EQUILIBRE D'UN CORPS SOLIDE (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Identifier les conditions d’équilibre d’un solide soumis à deux, trois ou plusieurs forces. - Appliquer le théorème de Lami et la méthode du triangle des forces pour résoudre les systèmes à deux ou trois forces. - Établir les équations d’équilibre (∑Fₓ=0, ∑Fᵧ=0, ∑M=0) pour un solide soumis à quatre forces ou plus. - Résoudre un système linéaire d’inconnues (forces inconnues, moments) par substitution ou méthode de Gauss. - Interpréter les résultats dans un contexte professionnel (atelier de métallurgie, chantier de construction, bureau d’études). - Vérifier la cohérence dimensionnelle et l’admissibilité des solutions (positivité des réactions, sens des moments). **Prérequis** : - Notions de vecteur (addition, décomposition en composantes cartésiennes). - Moment d’une force par rapport à un point (M = r × F) et unités (N·m). - Équilibre d’une particule (∑F=0). - Utilisation d’une calculatrice scientifique pour résoudre des systèmes linéaires 2×2 ou 3×3. - Connaissance des règles de sécurité de base en atelier (port des EPI, vérification des charges). > **>** Un solide est en équilibre statique lorsque la somme vectorielle des forces et la somme des moments par rapport à tout point sont nuls. ## Introduction contextualisée Dans les métiers techniques du secondaire au Cameroun, qu’il s’agisse de la fabrication de structures métalliques à Douala, du montage de charpentes à Yaoundé ou de la conception de supports de machines dans un bureau d’études à Bafoussam, l’ingénieur ou le technicien doit s’assurer que les pièces étudiées ne subissent aucune translation ni rotation sous l’action des charges appliquées. Cette vérification repose sur l’analyse statique du solide. Le présent chapitre développe deux cas fréquents : (i) un corps soumis à seulement deux ou trois forces (situations simples comme une barre appuyée ou un câble de traction) et (ii) un corps soumis à quatre forces ou plus (structures réelles telles que des poutres appuyées, des portiques ou des cadres de machines). Chaque leçon présente les notions théoriques, les démarches de résolution pas à pas, des exemples chiffrés tirés de la pratique camerounaise et des encadrés « à retenir » pour faciliter la mémorisation. ## I. Leçon 11 : Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l’action de 2 ou 3 forces ### A. Principe d’équilibre sous deux forces Lorsque seul deux forces **F₁** et **F₂** agissent sur un solide rigide, l’équilibre implique que ces forces soient égales en module, opposées en direction et situées sur la même droite d’action. En d’autres termes : > **>** **F₁ + F₂ = 0** et **r₁ × F₁ + r₂ × F₂ = 0** ⟹ **F₁ = –F₂** et la droite d’action passe par le même point. Cette condition se rencontre souvent dans les vérins hydrauliques d’atelier où la tige subit une force de poussée égale et opposée à la résistance du vérin. ### B. Cas de trois forces non parallèles Pour trois forces **F₁**, **F₂**, **F₃** agissant sur un solide, l’équilibre est assuré si et seulement si elles sont concourantes (leurs droites d’action se rencontrent en un même point) et forment un triangle fermé lorsqu’on les place bout à bout. Cette propriété donne le **théorème de Lami** : > **>** Si trois forces **F₁**, **F₂**, **F₃** maintiennent un point en équilibre, alors > \[ > \frac{F₁}{\sin\alpha₁} = \frac{F₂}{\sin\alpha₂} = \frac{F₃}{\sin\alpha₃} > \] > où αᵢ est l’angle opposé à la force Fᵢ dans le triangle des forces. ### C. Méthode graphique et analytique 1. **Triangle des forces** : représenter chaque force par un vecteur, les placer tête‑à‑queue ; le polygone doit se fermer. 2. **Décomposition en composantes** : choisir un repère (Ox, Oy) ; écrire Fᵢ = (Fᵢₓ, Fᵢᵧ). 