PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Énoncer le principe fondamental de la statique (PFS) et l’appliquer à un système de corps rigides en équilibre. - Identifier les forces externes, les réactions d’appui et les moments résultants sur un schéma de mécanique appliquée. - Réaliser le bilan des forces et des moments (équations d’équilibre) pour déterminer les inconnues (réactions, forces internes). - Utiliser le PFS dans des situations professionnelles courantes au Cameroun (chantier de construction, atelier de métallerie, bureau d’études). - Vérifier la cohérence d’une solution par contrôle de dimensions et par raisonnement physique. **Prérequis** : - Notions de force, de moment d’une force relativement à un point, de système de forces concourantes et parallèles. - Maîtrise du repère cartésien 2D et 3D, des unités du Système International (N, m, N·m). - Savoir résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues (méthode de substitution ou d’addition). - Connaître les règles de base de sécurité sur un chantier (port du casque, des gants, vérification des ancrages). --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers de la construction métallique, de la menuiserie métallique ou de la maintenance industrielle au Cameroun, il est fréquent de devoir déterminer les efforts que subissent les poutres, les colonnes ou les cadres avant de procéder à leur dimensionnement ou à leur installation. Le **principe fondamental de la statique** constitue le outil de base permettant de passer d’un schéma de charges connu à la détermination des réactions d’appui et, par conséquent, des efforts internes. Sans cette étape, aucun calcul de résistance des matériaux, aucun vérification de stabilité d’un échafaudage ou d’une charpente ne serait fiable. Ce chapitre présente donc le PFS, son expression mathématique, son utilisation pratique à travers des exemples d’atelier et de chantier, puis propose des activités d’intégration qui mettent l’élève en situation de résolution de problèmes réels, conformément aux attentes du Probatoire de l’enseignement technique (série F3). --- ## I. Principe Fondamental de la Statique ### 1. Énoncé du principe > **Le principe fondamental de la statique** : Un système de corps rigides est en équilibre si et seulement si la somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le système est nulle et la somme vectorielle des moments de ces forces relativement à un point quelconque est également nulle. En notation mathématique : \[ \sum \vec{F}= \vec{0}\qquad\text{et}\qquad\sum \vec{M}_{O}= \vec{0} \] où \(O\) désigne un point arbitraire choisi pour le calcul des moments. ### 2. Décomposition en composantes Dans un plan (2 D) on écrit : \[ \sum F_{x}=0,\quad \sum F_{y}=0,\quad \sum M_{z}=0 \] Dans l’espace (3 D) : \[ \sum F_{x}=0,\quad \sum F_{y}=0,\quad \sum F_{z}=0,\quad \sum M_{x}=0,\quad \sum M_{y}=0,\quad \sum M_{z}=0 \] ### 3. Forces externes et réactions d’appui - **Forces externes** : charges appliquées (poids propre, charges d’exploitation, vent, séisme). - **Réactions d’appui** : forces et moments que les appuis exercent sur la structure pour assurer l’équilibre. Selon le type d’appui, on distingue : - **Appui simple** (ou pivot) : liaison qui empêche les déplacements