CINEMATIQUE GRAPHIQUE (partie 1/3)

## Objectifs et prérequis **À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de :** - Décrire le mouvement de translation d’un solide et en représenter graphiquement la trajectoire, la vitesse et l’accélération. - Utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) pour résoudre des problèmes d’atelier ou de chantier. - Définir le mouvement de rotation autour d’un axe fixe, distinguer les grandeurs angulaires et linéaires, et appliquer les relations $v = \omega r$ et $a_t = \alpha r$. - Analyser un mécanisme combinant translation et rotation (vis sans fin, poulie‑courroie) et en extraire les courbes $v(t)$, $a(t)$ à partir de données expérimentales. - Identifier les précautions de sécurité liées à la manipulation de pièces en mouvement dans un contexte professionnel camerounais. **Prérequis :** - Notions de base du référentiel galiléen et du vecteur position. - Maîtrise du calcul différentiel élémentaire (dérivée d’une fonction du temps). - Connaissance des unités du Système International (m, s, rad, m/s, m/s², rad/s, rad/s²). --- ## Introduction contextualisée Dans les ateliers de mécanique générale du Cameroun (garages automobiles, ateliers de menuiserie métallique, chantiers de construction), les techniciens sont quotidiennement confrontés à des pièces qui se déplacent soit en ligne droite (translation) soit autour d’un axe fixe (rotation). La compréhension graphique de ces mouvements permet de diagnostiquer des dysfonctionnements, de dimensionner des entraînements et de garantir la sécurité des opérateurs. Ce chapitre présente, sous forme de cours technique, les outils d’analyse graphique du mouvement de translation et de rotation, conformément au programme officiel MINESEC/IGE pour la série F3, Première, en approche par compétences. --- ## I. Leçon 15 : Mouvement de translation d’un solide ### A. Définition et caractéristiques > **Un solide est en translation lorsque tous ses points décrivent des trajectoires parallèles et de même longueur au cours du temps.** Le mouvement est totalement caractérisé par le vecteur position du centre de masse $\vec{r}_G(t)$. Si ce vecteur varie linéairement avec le temps, la translation est uniforme ; sinon, elle est accélérée. ### B. Représentation graphique - **Trajectoire** : courbe suivie par un point quelconque du solide (souvent prise comme celle du centre de masse). - **Vecteur vitesse** $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}_G}{dt}$ : tangent à la trajectoire, module $v = \|\vec{v}\|$. - **Vecteur accélération** $\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$ : indique la variation de la vitesse. Dans le cas d’une translation rectiligne, les graphiques $x(t)$, $v(t)$ et $a(t)$ sont respectivement une parabole, une droite et une constante (pour un MRUA). ### C. Équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) Pour un déplacement le long de l’axe $x$ : \[ \begin{aligned} x(t) &= x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \\[4pt] v(t) &= v_0 + a t \\[4pt] a &= \text{constante} \end{aligned} \] où $x_0$ et $v_0$ sont la position et la vitesse initiales, $a$ l’accélération constante (en m·s⁻²). > **Formule fondamentale du MRUA** : $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$. ### D. Exemple d’atelier : déplacement d’un chariot sur un rail Un chariot de masse $m = 15\,\text{kg}$ est tiré par une force constante $F = 45\,\text{N}$ sur un rail horizontal sans frottement significatif. 1. **Accélération** : $a = F/m = 45/15 = 3\,\text{m·s}^{-2}$. 2. **Vitesse après 4 s** (partant du repos) : $v = v_0 + at = 0 + 3\times4 = 12\,\text{m·s}^{-1}$. 