Etude des liaisons planes

## Objectifs et prérequis À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Identifier et représenter graphiquement les trois types de liaisons planes : appui simple, articulation et encastrement. - Énoncer les caractéristiques mécaniques (degrés de liberté, réactions) de chaque liaison. - Appliquer les conditions d’équilibre à un système soumis à ces liaisons dans des situations professionnelles (chantier, atelier de menuiserie, bureau d’études). - Réaliser un schéma de corps libre correct et déterminer les inconnues réactionnelles par résolution des équations d’équilibre. **Prérequis** : notions de force, de moment, d’équilibre d’un corps rigide (somme des forces nulles, somme des moments nuls), maîtrise du repère cartésien et du produit vectoriel, lecture de plans techniques simples. --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers de la construction métallique, de la menuiserie ou de la conception de machines agricoles au Cameroun, les éléments structuraux sont rarement isolés : ils sont reliés entre eux par des liaisons qui transmettent des efforts et des moments. Une mauvaise interprétation de ces liaisons conduit à des sous‑dimensionnements dangereux ou à des surcoûts matériels. Ce chapitre fournit les outils nécessaires pour analyser ces liaisons de façon rigoureuse, en s’appuyant sur des exemples concrets rencontrés dans les ateliers de Yaoundé, les chantiers de Douala ou les bureaux d’études de Bafoussam. --- ## I. Appui simple ### Définition et représentation > **Un appui simple est une liaison qui empêche le déplacement translationnel du corps dans une direction donnée (normale à la surface de contact), mais autorise la rotation libre autour de l’axe perpendiculaire au plan.** Il se matérialise par une réaction normale **R** perpendiculaire à la surface de contact. Aucun moment réactionnel n’est développé. ### Caractéristiques mécaniques - Degrés de liberté retenus : 1 translation (normale à la surface). - Degrés de liberté libres : 2 translations dans le plan + 1 rotation hors du plan. - Réaction : **R** (force normale) ; unité : newton (N). - Équation d’équilibre associée : ΣFₙ = 0 (somme des forces suivant la normale nulle). ### Exemple d’atelier Dans un atelier de menuiserie à Bafoussam, une planche de 2 m repose sur deux chevilles situées à ses extrémités. Chaque cheville constitue un appui simple : elle empêche la planche de s’enfoncer dans le sol (translation verticale) mais laisse libre la rotation autour de l’axe longitudinal de la planche. ### Tableau récapitulatif | Liaison | Degrés de liberté retenus | Réaction développée | Moment réactionnel | |------------------|---------------------------|---------------------|--------------------| | Appui simple | 1 translation (normale) | Force normale **R** | Aucun | > **Formule de réaction** : la réaction normale **R** équilibre la somme des forces externes suivant la normale à l’appui : ΣFₙ + R = 0 → R = – ΣFₙ. En particulier, si le corps n’est soumis qu’à une seule force verticale **P**, alors **R = P** (si l’appui est l’unique support vertical). --- ## II. Articulation ### Définition > **Une articulation (ou joint) est une liaison qui autorise la rotation libre autour d’un axe perpendiculaire au plan (axe z) tout en empêchant les translations dans les deux directions du plan (x et y).** Elle ne transmet aucun moment autour de l’axe de rotation, mais peut transmettre des forces normales et tangentielles dans le plan. ### Types d’articulations rencontrés - **Articulation cylindrique (charnière)** : permet une rotation autour d’un axe fixé perpendiculaire au plan, bloque les deux translations dans le plan. - **Articulation sphérique (rotule)** : permet trois rotations libres, aucune translation (liaison 3D). ### Caractéristiques mécaniques #### Articulation cylindrique (2D) - Degrés de liberté retenus : 2 translations (dans le plan). - Degrés de liberté libres : 1 rotation (hors du plan). - Réactions : deux forces **Rx**, **Ry** (dans le plan) ; aucun moment **Mz** autour