horizontale et verticale mais autorise la rotation ; deux réactions inconnues : \(R_{x}\) (horizontale) et \(R_{y}\) (verticale). - **Appui encastré** : liaison qui empêche tout déplacement et toute rotation ; trois réactions inconnues : \(R_{x}\), \(R_{y}\) et \(M_{z}\). - **Appui glissant** : liaison qui empêche le déplacement normal à la surface de contact mais autorise le glissement (et la rotation) ; une réaction inconnue : \(R_{n}\) (normale) ; si le glissement est empêché, un moment supplémentaire peut apparaître. > **Règle de métier** : Sur un chantier camerounais, les appuis simples sont souvent réalisés par des plots en béton armé ; les appuis encastrés correspondent aux poteaux soudés aux platines de fondation. ### 4. Méthode de résolution pas à pas 1. **Isoler le corps libre** (free‑body diagram) : représenter le système étudié, supprimer les liaisons et remplacer chacune par sa réaction inconnue. 2. **Choisir un système d’axes** (généralement \(x\) horizontal, \(y\) vertical). 3. **Écrire les équations d’équilibre** : \(\sum F_{x}=0\), \(\sum F_{y}=0\), \(\sum M_{O}=0\). 4. **Résoudre le système linéaire** pour les inconnues (souvent deux ou trois). 5. **Vérifier** : remplacer les valeurs trouvées dans les équations non utilisées pour s’assurer qu’elles sont bien nulles ; contrôler les unités. ### 5. Exemple chiffré – Poutre simplement appuyée sous charge répartie **Données** : - Longueur de la poutre \(L = 6{,}0\; \text{m}\). - Charge uniforme \(q = 5{,}0\; \text{kN/m}\) (charge d’exploitation sur un plancher de bureau à Yaoundé). - Appuis simples en A (x=0) et B (x=L). **Étape 1 – Diagramme de corps libre** - Réaction verticale en A : \(R_{A}\) (inconnue, dirigée vers le haut). - Réaction verticale en B : \(R_{B}\) (inconnue, dirigée vers le haut). - Résultant de la charge répartie : \(Q = qL = 5{,}0 \times 6{,}0 = 30{,}0\; \text{kN}\) agissant au milieu de la portée, soit à \(x = L/2 = 3{,}0\; \text{m}\). - Comme il n'y a pas de charge horizontale, les réactions horizontales sont nulles. **Étape 2 – Équations d’équilibre** \[ \sum F_{y}=0 \; \Rightarrow\; R_{A}+R_{B}-Q=0 \] \[ \sum M_{A}=0 \; \Rightarrow\; R_{B}\,L - Q\,\frac{L}{2}=0 \] **Étape 3 – Résolution** Du deuxième équation : \[ R_{B}= \frac{Q\,L/2}{L}= \frac{Q}{2}= \frac{30{,}0}{2}=15{,}0\; \text{kN} \] Puis du premier : \[ R_{A}= Q - R_{B}=30{,}0-15{,}0=15{,}0\; \text{kN} \] **Étape 4 – Vérification** \[ \sum F_{y}=15{,}0+15{,}0-30{,}0=0\quad\text{OK} \] \[ \sum M_{B}= -R_{A}L + Q\frac{L}{2}= -15{,}0\times6{,}0+30{,}0\times3{,}0= -90{,}0+90{,}0=0\quad\text{OK} \] **Résultat** : chaque appui supporte la moitié de la charge totale, soit \(15{,}0\; \text{kN}\). > **À retenir** : Dans le cas d’une charge uniforme sur une poutre simplement appuyée, les réactions sont égales à \(qL/2\). ### 6. Tableau récapitulatif des réactions selon le type d’appui (2 D) | Type d’appui | Réactions inconnues | Équations d’équilibre utiles | |--------------|--------------------|------------------------------| | Simple (pivot) | \(R_{x}, R_{y}\) | \(\sum F_{x}=0,\; \sum F_{y}=0,\; \sum M_{O}=0\) | | Encastré | \(R_{x}, R_{y}, M_{z}\) | \(\sum F_{x}=0,\; \sum F_{y}=0,\; \sum M_{O}=0\) | | Glissant (sans frottement) | \(R_{n}\) (normale) | \(\sum F_{n}=0,\; \sum