Principe fondamental de la statique (partie 8/11)

## Moment d’une force ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le moment d'une force ! En mécanique appliquée, nous étudions comment les forces agissent sur les objets. Jusqu'à présent, nous avons surtout considéré le mouvement de translation (ligne droite). Aujourd'hui, nous allons découvrir comment une force peut provoquer ou empêcher la rotation d'un objet. C'est un concept essentiel pour comprendre l'équilibre des structures, le fonctionnement d'outils simples comme les leviers, et bien d'autres applications de la vie quotidienne. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que le moment d'une force ? Le moment d'une force, souvent appelé **moment de torsion** ou **couple**, est la grandeur physique qui mesure la capacité d'une force à faire tourner un objet autour d'un point ou d'un axe. Plus simplement, c'est la tendance d'une force à provoquer une rotation. Imaginez que vous essayez d'ouvrir une porte. La force que vous appliquez sur la poignée ne la pousse pas seulement, elle la fait aussi pivoter autour des gonds. Cette capacité à faire pivoter est le moment de la force. #### Calcul du moment d'une force Le moment d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point O (appelé **centre de rotation** ou **point de pivot**) dépend de deux choses : 1. L'intensité de la force (sa grandeur, en Newtons). 2. La distance perpendiculaire entre le point de pivot et la ligne d'action de la force (appelée **bras de levier**). La formule pour calculer le moment \( M \) est : \[ M = F \times d \] Où : * \( M \) est le moment de la force (en Newton-mètre, N.m). * \( F \) est l'intensité de la force (en Newtons, N). * \( d \) est le bras de levier (en mètres, m). C'est la distance la plus courte entre le point de pivot O et la ligne d'action de la force. C'est toujours la distance *perpendiculaire*. **Exemple de bras de levier :** Si vous poussez une porte à angle droit de sa surface, le bras de levier est la distance entre les gonds et l'endroit où vous poussez. Si vous poussez la porte de biais, le bras de levier est plus court, car il faut trouver la distance perpendiculaire à la ligne d'action de votre force. #### Sens de rotation et convention de signe Une force peut faire tourner un objet dans deux sens différents : * **Sens horaire (CW - Clockwise) :** comme les aiguilles d'une montre. * **Sens anti-horaire (CCW - Counter-clockwise) :** dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Pour la convention de signe, en mécanique, il est courant de considérer : * Les moments qui tendent à provoquer une rotation dans le sens **anti-horaire** comme **positifs** (\( +M \)). * Les moments qui tendent à provoquer une rotation dans le sens **horaire** comme **négatifs** (\( -M \)). #### Équilibre de rotation (Principe fondamental de la statique) Pour qu'un objet soit en équilibre de rotation (c'est-à-dire qu'il ne tourne pas ou tourne à vitesse angulaire constante), la somme de tous les moments agissant sur cet objet par rapport à n'importe quel point doit être égale à zéro. \[ \Sigma M = 0 \] Ceci est une des conditions clés du principe fondamental de la statique, en complément de la somme des forces égale à zéro pour l'équilibre de translation. ### Vocabulaire * **Moment d'une force :** Mesure la capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un point. Unité : Newton-mètre (N.m). * **Force (\( \vec{F} \)) :** Action mécanique qui tend à modifier l'état de mouvement d'un objet. Unité : Newton (N). * **Bras de levier (\( d \)) :** Distance perpendiculaire entre le centre de rotation (point de pivot) et la ligne d'action de la force. Unité : mètre (m). * **Centre de rotation (ou point de pivot) :** Point fixe ou axe autour duquel l'objet est libre de tourner. * **Ligne d'action de la force :** Ligne imaginaire le long de laquelle la force est appliquée. * **Sens horaire (CW) :** Rotation dans le sens des aiguilles d'une montre (souvent considéré comme négatif). * **Sens anti-horaire (CCW) :** Rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (souvent considéré comme positif). * **Équilibre de rotation :** Condition où la somme des moments agissant sur un objet est nulle, l'objet ne tourne donc pas ou tourne à vitesse constante. ### Exemples #### Exemple 1 : Ouvrir une porte Vous poussez la poignée d'une porte avec une force de 20 N. La poignée est située à 0,9 m des gonds (le point de pivot). La force est appliquée perpendiculairement à la porte. Quel est le moment que vous appliquez sur la porte ? * Force \( F = 20 \text{ N} \) * Bras de levier \( d = 0,9 \text{ m} \) * \( M = F \times d = 20 \text{ N} \times 0,9 \text{ m} = 18 \text{ N.m} \) Si la porte s'ouvre dans le sens anti-horaire (quand on la regarde d'en haut), le moment sera de \( +18 \text{ N.m} \). #### Exemple 2 : Utilisation d'une clé à molette Vous utilisez une clé à molette pour serrer un écrou. Vous appliquez une force de 50 N à l'extrémité du manche de la clé, à 25 cm de l'écrou (le point de pivot). La force est appliquée perpendiculairement au manche. Calculez le moment appliqué à l'écrou. * Force \( F = 50 \text{ N} \) * Bras de levier \( d = 25 \text{ cm} = 0,25 \text{ m} \) * \( M = F \times d = 50 \text{ N} \times 0,25 \text{ m} = 12,5 \text{ N.m} \) Si vous serrez dans le sens horaire, le moment sera de \( -12,5 \text{ N.m} \). ### Exercices 1. Une force de 15 N est appliquée à l'extrémité d'un levier. Si le bras de levier est de 0,8 m, calculez le moment produit par cette force. 2. Pour débloquer un boulon, un moment de 40 N.m est nécessaire. Si vous utilisez une clé de 0,5 m de long, quelle force minimale devez-vous appliquer à son extrémité (perpendiculairement) ? 3. Un enfant de 30 kg est assis à 2 m du pivot d'une balançoire. Quel moment applique-t-il sur la balançoire ? (Prenez \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \) pour le poids). 4. Expliquez pourquoi il est plus facile d'ouvrir une porte en poussant la poignée plutôt qu'en poussant près des gonds. ### Devoirs 1. Un mécanicien doit serrer un écrou avec un moment de 60 N.m. Il dispose d'une clé de 30 cm de long. Quelle force doit-il appliquer perpendiculairement à l'extrémité de la clé ? Représentez la situation par un schéma en indiquant le bras de levier. 2. Une poutre de 4 m de long est supportée à son centre. Une force de 100 N est appliquée à 1,5 m d'une extrémité. Une autre force de 80 N est appliquée à 1 m de l'autre extrémité. Calculez le moment résultant par rapport au centre de la poutre. Dans quel sens la poutre tend-elle à tourner ? 3. Recherchez et décrivez deux autres exemples concrets où le concept de moment d'une force est crucial (par exemple, un ouvre-boîte, des freins de vélo, un pied de biche). 4. Une roue de vélo a un rayon de 0,35 m. Une force tangentielle de 25 N est appliquée sur le bord de la roue. Quel moment cette force génère-t-elle par rapport à l'axe de la roue ? ### Résumé Pour conclure, le **moment d'une force** est une mesure de son efficacité à provoquer une rotation. Il est calculé en multipliant la force par le **bras de levier** (la distance perpendiculaire entre le point de pivot et la ligne d'action de la force). Son unité est le Newton-mètre (N.m). Nous avons vu que le sens de rotation (horaire ou anti-horaire) est important et qu'une convention de signe est utilisée pour les calculs. Enfin, pour qu'un objet soit en **équilibre de rotation**, la somme de tous les moments agissant sur lui doit être égale à zéro. Comprendre le moment d'une force est fondamental pour analyser et concevoir de nombreux systèmes mécaniques. ## Réduction d’un système matériel en un point ### Introduction Dans le domaine de la mécanique appliquée, il est courant de rencontrer des systèmes complexes où plusieurs forces et moments agissent simultanément sur un même corps ou ensemble de corps. Pour analyser l'équilibre ou le mouvement de ces systèmes, il est souvent très utile de les simplifier. La **réduction d'un système matériel en un point** est une méthode puissante qui nous permet de remplacer toutes les actions mécaniques (forces et moments) agissant sur un corps par une force unique et un moment unique, tous deux appliqués en un point choisi. Cette simplification facilite grandement l'application des principes fondamentaux de la statique, notamment le Principe Fondamental de la Statique (PFS). ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un système matériel ? Un système matériel est un ensemble de corps (solides, fluides, etc.) ou de points qui interagissent entre eux et avec leur environnement. En mécanique, nous nous intéressons souvent aux forces et moments que l'environnement exerce sur le système (actions extérieures). #### Le Principe de Réduction Réduire un système de forces et de moments en un point consiste à trouver une force unique, appelée **résultante générale**, et un moment unique, appelé **moment résultant**, qui ont le même effet mécanique que le système initial. Ce nouveau système simplifié est appliqué à un point arbitrairement choisi, appelé **point de réduction**. #### La Résultante Générale (ou Force Équivalente) La résultante générale \( \vec{R} \) est la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le système. Elle représente la tendance du système à se déplacer en translation. La formule de la résultante générale est : \[ \vec{R} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F_i} \] Où \( \vec{F_i} \) sont les différentes forces appliquées au système. #### Le Moment Résultant (ou Moment Équivalent) Le moment résultant \( \vec{M_A} \) est la somme vectorielle de tous les moments (créés par les forces et les moments déjà existants) par rapport au point de réduction \( A \). Il représente la tendance du système à tourner autour du point \( A \). Si une force \( \vec{F_i} \) est appliquée en un point \( P_i \), son moment par rapport au point \( A \) est donné par le produit vectoriel \( \vec{M_A}(\vec{F_i}) = \vec{AP_i} \times \vec{F_i} \). Si des moments \( \vec{M_j} \) sont déjà appliqués au système, ils sont directement inclus dans la somme. La formule du moment résultant au point \( A \) est : \[ \vec{M_A} = \sum_{i=1}^{n} (\vec{AP_i} \times \vec{F_i}) + \sum_{j=1}^{m} \vec{M_j} \] Où \( \vec{AP_i} \) est le vecteur allant du point de réduction \( A \) au point d'application \( P_i \) de la force \( \vec{F_i} \). #### Le Point de Réduction Le choix du point de réduction \( A \) est arbitraire. La résultante générale \( \vec{R} \) est indépendante du point de réduction choisi, mais le moment résultant \( \vec{M_A} \) dépend de ce point. Il existe une relation entre les moments résultants calculés en deux points différents \( A \) et \( B \) : \[ \vec{M_B} = \vec{M_A} + \vec{BA} \times \vec{R} \] #### Application au Principe Fondamental de la Statique (PFS) Une fois le système réduit en un point, les conditions d'équilibre statique (absence de mouvement de translation et de rotation) sont très simples à exprimer : Pour qu'un système soit en équilibre statique, il faut que : 1. **La résultante générale soit nulle (équilibre en translation) :** \[ \vec{R} = \vec{0} \] 2. **Le moment résultant par rapport à n'importe quel point \( A \) soit nul (équilibre en rotation) :** \[ \vec{M_A} = \vec{0} \] Ces deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un solide soumis à un système quelconque de forces et de moments. ### Vocabulaire * **Système matériel :** Ensemble d'éléments (points, corps) étudiés. Pour nous, souvent un solide ou un assemblage de solides. * **Action mécanique :** Toute cause capable de produire ou de modifier le mouvement d'un corps (force, moment). * **Force :** Représentée par un vecteur, elle est caractérisée par son point d'application, sa direction, son sens et son intensité. * **Moment d'une force :** Grandeur vectorielle qui mesure la capacité d'une force à provoquer une rotation autour d'un point ou d'un axe. * **Réduction :** Processus de simplification d'un ensemble complexe d'actions mécaniques en une résultante et un moment en un point. * **Résultante générale :** Somme vectorielle de toutes les forces d'un système. Exprime la tendance à la translation. * **Moment résultant :** Somme vectorielle de tous les moments (des forces et des moments appliqués) par rapport à un point donné. Exprime la tendance à la rotation. * **Point de réduction :** Point choisi pour effectuer la réduction du système d'actions mécaniques. * **Équilibre statique :** État d'un système où il est au repos et le reste, c'est-à-dire sans mouvement de translation ni de rotation. ### Exemples #### Exemple 1 : Réduction d'un système de forces parallèles Considérons une poutre horizontale \( AB \) de longueur \( L = 4 \text{ m} \). Deux forces verticales sont appliquées : * \( \vec{F_1} \) de 10 N vers le bas, appliquée au point \( P_1 \) situé à 1 m de \( A \). * \( \vec{F_2} \) de 20 N vers le bas, appliquée au point \( P_2 \) situé à 3 m de \( A \). Réduisons ce système au point \( A \). 