Les sollicitations simples

# Les sollicitations simples ## La traction simple ### Introduction En mécanique appliquée, il est essentiel de comprendre comment les matériaux réagissent aux différentes forces. La traction simple est l'une des sollicitations les plus courantes que l'on rencontre dans les structures et les machines. Elle se produit lorsqu'une pièce est soumise à des forces qui tendent à l'allonger ou à l'étirer. Imaginez un câble de grue qui supporte une charge, ou une tige qui maintient deux éléments éloignés : ces pièces sont en traction. Comprendre la traction nous permet de dimensionner correctement les pièces pour qu'elles résistent sans se déformer de manière excessive ou se rompre. ### Concepts Clés #### Définition de la traction simple La traction simple est un type de sollicitation où un corps est soumis à l'action de deux forces égales et opposées, agissant le long de son axe longitudinal et dirigées vers l'extérieur du corps. Ces forces tendent à allonger le corps. * **Exemples courants :** * Un fil ou un câble tiré. * La chaîne d'un vélo lorsqu'on pédale. * Les tirants d'une charpente métallique. #### Contrainte normale (ou contrainte de traction) Lorsque des forces de traction agissent sur une pièce, elles sont réparties sur la section transversale de cette pièce. La **contrainte normale** (souvent notée \( \sigma \), lettre grecque sigma) est une mesure de l'intensité de ces forces par unité de surface. Elle indique la force interne que le matériau doit supporter pour résister à la déformation. * **Formule :** \[ \sigma = \frac{F}{S} \] Où : * \( \sigma \) est la contrainte normale (en Pascals, Pa, ou Mégapascals, MPa). * \( F \) est la force de traction appliquée (en Newtons, N). * \( S \) est l'aire de la section transversale de la pièce (en mètres carrés, \( m^2 \)). * **Unités :** * Le Pascal (Pa) est l'unité du Système International (SI). \( 1 Pa = 1 N/m^2 \). * Le Mégapascal (MPa) est souvent utilisé en ingénierie, car les contraintes sont souvent très élevées : \( 1 MPa = 10^6 Pa = 1 N/mm^2 \). #### Allongement relatif (ou déformation longitudinale) Sous l'effet de la traction, une pièce s'allonge. L'**allongement relatif** (souvent noté \( \epsilon \), lettre grecque epsilon) est la mesure de cet allongement par rapport à la longueur initiale de la pièce. C'est une mesure sans dimension. * **Formule :** \[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \] Où : * \( \epsilon \) est l'allongement relatif (sans unité, ou m/m). * \( \Delta L \) est l'allongement total de la pièce (en mètres, m). * \( L_0 \) est la longueur initiale de la pièce (en mètres, m). #### Loi de Hooke et Module d'Young Pour de nombreux matériaux, dans une certaine limite (appelée limite élastique), la contrainte est directement proportionnelle à l'allongement relatif. C'est la **loi de Hooke**. * **Formule :** \[ \sigma = E \cdot \epsilon \] Où : * \( E \) est le **Module d'Young** (ou module d'élasticité longitudinale). C'est une caractéristique propre au matériau, indiquant sa rigidité. Plus \( E \) est élevé, plus le matériau est rigide et moins il se déforme sous une contrainte donnée. * **Unités du Module d'Young :** Le Module d'Young s'exprime en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa), comme la contrainte. * **Domaine élastique :** Zone où le matériau retrouve sa forme initiale après suppression de la charge. Au-delà de la limite élastique, le matériau entre dans le domaine plastique et subit une déformation permanente. #### Calcul des sections courantes Pour calculer la contrainte, il est crucial de connaître l'aire de la section transversale \( S \) de la pièce. * **Pour une section circulaire (tige, câble) :** \[ S = \frac{\pi d^2}{4} \] Où \( d \) est le diamètre de la section. * **Pour une section rectangulaire (barre plate) :** \[ S = largeur \times \text{épaisseur} \] ### Vocabulaire Clé * **Traction simple :** Sollicitation mécanique où une pièce est étirée par des forces opposées agissant sur son axe. * **Contrainte normale (\( \sigma \)) :** Force interne par unité de surface résultant de la sollicitation de traction. Exprimée en Pa ou MPa. * **Allongement relatif (\( \epsilon \)) :** Rapport entre l'allongement total et la longueur initiale d'une pièce. Sans unité. * **Module d'Young (\( E \)) :** Constante élastique d'un matériau qui caractérise sa rigidité. Exprimé en Pa ou MPa. * **Loi de Hooke :** Relation linéaire entre la contrainte et l'allongement relatif dans le domaine élastique. * **Limite élastique :** Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. * **Domaine élastique :** Zone où les déformations sont réversibles. * **Domaine plastique :** Zone où les déformations sont permanentes. ### Exemples d'application #### Exemple 1 : Calcul de la contrainte Une tige en acier