CINEMATIQUE GRAPHIQUE (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette séquence, l’élève sera capable de - composer deux mouvements plans élémentaires (translation, rotation ou combinaison) par la méthode graphique du polygone des vitesses et des accélérations ; - déterminer la vitesse et l’accélération résultantes d’un point d’un mécanisme (bielles‑manivelle, glissière, vérin) ; - interpréter le résultat dans un contexte professionnel camerounais (atelier de réparation automobile, chantier de BTP, bureau d’études) ; - appliquer les consignes de sécurité liées à la manipulation d’outils de mesure et à l’observation de mouvements en mouvement. **Prérequis** : - notion de vecteur, addition et soustraction de vecteurs (parallélogramme, triangle) ; - représentation graphique d’un vecteur (échelle, sens, origine) ; - définitions de vitesse instantanée \(\vec v\) et d’accélération \(\vec a\) ; - unités du Système International (m, s, m·s⁻¹, m·s⁻²). ## Introduction contextualisée En mécanique appliquée, la plupart des systèmes réels résultent de la superposition de plusieurs mouvements élémentaires. Au Cameroun, un technicien d’atelier automobile doit, par exemple, déterminer la vitesse du piston d’un moteur lorsqu’il connaît la vitesse de rotation du vilebrequin et le déplacement de la bielle. Sur un chantier de construction, l’opérateur d’une pelleteuse doit connaître la trajectoire du godet résultant de la rotation de la tourelle et du déplacement linéaire du bras. La méthode graphique de composition permet d’obtenir ces grandeurs sans recourir immédiatement au calcul analytique, tout en développant une intuition spatiale indispensable au diagnostic et au réglage des équipements. ## Développement ### I. Principe de composition des mouvements plans Un **mouvement plan** est le déplacement d’un point confiné à un plan de référence. Lorsqu’un point subit simultanément deux mouvements élémentaires \(\mathcal M_1\) et \(\mathcal M_2\), son mouvement résultant \(\mathcal M_R\) est obtenu par la **composition vectorielle** : > **Règle de composition** : \(\displaystyle \vec v_R = \vec v_1 + \vec v_2\) et \(\displaystyle \vec a_R = \vec a_1 + \vec a_2\). Les vecteurs \(\vec v_1,\vec v_2\) (vitesses) et \(\vec a_1,\vec a_2\) (accélérations) représentent les contributions de chaque mouvement élémentaire pris séparément. Cette propriété vaut tant que les mouvements sont définis dans le même référentiel galiléen. ### II. Méthode graphique de composition (polygone des vitesses / des accélérations) La méthode graphique consiste à représenter les vecteurs élémentaires à l’échelle choisie, puis à les ajouter tête‑à‑queue pour obtenir le résultant. Le déroulement type est le suivant : 1. **Choix de l’échelle** : ex. 1 cm = 0,5 m·s⁻¹ pour les vitesses, 1 cm = 2 m·s⁻² pour les accélérations. 2. **Report du premier vecteur** : partir d’une origine O, tracer \(\vec v_1\) selon son sens et sa longueur. 3. **Report du second vecteur** : placer l’origine de \(\vec v_2\) à l’extrémité de \(\vec v_1\) (tête‑à‑queue). 4. **Construction du résultant** : tracer le vecteur \(\vec v_R\) de O à l’extrémité de \(\vec v_2\). 5. **Lecture** : mesurer la longueur et l’angle de \(\vec v_R\) pour en déduire la norme et la direction. Le même procédé s’applique aux accélérations. Lorsque l’un des mouvements est une rotation, on utilise d’abord la relation \(\vec v = \vec\omega \times \vec r\) (ou son équivalent scalaire \(v = \omega r\sin\phi\)) pour obtenir le vecteur vitesse tangentielle avant de le composer. > **Formule de base** : \(\displaystyle v_R = \sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+2v_1v_2\cos\theta}\) où \(\theta\) est l’angle entre \(\vec v_1\) et \(\vec v_2\). > **Formule d’accélération** : \(\displaystyle a_R = \sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+2a_1a_2\cos\phi}\). ### III. Application professionnelle : glissière sur chariot (exemple d’atelier) **Situation** : Dans un atelier de maintenance de véhicules au Cameroun, un chariot se déplace horizontalement à vitesse constante \(v_c = 2,0\;\text{m·s}^{-1}\) vers la droite. Sur ce chariot, une glissière verticale se déplace vers le haut à vitesse constante \(v_g = 