EQUILIBRE D'UN CORPS SOLIDE (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Modéliser un mécanisme simple en identifiant les corps solides et les liaisons qui les relient. - Representer les actions mécaniques (forces et moments) agissant sur un corps solide à l’aide d’un diagramme de corps libre (DCL). - Appliquer le principe fondamental de la statique (somme des forces nulles et somme des moments nuls) pour déterminer les réactions d’appui et vérifier l’équilibre d’un système planaire. - Réaliser un dimensionnement élémentaire (vérification de la résistance d’une liaison ou d’un appui) dans un contexte professionnel camerounais (atelier de métallerie, chantier de construction, bureau d’études). **Prérequis** : Notions de vecteurs (addition, produit vectoriel), systèmes de coordonnées cartésiennes, concept de force et de moment, lecture de plans simples, unités du Système International (N, m, N·m). --- ## Introduction contextualisée Dans les entreprises de métallerie, de construction ou de maintenance industrielle au Cameroun, il est fréquent de devoir vérifier que une structure (poutre, portique, bras de levage) ne bascule pas sous l’effet des charges qu’elle supporte. Cette vérification repose sur la statique du corps solide : on modélise chaque élément, on identifie les liaisons (pivot, glissière, encastrement…) et on écrit les équations d’équilibre. Une mauvaise estimation des réactions d’appui peut conduire à un renversement, à une déformation plastique ou à un accident de travail. Le présent cours fournit les outils nécessaires pour réaliser ces analyses de façon rigoureuse, en s’appuyant sur des exemples tirés de la pratique professionnelle (atelier de soudure à Douala, chantier de bâtiment à Yaoundé, bureau d’études à Bafoussam). --- ## I. Leçon 8 : Notion d’Équilibre Statique : Modélisation des éléments d'un mécanisme et des liaisons ### A. Définition d'un corps solide et d'un mécanisme > **Corps solide** : ensemble de points matériels dont les distances mutuelles restent constantes indépendamment des forces appliquées (déformation négligeable). > **Mécanisme** : assemblage de corps solids liés par des liaisons qui permettent des mouvements relatifs prévus (translation, rotation) ou qui les empêchent complètement (liaison fixe). ### B. Types de liaisons usuelles en technique industrielle | Liaison | Symbole schématique | Degré de liberté (DDL) supprimés | Exemple d’application au Cameroun | |---------|---------------------|----------------------------------|-----------------------------------| | Liaison pivot (rotule) | ○ | 2 DDL (tx, ty) | Charnière d’un portail métallique à Buea | | Liaison glissière | ║ | 2 DDL (tz, rx, ry) | Guide d’une table de découpe laser à Douala | | Liaison encastrement | ┴ | 3 DDL (tx, ty, tz) + 3 DDL rotation | Ancrage d’une colonne de soutien dans un bâtiment à Yaoundé | | Liaison rotule sphérique | ⊙ | 3 DDL (tx, ty, tz) | Articulation d’un bras de levage de grue mobile | | Liaison câble (tension seule) | ⟷ | 5 DDL (toutes sauf tx dans le sens du câble) | Hauban d’un pylône de télécommunication à Garoua | > **Règle de modélisation** : remplacer chaque liaison par ses réactions mécaniques (forces et/ou moments) inconnues, selon le nombre de DDL supprimés. ### C. Diagramme de corps libre (DCL) 1. Isoler le corps étudié. 2. Supprimer toutes les liaisons et les remplacer par leurs réactions inconnues. 3. Reporter toutes les forces extérieures connues (poids, charges appliquées, frottement). 4. Indiquer les axes de référence et le sens positif des moments (sens trigonométrique). > **Exemple** : Une poutre simplement appuyée (liaisons glissière aux extrémités) soumise à une charge ponctuelle P au milieu. Le DCL montre deux réactions verticales RA et RB aux appuis, le poids propre négligé, et la charge P. --- ## II. Leçon 9 : Notion d’Équilibre Statique : Modélisation des Actions Mécaniques et Interprétations ### A. Forces extérieures rencontrées en pratique | Type | Symbole | Unité | Origine typique | |------|---------|-------|-----------------| | Poids | **W** = m·g | N | Masse du corps (ex. poutre en acier) | | Charge concentrée | **P** | N | Masse d’un moteur fixé sur une console | | Charge répartie | **q** (N/m) | N/m | Poids d’un revêtement de sol sur