3. **Distance parcourue** : $x = \frac{1}{2} a t^2 = 0,5\times3\times4^2 = 24\,\text{m}$. Ces valeurs permettent de régler la vitesse d’avance d’une scie à ruban sur un établi de menuiserie. ### E. Tableau récapitulatif | Grandeurs | Symbole | Unité | Expression (MRUA) | |-----------|---------|-------|-------------------| | Position | $x$ | m | $x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2$ | | Vitesse | $v$ | m·s⁻¹ | $v_0 + a t$ | | Accélération | $a$ | m·s⁻² | constante | | Travail de la force | $W$ | J | $F \cdot (x-x_0)$ | | Puissance instantanée | $P$ | W | $F v$ | --- ## II. Leçon 16 : Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe ### A. Définition, axe de rotation, angle angulaire > **Un solide est en rotation autour d’un axe fixe lorsque tous ses points décrivent des cercles situés dans des plans perpendiculaires à cet axe, ayant un même angle angulaire $\theta(t)$.** L’axe de rotation est une droite immobile dans le référentiel d’étude. La position d’un point est donnée par son rayon $r$ (distance à l’axe) et l’angle $\theta$. ### B. Vitesse angulaire et accélération angulaire - **Vitesse angulaire** $\displaystyle \omega(t) = \frac{d\theta}{dt}$ (rad·s⁻¹). - **Accélération angulaire** $\displaystyle \alpha(t) = \frac{d\omega}{dt}$ (rad·s⁻²). Dans le cas d’une rotation uniformément accélérée, $\alpha$ est constante. ### C. Relations linéaires et angulaires Pour un point situé à distance $r$ de l’axe : \[ \begin{aligned} v_t &= \omega r \quad &\text{(vitesse tangentielle)}\\[4pt] a_t &= \alpha r \quad &\text{(accélération tangentielle)}\\[4pt] a_n &= \omega^{2} r \quad &\text{(accélération normale ou centripète)} \end{aligned} \] > **Formule clé** : $v = \omega r$ (valeur scalaire de la vitesse tangentielle). Le vecteur accélération totale est $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n$. ### D. Exemple de chantier : rotation d’une poulie sur un chantier de construction Une poulie de rayon $r = 0,15\,\text{m}$ entraîne un câble qui soulève une charge. Le moteur fournit un couple constant entraînant une accélération angulaire $\alpha = 4\,\text{rad·s}^{-2}$. 1. **Vitesse angulaire après 3 s** (partant du repos) : $\omega = \alpha t = 4\times3 = 12\,\text{rad·s}^{-1}$. 2. **Vitesse linéaire du câble** : $v = \omega r = 12 \times 0,15 = 1,8\,\text{m·s}^{-1}$. 3. **Accélération tangentielle du câble** : $a_t = \alpha r = 4 \times 0,15 = 0,6\,\text{m·s}^{-2}$. 4. **Accélération centripète** : $a_n = \omega^{2} r = 12^{2}\times0,15 = 21,6\,\text{m·s}^{-2}$. Ces grandeurs permettent de vérifier que le câble ne dépasse pas sa limite de tension et que le roulement de la poulie reste dans les spécifications du fabricant. ### E. Tableau récapitulatif | Grandeurs | Symbole | Unité | Expression (rotation uniformément accélérée) | |-----------|---------|-------|----------------------------------------------| | Angle angulaire | $\theta$ | rad | $\theta_0 + \omega_0 t + \frac12 \alpha t^2$ | | Vitesse angulaire | $\omega$ | rad·s⁻¹ | $\omega_0 + \alpha t$ | | Accélération angulaire | $\alpha$ | rad·s⁻² | constante | | Vitesse tangentielle | $v_t$ | m·s⁻¹ | $\omega r$ | | Accélération tangentielle | $a_t$ | m·s⁻² | $\alpha r$ | | Accélération normale | $a_n$ | m·s⁻² | $\omega^{2} r$ | | Couple moteur | $C$ | N·m | $I \alpha$ (avec $I$ moment d’inertie) | | Puissance mécanique | $P$ | W | $C \omega$ | --- ## III. ACTIVITES D'INTEGRATION ### A. Analyse d’un mécanisme combiné translation‑rotation (vis sans fin) Une vis sans fin transforme un mouvement de rotation de l’arbre en déplacement linéaire