de 20 mm de diamètre est soumise à une force de traction de 30 kN. Calculez la contrainte normale dans la tige. 1. **Calcul de la section \( S \) :** \( d = 20 \text{ mm} = 0,02 \text{ m} \) \( S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0,02)^2}{4} \approx 0,000314 \text{ m}^2 \) (Ou en \( mm^2 \) : \( S = \frac{\pi (20)^2}{4} = 314,16 \text{ mm}^2 \)) 2. **Conversion de la force \( F \) :** \( F = 30 \text{ kN} = 30 000 \text{ N} \) 3. **Calcul de la contrainte \( \sigma \) :** \( \sigma = \frac{F}{S} = \frac{30000}{0,000314} \approx 95541400 \text{ Pa} \) \( \sigma \approx 95,54 \text{ MPa} \) #### Exemple 2 : Calcul de l'allongement Une barre en aluminium de longueur initiale \( L_0 = 1,5 \text{ m} \) et de Module d'Young \( E = 70 \text{ GPa} \) a une contrainte de traction de \( 50 \text{ MPa} \). Calculez son allongement total \( \Delta L \). 1. **Calcul de l'allongement relatif \( \epsilon \) :** \( E = 70 \text{ GPa} = 70 \times 10^9 \text{ Pa} \) \( \sigma = 50 \text{ MPa} = 50 \times 10^6 \text{ Pa} \) D'après la loi de Hooke, \( \sigma = E \cdot \epsilon \), donc \( \epsilon = \frac{\sigma}{E} \) \( \epsilon = \frac{50 \times 10^6 \text{ Pa}}{70 \times 10^9 \text{ Pa}} \approx 0,000714 \) 2. **Calcul de l'allongement total \( \Delta L \) :** D'après la formule de l'allongement relatif, \( \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \), donc \( \Delta L = \epsilon \cdot L_0 \) \( \Delta L = 0,000714 \times 1,5 \text{ m} \approx 0,001071 \text{ m} \) Soit \( \Delta L \approx 1,07 \text{ mm} \) ### Exercices 1. Un câble en acier de 10 mm de diamètre doit supporter une charge de 8 kN. Quelle est la contrainte de traction dans le câble ? (Donnez le résultat en MPa). 2. Une éprouvette de longueur initiale 200 mm s'allonge de 0,15 mm sous une certaine charge. Calculez l'allongement relatif. 3. Une barre en cuivre ( \( E = 110 \text{ GPa} \) ) est soumise à une contrainte de traction de 75 MPa. Quel est l'allongement relatif de cette barre ? 4. Une pièce rectangulaire de 50 mm de large et 10 mm d'épaisseur est soumise à une force de traction de 25 kN. Calculez la contrainte de traction. (Donnez le résultat en MPa). ### Devoir Maison 1. Un tirant en aluminium de 2 mètres de long et 25 mm de diamètre doit supporter une charge de 15 kN. Le Module d'Young de l'aluminium est \( E = 70 \text{ GPa} \). a. Calculez la contrainte de traction dans le tirant. b. Calculez l'allongement total du tirant. c. Si la limite élastique de cet aluminium est de 100 MPa, le tirant subira-t-il une déformation permanente sous cette charge ? Justifiez votre réponse. 2. Vous devez choisir un matériau pour un crochet de levage qui supportera une charge maximale de 20 kN. Le diamètre maximal autorisé pour la tige du crochet est de 15 mm. Si la contrainte admissible pour l'acier est de 250 MPa et pour l'alliage d'aluminium est de 150 MPa, quel matériau choisiriez-vous ? Montrez vos calculs. ### Résumé La traction simple est une sollicitation fondamentale en mécanique, caractérisée par des forces qui étirent une pièce. Nous avons vu trois concepts clés : * La **contrainte normale (\( \sigma = F/S \))**, qui mesure l'intensité de la force par unité de surface. * L'**allongement relatif (\( \epsilon = \Delta L/L_0 \))**, qui représente la déformation de la pièce. * La **Loi de Hooke (\( \sigma = E \cdot \epsilon \))** qui relie contrainte et déformation via le **Module d'Young (\( E \))**, une propriété essentielle du matériau. Comprendre ces principes est crucial pour dimensionner correctement les structures et les pièces mécaniques, en s'assurant qu'elles ne se rompront pas et ne se déformeront pas de manière indésirable sous les charges de traction. ## Le cisaillement simple ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur le cisaillement simple, une des sollicitations fondamentales en mécanique appliquée. Après la traction et la compression, le cisaillement est un mode de déformation et de rupture très courant que l'on rencontre dans de nombreuses pièces mécaniques. Comprendre le cisaillement est essentiel pour dimensionner correctement des assemblages tels que les liaisons par goupilles, rivets, ou vis, afin d'assurer la sécurité et la durabilité des structures. Dans cette leçon, nous allons définir ce qu'est le cisaillement simple, apprendre à calculer la contrainte de cisaillement et à vérifier la résistance des pièces soumises à ce type de sollicitation. ### Concepts Clés #### 1. Définition du cisaillement simple Le cisaillement simple est une sollicitation où deux forces égales et opposées, mais non colinéaires, agissent sur une pièce, tendant à la faire glisser ou à la couper le long d'un plan. Ces forces sont généralement parallèles au plan de cisaillement. Imaginez une paire de ciseaux coupant une feuille de papier : la feuille est soumise au cisaillement. En mécanique, cela se produit souvent dans des liaisons où des éléments comme des goupilles ou des rivets sont "coupés" par les efforts appliqués sur les pièces qu'ils assemblent. #### 2. Hypothèses de calcul Pour simplifier l'étude du cisaillement simple, nous faisons généralement les hypothèses suivantes : * Les matériaux sont homogènes et isotropes. * Les déformations sont petites. * La contrainte est uniformément répartie sur la section cisaillée. * Les efforts sont purement tangentiels (pas de flexion ou de torsion significative). #### 3. Contrainte de cisaillement (\( \tau \) - Tau) La contrainte de cisaillement est l'intensité des forces internes développées dans la matière lorsque celle-ci est soumise au cisaillement. Elle est définie comme le rapport de l'effort tranchant (ou effort de cisaillement) sur la surface cisaillée. ##### Formule de la contrainte de cisaillement: \[ \tau = \frac{F}{S} \] Où : * \( \tau \) est la contrainte de cisaillement (en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa), soit N/mm²). * \( F \) est l'effort tranchant (la force de cisaillement) appliquée (en Newtons (N)). * \( S \) est la surface cisaillée (en mètres carrés (m²) ou millimètres carrés (mm²)). **Unités:** En pratique, on utilise souvent le N/mm² (qui est équivalent au MPa) pour les contraintes. #### 4. Calcul de la surface cisaillée (\( S \)) La surface cisaillée est la section de la pièce qui est sollicitée en cisaillement. Pour un élément circulaire (comme une goupille ou un rivet de diamètre \( d \)), la surface d'une section cisaillée est : \[ S = \frac{\pi d^2}{4} \] Il est important de déterminer si l'assemblage est soumis à un cisaillement simple ou double (voire multiple) : * **Cisaillement simple:** Une seule section est cisaillée (ex: une goupille reliant deux pièces). * **Cisaillement double:** Deux sections sont cisaillées (ex: une goupille reliant trois pièces). Dans ce cas, la surface totale cisaillée est \( S_{total} = 2 \times S \). #### 5. Condition de résistance au cisaillement Pour qu'une pièce résiste sans rupture au cisaillement, la contrainte de cisaillement calculée (\( \tau \)) ne doit pas dépasser une valeur limite appelée résistance pratique au cisaillement (\( \tau_p \) ou \( R_{pg} \)). \[ \tau \le \tau_p \] Où : * \( \tau_p \) (ou \( R_{pg} \)) est la résistance pratique au cisaillement du matériau (en MPa ou N/mm²). Cette valeur est déterminée à partir de la limite élastique en cisaillement du matériau, divisée par un coefficient de sécurité \( s \). \[ \tau_p = \frac{R_{eg}}{s} \] * \( R_{eg} \) : Limite élastique au cisaillement (g pour glissement ou cisaillement). * \( s \) : Coefficient de sécurité (généralement compris entre 1,5 et 3). ### Vocabulaire * **Cisaillement:** Sollicitation mécanique qui tend à sectionner une pièce suivant un plan. * **Contrainte de cisaillement (\( \tau \)):** Force tangentielle par unité de surface dans un matériau. * **Effort tranchant (\( F \)):** La force qui provoque le cisaillement. * **Surface cisaillée (\( S \)):** La section de la pièce qui subit le cisaillement. * **Résistance pratique au cisaillement (\( \tau_p \) ou \( R_{pg} \)):** La contrainte maximale admissible pour un matériau en cisaillement, en tenant compte d'un coefficient de sécurité. * **Goupille:** Élément de liaison cylindrique utilisé pour assembler des pièces et reprendre des efforts de cisaillement. * **Rivet:** Élément d'assemblage permanent, déformé à froid ou à chaud pour créer une liaison. * **Coefficient de sécurité (\( s \)):** Facteur appliqué aux limites de résistance des matériaux pour garantir la sécurité d'une structure. ### Exemples #### Exemple 1: Calcul de la contrainte dans une goupille Une goupille de diamètre \( d = 8 \text{ mm} \) assemble deux pièces soumises à un effort tranchant \( F = 5 \text{ kN} \) (5000 N). La goupille est en cisaillement simple. 1. **Calcul de la surface cisaillée (\( S \)):** \[ S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (8 \text{ mm})^2}{4} = \frac{\pi \times 64}{4} \approx 50.27 \text{ mm}^2 \] 2. **Calcul de la contrainte de cisaillement (\( \tau \)):** \[ \tau = \frac{F}{S} = \frac{5000 \text{ N}}{50.27 \text{ mm}^2} \approx 99.46 \text{ N/mm}^2 \text{ (ou MPa)} \] Si la résistance pratique au cisaillement du matériau de la goupille est de \( \tau_p = 120 \text{ MPa} \), alors la goupille est résistante car \( 99.46 \text{ MPa} \le 120 \text{ MPa} \). #### Exemple 2: Détermination du nombre de rivets On souhaite assembler deux tôles avec des rivets de diamètre \( d = 6 \text{ mm} \). L'effort total à transmettre est \( F_{total} = 15 \text{ kN} \). La résistance pratique au cisaillement des rivets est \( \tau_p = 100 \text{ MPa} \). Les rivets sont en cisaillement simple. 