NOTION DE FORCES ET MOMENT

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir une force, en représenter graphiquement son vecteur, et en déterminer la résultante de plusieurs forces appliquées à un point. - Appliquer le principe de superposition pour résoudre des problèmes d’équilibre statique d’un point matériel. - Définir le moment d’une force par rapport à un point et le moment d’un couple, en maîtriser les unités (N·m) et les conventions de signe. - Calculer le moment résultant d’un système de forces et vérifier l’équilibre des moments sur une pièce rigide (poutre, levier, bras de machine). - Utiliser ces notions dans des situations professionnelles camerounaises (chantier de construction, atelier de mécanique, bureau d’études). **Prérequis** : - Notions de grandeur vectorielle (sens, norme, addition de vecteurs). - Maîtrise du système international d’unités (SI) : newton (N), mètre (m), kilogramme (kg). - Concepts de base de la statique : corps rigide, point d’application, axe de rotation. --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers techniques du secondaire au Cameroun, qu’il s’agisse de la construction d’un bâtiment à Yaoundé, de la réparation d’un véhicule à Douala ou de la conception d’un dispositif agricole dans la région de l’Ouest, les forces et leurs effets de rotation sont omniprésents. Un ouvrier doit savoir quelle charge poutre peut supporter sans fléchir, un mécanicien doit déterminer le couple nécessaire pour serrer un boulon selon les normes de sécurité, et un technicien de bureau doit vérifier l’équilibre d’une étagère chargée de documents. Ce chapitre fournit les outils de base pour analyser ces situations de façon rigoureuse, en s’appuyant sur le référentiel de compétences du MINESEC/IGE (approche par compétences). --- ## I. Leçon 3 : Notion de Forces ### 3.1 Définition et représentation > **Une force** est une interaction qui tend à modifier l’état de mouvement ou de déformation d’un corps. Elle se représente par un vecteur $\vec{F}$ caractérisé par : > - son **point d’application** $A$ (où elle agit sur le corps), > - sa **direction** (droite suivant laquelle elle agit), > - son **sens** (orientation le long de cette droite), > - sa **norme** $F = \|\vec{F}\|$ exprimée en newtons (N). Graphiquement, on trace une flèche origine en $A$, longueur proportionnelle à $F$ (échelle choisie), pointe dans le sens de la force. ### 3.2 Types de forces rencontrés en atelier et chantier | Type de force | Origine | Exemple professionnel camerounais | |---|---|---| | **Poids** $\vec{P}$ | Gravité terrestre | Charge d’un sac de ciment de 50 kg sur une brouette | | **Réaction** $\vec{R}$ | Contact avec un support | Réaction du sol sur une échelle posée contre un mur | | **Tension** $\vec{T}$ | Cordage, câble, chaîne | Tension dans un câble de levage d’une poutre métallique | | **Frottement** $\vec{f}$ | Surfaces en contact | Frottement entre les pneus d’un camion et la route de terre | | **Force élastique** $\vec{F}_{el}$ | Ressort, barre déformée | Force de rappel d’un ressort de suspension d’un véhicule | | **Force de pression** | Fluide en poussée | Pression hydraulique dans un vérin de levage | ### 3.3 Principe de superposition et résultante Lorsque plusieurs forces $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ agissent sur le même point matériel $A$, leur effet mécanique est équivalent à celui d’une **force résultante** $\vec{R}$ définie par la somme vectorielle : \[ \vec{R}= \sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i \] En coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ : \[ R_x=\sum F_{ix},\quad R_y=\sum F_{iy},\quad R_z=\sum F_{iz} \] La résultante possède le même point d’application que le système de forces initialement considéré (si l’on travaille au niveau d’un point). ### 3.4 Équilibre d’un point matériel Un point matériel est en **équilibre statique** si la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle : \[ \vec{R}= \vec{0}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \displaystyle\sum F_x = 0\\[4pt] \displaystyle\sum F_y = 0\\[4pt] \displaystyle\sum F_z = 0 \end{cases} \] Ces trois équations permettent de déterminer des inconnues (réactions, tensions, etc.) dans un système statiquement déterminé. ### 3.5 Exemple chiffré : détermination des réactions d’un portique **Situation** : Un portique métallique supporte une charge verticale de $P = 2{,}0\text{ kN}$ appliquée au milieu de sa portée $L = 4{,}0\text{ m}$. Les appuis sont simples en $A$ (gauche) et $B$ (droite). Déterminer les réactions verticales $R_A$ et $R_B$. **Résolution** : 1. Choix du signe : vers le haut positif. 