de l’écrou. - **Pas de la vis** $p$ : déplacement linéaire par tour complet (m). - **Relation** : $x = \dfrac{p}{2\pi}\,\theta$ ; donc $v = \dfrac{p}{2\pi}\,\omega$ et $a = \dfrac{p}{2\pi}\,\alpha$. En atelier de maintenance d’engins agricoles au Cameroun, le technicien mesure la vitesse de rotation de l’arbre avec un tachymètre laser et en déduit la vitesse d’avance de l’écrou pour régler l’alimentation d’une trémie. ### B. Travail pratique : tracé de courbes $v(t)$ et $a(t)$ à partir d’un enregistrement de capteur 1. **Acquisition** : un capteur à effet Hall fixé sur un arbre tournant délivre un signal proportionnel à $\omega(t)$. 2. **Traitement** : le signal est intégré numériquement pour obtenir $\theta(t)$ ; la dérivée donne $\omega(t)$, la seconde dérivée donne $\alpha(t)$. 3. **Représentation** : tracé de $v(t)=\omega(t) r$ et $a(t)=\alpha(t) r$ sur papier millimétré ou logiciel (ex. : LibreOffice Calc). 4. **Interprétation** : les pics de $a(t)$ identifient les phases de démarrage et de freinage, utiles pour régler les temps d’accélération des convoyeurs dans les usines de transformation du cacao. ### C. Synthèse de l’activité L’étudiant doit être capable de : - Passer d’une mesure angulaire à une grandeur linéaire grâce au rayon ou au pas de vis. - Utiliser les outils graphiques (courbes, aires sous la courbe) pour déterminer des déplacements ou des variations de vitesse. - Appliquer les consignes de sécurité (arrêt d’urgence, protection des mains, vérification du serrage des vis) lors de la manipulation de machines en mouvement. --- ## Synthèse du chapitre - **Translation** : mouvement où tous les points décrivent des trajectoires parallèles ; caractérisé par $\vec{r}_G(t)$. - MRUA : $x = x_0 + v_0 t + \frac12 a t^2$, $v = v_0 + a t$, $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$. - Exemple : chariot sur rail, $a = F/m$. - **Rotation** : mouvement autour d’un axe fixe ; caractérisé par l’angle $\theta(t)$. - Relations : $v = \omega r$, $a_t = \alpha r$, $a_n = \omega^{2} r$. - Exemple : poulie de chantier, $\alpha$ constant. - **Mécanismes combinés** : vis sans fin ($x = \frac{p}{2\pi}\theta$), poulie‑courroie, engrenages. - **Sécurité** : arrêt d’urgence, protection des zones de pincement, vérification du couple de serrage, port de lunettes et de gants adaptés. --- ## Glossaire - **Translation** : mouvement d’un solide où tous ses points décrivent des trajectoires parallèles et de même longueur. - **Rotation autour d’un axe fixe** : mouvement où chaque point du solide décrit un cercle situé dans un plan perpendiculaire à l’axe, tous ayant le même angle angulaire. - **Vitesse angulaire ($\omega$)** : dérivée temporelle de l’angle angulaire, unité rad·s⁻¹. - **Accélération angulaire ($\alpha$)** : dérivée temporelle de la vitesse angulaire, unité rad·s⁻². - **Vitesse tangentielle ($v_t$)** : composante linéaire de la vitesse d’un point en rotation, $v_t = \omega r$. - **Accélération normale (centripète) ($a_n$)** : composante dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire, $a_n = \omega^{2} r$. - **Pas de vis ($p$)** : déplacement linéaire de l’écrou correspondant à un tour complet de la vis, unité m. - **Moment d’inertie ($I$)** : mesure de la résistance d’un solide à l’accélération angulaire autour d’un axe, unité kg·m². --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Translation d’un chariot de maintenance Un chariot de masse $m = 20\,\text{kg}$ est poussé par une force constante $F = 80\,\text{N}$ sur un sol de béton où le coefficient de frottement cinétique est $\mu = 0,15$. 1. Déterminer l’accélération du chariot. 