CINEMATIQUE DES CORPS SOLIDES

# CINEMATIQUE DES CORPS SOLIDES ## Caractéristiques Cinématiques du Mouvement d'un Point Matériel ### Introduction La cinématique est la branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans s'intéresser aux causes de ce mouvement (les forces). Dans cette leçon, nous allons nous concentrer sur le mouvement d'un "point matériel", une simplification très utile pour analyser des mouvements complexes. Comprendre la position, la vitesse et l'accélération d'un point est fondamental en physique et en ingénierie. ### Concepts Clés #### 1. Point Matériel et Référentiel * **Point Matériel:** C'est un objet dont les dimensions sont considérées comme négligeables par rapport à l'échelle du mouvement étudié. Toute sa masse est concentrée en un seul point. * **Référentiel:** Pour décrire un mouvement, nous avons besoin d'un point de vue fixe. Un référentiel est un corps (ou un ensemble de corps) par rapport auquel on étudie le mouvement. Il est souvent associé à un système d'axes (cartésien, polaire, etc.) et une horloge. * **Trajectoire:** C'est l'ensemble des positions successives occupées par le point matériel au cours de son mouvement. Elle peut être rectiligne, circulaire, parabolique, etc. #### 2. Vecteur Position Le vecteur position \( \vec{OM}(t) \) ou \( \vec{r}(t) \) décrit l'emplacement du point matériel M à un instant \( t \) par rapport à l'origine O du référentiel. * **En coordonnées cartésiennes (2D ou 3D):** \[ \vec{r}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k} \] Où \( x(t) \), \( y(t) \) et \( z(t) \) sont les coordonnées du point M qui varient avec le temps. #### 3. Vecteur Vitesse Le vecteur vitesse caractérise la rapidité et la direction du changement de position du point matériel. * **Vitesse Moyenne:** La vitesse moyenne entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \) est le rapport entre le déplacement \( \Delta \vec{r} \) et la durée \( \Delta t \). \[ \vec{v}_{moy} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)}{t_2 - t_1} \] * **Vitesse Instantanée:** C'est la vitesse du point matériel à un instant précis. Mathématiquement, c'est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. \[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \] * **En coordonnées cartésiennes:** \[ \vec{v}(t) = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k} = v_x(t)\vec{i} + v_y(t)\vec{j} + v_z(t)\vec{k} \] * **Célérité (vitesse scalaire):** C'est le module (la norme) du vecteur vitesse. Elle indique la rapidité du mouvement sans la direction. \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \] #### 4. Vecteur Accélération Le vecteur accélération caractérise la rapidité et la direction du changement du vecteur vitesse. * **Accélération Moyenne:** L'accélération moyenne entre deux instants \( t_1 \) et \( t_2 \) est le rapport entre la variation de vitesse \( \Delta \vec{v} \) et la durée \( \Delta t \). \[ \vec{a}_{moy} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t_2) - \vec{v}(t_1)}{t_2 - t_1} \] * **Accélération Instantanée:** C'est l'accélération du point matériel à un instant précis. C'est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, ou la seconde dérivée du vecteur position. \[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2} \] * **En coordonnées cartésiennes:** \[ \vec{a}(t) = \frac{dv_x}{dt}\vec{i} + \frac{dv_y}{dt}\vec{j} + \frac{dv_z}{dt}\vec{k} = a_x(t)\vec{i} + a_y(t)\vec{j} + a_z(t)\vec{k} \] * **Module de l'accélération:** \[ ||\vec{a}|| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \] #### 5. Types de Mouvements Rectilignes Simples * **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU):** * **Définition:** La trajectoire est une droite et la vitesse est constante (en direction, sens et module). * **Accélération:** \( \vec{a}(t) = \vec{0} \) * **Vitesse:** \( \vec{v}(t) = \vec{v}_0 \) (constante) * **Position:** \( x(t) = v_0 t + x_0 \) (en 1D, avec \( x_0 \) la position initiale) * **Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV):** * **Définition:** La trajectoire est une droite et l'accélération est constante. * **Accélération:** \( \vec{a}(t) = \vec{a}_0 \) (constante) * **Vitesse:** \( v(t) = a_0 t + v_0 \) (en 1D, avec \( v_0 \) la vitesse initiale) * **Position:** \( x(t) = \frac{1}{2}a_0 t^2 + v_0 t + x_0 \) (en 1D, avec \( x_0 \) la position initiale) ### Vocabulaire * **Cinématique:** Étude du mouvement sans considérer ses causes. * **Point Matériel:** Modèle d'un corps dont les dimensions sont négligeables. * **Référentiel:** Système de référence pour l'étude du mouvement. * **Vecteur Position (\( \vec{r} \)):** Vecteur indiquant la localisation d'un point dans l'espace. * **Vecteur Vitesse (\( \vec{v} \)):** Vecteur représentant la rapidité et la direction du changement de position (dérivée du vecteur position). * **Vecteur Accélération (\( \vec{a} \)):** Vecteur représentant la rapidité et la direction du changement de vitesse (dérivée du vecteur vitesse). * **Trajectoire:** Chemin suivi par un point matériel. * **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU):** Mouvement en ligne droite à vitesse constante. * **Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV):** Mouvement en ligne droite avec une accélération constante. ### Exemples 1. **Chute Libre (MRUV):** Un objet lâché sans vitesse initiale près de la surface de la Terre. Son mouvement est approximativement un MRUV vertical, avec une accélération \( \vec{a} = \vec{g} \) (accélération de la pesanteur, environ \( 9.81 \text{ m/s}^2 \) vers le bas). 2. **Voiture roulant sur une autoroute à vitesse stabilisée (MRU):** Si la voiture maintient une vitesse constante sur une portion droite, son mouvement est un MRU. 3. **Lancement d'un projectile (Combinaison de MRU et MRUV):** Une balle lancée dans l'air suit une trajectoire parabolique (en négligeant la résistance de l'air). Le mouvement horizontal est un MRU, tandis que le mouvement vertical est un MRUV (sous l'effet de la gravité). ### Exercices 1. Un coureur sprinte sur \( 100 \text{ m} \) en \( 10 \text{ s} \) en ligne droite. Quelle est sa vitesse moyenne ? S'il décélère sur les derniers \( 10 \text{ m} \), comment sa vitesse instantanée varie-t-elle ? 2. La position d'un point matériel est donnée par \( x(t) = 3t^2 - 2t + 1 \) (en mètres) dans un mouvement rectiligne. Donnez l'expression de sa vitesse \( v(t) \) et de son accélération \( a(t) \). 3. Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de \( 20 \text{ m/s} \). En considérant \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \) vers le bas, donnez les équations de sa vitesse et de sa position en fonction du temps. ### Devoirs 1. Un drone a un vecteur position donné par \( \vec{r}(t) = (2t)\vec{i} + (t^2 - 3)\vec{j} + (4t - 5)\vec{k} \) (en mètres). Trouvez le vecteur vitesse et le vecteur accélération à \( t = 2 \text{ s} \). Calculez la célérité du drone à cet instant. 2. Un ascenseur part du repos et monte avec une accélération constante de \( 1.5 \text{ m/s}^2 \) pendant \( 4 \text{ s} \), puis continue à vitesse constante pendant \( 10 \text{ s} \), et enfin décélère à \( -2 \text{ m/s}^2 \) jusqu'à l'arrêt. Représentez graphiquement sa vitesse en fonction du temps et calculez la hauteur totale parcourue. ### Résumé La cinématique du point matériel nous permet de décrire le mouvement en quantifiant sa **position**, sa **vitesse** et son **accélération**. * Le **vecteur position** \( \vec{r}(t) \) décrit l'emplacement. * Le **vecteur vitesse** \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} \) décrit le taux de changement de position. * Le **vecteur accélération** \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} \) décrit le taux de changement de vitesse. Nous avons aussi vu deux types de mouvements rectilignes fondamentaux : * Le **MRU** (vitesse constante, accélération nulle). * Le **MRUV** (accélération constante, vitesse variant linéairement). ## Mouvement Plan d'un Solide : Paramétrage et champ des vecteurs vitesses ### 1. Introduction Bienvenue à cette leçon sur la cinématique des corps solides ! En mécanique appliquée, il est essentiel de comprendre comment les objets se déplacent. Lorsque nous parlons de corps solides, nous faisons référence à des objets dont la forme ne change pas. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type de mouvement très courant : le mouvement plan. Nous apprendrons comment décrire précisément la position et l'orientation d'un solide en mouvement plan et comment la vitesse est distribuée à travers ses différents points. Ce sont des concepts fondamentaux pour l'analyse de nombreux mécanismes que vous rencontrerez en ingénierie. ### 2. Concepts Clés #### 2.1 Qu'est-ce qu'un corps solide et un mouvement plan ? * **Corps Solide (ou Corps Rigide) :** C'est un ensemble de points matériels dont les distances relatives restent constantes au cours du temps, quelles que soient les forces qui lui sont appliquées. En d'autres termes, un solide ne se déforme pas. * **Mouvement Plan :** Un solide est en mouvement plan si tous ses points se déplacent dans des plans parallèles. On peut alors réduire l'étude du mouvement à un seul plan, souvent appelé le plan de référence. Des exemples typiques incluent une roue qui roule sur le sol, une bielle dans un moteur, ou une porte qui pivote. #### 2.2 Paramétrage du mouvement plan Pour décrire le mouvement d'un solide en mouvement plan, nous avons besoin de trois paramètres indépendants : 1. **La position d'un point de référence :** Nous choisissons un point A (par exemple, le centre de gravité ou un point fixe sur le solide) et nous décrivons sa position dans le plan par deux coordonnées \( (x_A(t), y_A(t)) \) par rapport à un repère fixe \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). 