une dalle | | Réaction d’appui | **R** | N ou N·m | Force ou moment développé par la liaison | | Frottement sec | **Ff** = μ·N | N | Contact entre un chariot et ses rails | | Force de ressort | **Fk** = k·Δx | N | Ressort de rappel d’une porte de sécurité | > **Nota** : Le coefficient de frottement μ dépend des matériaux (acier-acier ≈0,15, acier-béton ≈0,40). ### B. Moment d’une force Le moment scalaire d’une force **F** par rapport à un point O est : \[ M_O = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \quad\text{avec}\quad \|\mathbf{r}\| = \text{bras de levier} \] En notation scalaire (plan xy) : \[ M_O = F \cdot d \cdot \sin\theta \] où *d* est la distance perpendiculaire entre O et la ligne d’action de **F**, et θ l’angle entre **r** et **F**. > **Règle du signe** : moment positif s’il tend à faire tourner le corps dans le sens trigonométrique (antihoraire). ### C. Principe d’action et de réaction (3ᵉ loi de Newton) > **Action = – Réaction** : la force que le corps A exerce sur le corps B est égale en intensité, opposée en direction et alignée avec la force que B exerce sur A. Cette loi permet de déterminer les réactions d’appui en considérant l’équilibre du corps qui exerce la liaison. ### D. Interprétation des réactions d’appui - **Liaison glissière** : ne peut transmettre qu’une force normale à la direction de glissement (souvent verticale). Aucun moment réactionnel. - **Liaison pivot** : transmet deux forces (rx, ry) mais aucun moment (le joint est libre de tourner). - **Liaison encastrement** : transmet trois forces (rx, ry, rz) et trois moments (mx, my, mz) – encastre complètement le corps. > **Exemple d’interprétation** : Sur un portique métallique, les poteaux sont encastrés dans des fondations béton. Les réactions d’appui comprennent donc des efforts verticaux, horizontaux et des moments fléchissants qui doivent être résistés par le béton armé. --- ## III. Leçon 10 : Principe Fondamental de la Statique ### A. Équations d’équilibre pour un corps solide planaire Dans le plan (xy) : \[ \sum \mathbf{F}_x = 0 \qquad \sum \mathbf{F}_y = 0 \qquad \sum \mathbf{M}_O = 0 \] Ces trois équations sont indépendantes et suffisantes pour résoudre un système statiquement déterminé (au plus trois inconnues). ### B. Méthode de résolution pas à pas 1. **Choisir le corps libre** et dessiner son DCL. 2. **Identifier toutes les inconnues** (forces et moments de réaction). 3. **Écrire les équations de somme des forces** selon x et y. 4. **Écrire l’équation de somme des moments** autour d’un point judicieusement choisi (souvent un appui pour éliminer une inconnue). 5. **Résoudre le système linéaire** (substitution ou méthode de Cramer). 6. **Vérifier** en remplissant les équations restantes. ### C. Exemple chiffré complet (atelier de métallerie) **Énoncé** : Une console métallique de longueur L = 2,00 m est fixée au mur par un encastrement à gauche (point A) et soutenue par un câble inclinable à 45° rattaché à l’extrémité droite (point B). La console supporte une charge uniforme q = 300 N/m (poids d’une tôle) et une charge ponctuelle P = 500 N située à 0,80 m du mur. Déterminer les réactions d’encastrement (RAx, RAy, MA) et la tension T dans le câble. **Données** : g = 9,81 m/s² (non nécessaire ici car les forces sont déjà en N). **Étape 1 – DCL** - Encastrement A : RAx (→), RAy (↑), MA (dans le plan, sens antihoraire positif). - Câble B : tension T dirigée à 45° vers le haut et la droite. - Poids réparti : équivaut à une force résultante W = q·L = 300·2 = 600 N appliquée au milieu (x = 1,00 m). - Charge ponctuelle P = 500 N en x = 0,80 m. **Étape 2 – Équations** \[ \sum F_x = 0:\; RA_x + T\cos45^\circ = 0 \tag{1} \] \[ \sum F_y = 0:\; RA_y + T\sin45^\circ - W - P = 0 \tag{2} \] \[ \sum M_A = 0:\; T\sin45^\circ \cdot L - W \cdot \frac{L}{2} - P \cdot 0,80 = 0 \tag{3} \] *(Le moment de RAx et RAy est nul car leur bras de levier est nul en A.)