1. **Calcul de la surface cisaillée par rivet (\( S_{rivet} \)):** \[ S_{rivet} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (6 \text{ mm})^2}{4} = \frac{\pi \times 36}{4} \approx 28.27 \text{ mm}^2 \] 2. **Calcul de l'effort maximal que peut reprendre un rivet (\( F_{rivet\_max} \)):** On sait que \( \tau_p = \frac{F_{rivet\_max}}{S_{rivet}} \), donc \( F_{rivet\_max} = \tau_p \times S_{rivet} \). \[ F_{rivet\_max} = 100 \text{ N/mm}^2 \times 28.27 \text{ mm}^2 \approx 2827 \text{ N} \] 3. **Calcul du nombre de rivets nécessaires (\( n \)):** \[ n = \frac{F_{total}}{F_{rivet\_max}} = \frac{15000 \text{ N}}{2827 \text{ N}} \approx 5.30 \] Il faut donc prévoir au moins 6 rivets pour assurer la liaison. ### Exercices 1. Une vis de fixation de \( 10 \text{ mm} \) de diamètre est soumise à un effort de cisaillement de \( 7.5 \text{ kN} \). Calculez la contrainte de cisaillement dans la vis si elle est en cisaillement simple. 2. Un poinçon de \( 20 \text{ mm} \) de diamètre est utilisé pour découper une tôle métallique de \( 3 \text{ mm} \) d'épaisseur. Si l'effort de poinçonnage est de \( 120 \text{ kN} \), quelle est la contrainte de cisaillement dans le matériau au moment de la coupe ? (Attention : la surface cisaillée est la surface latérale du cylindre de coupe). 3. On doit assembler deux pièces avec une goupille qui sera soumise à un effort de \( 8 \text{ kN} \). Le matériau de la goupille a une résistance pratique au cisaillement de \( 150 \text{ MPa} \). Quel est le diamètre minimal de la goupille si elle est en cisaillement double ? ### Devoir à la maison 1. Recherchez et décrivez trois applications concrètes du cisaillement simple dans le monde de l'ingénierie (hors goupilles et rivets). Expliquez brièvement comment le cisaillement est sollicité dans chaque cas. 2. Un assemblage boulonné utilise 4 boulons de \( 12 \text{ mm} \) de diamètre chacun. L'ensemble est soumis à un effort total de \( 30 \text{ kN} \). Si les boulons sont en cisaillement simple et que leur limite élastique au cisaillement est \( R_{eg} = 220 \text{ MPa} \), et que le coefficient de sécurité requis est \( s = 2 \), cet assemblage est-il sûr ? Justifiez votre réponse par des calculs. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept du cisaillement simple, une sollicitation fondamentale en mécanique. Nous avons appris que le cisaillement se produit lorsque des forces parallèles et décalées tentent de sectionner une pièce. La contrainte de cisaillement (\( \tau \)) est calculée en divisant l'effort tranchant (\( F \)) par la surface cisaillée (\( S \)) : \[ \tau = \frac{F}{S} \] Pour assurer la sécurité d'une pièce, la contrainte de cisaillement calculée doit toujours être inférieure ou égale à la résistance pratique au cisaillement (\( \tau_p \)) du matériau, qui inclut un coefficient de sécurité. La compréhension et la maîtrise du calcul de cisaillement sont cruciales pour le dimensionnement et la vérification de nombreux éléments de liaison dans les systèmes mécaniques. Continuez à pratiquer pour solidifier vos connaissances sur ce sujet important ! ## La flexion simple (Partie 1) ### Introduction Bienvenue à cette première partie de la leçon sur la flexion simple ! En mécanique appliquée, les structures et les machines sont soumises à diverses forces. La flexion est l'une des sollicitations les plus courantes, notamment pour les poutres et les arbres. Comprendre la flexion est essentiel pour concevoir des éléments résistants et sécuritaires. Dans cette leçon, nous allons découvrir ce qu'est la flexion simple, les hypothèses qui l'entourent, et comment nous pouvons identifier et quantifier les forces internes qui agissent à l'intérieur d'une pièce soumise à cette sollicitation. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce que la Flexion Simple ? La flexion simple est une sollicitation qui se produit lorsqu'une pièce (généralement une poutre) est soumise à des forces dont la résultante est perpendiculaire à son axe longitudinal. Ces forces ont tendance à courber la pièce. Contrairement à la traction, à la compression ou à la torsion, la flexion combine des efforts de traction et de compression au sein de la même section. * **Exemple :** Une planche à plongeoir qui se courbe sous le poids d'une personne est un exemple classique de flexion. #### 2. Hypothèses de la Résistance des Matériaux en Flexion Simple Pour simplifier l'étude de la flexion, nous faisons généralement les hypothèses suivantes, dites de **Bernoulli-Navier** : * **Les sections planes restent planes :** Avant déformation, une section transversale est plane. Après déformation, elle reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne déformée. * **Le matériau est homogène et isotrope :** Ses propriétés mécaniques sont uniformes dans tout son volume et dans toutes les