2. **L'orientation du solide :** Nous décrivons l'orientation du solide par un angle \( \theta(t) \) que fait une ligne de référence du solide (par exemple, l'axe \( (A, \vec{u}) \) lié au solide) avec une direction fixe du repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \). Cet angle est mesuré à partir d'un axe de référence (par exemple, l'axe \( O\vec{i} \)). Ainsi, la position de n'importe quel point P sur le solide à tout instant \( t \) peut être déterminée si l'on connaît \( x_A(t) \), \( y_A(t) \) et \( \theta(t) \). #### 2.3 Champ des vecteurs vitesses Le champ des vecteurs vitesses décrit comment la vitesse est distribuée à tous les points d'un solide en mouvement. Pour un corps solide en mouvement plan, la relation fondamentale qui lie les vitesses de deux points A et B du solide est donnée par la **formule de Varignon** (aussi appelée **Loi de distribution des vitesses** ou **Théorème de Chasles pour les vitesses**) : \[ \vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \] Où : * \( \vec{V}_A \) est le vecteur vitesse du point A. * \( \vec{V}_B \) est le vecteur vitesse du point B. * \( \vec{AB} \) est le vecteur position allant de A à B (un vecteur intrinsèque au solide). * \( \vec{\Omega} \) est le **vecteur rotation instantané** du solide. Pour un mouvement plan dans le plan \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), \( \vec{\Omega} \) est perpendiculaire à ce plan, donc \( \vec{\Omega} = \omega \vec{k} \), où \( \omega \) est la **vitesse angulaire** du solide (\( \omega = \frac{d\theta}{dt} \)) et \( \vec{k} \) est le vecteur unitaire normal au plan. Le terme \( \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \) représente la vitesse de B par rapport à A due à la rotation du solide autour de A. Ce vecteur est perpendiculaire à \( \vec{AB} \) et sa magnitude est \( \omega \cdot |\[ \vec{AB} \] \). **Cas particuliers :** * **Mouvement de translation :** Si le solide est en translation pure, il n'y a pas de rotation, donc \( \vec{\Omega} = \vec{0} \). Dans ce cas, \( \vec{V}_B = \vec{V}_A \). Tous les points du solide ont la même vitesse. * **Mouvement de rotation autour d'un axe fixe :** Si un point A est sur l'axe de rotation fixe, alors \( \vec{V}_A = \vec{0} \). La vitesse d'un point B est alors simplement \( \vec{V}_B = \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \). La magnitude de cette vitesse est \( |\[ \vec{V}_B \] | = \omega \cdot R \), où \( R \) est la distance du point B à l'axe de rotation. #### 2.4 Centre Instantané de Rotation (CIR) Pour un solide en mouvement plan et pour lequel \( \omega \neq 0 \), il existe à chaque instant un point unique, appelé le **Centre Instantané de Rotation (CIR)**, dont la vitesse est nulle. Nous le noterons I. L'existence du CIR est très utile car la vitesse de tout autre point M du solide peut alors être exprimée simplement comme une rotation autour de I : \[ \vec{V}_M = \vec{\Omega} \wedge \vec{IM} \] Et la magnitude de cette vitesse est \( |\[ \vec{V}_M \] | = \omega \cdot |\[ \vec{IM} \] | \). **Comment trouver le CIR ?** 1. **Si les vitesses de deux points A et B sont connues et non parallèles :** Le CIR est le point d'intersection des perpendiculaires menées à chacun des vecteurs vitesses \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \) passant par A et B respectivement. 2. **Si les vitesses de deux points A et B sont connues et parallèles :** * **Si \( \vec{V}_A = \vec{V}_B \) :** Le mouvement est une translation pure. Le CIR est à l'infini. \( \omega = 0 \). * **Si \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \) sont de directions opposées ou de magnitudes différentes :** Le CIR se trouve sur la ligne (AB) ou son prolongement. Sa position peut être déterminée par des triangles similaires ou la relation \( \frac{|\[ \vec{V}_A \] |}{|\[ \vec{IA} \] |} = \frac{|\[ \vec{V}_B \] |}{|\[ \vec{IB} \] |} = \omega \). ### 3. Vocabulaire * **Corps solide (ou rigide) :** Objet dont la forme ne se déforme pas, les distances entre ses points restent constantes. * **Mouvement plan :** Mouvement où tous les points du solide se déplacent dans des plans parallèles. * **Paramétrage :** Ensemble des grandeurs (coordonnées de position et angle d'orientation) nécessaires pour décrire le mouvement. * **Champ des vecteurs vitesses :** Distribution des vecteurs vitesses à tous les points d'un solide. * **Vecteur rotation instantané (\( \vec{\Omega} \)) :** Vecteur qui caractérise la rotation instantanée du solide. * **Vitesse angulaire (\( \omega \)) :** Magnitude du vecteur rotation instantané pour un mouvement plan (\( \omega = d\theta/dt \)). * **Centre Instantané de Rotation (CIR) :** Point du solide (ou de son prolongement) dont la vitesse est nulle à un instant donné. * **Translation :** Mouvement où tous les points du solide ont la même vitesse. * **Rotation :** Mouvement où tous les points du solide décrivent des cercles concentriques autour d'un axe. ### 4. Exemples #### Exemple 1 : Bras de levier en rotation Considérons un bras de levier OA de longueur \( L = 0.5 \) m pivotant autour d'un point fixe O. Sa vitesse angulaire instantanée est \( \omega = 2 \) rad/s dans le sens positif (anti-horaire). Calculez la vitesse du point A. **Solution :** Le point O est fixe, donc \( \vec{V}_O = \vec{0} \). Le vecteur rotation est \( \vec{\Omega} = \omega \vec{k} = 2 \vec{k} \) rad/s. Le vecteur \( \vec{OA} \) peut être représenté par \( L (\cos\theta \vec{i} + \sin\theta \vec{j}) \). En supposant que le bras est le long de l'axe \( x \) à cet instant (\( \theta = 0 \)), alors \( \vec{OA} = 0.5 \vec{i} \) m. En utilisant la formule \( \vec{V}_A = \vec{V}_O + \vec{\Omega} \wedge \vec{OA} \) : \[ \vec{V}_A = \vec{0} + (2 \vec{k}) \wedge (0.5 \vec{i}) \] \[ \vec{V}_A = 2 \cdot 0.5 (\vec{k} \wedge \vec{i}) \] \[ \vec{V}_A = 1 \vec{j} \] m/s La vitesse du point A est de 1 m/s, dirigée verticalement vers le haut. #### Exemple 2 : Roue roulant sans glisser Une roue de rayon \( R = 0.2 \) m roule sans glisser sur une surface plane horizontale. Le centre C de la roue se déplace à une vitesse \( V_C = 1 \) m/s vers la droite. 1. Déterminez la vitesse angulaire \( \omega \) de la roue. 2. Trouvez le CIR. 3. Calculez la vitesse du point T le plus haut de la roue. **Solution :** 1. Puisque la roue roule sans glisser, le point de contact P avec le sol est le CIR. Sa vitesse est nulle, \( \vec{V}_P = \vec{0} \). La vitesse du centre C est \( \vec{V}_C \). Nous avons \( \vec{V}_C = \vec{V}_P + \vec{\Omega} \wedge \vec{PC} \). Sachant que \( \vec{PC} \) est dirigé vers le haut (le rayon), et \( \vec{V}_C \) est horizontal, \( \vec{\Omega} \) doit être \( -\omega \vec{k} \) (rotation horaire pour avancer vers la droite). \( |\[ \vec{V}_C \] | = \omega \cdot |\[ \vec{PC} \] | = \omega R \). \( 1 = \omega \cdot 0.2 \implies \omega = \frac{1}{0.2} = 5 \) rad/s. 2. Comme mentionné, le **CIR est le point de contact P** avec le sol car c'est le seul point dont la vitesse est instantanément nulle (condition de roulement sans glissement). 3. Le point T est le point le plus haut de la roue. Le vecteur \( \vec{PT} \) est le diamètre vertical, de longueur \( 2R \), et est dirigé vers le haut. \( \vec{PT} = 2R \vec{j} = 0.4 \vec{j} \) m. La vitesse de T est \( \vec{V}_T = \vec{V}_P + \vec{\Omega} \wedge \vec{PT} \). \( \vec{V}_T = \vec{0} + (-5 \vec{k}) \wedge (0.4 \vec{j}) \) \( \vec{V}_T = -5 \cdot 0.4 (\vec{k} \wedge \vec{j}) \) \( \vec{V}_T = -2 (-\vec{i}) = 2 \vec{i} \) m/s. La vitesse du point le plus haut de la roue est donc deux fois la vitesse du centre, et dans la même direction. ### 5. Exercices 1. Un bras articulé AB de longueur \( L = 0.8 \) m pivote autour d'un point A. À un instant donné, sa vitesse angulaire est \( \omega = 3 \) rad/s dans le sens anti-horaire. Calculez la vitesse du point B. 2. Un solide en mouvement plan possède deux points C et D. À un instant \( t \), \( \vec{V}_C = 4 \vec{i} \) m/s et \( \vec{V}_D = (4 \vec{i} + 6 \vec{j}) \) m/s. Le vecteur \( \vec{CD} = 1 \vec{j} \) m. Déterminez la vitesse angulaire \( \omega \) du solide. 3. Un segment de droite EF est en mouvement plan. Les vitesses des points E et F sont respectivement \( \vec{V}_E = 2 \vec{j} \) m/s et \( \vec{V}_F = 2 \vec{i} \) m/s. La distance EF est de 1 m. Déterminez graphiquement et par le calcul la position du Centre Instantané de Rotation (CIR) et la vitesse angulaire \( \omega \) du segment EF. ### 6. Devoirs 1. Une barre rigide MN de longueur \( L = 1 \) m glisse avec l'extrémité M sur l'axe des \( x \) et l'extrémité N sur l'axe des \( y \). Au moment où le point M est à \( (0.6, 0) \) m et se déplace à \( 0.5 \) m/s vers l'origine, déterminez : a. La position du CIR pour la barre MN. b. La vitesse angulaire de la barre. c. La vitesse du point N. 2. Considérez le mécanisme de la bielle-manivelle simplifié où la manivelle OA de longueur \( r \) tourne avec une vitesse angulaire constante \( \Omega \). La bielle AB de longueur \( L \) relie A au piston B qui se déplace le long d'une ligne droite. En un instant où la manivelle OA est horizontale et le piston B est au point mort haut : a. Déterminez la vitesse du point A. b. En utilisant le CIR, exprimez la vitesse du point B en fonction de \( r \), \( \Omega \) et \( L \). (Vous devrez peut-être faire un schéma pour visualiser la géométrie et les CIR). ### 7. Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les principes fondamentaux de la cinématique des corps solides en mouvement plan. Nous avons appris que : * Un mouvement plan est décrit par trois paramètres : la position d'un point de référence (deux coordonnées) et l'orientation (un angle). * La relation clé pour les vitesses est \( \vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \), où \( \vec{\Omega} \) est le vecteur rotation instantané caractérisé par la vitesse angulaire \( \omega \). * Le Centre Instantané de Rotation (CIR) est un point dont la vitesse est nulle à un instant donné. Il simplifie considérablement le calcul des vitesses, car la vitesse de tout autre point M est donnée par \( \vec{V}_M = \vec{\Omega} \wedge \vec{IM} \). * Le CIR peut être déterminé graphiquement en traçant les perpendiculaires aux vecteurs vitesses connus. C'est un outil puissant pour l'analyse des mécanismes. La maîtrise de ces concepts est cruciale pour l'analyse et la conception de systèmes mécaniques complexes. Continuez à pratiquer ces notions pour bien les assimiler ! ## Mouvement Plan d'un Solide : Equiprojectivité ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la cinématique des corps solides, un domaine fondamental de la mécanique appliquée. Aujourd'hui, nous allons explorer un principe puissant et très utile pour analyser le mouvement plan d'un solide : le principe d'équiprojectivité. Ce principe nous permet de relier les vecteurs vitesse de différents points d'un même solide en mouvement, simplifiant ainsi l'étude de la dynamique et de la cinématique des mécanismes. ### Concepts Clés #### Rappel sur la cinématique du solide Un **solide indéformable** est un corps dont les distances entre deux points quelconques restent constantes, quelle que soit la sollicitation mécanique. En **mouvement plan**, tous les points du solide se déplacent dans des plans parallèles. C'est le cas par exemple d'une roue de vélo roulant sur le sol ou d'une bielle dans un moteur. #### Champ des vecteurs vitesse Lorsqu'un solide est en mouvement, chaque point qui le compose possède un **vecteur vitesse** à chaque instant. L'ensemble de tous ces vecteurs vitesse forme ce qu'on appelle le **champ des vecteurs vitesse** du solide. Ce champ n'est pas aléatoire : les vitesses des différents points sont liées entre elles en raison de la rigidité du corps. #### Principe d'équiprojectivité ##### Définition Le principe d'équiprojectivité est un énoncé fondamental en cinématique des solides indéformables. Il stipule que pour deux points quelconques, A et B, appartenant à un même solide en mouvement, la projection du vecteur vitesse du point A sur la droite (AB) est égale à la projection du vecteur vitesse du point B sur la même droite (AB). Autrement dit, le taux d'allongement ou de raccourcissement de la droite (AB) est nul, ce qui est logique pour un solide indéformable. ##### Formule mathématique Mathématiquement, le principe d'équiprojectivité s'exprime par le produit scalaire : \[ \vec{V}_A \cdot \vec{AB} = \vec{V}_B \cdot \vec{AB} \] Où : * \( \vec{V}_A \) est le vecteur vitesse du point A. * \( \vec{V}_B \) est le vecteur vitesse du point B. * \( \vec{AB} \) est le vecteur position allant de A vers B. Cette équation peut aussi s'écrire sous la forme : \[ (\vec{V}_B - \vec{V}_A) \cdot \vec{AB} = 0 \] Cela signifie que le vecteur vitesse relative \( (\vec{V}_B - \vec{V}_A) \) est toujours perpendiculaire au segment \( AB \) pour un solide indéformable. ##### Interprétation graphique Imaginez la droite (AB). Si vous projetez les vecteurs \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \) sur cette droite, les longueurs des projections (en tenant compte du signe) doivent être égales. Cela implique que le solide ne peut pas s'allonger ou se contracter le long de la ligne joignant A et B. ##### Conséquences et applications * **Détermination de vitesse :** Si vous connaissez la vitesse d'un point (A) et la direction de la vitesse d'un autre point (B), le principe d'équiprojectivité vous permet de déterminer la norme de la vitesse de B. * **Centre Instantané de Rotation (CIR) :** Le principe d'équiprojectivité est fondamental pour localiser le Centre Instantané de Rotation (CIR) d'un solide en mouvement plan. Le CIR est un point (qui peut être à l'infini) dont la vitesse est nulle à un instant donné. Pour trouver le CIR, on trace les perpendiculaires aux vecteurs vitesse de deux points distincts du solide ; leur intersection donne le CIR. * **Relation fondamentale :** Le principe d'équiprojectivité est une conséquence directe de la loi de distribution des vitesses dans un solide en mouvement plan, qui est : \[ \vec{V}_B = \vec{V}_A + \vec{\Omega} \wedge \vec{AB} \] où \( \vec{\Omega} \) est le vecteur vitesse angulaire du solide. En multipliant scalairement cette équation par \( \vec{AB} \), on retrouve le principe d'équiprojectivité, car \( (\vec{\Omega} \wedge \vec{AB}) \cdot \vec{AB} = 0 \) (produit mixte à deux vecteurs identiques). ### Vocabulaire * **Solide indéformable :** Corps dont la forme et la taille ne changent pas sous l'action de forces. * **Cinématique :** Branche de la mécanique qui décrit le mouvement des corps sans se soucier des causes de ce mouvement. * **Mouvement plan :** Mouvement où tous les points du solide restent dans des plans parallèles. * **Champ des vecteurs vitesse :** Ensemble de tous les vecteurs vitesse des points d'un solide à un instant donné. * **Vecteur vitesse :** Vecteur qui représente la vitesse instantanée d'un point (direction, sens, norme). * **Projection :** Opération mathématique qui consiste à ramener un vecteur sur une droite ou un plan. * **Principe d'équiprojectivité :** Égalité des projections des vitesses de deux points d'un solide sur la droite qui les relie. * **Centre Instantané de Rotation (CIR) :** Point d'un solide en mouvement plan dont la vitesse est nulle à un instant donné. * **Vitesse angulaire (\( \vec{\Omega} \)) :** Vecteur qui caractérise la rotation d'un solide, dont la norme est la vitesse de rotation et la direction est l'axe de rotation. ### Exemples #### Exemple 1 : Barre glissant sur deux axes Considérons une barre rigide AB de longueur L. Le point A glisse le long de l'axe vertical (Oy) avec une vitesse \( \vec{V}_A \) dirigée vers le bas. Le point B glisse le long de l'axe horizontal (Ox). * **Objectif :** Déterminer la vitesse \( \vec{V}_B \) du point B. 1. **Vecteurs connus :** \( \vec{V}_A = V_A \vec{j} \) (vers le bas) et \( \vec{V}_B = V_B \vec{i} \) (horizontale, direction connue). 2. **Vecteur liaison :** \( \vec{AB} \) relie les points A et B. 3. **Principe d'équiprojectivité :** \( \vec{V}_A \cdot \vec{AB} = \vec{V}_B \cdot \vec{AB} \). Soit A = (0, y) et B = (x, 0). Alors \( \vec{AB} = (x-0)\vec{i} + (0-y)\vec{j} = x\vec{i} - y\vec{j} \). \( (V_A \vec{j}) \cdot (x\vec{i} - y\vec{j}) = (V_B \vec{i}) \cdot (x\vec{i} - y\vec{j}) \) \( -V_A y = V_B x \) Donc, \( V_B = -V_A \frac{y}{x} \). Le signe négatif indique que si A descend (y diminue), B se déplace vers la droite (x augmente) si la barre reste en contact avec les axes. La relation peut aussi être exprimée avec des angles. #### Exemple 2 : Localisation du Centre Instantané de Rotation (CIR) Soit une porte qui s'ouvre. Le point A est la poignée et le point B est un point sur le bord supérieur de la porte. Nous connaissons les directions des vitesses \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \). 1. **Vitesse \( \vec{V}_A \) :** Perpendiculaire au rayon de rotation (par rapport aux gonds). 2. **Vitesse \( \vec{V}_B \) :** Aussi perpendiculaire à son rayon de rotation. 3. **Localisation du CIR :** Tracez une droite perpendiculaire à \( \vec{V}_A \) passant par A. Tracez une droite perpendiculaire à \( \vec{V}_B \) passant par B. L'intersection de ces deux droites est le CIR. Pour une porte qui s'ouvre autour de ses gonds, le CIR est naturellement l'axe des gonds. ### Exercices #### Exercice 1 : Échelle glissante Une échelle homogène AB de 5 m de long est appuyée contre un mur vertical. Le pied A de l'échelle glisse sur le sol horizontal avec une vitesse de 0,5 m/s. À l'instant considéré, le pied A est à 3 m du mur. 1. Déterminez la position du point B (sur le mur). 2. Utilisez le principe d'équiprojectivité pour calculer la vitesse du point B sur le mur à cet instant. 3. Déterminez la position du Centre Instantané de Rotation (CIR) de l'échelle à cet instant. #### Exercice 2 : Manivelle et bielle Une manivelle OA de longueur R tourne à une vitesse angulaire constante \( \omega \) autour de O. Elle est reliée à une bielle AB de longueur L. Le point B glisse le long d'un axe horizontal. À un instant t, l'angle de la manivelle avec l'horizontale est \( \theta \). 