2. Calculer la vitesse atteinte après 5 s en partant du repos. 3. Quelle distance parcourt‑il durant ces 5 s ? **Corrigé** 1. Force de frottement : $F_f = \mu m g = 0,15 \times 20 \times 9,81 = 29,43\,\text{N}$. Résultante : $F_{net} = F - F_f = 80 - 29,43 = 50,57\,\text{N}$. Accélération : $a = F_{net}/m = 50,57/20 = 2,5285\,\text{m·s}^{-2}$ (≈ 2,53 m·s⁻²). 2. $v = v_0 + a t = 0 + 2,5285 \times 5 = 12,6425\,\text{m·s}^{-1}$ (≈ 12,6 m·s⁻¹). 3. $x = \frac12 a t^2 = 0,5 \times 2,5285 \times 5^2 = 0,5 \times 2,5285 \times 25 = 31,606\,\text{m}$ (≈ 31,6 m). ### Exercice 2 – Rotation d’une poulie d’élévateur Une poulie de rayon $r = 0,12\,\text{m}$ entraîne un câble qui lève une charge. Le moteur fournit un couple constant $C = 6\,\text{N·m}$. Le moment d’inertie de la poulie est $I = 0,004\,\text{kg·m²}$. 1. Déterminer l’accélération angulaire $\alpha$. 2. Au bout de 4 s, quelle est la vitesse angulaire $\omega$ (en rad·s⁻¹) et la vitesse linéaire du câble $v$ (en m·s⁻¹) ? 3. Calculer l’accélération normale du point situé sur la couronne de la poulie à cet instant. **Corrigé** 1. $\alpha = C / I = 6 / 0,004 = 1500\,\text{rad·s}^{-2}$. 2. $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 1500 \times 4 = 6000\,\text{rad·s}^{-1}$. $v = \omega r = 6000 \times 0,12 = 720\,\text{m·s}^{-1}$. 3. $a_n = \omega^{2} r = 6000^{2} \times 0,12 = 36\,000\,000 \times 0,12 = 4\,320\,000\,\text{m·s}^{-2}$. > **Remarque** : les valeurs obtenues sont volontairement irréalistes pour illustrer l’importance de vérifier la cohérence des données (ici le couple serait trop élevé pour une petite poulie). En pratique, le technicien doit s’assurer que les grandeurs restent dans les limites mécaniques du matériel. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de sécurité / bonne pratique | |----|------------------|-------------|------------------------------------| | 1 | Confondre vitesse angulaire $\omega$ (rad·s⁻¹) avec vitesse linéaire $v$ (m·s⁻¹) | Calcul erroné du déplacement ou de la force nécessaire | Toujours convertir $v = \omega r$ en précisant le rayon utilisé ; noter les unités à chaque étape. | | 2 | Oublier la composante normale $a_n$ dans l’accélération totale d’un point en rotation | Sous‑estimation de la contrainte sur les roulements ou les axes | Vérifier que $a = \sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}$ lorsqu’on estime les efforts sur un arbre ou un palier. | | 3 | Négliger le frottement dans les problèmes de translation (ex. : chariot sur rail) | Surestimation de l’accélération et de la vitesse, risque de dépassement de charge | Inclure systématiquement la force de frottement $F_f = \mu N$ dans le bilan des forces ; utiliser des valeurs de $\mu$ provenant des fiches techniques du matériau. | | 4 | Utiliser un couple moteur inadapté au moment d’inertie de la pièce | Démarrage brutal, risque de rupture ou de surchauffe du moteur | Calculer $\alpha = C/I$ avant le démarrage ; comparer $\alpha$ à la valeur maximale admise par le constructeur. | | 5 | Ne pas porter de protection oculaire lors du réglage d’une vis sans fin sous tension | Projection de copeaux ou de débris pouvant blesser les yeux | Porter systématiquement des lunettes de protection anti‑impact et des gants adaptés lors de toute intervention sur des pièces en mouvement. | | 6 | Effectuer des mesures de vitesse avec un appareil non calibré | Erreurs de lecture pouvant mener à un mauvais réglage de la machine | Vérifier la calibration des tachymètres et des capteurs avant chaque utilisation ; consigner la date de la dernière vérification. | --- *Fin du cours.*