1,5\;\text{m·s}^{-1}\). On souhaite déterminer la vitesse absolue du point P situé sur la glissière. **Étapes graphiques** : | Étape | Action | Résultat (mesure à l’échelle 1 cm = 0,5 m·s⁻¹) | |------|--------|-----------------------------------------------| | 1 | Tracer \(\vec v_c\) horizontal (2,0 m·s⁻¹) → 4 cm vers la droite | | | 2 | À l’extrémité de \(\vec v_c\), tracer \(\vec v_g\) vertical (1,5 m·s⁻¹) → 3 cm vers le haut | | | 3 | Relier l’origine O à l’extrémité de \(\vec v_g\) → \(\vec v_R\) | | | 4 | Mesurer la longueur de \(\vec v_R\) : 5 cm → \(v_R = 5 \times 0,5 = 2,5\;\text{m·s}^{-1}\) | | | 5 | Mesurer l’angle par rapport à l’horizontale : ≈ 36,9° (vers le haut) | | **Vérification analytique** : \[ \vec v_R = \begin{pmatrix}2,0\\0,0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\1,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2,0\\1,5\end{pmatrix}\;\text{m·s}^{-1} \] \[ \| \vec v_R \| = \sqrt{2,0^{2}+1,5^{2}} = \sqrt{4+2,25}= \sqrt{6,25}=2,5\;\text{m·s}^{-1} \] \[ \alpha = \arctan\!\left(\frac{1,5}{2,0}\right) \approx 36,9^{\circ} \] Comme les vitesses sont constantes, l’accélération résultante est nulle : \(\vec a_R = \vec 0\). > **Résultat** : Le point P possède une vitesse de **2,5 m·s⁻¹** dirigée à **36,9°** au-dessus de l’horizontale. Ce type de composition est rencontré chaque fois qu’un élément subit à la fois un déplacement de base (chariot, plateau, table) et un mouvement relatif (glissière, vérin, bras articulé). ## Synthèse du chapitre - **Composition vectorielle** : \(\vec v_R = \vec v_1 + \vec v_2\) ; \(\vec a_R = \vec a_1 + \vec a_2\). - **Méthode graphique** : représenter les vecteurs à l’échelle, les ajouter tête‑à‑queue, lire le résultant. - **Formules scalaires** : - \(v_R = \sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+2v_1v_2\cos\theta}\) - \(a_R = \sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+2a_1a_2\cos\phi}\) - **Application typique** : glissière sur chariot, bielles‑manivelle, vérin hydraulique. - **Sécurité** : vérifier l’échelle, utiliser des outils non magnétiques près de pièces ferreuses, porter des lunettes de protection lors de manipulations d’outils de mesure. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Mouvement plan | Déplacement d’un point confiné à un plan de référence. | | Vecteur vitesse \(\vec v\) | Dérivée temporelle du vecteur position ; unité m·s⁻¹. | | Vecteur accélération \(\vec a\) | Dérivée temporelle du vecteur vitesse ; unité m·s⁻². | | Composition de mouvements | Addition vectorielle des vitesses (ou accélérations) des mouvements élémentaires. | | Échelle graphique | Rapport entre une longueur sur le dessin et la grandeur physique représentée. | | Résultant | Vecteur obtenu par l’addition tête‑à‑queue de deux ou plusieurs vecteurs. | | Angle \(\theta\) | Angle entre deux vecteurs vitesse (ou accélération) utilisés dans la formule du résultant. | | Glissière | Élément qui effectue un mouvement de translation linéaire guidé par un rail ou une rainure. | ## Exercices d’applications corrigés ### Exercice 1 – Atelier de soudure Un bras de robot de soudure effectue une rotation autour d’un axe vertical avec une vitesse angulaire \(\omega = 4,0\;\text{rad·s}^{-1}\). Le point de soudure se trouve à une distance \(r = 0,30\;\text{m}\) de l’axe. Par ailleurs, le bras effectue une translation horizontale vers la droite à \(v_t = 0,8\;\text{m·s}^{-1}\). Déterminer la vitesse absolue du point de soudure. **Corrigé** : 1. Vitesse tangentielle due à la rotation : \(v_r = \omega r = 4,0 \times 0,30 = 1,20\;\text{m·s}^{-1}\). Cette vitesse est horizontale et perpendiculaire au rayon au instant considéré. 2. Translation : \(\vec v_t = (0,8,0)\;\text{m·s}^{-1}\) dirigée vers la droite (axe \(x\)). 3. Choisissons les axes : \(x\) vers la droite, \(y\) horizontal perpendiculaire à \(x\) (dans le plan de rotation), \(z\) vers le haut. Au instant considéré, le rayon pointe selon \(x\) ; la vitesse tangentielle pointe selon \(y\). Donc \(\vec v_r = (0,1,20,0)\;\text{m·s}^{-1}\) et \(\vec v_t = (0,8,0,0)\;\text{m·s}^{-1}\). 4. Résultant : \(\vec v_R = (0,8,1,20,0)\;\text{m·s}^{-1}\). 5. Norme : \(\| \vec v_R \| = \sqrt{0,8^{2}+1,20^{2}} = \sqrt{0,64+1,44}= \sqrt{2,08}=1,44\;\text{m·s}^{-1}\). 