3. **Application de Lami** : utile lorsque les angles entre les forces sont connus. ### D. Exemple chiffré – Barre métallique appuyée sur deux points Une barre homogène de longueur L = 2,00 m, poids P = 150 N (appliqué en son milieu), est appuyée en A (rotule) et en B (appui simple). On cherche les réactions R_A et R_B. 1. **Diagramme de corps libre** : forces verticales P, R_A, R_B. 2. **Équations d’équilibre** : - ∑Fᵧ = 0 → R_A + R_B – P = 0 - ∑M_A = 0 → R_B·L – P·(L/2) = 0 3. **Résolution** : - R_B = P·(L/2)/L = P/2 = 75 N - R_A = P – R_B = 150 – 75 = 75 N > **>** Dans ce cas symétrique, chaque appui supporte la moitié du poids. > **>** Vérifier le sens des moments : un moment positif tend à faire tourner le solide dans le sens trigonométrique. ## II. Leçon 12 : Résolution Analytique des Problèmes de Statique : Cas de solides soumis à l’action de 4 forces et plus ### A. Principes généraux d’équilibre Pour un solide soumis à n forces (n ≥ 4), l’équilibre statique nécessite trois équations scalaires indépendantes (dans un plan) : > **>** ∑Fₓ = 0, ∑Fᵧ = 0, ∑M_O = 0 (où O est un point quelconque choisi pour simplifier les calculs). Ces équations forment un système linéaire dont les inconnues sont généralement les composantes des réactions d’appui ou des forces internes. ### B. Décomposition des forces Chaque force **Fᵢ** de module Fᵢ et d’angle θᵢ par rapport à l’axe Ox se décompose ainsi : \[ F_{iₓ} = F_i\cosθ_i,\qquad F_{iᵧ} = F_i\sinθ_i \] Les moments sont calculés par rapport au point O : \[ M_i = r_i × F_i = (x_iF_{iᵧ} - y_iF_{iₓ})\;\mathbf{k} \] où (x_i, y_i) sont les coordonnées du point d’application de Fᵢ. ### C. Méthode de résolution pas à pas 1. **Isoler le solide** (diagramme de corps libre). 2. **Choisir un repère** et noter toutes les forces connues et inconnues. 3. **Écrire les trois équations d’équilibre** (∑Fₓ, ∑Fᵧ, ∑M_O). 4. **Résoudre le système** (substitution, méthode de Cramer ou élimination de Gauss). 5. **Vérifier** la dimensionnalité et la plausibilité (pas de réaction négative si elle doit être poussante). ### D. Exemple d’atelier – Portique métallique soumis à quatre charges Un portique de largeur 4,00 m et hauteur 3,00 m supporte une charge verticale de 2 kN au milieu de la poutre supérieure (point C) et deux charges latérales de 0,8 kN chacune aux extrémités de la poutre inférieure (points D et E), dirigées vers l’intérieur. Les pieds du portique sont ancrés au sol (appuis encastrés en A et B). On cherche les réactions d’encastrement (forces et moments) en A et B. 1. **Diagramme de corps libre** : forces connues (P_C = 2 kN ↓, F_D = 0,8 kN →, F_E = 0,8 kN ←) ; inconnues : R_Ax, R_Ay, M_A, R_Bx, R_By, M_B. 2. **Équations** : - ∑Fₓ = 0 → R_Ax + R_Bx + 0,8 – 0,8 = 0 → R_Ax + R_Bx = 0 - ∑Fᵧ = 0 → R_Ay + R_By – 2 = 0 → R_Ay + R_By = 2 kN - ∑M_A = 0 (prenant A comme origine, x vers la droite, y vers le haut) : - Moment de P_C : x_C = 2,00 m, y_C = 3,00 m → M_P = –(2 kN)·2,00 m = –4 kN·m (sens horaire) - Moment de F_D : x_D = 0, y_D = 0 → nul - Moment de F_E : x_E = 4,00 m, y_E = 0 → M_E = (+0,8 kN)·4,00 m = +3,2 kN·m (antihoraire) - Inconnues : –M_A – M_B + R_By·3,00 m + R_Bx·0 = 0 (les forces en A produisent nul moment autour de A) - ∑M_B = 0 (pour obtenir une deuxième équation de moment) : - Même calcul avec x mesuré depuis B (x = –4,00 m pour C, etc.) → –M_A – M_B + R_Ay·3,00 m = 0 3. **Résolution** (on remarque que les forces horizontales s’annulent : R_Ax = –R_Bx ; on peut prendre R_Ax = R_Bx = 0 par symétrie). - De ∑Fᵧ : R_Ay + R_By = 2 kN - De ∑M_A : –M_A – M_B + 3R_By = 0 - De ∑M_B : –M_A – M_B + 3R_Ay = 0 En soustrayant les deux dernières équations : 3(R_By – R_Ay) = 0 → R_By = R_Ay. Ainsi R_Ay = R_By = 1 kN. En remplaçant dans ∑M_A : –M_A – M_B + 3·1 = 0 → M_A + M_B = 3 kN·m. Par symétrie des charges verticales, on prend M_A = M_B = 1,5 kN·m (sens antihoraire). > **>** Les réactions verticales sont égales (1 kN chacune) et les moments d’encastrement se partagent équitablement. ### E. Exemple de chantier – Poutre simple appuyée avec surcharge répartie Une poutre en béton armé de portée L = 5,00 m supporte une charge répartie w = 10 kN/m (poids propre + revêtement) et une charge ponctuelle P = 15 kN située à a = 2,00 m du soutien gauche A. Les appuis sont simples (rotule en A, rouleau en B). On cherche les réactions R_A et R_B. 1. **Résultatante de la charge répartie** : W = w·L = 10·5 = 50 kN, agissant à mi‑portée (x = L/2 = 2,50 m). 