2. Équation de somme des forces verticales : \[ R_A + R_B - P = 0 \quad\Longrightarrow\quad R_A + R_B = P \] 3. Équation du moment par rapport à $A$ (pour éliminer $R_A$) : \[ \sum M_A = 0 \;\Rightarrow\; R_B \cdot L - P \cdot \frac{L}{2}=0 \] \[ R_B = \frac{P}{2}= \frac{2{,}0\text{ kN}}{2}=1{,}0\text{ kN} \] 4. Puis $R_A = P - R_B = 2{,}0-1{,}0 = 1{,}0\text{ kN}$. **Conclusion** : Chaque appui supporte la moitié de la charge, soit $1{,}0\text{ kN}$. > **À retenir** : Pour un système de forces concourant en un point, l’équilibre se traduit par l’annulation de la somme vectorielle des forces. --- ## II. Leçon 4 : Moment d’une Force/Couple ### 4.1 Définition du moment d’une force > Le **moment** (ou **couple de force**) d’un vecteur force $\vec{F}$ appliqué en un point $A$ par rapport à un point $O$ est le produit vectoriel : \[ \vec{M}_{O}= \vec{OA}\times \vec{F} \] - Son **module** : $M_O = \|\vec{OA}\|\,\|\vec{F}\|\sin\theta = F\,d$, où $d$ est la distance perpendiculaire (bras de levier) entre $O$ et la droite d’action de $\vec{F}$. - Son **sens** est donné par la règle de la main droite : pouce le long de $\vec{OA}$, doigts le long de $\vec{F}$, le moment pointe dans le sens où se referment les doigts. - L’unité SI est le **newton‑mètre** (N·m). ### 4.2 Moment d’une force par rapport à un point – calcul scalaire Dans un plan (souvent le cas en technique), on travaille avec le moment scalaire signé : \[ M_O = \pm F\,d \] Le signe **+** est attribué si la tendance de rotation est **antihoraire**, **–** si elle est **horaire** (convention adoptée au Cameroun pour les plans de chantier). ### 4.3 Moment d’un couple Un **couple** est formé par deux forces égales en module, opposées en sens et parallèles, dont les droites d’action sont distinctes. Son moment ne dépend pas du point de référence : \[ \vec{M}_{c}= \vec{r}\times\vec{F} \] où $\vec{r}$ est le vecteur allant du point d’application de la première force à celui de la seconde. Le module vaut $M_c = F\,a$, avec $a$ l’écart entre les deux droites (bras du couple). > **À retenir** : Le moment d’un couple est un **vecteur libre** ; il peut être déplacé partout dans le corps rigide sans changer son effet mécanique. ### 4.4 Propriétés essentielles du moment | Propriété | Expression | Remarque professionnelle | |---|---|---| | **Additivité** | $\displaystyle\vec{M}_{O}^{(total)}=\sum_i \vec{M}_{O}^{(i)}$ | On peut additionner les moments de plusieurs forces pour obtenir le moment résultant. | | **Transport du moment** | $\displaystyle\vec{M}_{O}= \vec{M}_{A}+ \vec{OA}\times\vec{R}$ où $\vec{R}$ est la résultante des forces | Utile pour reporter le moment d’une force depuis son point d’application vers un point de calcul plus commode (ex. centre d’une poutre). | | **Moment d’un couple** | Indépendant du point O | Permet de remplacer un système de forces par un couple équivalent lors de l’analyse d’une poutre encastrée. | | **Équivalence** | Deux systèmes de forces sont équivalents s’ils ont la même résultante **et** le même moment resultant par rapport à un même point. | Base de la réduction de systèmes de forces en statique. | ### 4.5 Équilibre des moments Un corps rigide est en équilibre statique si, en plus de la résultante nulle des forces, le **moment resultant** par rapport à quelconque point est nul : \[ \sum \vec{M}_{O}= \vec{0} \] En pratique, on choisit un point qui élimine une inconnue (souvent un appui) pour simplifier les équations. ### 4.6 Exemple chiffré : détermination du couple de serrage d’une boulon **Situation** : Un boulon de diamètre $M12$ doit être serré à un couple de $C_{serrage}= 25\text{ N·m}$ selon les normes de sécurité mécanique au Cameroun. On utilise une clé à cliquet