1. Exprimez le vecteur vitesse \( \vec{V}_A \) du point A. 2. Utilisez le principe d'équiprojectivité pour relier la vitesse \( V_B \) à la vitesse \( V_A \) et aux longueurs R et L, ainsi qu'aux angles pertinents. 3. Déduisez la vitesse du point B. ### Devoirs #### Problème 1 : Mécanisme à quatre barres Un mécanisme est constitué de quatre barres (O1A, AB, O2B, O1O2). O1A et O2B pivotent respectivement autour des points fixes O1 et O2. La barre AB est une bielle. O1A = 0,2 m, AB = 0,5 m, O2B = 0,3 m. La vitesse angulaire de la barre O1A est \( \omega_{O1A} = 5 \text{ rad/s} \) dans le sens horaire. À un instant donné, l'angle \( \theta_1 = \angle AO1X = 60^\circ \) et \( \theta_2 = \angle BO2X = 30^\circ \). 1. Calculez la vitesse du point A.\ 2. Utilisez le principe d'équiprojectivité pour la barre AB afin de trouver la vitesse du point B. (Indice : la direction de \( \vec{V}_B \) est connue car B tourne autour de O2). 3. Déduisez la vitesse angulaire de la barre O2B. #### Problème 2 : Roue roulant sans glissement Une roue de rayon R roule sans glissement sur un sol horizontal avec une vitesse de son centre C égale à \( V_C \). Soit P un point sur la circonférence de la roue. 1. Déterminez la vitesse du point de contact I avec le sol. Que peut-on dire de ce point ? 2. Utilisez le principe d'équiprojectivité pour déterminer la vitesse d'un point P situé au sommet de la roue. 3. Calculez la vitesse d'un point P situé à l'horizontale du centre C (sur la circonférence). ### Résumé Nous avons vu aujourd'hui que le **principe d'équiprojectivité** est un outil essentiel pour l'analyse du mouvement plan des solides indéformables. Il stipule que la projection des vecteurs vitesse de deux points quelconques (A et B) d'un solide sur la droite (AB) est égale : \( \vec{V}_A \cdot \vec{AB} = \vec{V}_B \cdot \vec{AB} \). Ce principe découle directement de la rigidité du corps et est particulièrement utile pour déterminer des vitesses inconnues ou pour localiser le Centre Instantané de Rotation (CIR). Sa compréhension est cruciale pour l'étude cinématique des mécanismes. ## Mouvement Plan d'un Solide : Centre Instantané de Rotation (CIR) ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le Centre Instantané de Rotation (CIR) pour l'étude du mouvement plan des corps solides. Comprendre le CIR est essentiel pour analyser la cinématique des mécanismes complexes sans avoir à utiliser des calculs de dérivation complexes pour chaque point. C'est un outil puissant qui simplifie l'analyse des vitesses dans un mouvement plan général. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'un Mouvement Plan ? Un mouvement est dit plan si tous les points du solide se déplacent dans des plans parallèles à un plan de référence fixe. C'est le cas, par exemple, d'une roue de voiture roulant sur une route plane ou d'une bielle dans un moteur. #### Définition du Centre Instantané de Rotation (CIR) Pour un solide en mouvement plan, le Centre Instantané de Rotation (CIR) est un point, réel ou fictif, dont la vitesse est nulle à un instant donné. À cet instant précis, le mouvement du solide peut être considéré comme une rotation pure autour de ce point. Le CIR peut se trouver à l'intérieur ou à l'extérieur du solide. Il change généralement de position au cours du temps. #### Propriétés du CIR * **Vitesse Nulle :** La vitesse du CIR est toujours nulle à l'instant considéré. * **Direction des Vitesses :** La vitesse de tout autre point du solide est perpendiculaire à la droite reliant ce point au CIR. * **Rotation Pure :** À l'instant t, tout le solide tourne autour du CIR avec une vitesse angulaire \( \omega \) unique. #### Localisation du CIR Il existe plusieurs méthodes pour localiser le CIR : ##### 1. Connaissant les Vitesses de Deux Points A et B Si les vitesses \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \) de deux points A et B du solide sont connues et non parallèles : * Tracez une perpendiculaire à \( \vec{V}_A \) passant par A. * Tracez une perpendiculaire à \( \vec{V}_B \) passant par B. * L'intersection de ces deux perpendiculaires est le CIR (appelons-le I). ##### 2. Connaissant les Vitesses de Deux Points A et B (Vecteurs Parallèles) Si les vitesses \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \) sont parallèles : * **Même Sens :** Tracez la droite (AB). Le CIR I se trouve sur cette droite. On a la relation \[ \frac{\text{IA}}{\text{IB}} = \frac{\|\vec{V}_A\|}{\|\vec{V}_B\|} \] * **Sens Opposé :** Tracez la droite (AB). Le CIR I se trouve sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB]. On a également \[ \frac{\text{IA}}{\text{IB}} = \frac{\|\vec{V}_A\|}{\|\vec{V}_B\|} \] ##### 3. Connaissant la Vitesse d'un Point A et la Vitesse Angulaire \( \omega \) Si la vitesse \( \vec{V}_A \) d'un point A et la vitesse angulaire \( \omega \) du solide sont connues : * Le CIR I se trouve sur la droite perpendiculaire à \( \vec{V}_A \) passant par A. * La distance entre A et I est donnée par \( \text{AI} = \frac{\|\vec{V}_A\|}{\omega} \). * La direction est donnée par la règle du "tire-bouchon" pour la vitesse angulaire. #### Calcul des Vitesses à partir du CIR Une fois le CIR (I) et la vitesse angulaire (\( \omega \)) du solide connus, la vitesse d'un point M quelconque du solide est donnée par : \[ \vec{V}_M = \vec{V}_I + \vec{\omega} \wedge \vec{\text{IM}} \] Comme \( \vec{V}_I = \vec{0} \), on a : \[ \vec{V}_M = \vec{\omega} \wedge \vec{\text{IM}} \] En terme d'amplitude, la vitesse linéaire d'un point M est proportionnelle à sa distance au CIR : \[ \|\vec{V}_M\| = \omega \cdot \text{IM} \] #### Cas Particuliers * **Translation Pure :** Tous les points du solide ont la même vitesse. Dans ce cas, les perpendiculaires aux vecteurs vitesses sont parallèles, donc le CIR est rejeté à l'infini. La vitesse angulaire \( \omega = 0 \). * **Rotation Pure Autour d'un Point Fixe :** Le CIR coïncide en permanence avec le centre de rotation fixe. Ce point est le CIR à chaque instant. ### Vocabulaire * **Centre Instantané de Rotation (CIR) :** Point du solide (ou de son prolongement) dont la vitesse est nulle à un instant donné. * **Mouvement Plan :** Mouvement où tous les points du solide se déplacent dans des plans parallèles. * **Vitesse Angulaire (\( \omega \)) :** Vitesse de rotation du solide autour du CIR, exprimée en radians par seconde (rad/s). * **Translation Pure :** Mouvement où tous les points du solide ont la même vitesse et la même direction. Le CIR est à l'infini. * **Rotation Pure :** Mouvement où tous les points du solide décrivent des cercles concentriques autour d'un point fixe. ### Exemples #### Exemple 1 : Roue qui roule sans glisser Considérons une roue de rayon R qui roule sans glisser sur le sol. Le point de contact entre la roue et le sol (P) a une vitesse nulle par rapport au sol. Ce point P est donc le CIR. Si la roue tourne avec une vitesse angulaire \( \omega \), la vitesse du centre C de la roue est \( \vec{V}_C = R\omega \) et est horizontale. La vitesse du point le plus haut de la roue (T) est \( \vec{V}_T = 2R\omega \). #### Exemple 2 : Bielle dans un moteur Dans un système bielle-manivelle, la bielle effectue un mouvement plan général. L'extrémité reliée à la manivelle (A) a une vitesse circulaire autour du centre de la manivelle. L'extrémité reliée au piston (B) a une vitesse rectiligne alternative. En traçant les perpendiculaires à \( \vec{V}_A \) et \( \vec{V}_B \), on peut localiser le CIR de la bielle à un instant donné, et ainsi déterminer la vitesse de tout autre point de la bielle. ### Exercices 1. Définissez le Centre Instantané de Rotation (CIR). 2. Quelle est la propriété fondamentale de la vitesse du CIR ? 3. Si un solide est en translation pure, où se trouve son CIR ? Justifiez. 4. Un point A d'un solide a une vitesse \( \vec{V}_A \) dirigée horizontalement vers la droite. Un point B du même solide a une vitesse \( \vec{V}_B \) dirigée verticalement vers le haut. Comment localiseriez-vous le CIR ? ### Devoirs 1. Une barre AB de longueur L est en mouvement plan. L'extrémité A est contrainte de se déplacer sur l'axe des x, et l'extrémité B sur l'axe des y. À un instant donné, le point A est en (3,0) avec une vitesse \( \vec{V}_A = 2 \vec{i} \) m/s et le point B est en (0,4) avec une vitesse \( \vec{V}_B = -1.5 \vec{j} \) m/s. a. Déterminez la position du CIR de la barre à cet instant. b. Calculez la vitesse angulaire de la barre. c. Déterminez la vitesse du milieu de la barre (M). 