6. Angle par rapport à la direction de translation (axe \(x\)) : \(\alpha = \arctan\!\left(\frac{1,20}{0,8}\right)=\arctan(1,5)=56,3^{\circ}\) dans le plan horizontal (vers l’axe \(y\)). **Réponse** : \(v_R = 1,44\;\text{m·s}^{-1}\) dirigée à \(56,3^{\circ}\) dans le plan horizontal, perpendiculairement à la translation (ou faisant un angle de \(56,3^{\circ}\) avec la direction de la translation). ### Exercice 2 – Chantier de BTP Une pelleteuse possède une tourelle qui tourne à \(\omega_T = 0,25\;\text{rad·s}^{-1}\). Le bras de la pelleteuse, longueur \(L = 2,5\;\text{m}\), s’élève vers le haut avec une vitesse verticale \(v_h = 0,6\;\text{m·s}^{-1}\). Au niveau du godet (extrémité du bras), déterminer la vitesse absolue lorsque le bras forme un angle \(\beta = 30^{\circ}\) avec l’horizontale (mesuré dans le plan vertical contenant l’axe de rotation). **Corrigé** : 1. Distance horizontale du godet à l’axe de la tourelle : \(R = L\cos\beta = 2,5 \times \cos30^{\circ}=2,5 \times 0,8660 = 2,165\;\text{m}\). 2. Vitesse due à la rotation de la tourelle : \(v_T = \omega_T R = 0,25 \times 2,165 = 0,541\;\text{m·s}^{-1}\). Cette vitesse est horizontale, dirigée perpendiculairement à la projection horizontale du bras (axe \(y\) si l’on prend l’axe \(x\) le long de la projection du bras). 3. Vitesse verticale de montée du bras : \(\vec v_h = (0,0,0,6)\;\text{m·s}^{-1}\) (axe \(z\) vers le haut). 4. En prenant les axes : \(x\) suivant la projection horizontale du bras, \(y\) horizontal perpendiculaire à \(x\) (sens de la vitesse de rotation), \(z\) vertical vers le haut, on a : \(\vec v_T = (0,0,541,0)\;\text{m·s}^{-1}\) et \(\vec v_h = (0,0,0,6)\;\text{m·s}^{-1}\). 5. Résultant : \(\vec v_R = (0,0,541,0,6)\;\text{m·s}^{-1}\). 6. Norme : \(\| \vec v_R \| = \sqrt{0,541^{2}+0,6^{2}} = \sqrt{0,293+0,36}= \sqrt{0,653}=0,808\;\text{m·s}^{-1}\). 7. Angle par rapport à l’horizontale : \(\alpha = \arctan\!\left(\frac{0,6}{0,541}\right)=\arctan(1,109)=47,9^{\circ}\) au-dessus de l’horizontale, dans le plan \(y\!-\!z\) (c’est‑à‑dire perpendiculairement au bras dans le sens de la rotation). **Réponse** : \(v_R \approx 0,81\;\text{m·s}^{-1}\) dirigée à environ \(48^{\circ}\) au-dessus de l’horizontale, avec une composante horizontale de \(0,54\;\text{m·s}^{-1}\) orthogonale à la projection du bras. ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Consigne de sécurité / bonne pratique | |---|------------------|----------------------------------------| | 1 | Oublier de prendre en compte le sens des vecteurs lors de l’addition tête‑à‑queue (inversion de signe). | Toujours représenter les vecteurs avec une flèche clairement orientée ; vérifier le signe avant de mesurer l’angle résultant. | | 2 | Utiliser une échelle incohérente entre le dessin et les unités (ex. 1 cm = 0,5 m·s⁻¹ pour les vitesses puis 1 cm = 1 m·s⁻¹ pour les accélérations). | Choisir une seule échelle par grandeur (vitesse, accélération) et la noter en légende du schéma ; ne pas changer d’échelle en cours de construction. | | 3 | Négliger la composante orthogonale lorsqu’un mouvement de rotation se produit dans un plan différent de celui d’analyse (comme dans l’exercice 2). | Décomposer systématiquement chaque mouvement selon les axes du repère de travail avant de composer ; utiliser des projections vectorielles. | | 4 | Mesurer l’angle du résultant avec un rapporteur mal aligné (parallèle à l’horizontale au lieu de l’axe de référence). | Placer le rapporteur sur l’origine du vecteur résultant et vérifier que la ligne de base coïncide avec l’axe de référence avant de lire l’angle. | | 5 | Utiliser des outils de mesure métalliques près de pièces ferromagnétiques sans précaution, pouvant perturber la lecture. | Privilégier des règles en plastique ou en aluminium non magnétique lorsqu’on travaille à proximité de moteurs, d’aimants ou de masses métalliques importantes. | | 6 | Ne pas porter de lunettes de protection lors de la manipulation de pointes ou de règles métalliques pouvant glisser et blesser les yeux. | Toujours porter des lunettes de sécurité conformes aux normes NF EN 166 lorsqu’on effectue des tracés sur des pièces métalliques ou des équipements en mouvement. |