de longueur efficace $l = 0{,}25\text{ m}$. Quelle force $F$ doit-on appliquer perpendiculairement à la clé pour atteindre ce couple ? **Résolution** : Le moment produit par la force est $M = F \cdot l$ (force perpendiculaire → $\sin 90^\circ =1$). \[ F = \frac{M}{l}= \frac{25\text{ N·m}}{0{,}25\text{ m}} = 100\text{ N} \] Ainsi, il faut exercer une force de **100 N** (environ 10 kgf) à l’extrémité de la clé. > **À retenir** : Le couple de serrage dépend directement de la longueur de levier ; augmenter la longueur réduit la force nécessaire, mais il faut rester dans les limites de résistance de l’outil. ### 4.7 Exemple chiffré : équilibre d’une poutre simple chargée **Situation** : Une poutre en acier simplement appuyée en $A$ et $B$ (portée $L=6{,}0\text{ m}$) supporte : - une charge concentrée $P=3{,}0\text{ kN}$ à $2{,}0\text{ m}$ de $A$, - une charge répartie uniforme $q=0{,}5\text{ kN/m}$ sur toute la portée. Déterminer les réactions $R_A$ et $R_B$. **Résolution** : 1. Résultante de la charge répartie : $Q = qL = 0{,}5\times6{,}0 = 3{,}0\text{ kN}$, agissant au milieu de la portée, soit à $3{,}0\text{ m}$ de $A$. 2. Équation des forces verticales : \[ R_A + R_B - P - Q = 0 \quad\Longrightarrow\quad R_A + R_B = P+Q = 6{,}0\text{ kN} \] 3. Moment par rapport à $A$ : \[ \sum M_A =0 \;\Rightarrow\; R_B\cdot L - P\cdot 2{,}0 - Q\cdot 3{,}0 =0 \] \[ R_B\cdot6{,}0 - 3{,}0\cdot2{,}0 - 3{,}0\cdot3{,}0 =0 \] \[ 6R_B - 6{,}0 - 9{,}0 =0 \;\Rightarrow\; 6R_B =15{,}0 \;\Rightarrow\; R_B = 2{,}5\text{ kN} \] 4. Alors $R_A = 6{,}0 - 2{,}5 = 3{,}5\text{ kN}$. **Vérification** : Moment par rapport à $B$ donne le même résultat. > **À retenir** : Pour résoudre les réactions d’une poutre, on utilise successivement l’équilibre des forces et l’équilibre des moments autour d’un point choisi pour éliminer une inconnue. --- ## Synthèse du chapitre - **Force** : vecteur $\vec{F}$ (point d’application, direction, sens, norme) ; unité : newton (N). - **Résultante** : $\vec{R}= \sum \vec{F}_i$ ; équilibre d’un point : $\sum\vec{F}= \vec{0}$. - **Moment d’une force** : $\vec{M}_O = \vec{OA}\times\vec{F}$ ; module $M=Fd$ ; unité : N·m. - **Moment d’un couple** : $\vec{M}_c = \vec{r}\times\vec{F}$ ; indépendant du point de référence ; vecteur libre. - **Propriétés** : additivité, transport, équivalence des systèmes de forces. - **Équilibre d’un corps rigide** : $\sum\vec{F}= \vec{0}$ et $\sum\vec{M}_O= \vec{0}$. - **Applications professionnelles** : détermination des réactions d’appuis, calcul de couples de serrage, analyse de poutres et leviers sur chantier ou en atelier. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |---|---| | **Force** | Interaction pouvant modifier le mouvement ou la déformation d’un corps, représentée par un vecteur. | | **Résultante** | Somme vectorielle de plusieurs forces agissant sur le même point ou le même corps. | | **Équilibre statique** | État où la résultante des forces et le résultant des moments sont nuls. | | **Moment d’une force** | Produit vectoriel du bras de levier et de la force ; mesure de la tendance à faire tourner un corps autour d’un point. | | **Bras de levier** | Distance perpendiculaire entre le point de réduction et la droite d’action de la force. | | **Couple** | Système de deux forces égales, opposées et parallèles ; son moment est indépendant du point de référence. | | **Resultant moment** | Somme vectorielle des moments de toutes les forces d’un système par rapport à un même point. | | **Réaction** | Force exercée par un support sur un corps en réponse aux actions extérieures. | | **Charge répartie** | Force répartie uniformément le long d’une ligne ou d’une surface (ex. poids propre d’une poutre). | | **Clé à cliquet** | Outil permettant d’appliquer un couple de serrage grâce à un levier de longueur connue. | | **Norme de sécurité** | Règle édictée (ex. MINTP, ONASEC) limitant les efforts admissibles sur un élément mécanique ou structural. | | **Point matériel** | Corps dont les dimensions sont négligeables devant les distances considérées ; modélisé comme une masse ponctuelle. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Réactions d’un portique chargé **Énoncé** : Un portique métallique de portée $L=5{,}0\text{ m}$ supporte une charge concentrée $P=4{,}0\text{ kN}$ située à $1{,}5\text{ m}$ de l’appui gauche $A$. Les appuis sont simples. Déterminer les réactions verticales $R_A$ et $R_B$. **Corrigé** : 1. Équilibre des forces : $R_A+R_B = P = 4{,}0\text{ kN}$. 2. Moment par rapport à $A$ : $R_B\cdot5{,}0 - P\cdot1{,}5 =0$ → $R_B = \dfrac{4{,}0\times1{,}5}{5{,}0}=1{,}2\text{ kN}$. 3. Alors $R_A = 4{,}0-1{,}2 = 2{,}8\text{ kN}$. **Réponse** : $R_A = 2{,}8\text{ kN}$ (vers le haut), $R_B = 1{,}2\text{ kN}$ (vers le haut). --- ### Exercice 2 – Couple de serrage d’une écrou **Énoncé** : Une écrou de diamètre $M16$ doit être serré à un couple de $C=35\text{ N·m}$ selon les recommandations du constructeur. On utilise une clé de longueur effective $l=0{,}30\text{ m}$. Quelle force minimale doit-on appliquer perpendiculairement à la clé ? **Corrigé** : $F = C/l = 35\text{ N·m} / 0{,}30\text{ m}= 116{,}7\text{ N}\approx 117\text{ N}$. **Réponse** : Environ $117\text{ N}$ (≈12 kgf). --- ### Exercice 3 – Équilibre d’une poutre avec charge répartie et ponctuelle **Énoncé** : Une poutre simplement appuyée en $A$ et $B$ (portée $L=8{,}0\text{ m}$) supporte : - une charge ponctuelle $P=6{,}0\text{ kN}$ à $2{,}0\text{ m}$ de $A$, - une charge répartie $q=0{,}4\text{ kN/m}$ sur les $4{,}0\text{ m}$ de droite de la poutre (de $x=4{,}0$ à $x=8{,}0$ m). Déterminer les réactions $R_A$ et $R_B$. **Corrigé** : 1. Résultante de la charge répartie : $Q = q \times 4{,}0 = 0{,}4\times4{,}0 = 1{,}6\text{ kN}$, agissant au milieu de cette zone, soit à $x = 4{,}0 + 2{,}0 = 6{,}0\text{ m}$ de $A$. 2. Équilibre des forces : $R_A+R_B = P+Q = 6{,}0+1{,}6 = 7{,}6\text{ kN}$. 3. Moment par rapport à $A$ : \[ R_B\cdot8{,}0 - P\cdot2{,}0 - Q\cdot6{,}0 =0 \] \[ 8R_B - 6{,}0\times2{,}0 - 1{,}6\times6{,}0 =0 \] \[ 8R_B -12{,}0 -9{,}6 =0 \;\Rightarrow\; 8R_B =21{,}6 \;\Rightarrow\; R_B =2{,}70\text{ kN} \] 4. $R_A = 7{,}6 - 2{,}70 = 4{,}90\text{ kN}$. **Réponse** : $R_A = 4{,}90\text{ kN}$, $R_B = 2{,}70\text{ kN}$. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de sécurité / bonne pratique | |---|---|---|---| | 1 | Oublier de prendre le signe du moment (horaire/antihoraire) lors de l’écriture de l’équation $\sum M=0$. | Résultat de réaction erroné, pouvant conduire à une sous‑dimensionnement d’un appui. | Toujours définir une convention de signe (ex. + antihoraire) et l’appliquer systématiquement à tous les moments. | | 2 | Confondre le bras de levier $d$ avec la distance le long de la poutre (non perpendiculaire). | Sur‑ ou sous‑estimation du moment, risque de rupture ou de déformation excessive. | Vérifier que le bras utilisé est la distance perpendiculaire entre le point de réduction et la droite d’action de la force. | | 3 | Négliger le poids propre de la pièce (poutre, barre) dans les équations d’équilibre. | Sous‑estimation des réactions, surtout pour de longues portées. | Inclure le poids propre comme une charge répartie $q=\rho g A$ (masse volumique × gravité × section). | | 4 | Utiliser une clé de longueur inadaptée pour atteindre un couple de serrage, entraînant un glissement ou un dépassement de la limite élastique du boulon. | Desserrage intempestif ou rupture du boulon, risque d’accident sur chantier. | Consulter la fiche technique du boulon pour le couple recommandé et choisir une clé dont le levier permet d’appliquer la force sans dépasser la capacité de l’opérateur (souvent < 200 N). | | 5 | Ne pas vérifier l’unité lors du calcul d’un moment (oublier de convertir les centimètres en mètres). | Erreur de facteur 100, conduisant à des conceptions dangereuses. | Toujours convertir toutes les longueurs en mètres avant d’appliquer $M=F\cdot d$ (ou utiliser des unités cohérentes N·mm si l’on travaille en mm). | | 6 | Supposer que deux systèmes de forces ayant la même résultante sont équivalents sans vérifier l’égalité des moments. | Conception d’une pièce qui semble équilibrée en translation mais qui subit un moment résiduel non nul → vibration ou fissure. | Appliquer le critère d’équivalence : même résultante **et** même moment resultant par rapport à un même point. | --- *Fin du cours.*