directions. * **La loi de Hooke est applicable :** Le matériau se déforme élastiquement, c'est-à-dire que la contrainte est proportionnelle à la déformation (\( \sigma = E \cdot \epsilon \) où \( E \) est le module d'Young). * **Les déformations sont faibles :** Les déplacements et rotations sont petits, ce qui permet de négliger certains termes et de simplifier les calculs. * **Le plan de la charge est un plan de symétrie :** Les forces agissent dans un plan qui est un plan de symétrie de la section de la poutre. #### 3. Efforts Internes en Flexion Simple Lorsque nous coupons une poutre soumise à la flexion en une section imaginaire, nous pouvons identifier des forces internes qui s'opposent à la déformation. En flexion simple, deux efforts internes principaux apparaissent : ##### 3.1. L'Effort Tranchant (V ou T) L'effort tranchant est la somme algébrique des forces extérieures perpendiculaires à l'axe de la poutre situées d'un côté de la section considérée. Il a tendance à faire glisser une partie de la poutre par rapport à l'autre. * **Unité :** Le Newton (N). * **Convention de signe :** Un effort tranchant est considéré comme positif s'il tend à faire pivoter dans le sens horaire la partie droite de la poutre par rapport à la partie gauche (ou, plus communément, si les forces ascendantes sont à gauche de la section et les forces descendantes à droite, cela génère un V positif sur le diagramme). ##### 3.2. Le Moment Fléchissant (Mf ou My) Le moment fléchissant est la somme algébrique des moments des forces extérieures perpendiculaires à l'axe de la poutre par rapport au centre de gravité de la section considérée. Il est responsable de la courbure de la poutre. * **Unité :** Le Newton-mètre (N.m). * **Convention de signe :** Un moment fléchissant est considéré comme positif s'il tend à courber la poutre de manière à la rendre concave vers le haut (compression des fibres supérieures, traction des fibres inférieures). C'est la convention la plus utilisée en construction et en résistance des matériaux. #### 4. Relation entre Effort Tranchant et Moment Fléchissant Il existe une relation fondamentale entre l'effort tranchant et le moment fléchissant. Le moment fléchissant varie le long de la poutre en fonction de l'effort tranchant : \[ V(x) = \frac{dM_f(x)}{dx} \] Cela signifie que l'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la position \( x \) le long de la poutre. Inversement, le moment fléchissant est l'intégrale de l'effort tranchant : \[ M_f(x) = \int V(x) dx + C \] Cette relation est cruciale pour le traçage des diagrammes d'efforts tranchants et de moments fléchissants. ### Vocabulaire * **Flexion simple :** Sollicitation due à des forces perpendiculaires à l'axe longitudinal d'une pièce, entraînant sa courbure. * **Poutre :** Élément structurel allongé conçu pour résister principalement à la flexion. * **Fibre neutre :** Ligne ou surface au sein d'une poutre en flexion où les contraintes de traction et de compression sont nulles. Elle ne s'allonge ni ne se raccourcit. * **Effort tranchant (V ou T) :** Force interne qui tend à cisailler la poutre. * **Moment fléchissant (Mf ou My) :** Moment interne qui tend à courber la poutre. * **Compression :** État de contrainte où le matériau est poussé ou écrasé. * **Traction :** État de contrainte où le matériau est étiré ou tiré. * **Contrainte (\( \sigma \)) :** Force par unité de surface à l'intérieur d'un matériau (en Pascals, Pa). * **Déformation (\( \epsilon \)) :** Changement de dimension par rapport à la dimension originale (sans unité). * **Axe longitudinal :** L'axe principal s'étendant sur la longueur de la poutre. * **Section droite :** La coupe transversale de la poutre, perpendiculaire à l'axe longitudinal. ### Exemples Considérons une poutre simple, appuyée à ses deux extrémités (appuis simples), de longueur \( L \), soumise à une charge concentrée \( P \) en son milieu. #### 1. Poutre sur deux appuis avec charge concentrée  * **Données :** \( L = 4 \text{ m} \), \( P = 10 \text{ kN} \). * **Calcul des réactions aux appuis :** * Par symétrie, les réactions \( R_A \) et \( R_B \) sont égales. * \( \Sigma F_y = 0 \implies R_A + R_B - P = 0 \) * \( R_A = R_B = P/2 = 10 \text{ kN} / 2 = 5 \text{ kN} \) * **Diagramme d'Effort Tranchant (V(x)) :** * De \( x=0 \) à \( x=L/2^- \) : \( V(x) = R_A = 5 \text{ kN} \) * À \( x=L/2 \) (point d'application de P) : \( V(x) \) saute de \( R_A \) à \( R_A - P = 5 - 10 = -5 \text{ kN} \) * De \( x=L/2^+ \) à \( x=L \) : \( V(x) = R_A - P = -5 \text{ kN} \) * **Diagramme de Moment Fléchissant (Mf(x)) :** * De \( x=0 \) à \( x=L/2 \) : \( M_f(x) = R_A \cdot x = 5x \) (une droite qui monte) * À \( x=L/2 \) : \( M_f(L/2) = 5 \cdot (4/2) = 10 \text{ kN.m} \) (moment maximal) * De \( x=L/2 \) à \( x=L \) : \( M_f(x) = R_A \cdot x - P \cdot (x - L/2) = 5x - 10(x-2) = 5x - 10x + 20 = -5x + 20 \) (une droite qui descend) * À \( x=L \) : \( M_f(L) = -5(4) + 20 = 0 \text{ kN.m} \) (comme attendu sur un appui simple) Ce diagramme de moment fléchissant montre que la poutre est la plus sollicitée au milieu, où le moment est maximal. ### Exercices 1. **Question à choix multiples :** Quel est le principal type de déformation qu'une poutre subit en flexion simple ? a) Allongement ou raccourcissement uniforme b) Torsion (vrillage) c) Courbure d) Cisaillement pur 2. **Calcul de base :** Une poutre cantilever (encastrée à une extrémité et libre à l'autre) de longueur \( L = 2 \text{ m} \) est soumise à une force ponctuelle \( P = 5 \text{ kN} \) à son extrémité libre. Quel est le moment fléchissant à l'encastrement ? (Indice : le moment est force x distance) 3. **Vrai ou Faux :** En flexion simple, la fibre neutre est la seule zone où il n'y a ni traction ni compression. ### Devoirs 1. **Analyse de Poutre :** Considérez une poutre simplement appuyée de 6 mètres de long. Une charge concentrée de \( 15 \text{ kN} \) est appliquée à 2 mètres de l'appui gauche, et une autre charge concentrée de \( 10 \text{ kN} \) est appliquée à 4 mètres de l'appui gauche. * Calculez les réactions aux appuis. * Tracez les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant. Identifiez les valeurs maximales et minimales de \( V \) et \( M_f \). 2. **Recherche :** Identifiez trois exemples concrets d'éléments de structures ou de machines où la flexion simple est la sollicitation dominante. Pour chaque exemple, décrivez brièvement pourquoi c'est le cas et quelles pourraient être les conséquences d'une mauvaise conception face à la flexion. ### Résumé Dans cette première partie sur la flexion simple, nous avons établi les bases de cette sollicitation fondamentale en mécanique appliquée. Nous avons appris que : * La flexion simple est une courbure causée par des forces perpendiculaires à l'axe longitudinal d'une poutre. * Elle repose sur des hypothèses simplificatrices (Bernoulli-Navier) pour faciliter son étude. * Les deux efforts internes majeurs sont l'effort tranchant (qui tend à cisailler) et le moment fléchissant (qui tend à courber). * Ces deux efforts sont liés par une relation de dérivation/intégration. * Les conventions de signe sont essentielles pour interpréter correctement les diagrammes. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour comprendre comment les structures réagissent aux charges et pour assurer leur intégrité. Dans la prochaine partie, nous aborderons les contraintes et déformations induites par la flexion. ## La flexion simple (Partie 2) ### Introduction Bienvenue à cette deuxième partie de notre leçon sur la flexion simple. Dans la première partie, nous avons défini la flexion simple et introduit la notion de moment de flexion ainsi que le moment quadratique. Aujourd'hui, nous allons approfondir notre compréhension en abordant les contraintes internes (les efforts que le matériau subit), les déformations et les critères de conception essentiels pour dimensionner correctement les pièces mécaniques soumises à la flexion. Comprendre comment une poutre se déforme et quels sont les niveaux de contrainte à l'intérieur est crucial pour garantir la sécurité et la fonctionnalité des structures et des machines. Nous allons voir comment calculer ces contraintes et ces déformations, et comment s'assurer qu'une pièce résistera aux charges appliquées. ### Concepts Clés #### Contraintes Normales en Flexion Lorsqu'une poutre est en flexion simple, les fibres de la matière situées au-dessus de la fibre neutre sont comprimées, tandis que celles situées en dessous sont tendues. La fibre neutre est la ligne (ou la surface) où la matière ne subit ni traction ni compression. La contrainte normale \( \sigma \) (sigma), due à la flexion, varie linéairement avec la distance \( y \) à la fibre neutre. Elle est maximale aux fibres les plus éloignées de la fibre neutre. La formule de la contrainte normale en flexion est : \[ \sigma = \frac{M_f \cdot y}{I_z} \] Où : * \( \sigma \) : Contrainte normale (en Pascals - Pa, ou N/m²) * \( M_f \) : Moment de flexion (en Newton-mètres - N·m) à l'endroit considéré * \( y \) : Distance entre la fibre neutre et la fibre où l'on calcule la contrainte (en mètres - m) * \( I_z \) : Moment quadratique de la section par rapport à l'axe de flexion \( z \) (en m⁴) Les contraintes maximales se trouvent aux fibres extrêmes, c'est-à-dire là où \( y \) est le plus grand (\( y_{max} \)). #### Moment Quadratique (Rappel et Complément) Le moment quadratique \( I_z \) est une caractéristique géométrique de la section transversale de la poutre qui représente sa capacité à résister à la flexion. Plus \( I_z \) est grand, plus la poutre résiste à la déformation en