2. **Équations** : - ∑Fᵧ = 0 → R_A + R_B – W – P = 0 → R_A + R_B = 65 kN - ∑M_A = 0 → R_B·L – W·(L/2) – P·a = 0 → R_B·5 – 50·2,5 – 15·2 = 0 3. **Calcul** : - R_B·5 = 125 + 30 = 155 → R_B = 31,0 kN - R_A = 65 – 31 = 34,0 kN > **>** La réaction au soutien le plus proche de la charge ponctuelle est plus grande, comme attendu. ## III. Synthèse du chapitre - **Équilibre d’un solide** : ∑F = 0 et ∑M_O = 0 (pour tout point O). - **Deux forces** : égales, opposées, même droite d’action. - **Trois forces** : concourantes ; théorème de Lami applicable si les angles sont connus. - **Quatre forces ou plus** : écrire les trois équations scalaires ∑Fₓ=0, ∑Fᵧ=0, ∑M_O=0 ; résoudre le système linéaire. - **Méthode de résolution** : diagramme de corps libre → décomposition → équations → substitution ou matrice → vérification. - **Applications professionnelles** : vérins, portiques, poutres, charpentes, cadres de machines. - **Sécurité** : toujours contrôler que les réactions sont dans le sens physique attendu (poussée ou traction) et que les moments ne dépassent pas les capacités résistantes des appuis. > **>** Un bon technicien vérifie toujours le diagramme de corps libre avant d’écrire les équations. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Équilibre statique | État où la somme vectorielle des forces et la somme des moments sur un solide sont nuls. | | Force résultante | Vecteur somme de toutes les forces appliquées sur un solide. | | Moment d’une force | Produit vectoriel r × F ; mesure de la tendance à faire tourner le solide autour d’un point. | | Théorème de Lami | Relation entre trois forces concourantes en équilibre et les sinus des angles opposés. | | Diagramme de corps libre | Représentation isolant un solide et montrant toutes les forces extérieures agissant sur lui. | | Appui simple | Support permettant une réaction normale seulement (pas de moment). | | Appui encastré | Support empêchant translation et rotation ; réagit par une force et un moment. | | Charge répartie | Force distribuée uniformément le long d’une ligne ou d’une surface, exprimée en N/m ou N/m². | | Réaction d’appui | Force et/ou moment exercé par le support sur le solide pour assurer l’équilibre. | | Système linéaire | Ensemble d’équations du type a₁x + b₁y + … = c pouvant être résolu par substitution ou matrice. | | Sens trigonométrique | Sens de rotation opposé au mouvement des aiguilles d’une montre (positif en mécanique). | | Charpente | Structure assemblée de pièces linéaires (barres) destinée à supporter des charges. | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Vérin d’atelier Un vérin hydraulique exerce une force de 2 500 N sur la tige d’une presse. La tige est reliée à un bras de levier de longueur 0,40 m qui pivote autour d’un axe fixe O. Déterminer la moment de réaction que l’axe doit fournir pour maintenir le bras en équilibre horizontal. **Corrigé** - Le bras est soumis à deux forces : la force du vérin F = 2 500 N appliquée à l’extrémité du bras (perpendiculaire au bras) et la réaction de l’axe M_O (moment seulement, car l’axe est une rotule idéale). - Équation du moment autour de O : ∑M_O = 0 → M_O – F·L = 0 → M_O = F·L = 2 500 N × 0,40 m = 1 000 N·m. - Le moment doit être antihoraire (positif) pour contrer l’effet horaire de la force du vérin. > **>** Dans un vérin, le moment de réaction de l’axe est souvent fourni par un roulement à billes préchargé. ### Exercice 2 – Portique métallique (reprise) Un portique de 6,00 m de large et 4,00 m de haut supporte une charge verticale de 3 kN au milieu de la traverse supérieure et deux charges latérales de 1,2 kN chacune aux extrémités de la traverse inférieure, dirigées vers l’intérieur. Les pieds sont encastrés au sol. Calculer les réactions d’encastrement (forces et moments) en chaque pied. **Corrigé** (méthode similaire à l’exemple du cours) - Symétrie → forces horizontales nulles : R_Ax = R_Bx = 0. - Équilibre vertical : R_Ay + R_By = 3 kN → par