2. Un disque de rayon 0.5 m roule sans glisser sur une surface horizontale. Son centre C a une vitesse \( \vec{V}_C = 1 \vec{i} \) m/s. a. Identifiez le CIR de ce disque. b. Quelle est la vitesse angulaire du disque ? c. Calculez la vitesse du point le plus haut du disque. ### Résumé Le Centre Instantané de Rotation (CIR) est un outil fondamental en cinématique des solides en mouvement plan. C'est le point dont la vitesse est nulle à un instant donné, autour duquel le solide semble pivoter. Sa localisation est cruciale et peut être déterminée à partir des vitesses de deux points ou de la vitesse d'un point et de la vitesse angulaire. Une fois le CIR et la vitesse angulaire connus, la vitesse de n'importe quel point du solide peut être facilement calculée par la relation \( \|\vec{V}_M\| = \omega \cdot \text{IM} \). Le CIR simplifie grandement l'analyse des mouvements plans complexes. ## Mouvement Plan d'un Solide : Composition de mouvements, des vecteurs vitesses et accélérations ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la cinématique des corps solides ! Aujourd'hui, nous allons explorer comment les objets se déplacent dans un plan en étudiant la composition de leurs mouvements, de leurs vitesses et de leurs accélérations. Comprendre comment les mouvements s'additionnent est essentiel pour analyser des systèmes mécaniques complexes, comme les engrenages, les bras robotiques ou même le mouvement d'une voiture. ### Concepts Clés #### 1. Mouvement Plan d'un Solide Un solide est dit en mouvement plan si tous ses points restent dans des plans parallèles à un plan de référence fixe. C'est le cas, par exemple, d'une roue de vélo roulant sur une route plane. #### 2. Décomposition des Mouvements Tout mouvement plan d'un solide peut être décomposé en deux mouvements plus simples : * **Mouvement de Translation :** Tous les points du solide ont la même vitesse et la même accélération à un instant donné. Le solide se déplace sans changer d'orientation. Imaginez une boîte qui glisse sur une table. * **Mouvement de Rotation :** Le solide tourne autour d'un point appelé centre de rotation instantané. Les points du solide décrivent des cercles concentriques. Imaginez une toupie qui tourne sur elle-même. #### 3. Composition des Vitesses Pour un point \(M\) d'un solide en mouvement plan par rapport à un repère fixe \(R_{abs}\), sa vitesse \(\vec{V}_{M/R_{abs}}\) peut être exprimée comme la somme de la vitesse d'un point de référence \(A\) du solide et de la vitesse de rotation du point \(M\) autour de \(A\). La relation fondamentale est : \[ \vec{V}_{M/R_{abs}} = \vec{V}_{A/R_{abs}} + \vec{V}_{M/A} \] où : * \(\vec{V}_{M/R_{abs}}\) est la vitesse absolue du point \(M\). * \(\vec{V}_{A/R_{abs}}\) est la vitesse absolue du point de référence \(A\) (souvent le centre de masse ou un point connu). * \(\vec{V}_{M/A}\) est la vitesse relative du point \(M\) par rapport au point \(A\). Pour un mouvement de rotation autour de \(A\), cette vitesse est donnée par \( \vec{V}_{M/A} = \vec{\Omega} \land \vec{AM} \), où \( \vec{\Omega} \) est le vecteur vitesse angulaire du solide. Donc, la formule complète est : \[ \vec{V}_{M/R_{abs}} = \vec{V}_{A/R_{abs}} + \vec{\Omega} \land \vec{AM} \] #### 4. Composition des Accélérations De manière similaire à la composition des vitesses, l'accélération d'un point \(M\) du solide peut être exprimée. La relation fondamentale est : \[ \vec{a}_{M/R_{abs}} = \vec{a}_{A/R_{abs}} + \vec{a}_{M/A} \] où : * \(\vec{a}_{M/R_{abs}}\) est l'accélération absolue du point \(M\). * \(\vec{a}_{A/R_{abs}}\) est l'accélération absolue du point de référence \(A\). * \(\vec{a}_{M/A}\) est l'accélération relative du point \(M\) par rapport au point \(A\). Pour un mouvement de rotation, cette accélération est donnée par : \[ \vec{a}_{M/A} = \vec{\dot{\Omega}} \land \vec{AM} + \vec{\Omega} \land (\vec{\Omega} \land \vec{AM}) \] où \( \vec{\dot{\Omega}} \) est le vecteur accélération angulaire du solide (dérivée de \( \vec{\Omega} \) par rapport au temps). Donc, la formule complète est : \[ \vec{a}_{M/R_{abs}} = \vec{a}_{A/R_{abs}} + \vec{\dot{\Omega}} \land \vec{AM} + \vec{\Omega} \land (\vec{\Omega} \land \vec{AM}) \] ### Vocabulaire * **Solide indéformable :** Un corps dont les distances entre deux points quelconques restent constantes au cours du mouvement. * **Repère absolu (fixe) :** Un système de référence considéré comme immobile (par exemple, le sol ou la Terre). * **Vitesse angulaire (\(\vec{\Omega}\)) :** Vecteur qui caractérise la vitesse de rotation du solide. Sa norme est la vitesse angulaire instantanée (en rad/s) et sa direction est celle de l'axe de rotation. * **Accélération angulaire (\(\vec{\dot{\Omega}}\) ou \(\vec{\alpha}\)) :** Vecteur qui caractérise la variation de la vitesse angulaire (en rad/s²). * **Centre de rotation instantané (CRI) :** Point du solide (ou de son prolongement) dont la vitesse est nulle à un instant donné. Le mouvement du solide à cet instant peut être considéré comme une rotation pure autour de ce point. ### Exemples #### Exemple 1 : Roue qui roule sans glisser Considérons une roue de rayon \(R\) qui roule sans glisser sur une surface plane. Soit \(C\) le centre de la roue et \(P\) le point de contact avec le sol. * **Vitesse du point de contact \(P\) :** Puisque la roue roule *sans glisser*, la vitesse du point de contact \(P\) est nulle par rapport au sol : \( \vec{V}_{P/R_{abs}} = \vec{0} \). * **Vitesse du centre \(C\) :** La vitesse du centre \(C\) est purement horizontale, \( \vec{V}_{C/R_{abs}} \). La relation entre la vitesse du centre et la vitesse angulaire \( \Omega \) de la roue est : \( V_C = R \Omega \). * **Vitesse d'un point \(M\) sur la jante :** Pour tout point \(M\) sur la jante, sa vitesse peut être calculée par la composition : \[ \vec{V}_{M/R_{abs}} = \vec{V}_{C/R_{abs}} + \vec{\Omega} \land \vec{CM} \] Si \( \vec{V}_{C/R_{abs}} = V_C \vec{i} \) (horizontale) et \( \vec{\Omega} = -\Omega \vec{k} \) (rotation horaire autour de l'axe \(z\)), alors \( \vec{V}_{M/R_{abs}} = V_C \vec{i} + (-R \Omega \sin\theta) \vec{i} + (R \Omega \cos\theta) \vec{j} \) (en coordonnées polaires pour \(M\)). #### Exemple 2 : Barre en mouvement plan Une barre \(AB\) de longueur \(L\) a son extrémité \(A\) fixée à un pivot et son extrémité \(B\) glisse le long d'une rainure horizontale. * La vitesse de \(A\) est nulle : \( \vec{V}_{A/R_{abs}} = \vec{0} \). * La vitesse de \(B\) est horizontale : \( \vec{V}_{B/R_{abs}} = V_B \vec{i} \). * La vitesse angulaire de la barre est \( \vec{\Omega} = \Omega \vec{k} \). * Nous pouvons utiliser la formule de composition des vitesses pour relier \(V_B\) à \( \Omega \) : \[ \vec{V}_{B/R_{abs}} = \vec{V}_{A/R_{abs}} + \vec{\Omega} \land \vec{AB} \] \[ V_B \vec{i} = \vec{0} + (\Omega \vec{k}) \land (L \cos\theta \vec{i} + L \sin\theta \vec{j}) \] \[ V_B \vec{i} = \Omega L \cos\theta (\vec{k} \land \vec{i}) + \Omega L \sin\theta (\vec{k} \land \vec{j}) \] \[ V_B \vec{i} = \Omega L \cos\theta \vec{j} - \Omega L \sin\theta \vec{i} \] En comparant les composantes, on obtient \( V_B = -\Omega L \sin\theta \). Ceci nous permet de calculer \( \Omega \) si \(V_B\) est connu, ou vice-versa. ### Exercices 1. **Question de compréhension :** Expliquez avec vos propres mots la différence entre un mouvement de translation et un mouvement de rotation pour un solide en mouvement plan. 2. **Calcul de vitesse :** Une roue de rayon \(R = 0,5\) m tourne avec une vitesse angulaire constante de \( \Omega = 10 \) rad/s. Son centre \(C\) se déplace horizontalement à \( V_C = 5 \) m/s. a. Quelle est la vitesse du point le plus haut de la roue par rapport au sol ? b. Quelle est la vitesse du point le plus bas de la roue (point de contact avec le sol) par rapport au sol ? *Aide : N'oubliez pas le sens de rotation !* 3. **Application de la composition :** Un solide \(S\) tourne avec une vitesse angulaire \( \vec{\Omega} = 2 \vec{k} \) rad/s. Le point \(A\) du solide a une vitesse \( \vec{V}_{A/R_{abs}} = 3 \vec{i} + 4 \vec{j} \) m/s. Déterminez la vitesse du point \(B\) du solide sachant que \( \vec{AB} = 1 \vec{i} - 2 \vec{j} \) m. ### Devoirs 1. **Mouvement d'une porte :** Une porte plane de largeur \(L\) tourne autour de son axe vertical. Le long du bord de la porte, un point \(P\) est situé à une distance \(d\) de l'axe de rotation. Si la porte s'ouvre avec une vitesse angulaire constante \( \Omega \), exprimez la vitesse du point \(P\). 2. **Analyse d'accélération :** Reprenez l'exercice 2 (roue). Si la roue accélère de manière que sa vitesse angulaire passe de \(10\) rad/s à \(12\) rad/s en \(0,2\) s, et que la vitesse de son centre passe de \(5\) m/s à \(6\) m/s dans le même temps. Calculez l'accélération angulaire moyenne et l'accélération moyenne du centre \(C\). Ensuite, si l'accélération angulaire est constante et l'accélération du centre est constante, déterminez l'accélération du point le plus haut de la roue au moment où \( \Omega = 10 \) rad/s et \( V_C = 5 \) m/s. 3. **Recherche :** Qu'est-ce que le Centre Instantané de Rotation (CIR) pour un solide en mouvement plan ? Comment peut-on le déterminer graphiquement ou par calcul ? Donnez un exemple concret. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que le mouvement plan d'un solide est une combinaison de translation et de rotation. La composition des vitesses et des accélérations est un outil puissant pour analyser ces mouvements. La formule clé pour la vitesse est \( \vec{V}_{M/R_{abs}} = \vec{V}_{A/R_{abs}} + \vec{\Omega} \land \vec{AM} \), et pour l'accélération, c'est \( \vec{a}_{M/R_{abs}} = \vec{a}_{A/R_{abs}} + \vec{\dot{\Omega}} \land \vec{AM} + \vec{\Omega} \land (\vec{\Omega} \land \vec{AM}) \). Ces formules nous permettent de comprendre et de prédire le mouvement complexe des objets dans le monde réel. ## Mouvement de translation d’un solide : Translation rectiligne ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la cinématique des corps solides ! En mécanique appliquée, il est essentiel de comprendre comment les objets se déplacent. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type de mouvement particulier : la translation rectiligne d'un solide. Imaginez un train roulant sur une voie droite ou un ascenseur qui monte ou descend. Dans ces cas, chaque partie du solide se déplace de la même manière, le long de lignes droites parallèles. C'est ce que nous allons explorer en détail, en définissant les concepts clés et en apprenant à décrire ce mouvement. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'un Solide Indéformable ? En mécanique, un *solide indéformable* (ou corps rigide) est un objet dont la forme et les dimensions ne changent pas, quelle que soit la force appliquée. La distance entre deux points quelconques de ce solide reste toujours constante. Cela simplifie beaucoup l'étude de son mouvement. #### 2. Le Mouvement de Translation Un solide est en *mouvement de translation* si tout segment de droite lié à ce solide reste parallèle à lui-même au cours du mouvement. Cela signifie que tous les points du solide ont, à chaque instant, la même vitesse et la même accélération. Nous pouvons illustrer cela comme suit : * Si vous dessinez un segment \( AB \) sur le solide, et que vous le déplacez, le segment \( A'B' \) (sa nouvelle position) sera toujours parallèle à \( AB \). * Les trajectoires de tous les points du solide sont identiques et parallèles entre elles. #### 3. La Translation Rectiligne La *translation rectiligne* est un cas particulier de la translation où les trajectoires de tous les points du solide sont des lignes droites. Cela signifie que le solide se déplace sans changer d'orientation et le long d'une ligne droite. **Exemple :** Un wagon de train sur une voie droite, un tiroir que l'on ouvre ou ferme. #### 4. Description du Mouvement de Translation Rectiligne Pour décrire le mouvement de translation rectiligne d'un solide, il suffit de suivre le mouvement d'un seul de ses points (par exemple, son centre de masse). Si nous connaissons la position, la vitesse et l'accélération d'un point, nous connaissons celles de tous les points du solide. ##### a. Position La position d'un point \( M \) à l'instant \( t \) est donnée par son vecteur position \( \vec{OM}(t) \) par rapport à une origine \( O \) d'un repère. Dans le cas d'une translation rectiligne, on peut souvent simplifier en utilisant une seule coordonnée le long de la droite de mouvement, par exemple \( x(t) \). ##### b. Vitesse La vitesse \( \vec{v}(t) \) d'un point du solide est la dérivée de sa position par rapport au temps : \[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}(t)}{dt} \] Puisque tous les points ont la même vitesse en translation, \( \vec{v}(t) \) est la vitesse du solide tout entier. Sa direction est celle de la trajectoire (la ligne droite). ##### c. Accélération L'accélération \( \vec{a}(t) \) d'un point du solide est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps : \[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}(t)}{dt^2} \] De même, \( \vec{a}(t) \) est l'accélération du solide tout entier. Sa direction est celle de la trajectoire. #### 5. Types de Mouvement de Translation Rectiligne ##### a. Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) Dans un MRU, l'accélération est nulle (\( \vec{a} = \vec{0} \)) et la vitesse est constante (en grandeur et en direction). * **Accélération :** \[ \vec{a}(t) = \vec{0} \] * **Vitesse :** \[ \vec{v}(t) = \vec{v_0} \] (où \( \vec{v_0} \) est la vitesse initiale constante) * **Position :** \[ \vec{OM}(t) = \vec{OM_0} + \vec{v_0}t \] (où \( \vec{OM_0} \) est la position initiale) Si l'on considère le mouvement le long de l'axe \( x \) : * \( a_x = 0 \) * \( v_x(t) = v_{x0} \) * \( x(t) = x_0 + v_{x0}t \) ##### b. Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) Dans un MRUV, l'accélération est constante et non nulle. La vitesse varie linéairement avec le temps. * **Accélération :** \[ \vec{a}(t) = \vec{a_0} \] (où \( \vec{a_0} \) est l'accélération constante) * **Vitesse :** \[ \vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a_0}t \] * **Position :** \[ \vec{OM}(t) = \vec{OM_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a_0}t^2 \] Si l'on considère le mouvement le long de l'axe \( x \) : * \( a_x(t) = a_{x0} \) * \( v_x(t) = v_{x0} + a_{x0}t \) * \( x(t) = x_0 + v_{x0}t + \frac{1}{2}a_{x0}t^2 \) ### Vocabulaire * **Solide indéformable (Corps rigide) :** Objet dont la forme et les dimensions ne changent pas. * **Translation :** Mouvement d'un solide où tout segment de droite lié au solide reste parallèle à lui-même. * **Translation rectiligne :** Mouvement de translation où les trajectoires de tous les points du solide sont des lignes droites. * **Trajectoire :** Ensemble des positions successives occupées par un point au cours du temps. * **Vecteur position \( \vec{OM} \) :** Vecteur qui relie l'origine d'un repère à un point du solide. * **Vitesse \( \vec{v} \) :** Taux de changement de la position par rapport au temps. * **Accélération \( \vec{a} \) :** Taux de changement de la vitesse par rapport au temps. * **MRU (Mouvement Rectiligne Uniforme) :** Mouvement en ligne droite à vitesse constante. * **MRUV (Mouvement Rectiligne Uniformément Varié) :** Mouvement en ligne droite à accélération constante. ### Exemples 1. **Le mouvement d'un ascenseur :** Quand un ascenseur monte ou descend, sa cabine ne change pas d'orientation et se déplace le long d'une ligne droite verticale. Tous les points de la cabine ont la même vitesse et la même accélération. C'est un exemple de translation rectiligne. 2. **Un tiroir de bureau :** Lorsqu'on ouvre ou ferme un tiroir, il effectue une translation rectiligne horizontale. Chaque point du tiroir se déplace sur une ligne droite parallèle au mouvement global. 3. **Un train sur une section droite de voie :** Tant que la voie est droite, le train effectue une translation rectiligne. Chaque wagon se déplace en ligne droite, sans rotation par rapport à la voie. ### Exercices Répondez aux questions suivantes en utilisant les formules et concepts appris. 1. Un wagon de train démarre du repos avec une accélération constante de \( 0.5 \text{ m/s}^2 \) en translation rectiligne. Quelle est sa vitesse après \( 10 \text{ s} \)? Quelle distance a-t-il parcourue pendant ce temps ? 2. Un ascenseur monte à une vitesse constante de \( 3 \text{ m/s} \). Si son mouvement est une translation rectiligne, quelle est son accélération ? Quelle distance parcourt-il en \( 5 \text{ s} \) ? 3. Expliquez la différence fondamentale entre un mouvement de translation rectiligne uniforme et un mouvement de translation rectiligne uniformément varié. 4. Pourquoi suffit-il d'étudier le mouvement d'un seul point d'un solide pour décrire entièrement son mouvement de translation ? ### Devoirs 1. Un objet subit un mouvement de translation rectiligne. Sa position \( x \) en fonction du temps \( t \) est donnée par l'équation \( x(t) = 2t^2 - 5t + 3 \) (où \( x \) est en mètres et \( t \) en secondes). a. Déterminez l'expression de la vitesse \( v(t) \) de l'objet. b. Déterminez l'expression de l'accélération \( a(t) \) de l'objet. c. Quel est le type de mouvement de cet objet ? Justifiez votre réponse. d. Calculez la vitesse et l'accélération à \( t = 2 \text{ s} \). 2. Un bloc glisse sur une table horizontale. Il a une vitesse initiale de \( 4 \text{ m/s} \). Si le frottement lui donne une accélération constante de \( -0.8 \text{ m/s}^2 \) (le signe négatif indique une décélération), combien de temps mettra-t-il pour s'arrêter complètement ? Quelle distance aura-t-il parcourue avant de s'arrêter ? 3. Décrivez deux autres exemples concrets de mouvements de translation rectiligne que l'on peut observer dans la vie quotidienne ou dans l'industrie. Pour chaque exemple, indiquez s'il s'agit plutôt d'un MRU ou d'un MRUV, et justifiez pourquoi. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré le concept de *translation rectiligne* pour un solide indéformable. Nous avons appris que dans ce type de mouvement, tous les points du solide décrivent des trajectoires rectilignes parallèles, et tous les points ont la même vitesse et la même accélération à tout instant. Nous avons distingué deux cas principaux : * **Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) :** Vitesse constante (\( \vec{v} = \vec{v_0} \)), accélération nulle (\( \vec{a} = \vec{0} \)). La position varie linéairement avec le temps : \( \vec{OM}(t) = \vec{OM_0} + \vec{v_0}t \). * **Mouvement Rectiligne Uniformément Varié (MRUV) :** Accélération constante (\( \vec{a} = \vec{a_0} \)), vitesse variant linéairement avec le temps (\( \vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a_0}t \)). La position varie quadratiquement avec le temps : \( \vec{OM}(t) = \vec{OM_0} + \vec{v_0}t + \frac{1}{2}\vec{a_0}t^2 \). Comprendre la translation rectiligne est une étape fondamentale pour analyser des mouvements plus complexes en mécanique appliquée. Gardez à l'esprit que la clé est la constance de la direction du mouvement et l'égalité des vecteurs vitesse et accélération pour tous les points du solide. ## Mouvement de translation d’un solide : Translation circulaire #### Introduction Dans le cadre de la cinématique des corps solides, nous allons explorer un type de mouvement particulier : la translation circulaire. Il est essentiel de bien comprendre que, malgré le terme "circulaire", ce mouvement est une forme de *translation*. Cela signifie que chaque point du solide décrit une trajectoire circulaire