* **Étape 3 – Résolution** D’après (3) : \[ T\sin45^\circ \cdot 2,00 = 600 \cdot 1,00 + 500 \cdot 0,80 \] \[ T \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 600 + 400 = 1000 \] \[ T = \frac{1000}{\sqrt{2}} \approx 707,1\; \text{N} \] D’après (1) : \[ RA_x = -T\cos45^\circ = -707,1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -500,0\; \text{N} \] (le signe négatif indique une réaction dirigée vers la gauche). D’après (2) : \[ RA_y = W + P - T\sin45^\circ = 600 + 500 - 707,1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ RA_y = 1100 - 500 = 600,0\; \text{N} \] **Étape 4 – Moment d’encastrement** \[ M_A = -\big( T\sin45^\circ \cdot L - W \cdot \frac{L}{2} - P \cdot 0,80 \big) = 0\; \text{N·m} \] (le câble a été choisi précisément pour annuler le moment d’encastrement). **Résultat** : - RAx = –500 N (compression horizontale) - RAy = +600 N (reaction verticale vers le haut) - MA = 0 N·m - T = 707 N dans le câble à 45° > **Vérification** : En remplissant ΣFx et ΣFy on retrouve zéro, confirmant la justesse du calcul. ### D. Cas statiquement indéterminé (rappel) Si le nombre d’inconnues dépasse trois, il faut introduire des relations de déformation (loi de Hooke, rigidité des liaisons) – sujet traité en résistance des matériaux, hors du présent chapitre. --- ## Synthèse du chapitre - **Équilibre statique** : ΣF = 0 et ΣM = 0 (équations scalaires dans le plan). - **Modélisation d’un mécanisme** : remplacer chaque liaison par ses réactions inconnues selon les DDL supprimés. - **Types de liaisons** : pivot (2 forces), glissière (1 force normale), encastrement (3 forces + 3 moments), rotule (3 forces), câble (1 force de traction). - **Diagramme de corps libre (DCL)** : étape indispensable pour visualiser forces connues et inconnues. - **Moment d’une force** : M = r × F ; signe positif sens antihoraire. - **Principe d’action et de réaction** : permet de relier les réactions d’appui aux actions exercées sur le corps voisin. - **Résolution** : trois équations d’équilibre → résoudre le système linéaire ; choisir un point de moment pour éliminer une inconnue. - **Application professionnelle** : vérification de portiques, consoles, bras de levage, haubans, etc., dans les ateliers de métallerie, chantiers de construction et bureaux d’études au Cameroun. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Corps solide | Ensemble de points dont les distances mutuelles restent constantes sous l’action des forces. | | Liaison | Élément qui relie deux corps solids et restreint leurs mouvements relatifs selon un nombre de degrés de liberté. | | Degré de liberté (DDL) | Mouvement indépendant possible d’un corps (translation ou rotation suivant un axe). | | Diagramme de corps libre (DCL) | Représentation schématique d’un corps isolé, montrant toutes les forces et moments agissant sur lui. | | Résultante | Vecteur somme de toutes les forces appliquées à un corps. | | Moment d’une force | Produit vectoriel du bras de levier par la force ; mesure de la tendance à faire tourner le corps. | | Équilibre statique | État où la résultante des forces et le moment résultant sont nuls. | | Réaction d’appui | Force ou moment développé par une liaison pour empêcher le mouvement relatif interdit. | | Frottement sec | Force de résistance tangentiellement proportionnelle à la normale, Ff = μN. | | Câble (tension seule) | Élément ne pouvant transmettre qu’une force de traction le long de son axe. | | Encastrement | Liaison supprimant les six DDL (3 translations, 3 rotations). | | Pivot (rotule) | Liaison supprimant deux translations, autorisant une rotation libre autour de l’axe commun. | | Glissière | Liaison supprimant deux translations et une rotation, autorisant un déplacement linéaire suivant son axe. | | Charge répartie | Force répartie le long d’une longueur, exprimée en N/m (ex. poids d’une dalle). | | Charge concentrée | Force appliquée en un point, exprimée en N. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Portique de chantier Un portique métallique de hauteur H = 3,00 m et d’envergure L = 4,00 m est constitué de deux poteaux verticaux encastrés dans des fondations béton (points A et D) et d’une traverse supérieure simplement appuyée sur les poteaux aux points B et C (liaisons glissière verticales). Une charge de neige uniforme q = 250 N/m agit sur la traverse. Déterminer les réactions d’encastrement aux poteaux (forces et moments). **Corrigé** 1. Isoler la traverse (corps libre BC). - Liaisons en B et C : glissière → seules des réactions verticales RB y et RC y. - Charge répartie : résultante W = q·L = 250·4 = 1000 N appliquée au milieu (x = 2,00 m depuis B). 