symétrie R_Ay = R_By = 1,5 kN. - Moment autour du pied A : - Charge centrale : x = 3,00 m, y = 4,00 m → M = –3 kN·3,00 m = –9,0 kN·m. - Charge latérale gauche (x=0) : nul. - Charge latérale droite (x=6,00 m) : M = +1,2 kN·6,00 m = +7,2 kN·m. - ∑M_A = 0 → –M_A – M_B –9,0 +7,2 + 4·R_By = 0 → –M_A – M_B –1,8 + 4·1,5 = 0 → –M_A – M_B +4,2 = 0 → M_A + M_B = 4,2 kN·m. - Par symétrie des charges verticales, M_A = M_B = 2,1 kN·m (sens antihoraire). > **>** Les moments d’encastrement sont souvent pris en compte dans le dimensionnement des platines d’ancrage au sol. ### Exercice 3 – Poutre avec surcharge triangulaire Une poutre de portée 4,00 m supporte une charge triangulaire variant de 0 à 8 kN/m (valeur maximale au milieu) et une charge ponctuelle de 5 kN située à 1,00 m du soutien gauche. Les appuis sont simples. Déterminer les réactions. **Corrigé** - Résultante de la charge triangulaire : W = (1/2)·base·hauteur = 0,5·4,00 m·8 kN/m = 16 kN, agissant au centre de gravité du triangle, soit à un tiers de la base depuis le côté étroit : x_W = (2/3)·L = 2,667 m depuis le support gauche (ou 1,333 m depuis le droit). - Équations : - ∑Fᵧ = 0 → R_A + R_B – W – P = 0 → R_A + R_B = 21 kN. - ∑M_A = 0 → R_B·L – W·x_W – P·a = 0 → R_B·4 – 16·2,667 – 5·1 = 0. - Calcul : - R_B·4 = 42,672 + 5 = 47,672 → R_B = 11,918 kN ≈ 11,9 kN. - R_A = 21 – 11,9 = 9,1 kN. > **>** La réaction la plus grande se trouve du côté où la charge répartie est la plus forte. ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de prendre le moment d’une force parce que l’on croit qu’elle passe par le point de sommation. | Équation de moment incorrecte → réactions erronées. | Toujours vérifier le bras de levier (distance perpendiculaire) entre la ligne d’action de la force et le point choisi. | | 2 | Confondre le sens du moment (horaire/antihoraire) lors de l’écriture de l’équation ∑M=0. | Signes inversés → solution non physique. | Adopter une convention (ex. : moment positif = sens trigonométrique) et l’appliquer systématiquement à tous les termes. | | 3 | Négliger la décomposition d’une force oblique en ses composantes avant d’écrire ∑Fₓ et ∑Fᵧ. | Équations de forces incomplètes. | Dessiner le triangle des forces ou utiliser les formules Fₓ = F cosθ, Fᵧ = F sinθ dès le début. | | 4 | Utiliser un point de sommation mal choisi qui introduit des inconnues inutiles dans les équations de moment. | Système surdéterminé ou difficile à résoudre. | Choisir un point où passent le plus de forces inconnues (idéalement où deux réactions sont inconnues) pour éliminer leurs moments. | | 5 | Ne pas vérifier l’admissibilité des réactions (ex. obtenir une réaction négative alors qu’un appui ne peut que pousser). | Résultat non réalisable, risque de sous‑dimensionnement. | Après calcul, interpréter le signe : une réaction négative indique que la direction supposée était inverse ; reprendre le schéma avec le bon sens. | | 6 | Travailler sans porter les EPI (casque, lunettes, gants) lors de la manipulation de charges réelles en atelier. | Risque de blessure par chute d’objet ou écrasement. | Toujours porter les équipements de protection adaptés avant toute opération de levage ou de mise en charge. | > **>** En atelier, un bref « check‑list » de sécurité (EPI, ancrage des charges, vérification des outils) doit être réalisé avant chaque expérimentation statique. > **>** Le respect des procédures de vérification du diagramme de corps libre réduit de moitié les erreurs de signe dans les moments. > **>** Une réaction négative obtenue après calcul signifie simplement que la direction initialement supposée était opposée ; il suffit de renverser le sens et de poursuivre. > **>** Lors du dimensionnement d’un appui encastré, le moment de réaction ne doit jamais dépasser 0,6 × Mᵣₑₛ (moment résistante du matériau) afin d’assurer une marge de sécurité suffisante. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « ÉQUILIBRE D’UN CORPS SOLIDE (partie 2/2) » destiné aux élèves de seconde des séries F1, MAV, conformément au programme officiel MINESEC/IGE du Cameroun.*