M_{O}=0\) | | Glissant avec frottement | \(R_{n}, F_{t}\) (tangentielle) | \(\sum F_{n}=0,\; \sum F_{t}=0,\; \sum M_{O}=0\) | --- ## II. Activités d’intégration Cette partie met l’élève en situation de résolution de problèmes professionnels où le PFS doit être combiné à d’autres notions (centre de gravité, répartition de charges, vérification de stabilité). ### 1. Activité 1 – Dimensionnement d’un poteau de soutien d’une enseigne publicitaire **Contexte** : Une entreprise de publicité à Douala souhaite installer une enseigne métallique de largeur \(2{,}4\; \text{m}\) et hauteur \(1{,}2\; \text{m}\) sur un poteau ancré dans un socle en béton. L’enseigne subit une pression du vent de \(p = 0{,}8\; \text{kN/m}^2\) (norme locale de charge de vent pour la région côtière). **Objectif** : Déterminer la réaction verticale et le moment d’encastrement à la base du poteau afin de vérifier si le diamètre du poteau (prévu \(d = 120\; \text{mm}\)) résiste à la flexion. **Étapes** 1. Calcul de la force du vent sur l’enseigne : \(F_{vent}= p \times A = 0{,}8 \times (2{,}4 \times 1{,}2) = 2{,}304\; \text{kN}\). 2. Cette force agit au centre de pression de l’enseigne, soit à \(h/2 = 0{,}6\; \text{m}\) au-dessus du poteau. 3. Le poteau est considéré comme encastré à sa base (appui encastré). 4. Équations d’équilibre : - \(\sum F_{y}=0 \Rightarrow R_{y}=0\) (pas de charge verticale). - \(\sum F_{x}=0 \Rightarrow R_{x}= -F_{vent}\) (réaction horizontale opposée au vent). - \(\sum M_{O}=0 \Rightarrow M_{encastrement}= F_{vent}\times h/2 = 2{,}304 \times 0{,}6 = 1{,}3824\; \text{kN·m}\). 5. Vérification de la contrainte de flexion : - Moment de flexion maximal \(M = 1{,}3824\; \text{kN·m}=1{,}3824\times10^{6}\; \text{N·mm}\). - Module de résistance d’une section circulaire \(W = \frac{\pi d^{3}}{32}= \frac{\pi (120)^{3}}{32}= \frac{\pi \times 1{,}728{,}000}{32}\approx 169{,}646\; \text{mm}^{3}\). - Contrainte \(\sigma = M/W = \frac{1{,}3824\times10^{6}}{169{,}646}\approx 8{,}15\; \text{N/mm}^{2}=8{,}15\; \text{MPa}\). - Comparaison à la limite d’élasticité de l’acier S235 (\(f_{y}=235\; \text{MPa}\)) : \(\sigma \ll f_{y}\) → dimensionnement sûr. > **À retenir** : Pour un poteau encastré soumis à une force horizontale appliquée à une hauteur \(h\), le moment d’encastrement vaut \(F \times h\). ### 2. Activité 2 – Équilibre d’une plateforme de travail sur deux vérins hydrauliques **Contexte** : Dans un atelier de maintenance à Ngaoundéré, une plateforme élévatrice de masse \(m_{p}=150\; \text{kg}\) supporte un moteur de masse \(m_{m}=80\; \text{kg}\) placé à \(0{,}4\; \text{m}\) du bord gauche. La plateforme repose sur deux vérins identiques situés aux extrémités (gauche et droit). **Objectif** : Déterminer la force exercée par chaque vérin (supposée verticale) afin de choisir des vérins adaptés (capacité minimale). **Étapes** 1. Poids total : \(W = (m_{p}+m_{m})g = (150+80)\times9{,}81 = 230 \times 9{,}81 = 2{,}2563\; \text{kN}\). 2. Position du centre de gravité du système : - Moment des poids autour du bord gauche : \(M_{G}= m_{p}g \times \frac{L}{2} + m_{m}g \times 0{,}4\). En supposant \(L=2{,}0\; \text{m}\) (longueur de la plateforme). \(M_{G}=150\times9{,}81\times1{,}0 + 80\times9{,}81\times0{,}4 = 1471{,}5 + 313{,}92 = 1785{,}42\; \text{N·m}\). - Position du CG : \(x_{G}= M_{G}/W = 1785{,}42 / 2256{,}3 = 0{,}792\; \text{m}\) du bord gauche. 