identique, tout en conservant la même orientation dans l'espace. Nous verrons comment décrire ce mouvement et le distinguer d'une simple rotation. #### Concepts Clés ### Définition de la Translation Circulaire Un solide est en mouvement de translation circulaire si toutes les droites qui lui sont liées conservent une direction fixe ou parallèle à une direction donnée (le solide ne tourne pas sur lui-même), et si tous ses points décrivent des trajectoires circulaires de même rayon. #### Caractéristiques principales * **Trajectoires :** Chaque point du solide décrit une trajectoire circulaire identique. Cela signifie que toutes les trajectoires sont des cercles de même rayon. * **Orientation du solide :** Le solide ne subit aucune rotation sur lui-même. Une ligne droite tracée sur le solide reste toujours parallèle à elle-même (ou à sa direction initiale) au cours du mouvement. * **Vitesse :** À tout instant, tous les points du solide possèdent le même vecteur vitesse \( \vec{v} \). * **Accélération :** À tout instant, tous les points du solide possèdent le même vecteur accélération \( \vec{a} \). #### Différence avec la Rotation Il est crucial de distinguer la translation circulaire d'un mouvement de rotation. * **Translation circulaire :** Le solide *se déplace* sur une trajectoire circulaire sans changer son orientation. Imaginez une nacelle de grande roue qui reste horizontale pendant qu'elle monte et descend. * **Rotation :** Le solide *tourne* autour d'un axe. Ses points décrivent des cercles concentriques, mais son orientation change constamment. Imaginez la roue de la grande roue elle-même qui tourne. ### Cinématique de la Translation Circulaire Puisque tous les points du solide ont les mêmes vecteurs vitesse et accélération, l'étude cinématique d'un seul point est suffisante pour décrire le mouvement de l'ensemble du solide. #### Vitesse Le vecteur vitesse \( \vec{v} \) d'un point en translation circulaire est tangent à la trajectoire circulaire et son module est donné par : \[ v = R \omega \] où : * \( R \) est le rayon de la trajectoire circulaire. * \( \omega \) (oméga) est la vitesse angulaire de la trajectoire, exprimée en radians par seconde (rad/s). C'est la vitesse à laquelle l'angle de position change. \[ \omega = \frac{d\theta}{dt} \] Pour un solide en translation circulaire, tous les points ont ce même module de vitesse et ce même vecteur vitesse. #### Accélération Le vecteur accélération \( \vec{a} \) d'un point en translation circulaire est la somme de deux composantes : * **Accélération tangentielle (\( \vec{a_t} \)) :** Elle est tangente à la trajectoire et change la magnitude de la vitesse. \[ a_t = R \alpha \] où \( \alpha \) (alpha) est l'accélération angulaire de la trajectoire, exprimée en radians par seconde carrée (rad/s²). \[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \] * **Accélération normale ou centripète (\( \vec{a_n} \)) :** Elle est dirigée vers le centre du cercle et change la direction de la vitesse. \[ a_n = \frac{v^2}{R} = R \omega^2 \] Le module de l'accélération totale est : \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \] Comme pour la vitesse, tous les points du solide en translation circulaire ont le même vecteur accélération \( \vec{a} \) à tout instant. #### Vocabulaire * **Solide indéformable :** Un corps dont la forme et les dimensions ne changent pas sous l'action de forces externes. * **Trajectoire :** Le chemin suivi par un point dans l'espace au cours du temps. * **Translation :** Mouvement d'un solide où toutes les lignes droites qui lui sont liées restent parallèles à elles-mêmes. Tous les points du solide ont le même vecteur vitesse et le même vecteur accélération. * **Rotation :** Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe ou instantané. Les points du solide décrivent des cercles concentriques autour de cet axe. * **Vitesse angulaire (\( \omega \)) :** Mesure de la vitesse à laquelle l'angle de position d'un point change autour d'un centre. Unité : rad/s. * **Accélération angulaire (\( \alpha \)) :** Mesure de la vitesse à laquelle la vitesse angulaire change. Unité : rad/s². * **Accélération centripète (ou normale) :** Composante de l'accélération dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire, responsable du changement de direction de la vitesse. * **Accélération tangentielle :** Composante de l'accélération tangente à la trajectoire, responsable du changement du module de la vitesse. #### Exemples 1. **Nacelle de grande roue :** Une nacelle d'une grande roue, si elle est conçue pour rester toujours horizontale (elle ne tourne pas sur elle-même), effectue une translation circulaire. Chaque point de la nacelle décrit un grand cercle, et la nacelle conserve son orientation. 2. **Bras articulé :** L'extrémité d'un bras robotique qui se déplace en cercle tout en maintenant l'orientation d'un outil fixée. L'outil effectue alors une translation circulaire. 3. **Wagonnet de funiculaire (trajectoire courbe) :** Si un wagonnet de funiculaire suit une portion de rail circulaire et est maintenu en position horizontale, il est en translation circulaire. #### Exercices 1. **Question conceptuelle :** Expliquez la différence fondamentale entre une "translation circulaire" et une "rotation" d'un point de vue de l'orientation du solide. Donnez un exemple pour chaque cas. 2. **Calcul de vitesse et d'accélération :** Un solide est en translation circulaire sur une trajectoire de rayon \( R = 5 \) m. Sa vitesse angulaire est constante à \( \omega = 2 \) rad/s. * a) Calculez le module de la vitesse linéaire \( v \) de n'importe quel point du solide. * b) Calculez les modules de l'accélération tangentielle \( a_t \) et de l'accélération normale \( a_n \) de n'importe quel point du solide. * c) Quelle est l'accélération totale \( a \) du solide ? #### Devoir 1. **Analyse de mouvement :** Décrivez un objet de votre quotidien qui pourrait effectuer un mouvement de translation circulaire. Justifiez votre choix en expliquant pourquoi ce n'est pas une simple rotation. 2. **Problème de calcul :** Une nacelle de grande roue (en translation circulaire) a un rayon de trajectoire de \( R = 15 \) m. Elle part du repos et accélère uniformément jusqu'à atteindre une vitesse angulaire de \( \omega = 0.5 \) rad/s en \( t = 10 \) secondes. * a) Calculez l'accélération angulaire \( \alpha \) de la nacelle. * b) Calculez le module de la vitesse linéaire \( v \) après \( 10 \) secondes. * c) Calculez les modules de l'accélération tangentielle \( a_t \) et de l'accélération normale \( a_n \) après \( 10 \) secondes. * d) Calculez l'accélération totale \( a \) de la nacelle à \( t = 10 \) s. #### Résumé La translation circulaire est un mouvement où chaque point d'un solide indéformable décrit une trajectoire circulaire identique, sans que le solide ne tourne sur lui-même (son orientation reste fixe). Tous les points du solide partagent les mêmes vecteurs vitesse et accélération à tout instant. La vitesse linéaire \( v \) est liée à la vitesse angulaire \( \omega \) par \( v = R \omega \). L'accélération se décompose en une composante tangentielle \( a_t = R \alpha \) (liée au changement de magnitude de la vitesse) et une composante normale ou centripète \( a_n = R \omega^2 \) (liée au changement de direction de la vitesse). Ce mouvement est fondamental pour comprendre de nombreuses applications en mécanique appliquée. ## Mouvement de Rotation d’un Solide autour d’un Axe Fixe : Définition et caractéristiques cinématiques ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur la cinématique des corps solides ! Aujourd'hui, nous allons explorer un type de mouvement fondamental : la rotation d'un solide autour d'un axe fixe. Ce mouvement est partout autour de nous, des roues de véhicules aux aiguilles d'une horloge, en passant par les machines industrielles. Comprendre comment décrire et analyser ce type de mouvement est essentiel en mécanique appliquée. Dans cette leçon, nous définirons ce qu'est un mouvement de rotation autour d'un axe fixe et nous étudierons les grandeurs physiques qui caractérisent ce mouvement : la position angulaire, la vitesse angulaire et l'accélération angulaire. Nous verrons également les liens entre ces grandeurs angulaires et les grandeurs linéaires des points du solide. ### Concepts Clés #### 1. Définition du Mouvement de Rotation d'un Solide autour d'un Axe Fixe Un **solide indéformable** est un corps dont les distances entre tous les points restent constantes au cours du temps. Un **axe fixe** est une droite dans l'espace qui ne change pas de position. Lorsqu'un solide est en mouvement de rotation autour d'un axe fixe (appelé l'axe de rotation) : * Tous les points du solide, à l'exception de ceux situés sur l'axe, décrivent des cercles dont les centres sont situés sur l'axe de rotation. * Tous ces cercles sont situés dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation. * Tous les points du solide ont la même vitesse angulaire et la même accélération angulaire. #### 2. Caractéristiques Cinématiques Pour décrire le mouvement de rotation, nous utilisons des grandeurs angulaires. ##### 2.1. Position Angulaire \( \theta \) La position angulaire d'un point du solide est donnée par l'angle que fait un rayon de référence (fixé au solide et perpendiculaire à