de l’axe de rotation. - Unités : newton (N) pour les forces. #### Articulation sphérique (3D) - Degrés de liberté retenus : 3 translations. - Degrés de liberté libres : 3 rotations. - Réactions : trois forces **Rx**, **Ry**, **Rz** ; aucun moment. - Unités : newton (N) pour les forces. ### Exemple de chantier Sur un chantier de construction métallique à Douala, une poutre en I est reliée à une colonne par une boulonnerie comportant un boulon en traversée qui joue le rôle d’une articulation cylindrique. Le boulon autorise la rotation de la poutre dans le plan (changement d’angle) tout en empêchant tout glissement latéral ou vertical de la poutre relativement à la colonne. ### Tableau récapitulatif | Liaison | Degrés de liberté retenus | Réactions développées | Moment réactionnel | |------------------|---------------------------|-----------------------|--------------------| | Articulation cyl. | 2 translations (dans le plan) | **Rx**, **Ry** (dans le plan) | Aucun autour de l’axe z | | Articulation sph. | 3 translations | **Rx**, **Ry**, **Rz** | Aucun moment | > **Condition d’équilibre pour une articulation cylindrique** : ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0 (dans le plan) ; ΣM_z = 0 (moment autour de l’axe perpendiculaire au plan). Aucun moment réactionnel n’apparaît dans les équations. --- ## III. Encastrement ### Définition > **Un encastrement est une liaison qui bloque complètement le corps : aucune translation ni aucune rotation n’est possible.** Il développe donc trois composantes de réaction (deux forces et un moment) afin d’annuler tous les degrés de liberté du solide. ### Caractéristiques mécaniques - Degrés de liberté retenus : 3 translations + 3 rotations (blocage total). - Degrés de liberté libres : aucun. - Réactions : forces **Rx**, **Ry**, **Rz** et moments **Mx**, **My**, **Mz**. - Unités : newton (N) pour les forces, newton·mètre (N·m) pour les moments. ### Exemple de bureau d’études Dans le bureau d’études de la société *CAMBTP* à Yaoundé, le bras d’une grue télescopique est fixé au châssis par une plaque boulonnée comportant six boulons disposés en cercle. Cette fixation constitue un encastrement idéal : elle empêche tout déplacement et toute rotation du bras relativement au châssis, permettant ainsi de transmettre les efforts de levage et les moments fléchissants aux vérins de stabilisation. ### Tableau récapitulatif | Liaison | Degrés de liberté retenus | Réactions développées | |------------------|---------------------------|--------------------------------------| | Encastrement | 6 (3T + 3R) | **Rx**, **Ry**, **Rz**, **Mx**, **My**, **Mz** | > **Équations d’équilibre pour un encastrement** : ΣFₓ = ΣFᵧ = ΣF_z = 0 ; ΣMₓ = ΣMᵧ = ΣM_z = 0. --- ## Synthèse du chapitre - **Appui simple** : bloque une translation normale, réaction normale **R** uniquement. - **Articulation** : bloque deux translations dans le plan, réagit par deux forces dans le plan, aucun moment autour de l’axe perpendiculaire au plan. - **Encastrement** : bloque tous les degrés de liberté, réagit par trois forces et trois moments. - Chaque liaison se représente par un symbole normalisé (flèche pour force, double flèche pour moment, disque pour rotule, etc.) utilisé dans les schémas de corps libre. - La résolution d’un système passe par : (1) isolement du corps, (2) tracé du schéma de corps libre avec les réactions appropriées, (3) écriture des équations ΣF = 0 et ΣM = 0, (4) résolution des inconnues. - En pratique camerounaise, ces liaisons sont rencontrées dans les assemblages boulonnés, les soudures d’angle, les rotules de direction de véhicules agricoles et les fixations de poutres sur poteaux. --- ## Glossaire - **Appui simple** : liaison autorisant la rotation libre et empêchant la translation normale à la surface de contact. - **Articulation** : liaison autorisant une rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan tout en bloquant les translations dans les deux directions du plan. - **Encastrement** : liaison bloquant totalement toutes les translations et rotations d’un corps rigide. - **Degré de liberté** : mouvement indépendant qu’un corps peut effectuer (translation ou rotation). - **Réaction** : force ou moment développé par une liaison pour contrainte du mouvement. - **Moment réactionnel** : couple développé par une liaison pour empêcher une rotation. - **Schéma de corps libre** : représentation isolée d’un corps montrant toutes les forces et moments extérieurs agissant sur lui. - **Équilibre statique** : état où la somme des forces et la somme des moments agissant sur un corps sont nulles. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Appui simple sur une poutre Une poutre en bois de 4 m de longueur repose sur deux appuis simples situés à ses extrémités. Une charge concentrée de 600 N est appliquée à 1 m du côté gauche. Déterminer les réactions aux appuis. **Corrigé** 1. Schéma de corps libre : forces verticales **Rₐ** (appui gauche) et **R_b** (appui droit) vers le haut, charge **P = 600 N** vers le bas à 1 m du gauche. 2. Équilibre des forces verticales : ΣFᵧ = 0 → **Rₐ + R_b – P = 0** → **Rₐ + R_b = 600 N**. 3. Équilibre des moments autour de l’appui gauche (A) : ΣMₐ = 0 → **P·1 m – R_b·4 m = 0** → **600·1 – 4R_b = 0** → **R_b = 150 N**. 4. D’après (2) : **Rₐ = 600 – 150 = 450 N**. **Réponse** : réaction au gauche **Rₐ = 450 N**, réaction au droit **R_b = 150 N**. ### Exercice 2 – Articulation dans un portail métallique Un portail de 2 m de large est fixé à un poteau par une articulation cylindrique située à mi‑hauteur. Une poussée horizontale de 400 N agit au milieu du portail, perpendiculairement à son plan. Déterminer les réactions de l’articulation. **Corrigé** 1. Schéma de corps libre : le portail est soumis à une force horizontale **P = 400 N** appliquée en son milieu (coïncidant avec l’articulation). L’articulation fournit deux réactions **Rx** (horizontale) et **Ry** (verticale) dans le plan du portail. Aucun moment réactionnel n’est développé autour de l’axe z. 2. Comme le portail n’est soumis qu’à une force horizontale, la réaction verticale **Ry = 0** (pas de charge verticale). 3. Équilibre des forces horizontales : ΣFₓ = 0 → **Rx – P = 0** → **Rx = 400 N** (dans le sens opposé à la poussée). 4. Équilibre des moments autour de l’articulation (axe z) : ΣM_z = 0 → le bras de levier de **P** est nul car la force passe par l’articulation, donc le moment est déjà nul. Aucun moment réactionnel n’apparaît, conformément à la propriété de l’articulation. **Réponse** : réaction horizontale **Rx = 400 N** (opposée à la poussée), réaction verticale **Ry = 0 N**, aucun moment réactionnel. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de représenter le moment réactionnel dans un encastrement (on ne trace que les forces). | Sous‑estimation des efforts fléchissants → risque de rupture ou de déformation excessive. | Toujours vérifier le nombre de degrés de liberté retenus : un encastrement bloque 6 DOF → prévoir 3 forces et 3 moments dans le schéma de corps libre. | | 2 | Confondre l’articulation cylindrique avec une rotule et attribuer trois réactions de force alors qu’il n’y en a que deux. | Surdimensionnement inutile des boulons ou des soudures, surcoût matériel. | Rappeler que l’articulation cylindrique bloque deux translations seulement → deux réactions de force, aucun moment autour de l’axe de rotation. | | 3 | Négliger le port des équipements de protection individuelle (EPI) lors du serrage de boulons sur chantier (lunettes, gants, casque). | Risques de projection de débris, de coupures ou de traumatismes crâniens. | Imposer le port des EPI avant toute opération de serrage ou de perçage ; vérifier leur état avant chaque utilisation. | | 4 | Utiliser une clé de serrage inadaptée (clé à pipe trop longue) entraînant un sur‑couple sur les boulons d’articulation. | Déformation du filetage, glissement prématuré de la liaison sous charge. | Se référer au couple de serrage spécifié par le fabricant (ex. : 25 N·m pour un boulon M12 de classe 8.8) et utiliser une clé dynamométrique calibrée. | --- *Fin du cours.*