3. Équations d’équilibre (appuis simples aux deux extrémités) : - \(\sum F_{y}=0 \Rightarrow R_{G}+R_{D}=W\). - \(\sum M_{G}=0 \Rightarrow R_{D}\times L - W \times x_{G}=0\). 4. Résolution : - \(R_{D}= \dfrac{W \times x_{G}}{L}= \dfrac{2256{,}3 \times 0{,}792}{2{,}0}= 894{,}6\; \text{N}\). - \(R_{G}= W - R_{D}= 2256{,}3 - 894{,}6 = 1361{,}7\; \text{N}\). 5. Vérification : \(\sum M_{D}=0\) donne \(R_{G}\times L - W \times (L-x_{G}) = 1361{,}7\times2{,}0 - 2256{,}3\times(2{,}0-0{,}792)=2723{,}4 - 2256{,}3\times1{,}208=2723{,}4-2726{,}6\approx -3{,}2\; \text{N·m}\) (erreur d’arrondi acceptable). > **À retenir** : Dans un système appuyé simplement, la réaction la plus éloignée du centre de gravité porte la plus petite part de la charge totale. ### 3. Activité 3 – Analyse d’un portique métallique soumis à une charge ponctuelle **Contexte** : Un portique de stockage de matériaux de construction à Bafoussam est constitué de deux poteaux verticaux (hauteur \(H=4{,}0\; \text{m}\)) reliés par une traverse horizontale (longueur \(L=5{,}0\; \text{m}\)). Une palette de béton de masse \(m=250\; \text{kg}\) est déposée au milieu de la traverse. **Objectif** : Déterminer les réactions aux poteaux (appuis simples) et le moment fléchissant maximal dans la traverse. **Étapes** 1. Poids de la palette : \(W = mg = 250\times9{,}81 = 2{,}4525\; \text{kN}\). 2. La charge agit au point milieu de la traverse, donc à \(x = L/2 = 2{,}5\; \text{m}\) de chaque poteau. 3. Équilibre du portique (symétrique) : - \(\sum F_{y}=0 \Rightarrow 2R = W \Rightarrow R = W/2 = 1{,}2263\; \text{kN}\) (réaction verticale en chaque poteau). - Moment fléchissant dans la traverse : la partie gauche subit un moment \(M(x)= R \times x\) pour \(0\le x\le L/2\). Le maximum se situe au point de charge : \(M_{max}= R \times \frac{L}{2}= 1{,}2263 \times 2{,}5 = 3{,}0658\; \text{kN·m}\). 4. Vérification de la contrainte de flexion dans la traverse (profilé IPE 200, \(W_{x}= 1{,}20\times10^{4}\; \text{mm}^{3}\) approximatif) : - \(\sigma = M_{max}/W_{x}= 3{,}0658\times10^{6}\; \text{N·mm} / 1{,}20\times10^{4}\; \text{mm}^{3}= 255{,}5\; \text{N/mm}^{2}=255{,}5\; \text{MPa}\). - Cette valeur dépasse la limite d’élasticité de l’acier S235 (235 MPa) → le profilé IPE 200 est insuffisant ; il faudrait choisir un IPE 240 ou renforcer la traverse. > **À retenir** : Le moment fléchissant maximal dans une portée simplement appuyée sous une charge ponctuelle au milieu vaut \(P L/4\). --- ## Synthèse du chapitre - **Principe fondamental de la statique** : \(\sum \vec{F}=0\) et \(\sum \vec{M}_{O}=0\). - En 2 D : \(\sum F_{x}=0,\; \sum F_{y}=0,\; \sum M_{z}=0\). - **Réactions d’appui** : selon le type (simple, encastré, glissant) on détermine le nombre d’inconnues. - **Méthode de résolution** : diagramme de corps libre, choix d’axes, écriture des équations d’équilibre, résolution, vérification. - **Exemple type** : poutre simplement appuyée sous charge répartie → réactions \(R_{A}=R_{B}=qL/2\). - **Applications professionnelles** : poteaux d’enseigne, plateformes élévatrices, portiques de stockage – détermination des réactions, moments, vérifications de