flexion. Quelques rappels pour des sections courantes : * **Section rectangulaire** (base \( b \), hauteur \( h \)) : \[ I_z = \frac{b h^3}{12} \] * **Section circulaire pleine** (diamètre \( D \)) : \[ I_z = \frac{\pi D^4}{64} \] #### Module de Résistance à la Flexion Pour simplifier le calcul de la contrainte maximale, on utilise le **module de résistance à la flexion** \( W_f \) (ou \( W_z \)). Il est défini comme le rapport entre le moment quadratique et la distance maximale à la fibre neutre : \[ W_f = \frac{I_z}{y_{max}} \] Avec ce module, la contrainte maximale en flexion se calcule simplement par : \[ \sigma_{max} = \frac{M_{fmax}}{W_f} \] Où \( M_{fmax} \) est le moment de flexion maximal dans la poutre. Le \( W_f \) s'exprime en m³. #### Condition de Résistance Pour qu'une poutre résiste sans rupture ni déformation permanente, la contrainte maximale qu'elle subit (\( \sigma_{max} \)) ne doit pas dépasser une valeur admissible appelée **résistance pratique à l'élasticité** (\( R_{pe} \)) du matériau. La condition de résistance s'écrit : \[ \sigma_{max} \le R_{pe} \] La valeur de \( R_{pe} \) est généralement déduite de la limite élastique \( R_e \) du matériau, divisée par un coefficient de sécurité \( s \) (\( R_{pe} = R_e / s \)). #### Déformation en Flexion : La Flèche En plus de la résistance, il est souvent nécessaire de vérifier la **rigidité** d'une poutre, c'est-à-dire sa capacité à ne pas se déformer excessivement. La déformation transversale d'une poutre sous charge est appelée la **flèche** (\( f \)). La flèche est une déformation visible qui peut nuire à l'esthétique, au fonctionnement ou à la sécurité d'une structure. La flèche dépend de plusieurs facteurs : * Le module d'Young (ou module d'élasticité) \( E \) du matériau (en Pa) : plus \( E \) est élevé, plus le matériau est rigide. * Le moment quadratique \( I_z \) de la section : plus \( I_z \) est grand, moins la poutre fléchit. * La charge appliquée et sa répartition. * La longueur de la poutre \( L \). Pour des cas courants, des formules spécifiques existent pour calculer la flèche. Par exemple, pour une poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle \( P \) au centre : \[ f = \frac{P L^3}{48 E I_z} \] #### Condition de Rigidité La flèche calculée \( f \) doit être inférieure ou égale à une **flèche admissible** \( f_{adm} \), souvent spécifiée par des normes (par exemple, \( L/300 \) ou \( L/500 \)). \[ f \le f_{adm} \] ### Vocabulaire * **Contrainte normale (\( \sigma \))** : Force interne par unité de surface, perpendiculaire à la section, due à la flexion. S'exprime en Pa ou N/mm². * **Fibre neutre** : Axe central de la section où le matériau ne subit ni traction ni compression. * **Moment quadratique (\( I_z \))** : Caractéristique géométrique de la section qui mesure sa capacité à résister à la flexion. S'exprime en m⁴ ou mm⁴. * **Module de résistance à la flexion (\( W_f \))** : Caractéristique de la section utilisée pour calculer rapidement la contrainte maximale en flexion. S'exprime en m³ ou mm³. * **Limite élastique (\( R_e \))** : Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de se déformer de manière permanente. * **Résistance pratique à l'élasticité (\( R_{pe} \))** : Contrainte admissible en conception, obtenue en divisant la limite élastique par un coefficient de sécurité. * **Flèche (\( f \))** : Déformation transversale d'une poutre sous charge, mesurée en m ou mm. * **Module d'Young (\( E \))** : Mesure de la rigidité d'un matériau, indiquant sa résistance à la déformation élastique. S'exprime en Pa ou N/mm². * **Dimensionnement** : Processus de détermination des dimensions d'une pièce pour qu'elle puisse remplir sa fonction en toute sécurité (résistance) et avec une déformation acceptable (rigidité). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de contrainte maximale Une poutre en acier de section rectangulaire (base \( b = 50 \) mm, hauteur \( h = 100 \) mm) est soumise à un moment de flexion maximal \( M_{fmax} = 1000 \) N·m. 1. **Calcul du moment quadratique \( I_z \)** : \( b = 0.05 \) m, \( h = 0.1 \) m \[ I_z = \frac{b h^3}{12} = \frac{0.05 \cdot (0.1)^3}{12} = \frac{0.05 \cdot 0.001}{12} = \frac{0.00005}{12} \approx 4.167 \times 10^{-6} \text{ m}^4 \] 2. **Calcul de la distance maximale à la fibre neutre \( y_{max} \)** : Pour une section rectangulaire, \( y_{max} = h/2 \). \( y_{max} = 0.1 / 2 = 0.05 \) m 3. **Calcul du module de résistance à la flexion \( W_f \)** : \[ W_f = \frac{I_z}{y_{max}} = \frac{4.167 \times 10^{-6}}{0.05} \approx 8.334 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \] 4. **Calcul de la contrainte maximale \( \sigma_{max} \)** : \[ \sigma_{max} = \frac{M_{fmax}}{W_f} = \frac{1000}{8.334 \times 10^{-5}} \approx 12 \times 10^6 \text{ Pa ou } 12 \text{ MPa} \] #### Exemple 2 : Vérification de la condition de résistance Si l'acier de la poutre précédente a une résistance pratique à l'élasticité \( R_{pe} = 235 \) MPa. La contrainte maximale calculée est \( \sigma_{max} = 12 \) MPa. La condition de résistance est \( \sigma_{max} \le R_{pe} \). \( 12 \text{ MPa} \le 235 \text{ MPa} \). La condition est vérifiée, la poutre résiste à cette charge. #### Exemple 3 : Calcul et vérification de la flèche La même poutre en acier (Module d'Young \( E = 210 \) GPa ou \( 210 \times 10^9 \) Pa) de longueur \( L = 2 \) m, simplement appuyée à ses extrémités, est soumise à une charge ponctuelle \( P = 1000 \) N en son milieu. La flèche admissible est \( L/300 \). 