soit en équilibre, le triangle doit être fermé. Le vecteur \( \vec{F_3} \) part de l'extrémité de \( \vec{F_2} \) et rejoint le point de départ de \( \vec{F_1} \) (le point O). 3. **Résultat :** Mesurez la longueur de \( \vec{F_3} \) et son angle par rapport à l'horizontale. Vous devriez trouver environ 3.6 cm, soit 180 N, avec un angle d'environ 56.3° par rapport à l'horizontale, vers le haut et la gauche. #### Exemple 2 : Équilibre d'un objet sous l'action de quatre forces Un objet est soumis à quatre forces coplanaires. \( \vec{F_1} \) (100 N, horizontale à droite), \( \vec{F_2} \) (80 N, verticale vers le bas), \( \vec{F_3} \) (120 N, à 60° par rapport à l'horizontale vers le haut et la gauche). Déterminez graphiquement la quatrième force \( \vec{F_4} \) (grandeur et direction) pour que l'objet soit en équilibre. 1. **Échelle :** 1 cm = 20 N. 2. **Tracé des forces connues :** * Dessinez \( \vec{F_1} \) (5 cm horizontalement vers la droite) à partir d'un point d'origine O. * À l'extrémité de \( \vec{F_1} \), dessinez \( \vec{F_2} \) (4 cm verticalement vers le bas). * À l'extrémité de \( \vec{F_2} \), dessinez \( \vec{F_3} \) (6 cm, à 60° de l'horizontale vers le haut et la gauche). 3. **Détermination de \( \vec{F_4} \) :** * Pour que l'équilibre soit respecté, le polygone des forces doit être fermé. * Tracez le vecteur \( \vec{F_4} \) depuis l'extrémité de \( \vec{F_3} \) jusqu'au point de départ de \( \vec{F_1} \) (le point O). * Mesurez la longueur de \( \vec{F_4} \) (environ 6.5 cm) et convertissez-la avec l'échelle pour trouver sa grandeur (environ 130 N). * Mesurez l'angle que \( \vec{F_4} \) fait avec l'horizontale (environ 15°) pour trouver sa direction (vers le haut et la droite). ### Exercices 1. Un panneau publicitaire est soumis à trois forces : une force de vent \( \vec{F_v} \) de 200 N (horizontale), son poids \( \vec{P} \) de 100 N (verticale vers le bas), et la tension \( \vec{T} \) d'un câble de maintien. Le câble forme un angle de 30° avec la verticale et sa direction est vers le haut et la gauche. Déterminez graphiquement la grandeur de la tension \( \vec{T} \) pour que le panneau soit en équilibre. Utilisez une échelle de 1 cm = 50 N. (Indice : représentez les forces connues et fermez le triangle avec la direction connue de T). 2. Un objet est en équilibre sous l'action de quatre forces coplanaires. Trois forces sont connues : \( \vec{F_1} = 120 N \) (horizontale à droite), \( \vec{F_2} = 90 N \) (verticale vers le bas), \( \vec{F_3} = 70 N \) (à 45° par rapport à l'horizontale, vers le haut et la gauche). Déterminez graphiquement la grandeur et la direction de la quatrième force \( \vec{F_4} \) nécessaire pour que l'objet reste en équilibre. Utilisez une échelle de 1 cm = 30 N. ### Devoirs 1. Un luminaire est suspendu au plafond par une chaîne et est maintenu écarté du mur par une tige horizontale légère. Une force supplémentaire de 50 N est appliquée à 60° par rapport à l'horizontale vers le bas et la droite. Le poids du luminaire est de 100 N et la tige exerce une force de 40 N. Représentez graphiquement toutes ces forces et vérifiez si le luminaire est en équilibre. Si non, déterminez la force résultante. Utilisez une échelle de 1 cm = 20 N. 2. Recherchez des situations réelles où l'équilibre de plusieurs forces coplanaires est essentiel (par exemple, dans la conception de ponts, de grues, de bâtiments). Décrivez-en une et expliquez comment le principe du polygone des forces pourrait y être appliqué. ### Résumé * Le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** est la base de l'équilibre : la somme vectorielle des forces doit être nulle (\( \sum \vec{F} = \vec{0} \)). * Pour **trois forces en équilibre**, leur représentation vectorielle bout à bout forme un **triangle fermé**. * Pour **quatre forces ou plus en équilibre**, leur représentation vectorielle bout à bout forme un **polygone fermé**. * La **méthode graphique** du polygone des forces permet de déterminer des grandeurs ou des directions de forces inconnues en construisant cette figure fermée. * Le choix d'une **échelle appropriée** et la **précision du tracé** sont cruciaux pour obtenir des résultats fiables.