contraintes. - **Règles de sécurité** : vérifier la stabilité avant toute manipulation, porter les EPI, s’assurer que les appuis sont correctement réalisés (plots béton, soudures conformes). --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Principe fondamental de la statique (PFS) | Énoncé selon lequel un système de corps rigides est en équilibre si la somme des forces et la somme des moments sont nulles. | | Diagramme de corps libre (FBD) | Représentation isolée d’un corps montrant toutes les forces extérieures et les réactions d’appui agissant sur lui. | | Appui simple (pivot) | Liaison qui empêche les déplacements horizontale et verticale mais autorise la rotation ; deux réactions inconnues : \(R_{x}\) (horizontale) et \(R_{y}\) (verticale). | | Appui encastré | Liaison qui empêche tout déplacement et toute rotation ; trois réactions inconnues : \(R_{x}\), \(R_{y}\) et \(M_{z}\). | | Appui glissant | Liaison qui empêche le déplacement normal à la surface de contact mais autorise le glissement (et la rotation) ; une réaction inconnue : \(R_{n}\) (normale) ; si le glissement est empêché, un moment supplémentaire peut apparaître. | | Résultant d’une force répartie | Force unique équivalente à une distribution de forces, située au centre de gravité de la distribution. | | Moment fléchissant | Produit d’une force par le bras de levier perpendiculaire à son axe d’action ; mesure de la tendance à faire fléchir une poutre. | | Module de résistance (W) | Géométrie de la section transversale qui relie le moment de flexion à la contrainte de flexion : \(\sigma = M/W\). | | Centre de gravité | Point où l’on peut considérer que la totalité du poids d’un corps agit ; utilisé pour réduire un système de forces parallèles à une résultante unique. | | Équilibre statique | État d’un corps où la somme des forces et la somme des moments sont nuls, entraînant l’absence d’accélération linéaire et angulaire. | --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 – Poutre cantilever sous charge ponctuelle **Énoncé** : Une poutre encastrée de longueur \(L=3{,}0\; \text{m}\) supporte une charge verticale \(P=10{,}0\; \text{kN}\) appliquée à son extrémité libre. Déterminer les réactions à l’encastrement (force verticale, force horizontale, moment) et vérifier que la contrainte de flexion ne dépasse pas \(150\; \text{MPa}\) pour un profilé rectangulaire de dimensions \(b=120\; \text{mm},\; h=200\; \text{mm}\). **Corrigé** 1. Diagramme de corps libre : réaction verticale \(R_{y}\), réaction horizontale \(R_{x}\) (nulle car aucune charge horizontale), moment d’encastrement \(M_{enc}\). 2. Équations d’équilibre : - \(\sum F_{y}=0 \Rightarrow R_{y} - P =0 \Rightarrow R_{y}=10{,}0\; \text{kN}\). - \(\sum F_{x}=0 \Rightarrow R_{x}=0\). - \(\sum M_{A}=0 \Rightarrow -M_{enc}+ P \times L =0 \Rightarrow M_{enc}= P L = 10{,}0 \times 3{,}0 =30{,}0\; \text{kN·m}\). 3. Moment de flexion maximal dans la poutre : \(M_{max}=M_{enc}=30{,}0\; \text{kN·m}\) (constant le long de la poutre encastrée). 4. Module de résistance d’une section rectangulaire : \(W = \dfrac{b h^{2}}{6}= \dfrac{120 \times 200^{2}}{6}= \dfrac{120 \times 40{,}000}{6}= \dfrac{4{,}800{,}000}{6}=800{,}000\; \text{mm}^{3}\). 