1. **Calcul de la résultante générale \( \vec{R} \) :** Les forces sont toutes verticales et orientées vers le bas. Si nous prenons un axe y vertical positif vers le haut : \( \vec{F_1} = -10\vec{j} \) N \( \vec{F_2} = -20\vec{j} \) N \[ \vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (-10 - 20)\vec{j} = -30\vec{j} \text{ N} \] La résultante est une force de 30 N vers le bas. 2. **Calcul du moment résultant \( \vec{M_A} \) :** Prenons un axe x horizontal de A vers B. Les moments seront perpendiculaires au plan (x,y), suivant l'axe z. Les vecteurs positions depuis \( A \) sont : \( \vec{AP_1} = 1\vec{i} \text{ m} \) \( \vec{AP_2} = 3\vec{i} \text{ m} \) \[ \vec{M_A} = (\vec{AP_1} \times \vec{F_1}) + (\vec{AP_2} \times \vec{F_2}) \] \[ \vec{M_A} = ((1\vec{i}) \times (-10\vec{j})) + ((3\vec{i}) \times (-20\vec{j})) \] Sachant que \( \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} \) : \[ \vec{M_A} = (-10\vec{k}) + (-60\vec{k}) = -70\vec{k} \text{ N.m} \] Le moment résultant est de 70 N.m dans le sens horaire (si l'axe z positif est vers l'observateur). Le système de forces est donc équivalent à une force \( \vec{R} = -30\vec{j} \text{ N} \) et un moment \( \vec{M_A} = -70\vec{k} \text{ N.m} \) appliqués au point \( A \). ### Exercices 1. Un panneau rectangulaire est soumis à trois forces coplanaires : * \( \vec{F_1} = (5\vec{i} + 3\vec{j}) \text{ N} \) appliquée à (0,0) * \( \vec{F_2} = (-2\vec{i} + 6\vec{j}) \text{ N} \) appliquée à (2,1) * \( \vec{F_3} = (1\vec{i} - 4\vec{j}) \text{ N} \) appliquée à (1,3) Calculez la résultante générale \( \vec{R} \) de ce système de forces. 2. En utilisant les forces de l'exercice 1, calculez le moment résultant \( \vec{M_O} \) du système par rapport à l'origine \( O(0,0) \). 3. Un levier est soumis à une force \( \vec{F} = 50 \text{ N} \) à une distance de 0.8 m de son pivot. Si la force est perpendiculaire au levier, quel est le moment créé par cette force autour du pivot ? (Donnez la valeur et le sens). ### Devoirs 1. Une barre rigide \( AB \) de 2 mètres de long est articulée en \( A \). Elle est soumise à une force \( \vec{F_1} \) de 40 N verticale vers le bas au milieu de la barre (à 1m de A) et à une force \( \vec{F_2} \) de 20 N horizontale vers la droite à l'extrémité \( B \). * Représentez graphiquement les forces. * Calculez la résultante générale \( \vec{R} \) du système de forces. * Calculez le moment résultant \( \vec{M_A} \) par rapport au point \( A \). 2. Un corps est soumis à un système de forces dont la résultante générale est \( \vec{R} = (10\vec{i} - 5\vec{j}) \text{ N} \) et le moment résultant au point \( O(0,0) \) est \( \vec{M_O} = 20\vec{k} \text{ N.m} \). Déterminez le moment résultant \( \vec{M_P} \) au point \( P(2,1) \). ### Résumé La réduction d'un système matériel en un point est une technique fondamentale en mécanique pour simplifier l'analyse de systèmes complexes. Elle consiste à remplacer toutes les forces par une **résultante générale** (somme vectorielle des forces) et tous les moments par un **moment résultant** (somme des moments des forces et des moments appliqués) en un **point de réduction** choisi. La résultante générale représente la tendance à la translation, et le moment résultant la tendance à la rotation. Pour qu'un système soit en équilibre statique, il est impératif que ces deux grandeurs soient nulles : \( \vec{R} = \vec{0} \) et \( \vec{M_A} = \vec{0} \). Comprendre cette méthode est essentiel pour résoudre des problèmes d'équilibre en statique. ## Activités d'intégration ### Introduction Bienvenue à cette séance d'activités d'intégration sur le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)**. Après avoir exploré les concepts théoriques et les différentes actions mécaniques, nous allons aujourd'hui mettre en pratique nos connaissances à travers des exercices concrets. L'objectif est de consolider votre compréhension et de développer votre capacité à analyser des systèmes en équilibre statique, essentiels dans de nombreux domaines de l'ingénierie et de la vie quotidienne. ### Concepts Clés #### Rappel du Principe Fondamental de la Statique (PFS) Le PFS est la base de l'étude des corps au repos. Il stipule que pour qu'un solide soit en équilibre statique (c'est-à-dire immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, ce qui revient souvent à être immobile pour nous en statique), deux conditions doivent être remplies : 1. **La somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le solide est nulle.