l'axe) avec une direction de référence fixe dans le plan de rotation. * **Unité :** le radian (rad). * **Convention :** Le sens positif de rotation est généralement défini (par exemple, le sens trigonométrique ou anti-horaire). ##### 2.2. Vitesse Angulaire \( \omega \) La vitesse angulaire est la vitesse à laquelle la position angulaire change. C'est la dérivée de la position angulaire par rapport au temps. \[ \omega = \frac{d\theta}{dt} \] * **Unité :** radian par seconde (rad/s). * **Relation avec la vitesse linéaire (tangentielle) :** Pour un point situé à une distance \( r \) de l'axe de rotation, sa vitesse linéaire \( v \) est : \[ v = r \omega \] La vitesse linéaire est tangentielle à la trajectoire circulaire du point. ##### 2.3. Accélération Angulaire \( \alpha \) L'accélération angulaire est le taux de changement de la vitesse angulaire. C'est la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps, ou la dérivée seconde de la position angulaire. \[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \] * **Unité :** radian par seconde au carré (rad/s²). * **Relation avec l'accélération tangentielle :** Pour un point à une distance \( r \) de l'axe, son accélération tangentielle \( a_t \) est : \[ a_t = r \alpha \] L'accélération tangentielle est dirigée le long de la tangente à la trajectoire et change la *magnitude* de la vitesse linéaire. ##### 2.4. Accélération Normale (ou Centripète) \( a_n \) Pour tout point en mouvement circulaire, il existe une accélération dirigée vers le centre du cercle, appelée accélération normale ou centripète. Elle est responsable du changement de *direction* de la vitesse linéaire. \[ a_n = \frac{v^2}{r} = r \omega^2 \] * **Unité :** mètre par seconde au carré (m/s²). * L'accélération normale est toujours perpendiculaire à la vitesse linéaire. ##### 2.5. Accélération Totale L'accélération totale d'un point est la somme vectorielle de l'accélération tangentielle et de l'accélération normale. \[ \vec{a} = \vec{a_t} + \vec{a_n} \] La magnitude de l'accélération totale est : \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \] #### 3. Types de Mouvement de Rotation ##### 3.1. Mouvement de Rotation Uniforme Dans ce cas, l'accélération angulaire est nulle (\( \alpha = 0 \)), ce qui signifie que la vitesse angulaire est constante (\( \omega = \text{constante} \)). Les équations du mouvement sont : * Position angulaire : \( \theta(t) = \theta_0 + \omega t \) * Vitesse angulaire : \( \omega(t) = \omega_0 \) ##### 3.2. Mouvement de Rotation Uniformément Varié Ici, l'accélération angulaire est constante et non nulle (\( \alpha = \text{constante} \ne 0 \)). Les équations du mouvement sont (analogues à celles du mouvement rectiligne uniformément varié) : * Vitesse angulaire : \( \omega(t) = \omega_0 + \alpha t \) * Position angulaire : \( \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \) * Relation indépendante du temps : \( \omega^2 - \omega_0^2 = 2 \alpha (\theta - \theta_0) \) ### Vocabulaire * **Solide indéformable :** Un corps dont la forme et la taille ne changent pas sous l'effet de forces. * **Axe de rotation fixe :** Une ligne immobile autour de laquelle un corps tourne. * **Position angulaire (\( \theta \)) :** Mesure de l'orientation d'un corps en rotation par rapport à une référence, exprimée en radians. * **Vitesse angulaire (\( \omega \)) :** Taux de changement de la position angulaire, exprimée en rad/s. * **Accélération angulaire (\( \alpha \)) :** Taux de changement de la vitesse angulaire, exprimée en rad/s². * **Radian (rad) :** Unité de mesure d'angle, où 1 radian est l'angle sous-tendu par un arc de cercle de longueur égale au rayon. * **Mouvement de rotation uniforme :** Mouvement de rotation avec une vitesse angulaire constante (\( \alpha = 0 \)). * **Mouvement de rotation uniformément varié :** Mouvement de rotation avec une accélération angulaire constante (\( \alpha \ne 0 \)). * **Accélération tangentielle (\( a_t \)) :** Composante de l'accélération parallèle à la trajectoire, responsable du changement de la magnitude de la vitesse linéaire. * **Accélération normale (ou centripète) (\( a_n \)) :** Composante de l'accélération perpendiculaire à la trajectoire, dirigée vers le centre du cercle, responsable du changement de la direction de la vitesse linéaire. ### Exemples #### Exemple 1 : Une roue de vélo Une roue de vélo a un rayon de 30 cm (0,3 m) et tourne à une vitesse angulaire constante de 10 rad/s. Calculez : 1. La vitesse linéaire d'un point sur le bord de la roue. 2. L'accélération normale de ce point. **Solution :** 1. **Vitesse linéaire :** \( v = r \omega = (0.3 \text{ m})(10 \text{ rad/s}) = 3 \text{ m/s} \) 2. **Accélération normale :** \( a_n = r \omega^2 = (0.3 \text{ m})(10 \text{ rad/s})^2 = 0.3 \times 100 = 30 \text{ m/s}^2 \) #### Exemple 2 : Démarrage d'un moteur Un moteur démarre du repos avec une accélération angulaire constante de 2 rad/s². Quelle est sa vitesse angulaire après 5 secondes et quel angle a-t-il parcouru pendant ce temps ? **Solution :** Données : \( \omega_0 = 0 \) rad/s (du repos), \( \alpha = 2 \text{ rad/s}^2 \), \( t = 5 \text{ s} \). 1. **Vitesse angulaire finale :** \( \omega(t) = \omega_0 + \alpha t = 0 + (2 \text{ rad/s}^2)(5 \text{ s}) = 10 \text{ rad/s} \) 2. **Angle parcouru :** \( \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \). Si \( \theta_0 = 0 \) : \( \theta(t) = 0 + (0)(5) + \frac{1}{2} (2 \text{ rad/s}^2)(5 \text{ s})^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} (2)(25) = 25 \text{ rad} \) ### Exercices 1. Un CD tourne à 500 tours par minute (rpm). Convertissez cette vitesse en rad/s. Quelle est la vitesse linéaire d'un point situé à 6 cm du centre du CD ? 2. Une hélice de ventilateur part du repos et atteint une vitesse angulaire de 120 rad/s en 4 secondes, avec une accélération angulaire constante. Calculez l'accélération angulaire et l'angle total parcouru par l'hélice pendant ces 4 secondes. 3. Un point sur le bord d'une roue de rayon 0,4 m a une accélération tangentielle de 3 m/s² et une accélération normale de 4 m/s². Calculez l'accélération angulaire de la roue et sa vitesse angulaire à cet instant. ### Devoir à la maison 1. Un manège démarre du repos et accélère uniformément jusqu'à une vitesse angulaire de 0,5 rad/s en 10 secondes. Un enfant est assis sur un cheval à 3 mètres de l'axe de rotation. a. Calculez l'accélération angulaire du manège. b. Quelle est la vitesse linéaire et l'accélération tangentielle de l'enfant après 10 secondes ? c. Calculez l'accélération normale de l'enfant après 10 secondes. d. Quel est l'angle total parcouru par l'enfant pendant ces 10 secondes ? 2. Un disque de ponçage a une vitesse angulaire initiale de 20 rad/s. Il est freiné et s'arrête en 5 secondes avec une décélération angulaire constante. a. Calculez l'accélération angulaire du disque. b. Quel est l'angle total parcouru par le disque avant de s'arrêter ? c. Si le disque a un rayon de 10 cm, quelle était la vitesse linéaire initiale d'un point sur son bord ? ### Résumé Nous avons couvert les bases du mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe. Retenez les points essentiels : * **Définition :** Tous les points du solide décrivent des cercles concentriques autour de l'axe fixe. * **Grandeurs angulaires :** * **Position angulaire :** \( \theta \) (rad) * **Vitesse angulaire :** \( \omega = d\theta/dt \) (rad/s) * **Accélération angulaire :** \( \alpha = d\omega/dt \) (rad/s²) * **Lien avec les grandeurs linéaires :** Pour un point à distance \( r \) de l'axe : * Vitesse linéaire : \( v = r\omega \) * Accélération tangentielle : \( a_t = r\alpha \) * Accélération normale (centripète) : \( a_n = r\omega^2 = v^2/r \) * Accélération totale : \( a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} \) * **Équations du mouvement uniformément varié :** * \( \omega(t) = \omega_0 + \alpha t \) * \( \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \) * \( \omega^2 - \omega_0^2 = 2 \alpha (\theta - \theta_0) \) La compréhension de ces concepts est fondamentale pour analyser une multitude de systèmes mécaniques en rotation. Continuez à pratiquer les exercices pour maîtriser ces concepts. ## Mouvement de Rotation d’un Solide autour d’un Axe Fixe : Mouvements de rotation particuliers, vitesse et accélération d'un point de solide ### Introduction Bienvenue dans cette leçon sur la cinématique des corps solides ! Nous allons explorer en détail le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe. Comprendre ce type de mouvement est essentiel pour analyser de nombreux systèmes mécaniques, des roues de voiture aux engrenages de machines. Nous verrons les différents types de rotation, comment calculer la vitesse et l'accélération d'un point appartenant à un solide en rotation, et nous nous familiariserons avec les formules clés. ### Concepts Clés #### I. Repérage du Mouvement de Rotation ##### A. Angle de rotation (Position angulaire) L'angle de rotation \( \theta \) (thêta) est utilisé pour décrire la position angulaire d'un solide. Il est généralement mesuré en radians (rad). ##### B. Vitesse angulaire (\( \omega \)) La vitesse angulaire représente la rapidité avec laquelle le solide tourne. C'est la dérivée de la position angulaire par rapport au temps. * **Définition :** \( \omega = \frac{d\theta}{dt} \)