5. Contrainte de flexion : \(\sigma = M_{max}/W = \dfrac{30{,}0 \times 10^{6}}{800{,}000}=37{,}5\; \text{N/mm}^{2}=37{,}5\; \text{MPa}\). 6. Vérification : \(37{,}5\; \text{MPa} < 150\; \text{MPa}\) → la poutre est sûre. > **À retenir** : Pour une cantilever sous charge ponctuelle à l’extrémité, le moment d’encastrement vaut \(P L\). ### Exercice 2 – Ponton flottant soutenu par deux câbles **Énoncé** : Un ponton de masse \(m=500\; \text{kg}\) repose sur l’eau et est retenu par deux câbles identiques faisant un angle de \(30^{\circ}\) avec l’horizontale, ancrés aux deux extrémités du ponton (longueur \(L=4{,}0\; \text{m}\)). Le poids du ponton agit à son centre. Déterminer la tension dans chaque câble. **Corrigé** 1. Poids du ponton : \(W = mg = 500 \times 9{,}81 = 4{,}905\; \text{kN}\). 2. Diagramme de corps libre : deux tensions \(T\) (symétriques) dirigées le long des câbles, poids vertical \(W\). 3. Décomposition des tensions : chaque câble possède une composante verticale \(T_{y}=T \sin 30^{\circ}=0{,}5T\) et une composante horizontale \(T_{x}=T \cos 30^{\circ}=T \times \sqrt{3}/2\). 4. Équilibre vertical : \(\sum F_{y}=0 \Rightarrow 2 \times (0{,}5T) - W =0 \Rightarrow T - W =0 \Rightarrow T = W = 4{,}905\; \text{kN}\). 5. Équilibre horizontal : \(\sum F_{x}=0 \Rightarrow T_{x} - T_{x}=0\) (automatiquement satisfait grâce à la symétrie). 6. Résultat : tension dans chaque câble \(T = 4{,}905\; \text{kN}\). > **À retenir** : Lorsque deux câbles symétriques soutiennent une charge verticale, la tension dans chaque câble vaut \(T = W / (2 \sin \theta)\) où \(\theta\) est l’angle avec l’horizontale. Ici \(\sin30^{\circ}=0{,}5\) donne \(T=W\). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Oublier de remplacer une liaison par sa réaction inconnue dans le diagramme de corps libre. | Équations d’équilibre incomplètes → résultats faux. | Toujours représenter chaque appui par sa réaction (force et/ou moment) avant d’écrire les équations. | | 2 | Confondre le sens du moment (horaire vs antihoraire) lors du calcul de \(\sum M_{O}=0\). | Signes erronés → moment de réaction de mauvaise valeur. | Choisir un sens positif (par ex. antihoraire) et rester cohérent pour tous les moments. | | 3 | Négliger la conversion d’unités (ex. kN en N, mm en m) avant d’appliquer la formule \(\sigma = M/W\). | Contraintes sur‑ ou sous‑estimées, risque de sous‑dimensionnement. | Convertir toutes les grandeurs en unités de base du SI (N, m, N·m) avant le calcul. | | 4 | Utiliser une formule de moment fléchissant inadaptée (ex. \(PL/8\) pour une charge ponctuelle au milieu alors que la bonne est \(PL/4\)). | Sous‑estimation du moment → risque de rupture. | Vérifier le type de charge et le type d’appui avant d’appliquer une formule standard. | | 5 | Ne pas vérifier la stabilité d’un appui glissant (ex. oublier la composante de frottement). | Glissement inattendu de la structure. | Toujours considérer le frottement maximal \(F_{t,max}= \mu N\) lorsqu’un appui glissant est présent. | | 6 | Monter une charge sur un échafaudage sans vérifier que les plots de béton sont bien armés et laissés prendre suffisamment de temps. | Effondrement du chantier. | Respecter les temps de prise du béton (minimum 24 h pour une résistance à 20 MPa) et contrôler l’armature avant toute mise en charge. | --- *Fin du cours.*