** * Cela signifie que toutes les poussées et tractions s'annulent mutuellement. * Mathématiquement : \\[ \\sum \\vec{F}_{ext} = \\vec{0} \\\] * En composants, pour un système plan (2D) : * \\[ \\sum F_x = 0 \\\] * \\[ \\sum F_y = 0 \\\] 2. **La somme vectorielle de tous les moments (ou couples) extérieurs par rapport à n'importe quel point est nulle.** * Cela signifie que toutes les tendances à la rotation s'annulent mutuellement. * Mathématiquement : \\[ \\sum \\vec{M}_{ext} /_A = \\vec{0} \\\] (où A est un point arbitraire choisi pour le calcul des moments). * Pour un système plan, cela se réduit à une équation scalaire si les forces sont dans le plan et les moments perpendiculaires : * \\[ \\sum M_z = 0 \\\] #### Types de Forces et Moments Rencontrés * **Forces de pesanteur (Poids):** Force exercée par la Terre sur tout objet ayant une masse. Elle est toujours verticale, dirigée vers le bas et s'applique au centre de gravité de l'objet. * Formule : \\( \\vec{P} = m \\vec{g} \\), où \\( m \\) est la masse et \\( \\vec{g} \\) est le vecteur accélération de la pesanteur (environ 9,81 m/s²). * **Forces de liaison:** Forces exercées par les supports ou les connexions qui maintiennent un objet en place (ex: appuis simples, pivots, encastrements). * **Forces extérieures appliquées:** Forces directes exercées sur le système (ex: une personne qui pousse, une tension de câble). * **Moments:** Une force peut créer un moment (une tendance à la rotation) si sa ligne d'action ne passe pas par le point de calcul. * Formule simplifiée (pour une force perpendiculaire à la distance) : \\( M = F \\times d \\), où \\( d \\) est la distance perpendiculaire entre le point de calcul et la ligne d'action de la force. #### Méthodologie de Résolution des Problèmes de Statique Pour résoudre un problème de statique, suivez ces étapes systématiques : 1. **Isoler le système :** Délimitez clairement l'objet ou l'ensemble d'objets que vous souhaitez étudier. 2. **Bilan des actions mécaniques extérieures :** Identifiez et représentez toutes les forces et moments extérieurs agissant sur le système isolé (forces de pesanteur, forces de contact, forces de liaison, etc.). N'oubliez pas le sens et le point d'application. 3. **Choix du repère et du point de calcul des moments :** Choisissez un système d'axes de coordonnées (repère) et un point pour le calcul des moments qui simplifient le plus les équations. 4. **Application du PFS :** Écrivez les équations d'équilibre selon les deux conditions du PFS. 5. **Résolution du système d'équations :** Résolvez les équations pour trouver les inconnues (généralement des forces ou des moments de réaction). ### Vocabulaire * **Statique :** Branche de la mécanique étudiant l'équilibre des corps, c'est-à-dire leur état de repos ou de mouvement à vitesse constante. * **Équilibre statique :** État d'un corps où il n'y a ni translation ni rotation (ou à vitesse constante), car la somme des forces et des moments appliqués est nulle. * **Force :** Action mécanique capable de modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. Son unité est le Newton (N). * **Moment (ou Couple) :** Grandeur physique vectorielle qui mesure la tendance d'une force à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. Son unité est le Newton-mètre (Nm). * **Centre de gravité (CdG) :** Point d'application de la résultante des forces de pesanteur s'exerçant sur un corps. * **Liaison :** Connexion entre deux solides qui limite leurs mouvements relatifs et transmet des actions mécaniques. * **Inconnue statique :** Force ou moment de réaction de liaison dont la valeur est à déterminer par l'application du PFS. ### Exemples #### Exemple 1: Poutre en équilibre sur deux appuis Considérons une poutre horizontale homogène de masse \\( m \\) et de longueur \\( L \\), reposant sur deux appuis simples (A et B) situés aux extrémités. Une charge ponctuelle \\( F \\) est appliquée à une distance \\( a \\) de l'appui