1. **Calcul de la flèche \( f \)** : \( I_z = 4.167 \times 10^{-6} \) m⁴ (calculé précédemment) \[ f = \frac{P L^3}{48 E I_z} = \frac{1000 \cdot (2)^3}{48 \cdot (210 \times 10^9) \cdot (4.167 \times 10^{-6})} \] \[ f = \frac{1000 \cdot 8}{48 \cdot 210 \times 10^9 \cdot 4.167 \times 10^{-6}} = \frac{8000}{48 \cdot 875000} \approx \frac{8000}{42000000} \approx 0.00019 \text{ m ou } 0.19 \text{ mm} \] 2. **Calcul de la flèche admissible \( f_{adm} \)** : \( f_{adm} = L/300 = 2 / 300 \approx 0.00667 \text{ m ou } 6.67 \text{ mm} \] 3. **Vérification de la condition de rigidité** : \( f \le f_{adm} \). \( 0.19 \text{ mm} \le 6.67 \text{ mm} \). La condition est vérifiée, la poutre est suffisamment rigide. ### Exercices 1. **Calcul de \( I_z \) et \( W_f \)** : Une poutre a une section circulaire de diamètre \( D = 80 \) mm. Calculez son moment quadratique \( I_z \) et son module de résistance à la flexion \( W_f \). 2. **Calcul de contrainte** : Une poutre en bois de section rectangulaire (\( b = 150 \) mm, \( h = 200 \) mm) est soumise à un moment de flexion maximal de \( 3 \) kN·m. Calculez la contrainte normale maximale qu'elle subit. 3. **Vérification de résistance** : Reprenez l'exercice 2. Si la résistance pratique à l'élasticité du bois est \( R_{pe} = 10 \) MPa, la poutre résiste-t-elle à cette charge ? Justifiez. 4. **Calcul de flèche** : Une barre d'aluminium (\( E = 70 \) GPa) de section carrée de \( 20 \) mm de côté et de \( 1 \) m de long est encastrée à une extrémité et soumise à une force ponctuelle de \( 50 \) N à l'autre extrémité (console). La formule de la flèche maximale pour ce cas est \( f = \frac{PL^3}{3EI_z} \). Calculez la flèche maximale. ### Devoir à la Maison Un balcon est soutenu par une poutre en béton armé de section rectangulaire de \( 200 \) mm de largeur et \( 300 \) mm de hauteur. Cette poutre a une portée (longueur) de \( 3 \) m et est encastrée d'un côté et libre de l'autre (console). Elle supporte une charge répartie uniformément équivalente à \( 5 \) kN/m sur toute sa longueur. *Données :* * Pour une poutre en console avec charge uniformément répartie \( q \), le moment de flexion maximal est \( M_{fmax} = \frac{qL^2}{2} \) et la flèche maximale est \( f = \frac{qL^4}{8EI_z} \). * Résistance pratique à l'élasticité du béton armé : \( R_{pe} = 15 \) MPa. * Module d'Young du béton armé : \( E = 30 \) GPa. * Flèche admissible : \( L/250 \). 1. Calculez le moment quadratique \( I_z \) et le module de résistance à la flexion \( W_f \) de la section. 2. Déterminez le moment de flexion maximal \( M_{fmax} \) dans la poutre. 3. Calculez la contrainte normale maximale \( \sigma_{max} \) dans la poutre. 4. Vérifiez la condition de résistance. La poutre est-elle suffisamment résistante ? 5. Calculez la flèche maximale \( f \) de la poutre. 6. Vérifiez la condition de rigidité. La flèche est-elle acceptable ? ### Résumé Nous avons exploré en détail la flexion simple, en nous concentrant sur les effets internes qu'elle produit dans les matériaux. Les points essentiels à retenir sont : * Les **contraintes normales en flexion** sont maximales aux fibres les plus éloignées de la fibre neutre et peuvent être calculées avec \( \sigma = \frac{M_f \cdot y}{I_z} \) ou \( \sigma_{max} = \frac{M_{fmax}}{W_f} \). * Le **moment quadratique (\( I_z \))** caractérise la géométrie de la section et sa capacité à s'opposer à la flexion. Le **module de résistance (\( W_f \))** est une simplification utile pour le calcul des contraintes maximales. * La **condition de résistance** (\( \sigma_{max} \le R_{pe} \)) assure que la pièce ne rompra pas ou ne se déformera pas plastiquement. * La **flèche (\( f \))** est la déformation transversale de la poutre. Elle est influencée par le moment quadratique, le module d'Young du matériau, la charge et la longueur de la poutre. * La **condition de rigidité** (\( f \le f_{adm} \)) garantit que la déformation est acceptable pour l'usage prévu. Ces concepts sont fondamentaux pour le dimensionnement et l'analyse de toute structure soumise à la flexion, permettant de concevoir des éléments à la fois sûrs et fonctionnels.