2. Équations d’équilibre de la traverse : \[ \sum F_y = 0:\; R_{By}+R_{Cy}-W=0 \tag{1} \] \[ \sum M_B = 0:\; R_{Cy}\cdot L - W\cdot \frac{L}{2}=0 \tag{2} \] D’après (2) : \(R_{Cy}= \frac{W\cdot L/2}{L}= \frac{W}{2}=500\;N\). D’après (1) : \(R_{By}=W-R_{Cy}=500\;N\). 3. Chaque poteau reçoit en haut la réaction opposée à celle de la traverse : en B, le poteau subit une force descendante de 500 N ; en C, idem. 4. Isoler le poteau gauche (corps libre AB). - Encastrement en A : RAx, RAy, MA. - En B : force verticale de –500 N (descendante) appliquée en haut du poteau. - Poids du poteau négligé (ou pris en compte si besoin). - Équations : \[ \sum F_x =0:\; RA_x=0 \] \[ \sum F_y =0:\; RA_y -500 =0 \;\Rightarrow\; RA_y =+500\;N\;(vers le haut) \] \[ \sum M_A =0:\; -500\cdot H + M_A =0 \;\Rightarrow\; M_A = 500\cdot 3,00 =1500\;N·m\;(sens antihoraire) \] 5. Même raisonnement pour le poteau droit (symétrique) : RAx = 0, RAy = +500 N, MA = –1500 N·m (sens horaire). **Réponse** : - Poteau gauche : RAx = 0 N, RAy = +500 N, MA = +1500 N·m. - Poteau droit : RAx = 0 N, RAy = +500 N, MA = –1500 N·m. --- ### Exercice 2 – Bras de levage de grue mobile Un bras de levage simplifié est modélisé par une barre rigide AB de longueur L = 2,50 m, articulée en A par un pivot (liaison rotule) et soutenue en B par un câble faisant un angle de 30° avec la horizontal. Une charge P = 1200 N est suspendue à l’extrémité B. Déterminer la réaction en A (Rx, Ry) et la tension T dans le câble. **Corrigé** 1. DCL de la barre AB. - Pivot A : RAx, RAy (pas de moment). - Câble B : tension T à 30° au-dessus de l’horizontale. - Charge P verticale vers le bas en B. 2. Équations : \[ \sum F_x =0:\; RA_x + T\cos30^\circ =0 \tag{1} \] \[ \sum F_y =0:\; RA_y + T\sin30^\circ - P =0 \tag{2} \] \[ \sum M_A =0:\; T\sin30^\circ \cdot L - P \cdot L =0 \tag{3} \] 3. D’après (3) : \[ T\sin30^\circ \cdot L = P \cdot L \;\Rightarrow\; T\cdot \frac12 = P \;\Rightarrow\; T = 2P = 2400\;N \] 4. D’après (1) : \[ RA_x = -T\cos30^\circ = -2400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -2078,5\;N \] (réaction dirigée vers la gauche). 5. D’après (2) : \[ RA_y = P - T\sin30^\circ = 1200 - 2400\cdot\frac12 = 1200 -1200 = 0\;N \] (pas de réaction verticale au pivot, la totalité de la charge est portée par le câble). **Réponse** : - Tension dans le câble : T = 2400 N. - Réaction au pivot A : RAx ≈ –2079 N (compression horizontale), RAy = 0 N. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de remplacer une liaison glissière par une réaction normale uniquement (ajout erroné d’un moment). | Surdimensionnement ou sous-dimensionnement de l’appui → risque de basculement ou de fissure. | Toujours vérifier le nombre de DDL supprimés : glissière → 1 force normale, 0 moment. | | 2 | Confondre le sens du moment (prendre le sens horaire comme positif alors que le cours définit le sens antihoraire positif). | Équations de moment signées incorrectement → résultats aberrants. | Mettre en tête du papier une petite flèche indiquant le sens positif adopté et s’y tenir systématiquement. | | 3 | Négliger le poids propre d’un élément lorsqu’il est comparable aux charges externes (ex. poutre en acier de 200 kg). | Sous-estimation des réactions d’appui → déformation permanente ou rupture. | Calculer le poids propre (W = m·g) et l’ajouter comme force verticale répartie ou ponctuelle selon la géométrie. | | 4 | Utiliser une unité incohérente (mélange de mm et de m dans le même calcul). | Erreur de facteur 10³ ou 10⁶ → résultats totalement faux. | Homogénéiser toutes les longueurs en mètres avant de remplacer dans les formules ; indiquer clairement les unités à chaque étape. | | 5 | Ne pas vérifier l’équilibre après résolution (ne pas replacer les valeurs dans les équations initiales). | Erreur de calcul non détectée → conception dangereuse. | Toujours faire un contrôle de ΣFx, ΣFy, ΣM après avoir obtenu les inconnues. | | 6 | Travailler sans équipements de protection individuelle (EPI) lors de la manipulation de charges réelles sur chantier (casque, gants, chaussures de sécurité). | Risque de blessure par chute d’objet ou écrasement. | Porter obligatoirement casque, gants anti‑coupure, chaussures à embout acier et harnais lorsqu’on travaille en hauteur. | --- *Fin du cours.*