A. * **Objectif :** Déterminer les forces de réaction verticales \\( R_A \\) et \\( R_B \\) aux appuis. * **Poids de la poutre :** \\( P = m \\cdot g \\), appliqué au centre (\( L/2 \) de A). * **Application du PFS :** 1. \\[ \\sum F_y = 0 \\Rightarrow R_A + R_B - P - F = 0 \\\] 2. Choisissons le point A pour le calcul des moments : \\[ \\sum M_A = 0 \\Rightarrow (P \\times L/2) + (F \\times a) - (R_B \\times L) = 0 \\\] * À partir de ces deux équations, on peut trouver \\( R_B \\) puis \\( R_A \\). #### Exemple 2: Objet suspendu par deux câbles Un objet de masse \\( M \\) est suspendu à un plafond par deux câbles. Le premier câble fait un angle \\( \\theta_1 \\) avec l'horizontale et le second \\( \\theta_2 \\). * **Objectif :** Déterminer la tension \\( T_1 \\) et \\( T_2 \\) dans chaque câble. * **Forces :** Poids de l'objet \\( P = Mg \\) (vers le bas), tension \\( T_1 \\) (le long du câble 1), tension \\( T_2 \\) (le long du câble 2). * **Application du PFS :** (ici, on décompose les tensions en composantes X et Y) 1. \\[ \\sum F_x = 0 \\Rightarrow -T_1 \\cos(\theta_1) + T_2 \\cos(\theta_2) = 0 \\\] 2. \\[ \\sum F_y = 0 \\Rightarrow T_1 \\sin(\theta_1) + T_2 \\sin(\theta_2) - P = 0 \\\] * Ces deux équations permettent de résoudre pour \\( T_1 \\) et \\( T_2 \\). ### Exercices (En Classe) #### Exercice 1: Équilibre d'un levier Un levier rigide de longueur 3 mètres, de masse négligeable, est articulé en son milieu (point O). Une masse \\( M_1 = 10 \\text{ kg} \\) est placée à 1 mètre du point O sur le côté gauche. Pour maintenir le levier en équilibre horizontal, quelle masse \\( M_2 \\) doit être placée à 1,2 mètre du point O sur le côté droit ? 1. Dessinez le système et toutes les forces agissantes (poids des masses, réaction à l'articulation). 2. Appliquez les conditions du PFS pour trouver \\( M_2 \\). #### Exercice 2: Charge sur une console Une console horizontale de longueur 2 mètres et de masse \\( m = 5 \\text{ kg} \\) est encastrée dans un mur à une extrémité (point A). Une charge ponctuelle \\( F = 100 \\text{ N} \\) est appliquée à l'extrémité libre (point B). 1. Dessinez le système et toutes les forces agissantes (poids de la console, charge F). 2. Déterminez les efforts (force et moment) exercés par l'encastrement en A pour maintenir la console en équilibre. ### Devoir (À la Maison) #### Problème 1: Table à quatre pieds Une table carrée de 1 mètre de côté, de masse \\( m_t = 20 \\text{ kg} \\), repose sur quatre pieds situés à ses coins. Une pile de livres de masse \\( m_L = 15 \\text{ kg} \\) est placée sur la table à 20 cm d'un côté et 30 cm d'un autre (mesuré à partir d'un coin). 1. Modélisez la table en 2D pour simplifier l'analyse (par exemple, en ne considérant que deux pieds et une charge équivalente). Sinon, faites un schéma 3D avec les 4 pieds. 2. Calculez la force de réaction verticale exercée par chacun des quatre pieds sur le sol. (Indice : choisissez le point pour les moments judicieusement). #### Problème 2: Porte maintenue ouverte Une porte de largeur 90 cm et de hauteur 200 cm, de masse \\( m_p = 25 \\text{ kg} \\), est articulée sur deux charnières (une en haut, une en bas). Elle est maintenue ouverte à 90° par un loquet situé à 80 cm du bord pivotant et à mi-hauteur. Les charnières sont situées à 15 cm du haut et du bas. 1. Faites le bilan des actions mécaniques sur la porte (poids, réactions des charnières, force du loquet). 2. Calculez la force horizontale exercée par le loquet pour maintenir la porte ouverte. 3. Déterminez les composantes de réaction horizontale et verticale sur chaque charnière. (Vous pouvez ignorer la force verticale du loquet). ### Résumé Le Principe Fondamental de la Statique est un outil puissant et indispensable en mécanique. Il nous permet d'analyser et de concevoir des structures qui restent immobiles. Rappelez-vous toujours les deux conditions clés : **la somme des forces extérieures est nulle** et **la somme des moments extérieurs est nulle**. La clé du succès réside dans une méthodologie rigoureuse : bien isoler le système, identifier toutes les actions mécaniques, choisir un repère approprié et résoudre les équations d'équilibre. En maîtrisant ces concepts, vous êtes bien préparés à aborder des problèmes plus complexes en ingénierie et en sciences appliquées.