CINEMATIQUE GRAPHIQUE (partie 2/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : 1. Décrire le principe de l’équiprojectivité et de la double équiprojectivité appliqués aux mouvements plans. 2. Utiliser la méthode du centre instantané de rotation (CIR) pour déterminer la vitesse d’un point d’un mécanisme planaire. 3. Réaliser, étape par étape, les constructions graphiques nécessaires à l’analyse de mécanismes rencontrés en atelier (levage, commande de porte, pelle mécanique). 4. Interpréter les résultats obtenus et vérifier leur cohérence avec les lois de la cinématique. **Prérequis** : Maîtrise des notions de vecteur vitesse, de composition des mouvements, de représentation graphique d’un point dans un plan (axes orthonormés), ainsi que des bases du tracé géométrique (droites parallèles, homothétie, similitude). --- ## Introduction Dans les systèmes mécaniques rencontrés au Cameroun (ponts roulants de chantier, portes sectionnelles de garages, bras de pelles hydrauliques), le mouvement d’un solide est souvent plan : tous les points du solide décrivent des trajectoires situées dans un même plan. L’analyse graphique de ces mouvements permet de déterminer rapidement les vitesses sans recourir au calcul différentiel, ce qui est particulièrement utile en atelier où les outils de mesure sont limités. Le présent chapitre expose trois méthodes graphiques classiques : l’équiprojectivité (une seule paire de plans), la double équiprojectivité (deux paires de plans) et le centre instantané de rotation. Chaque méthode est illustrée par un exemple professionnel réaliste, accompagnée d’un tableau récapitulatif et d’un encadré « à retenir » pour faciliter la mémorisation. --- ## I. Leçon 17 : Mouvement plans sur plans – Méthode d’équiprojectivité ### 1. Définition L’équiprojectivité établit une correspondance entre deux plans (plan de référence *P* et plan mobile *P′*) telle que les droites reliant deux points homologues soient concourantes en un point *O* appelé centre d’équiprojectivité. Lorsque le solide subit un déplacement plan, chaque point *M* du solide possède une image *M′* dans le plan mobile, et la droite *MM′* passe par *O*. > **À retenir** : Dans une équiprojectivité, le rapport *OM′/OM* est constant pour tous les points du solide ; on le note λ (facteur d’échelle). ### 2. Principe de la méthode 1. Identifier deux positions du solide (position initiale et position finale) dans le même plan de référence. 2. Choisir un point quelconque *A* du solide en position initiale et reporter sa position *A′* en position finale (on le relève sur le schéma). 3. Tracer la droite *AA′*. 4. Reporter un deuxième point *B* du solide (distinct de *A*) et son image *B′*. 5. Tracer la droite *BB′*. 6. L’intersection des deux droites *AA′* et *BB′* donne le centre d’équiprojectivité *O*. 7. Le facteur d’échelle λ s’obtient par le rapport de longueurs λ = OM′/OM (mesuré sur le dessin). 8. Si le déplacement dure Δt, la vitesse d’un point *M* quelconque s’obtient par : \[ \vec v_M = \frac{\lambda-1}{\Delta t}\,\vec{OM} \] (quand λ ≠ 1). Dans le cas particulier λ = 1 (déplacement pur rotation), la vitesse devient : \[ \vec v_M = \vec\omega \times \vec{OM},\qquad \vec\omega = \frac{\theta}{\Delta t}\,\vec k \] où θ est l’angle signé entre *OM* et *OM′* et \(\vec k\) est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan. ### 3. Exemple d’atelier : mécanisme de levage d’un pont roulant Un palan soulève une charge à l’aide d’un câble enroulé autour d’un tambour. Le bras du palan subit une homothétie de centre *O* et de facteur λ = 0,5 (réduction de moitié) en Δt = 0,5 s. - Centre d’homothétie choisi : *O* = (100 mm, 100 mm). - Point *A* (extrémité du bras) en position initiale : *A* = (200 mm, 100 mm). - Après homothétie : *A′* = *O* + λ(*A*−*O*) = (150 mm, 100 mm). - Deuxième point *B* situé sur le bras : *B* = (100 mm, 200 mm). - Après homothétie : *B′* = (100 mm, 150 mm). **Étapes** : 1. Reporter *A* (200,100) et *A′* (150,100). Tracer *AA′* (horizontale y = 100). 2. Reporter *B* (100,200) et *B′* (100,150). Tracer *BB′* (verticale x = 100). 3. L’intersection *O* se trouve en (100 mm, 100 mm). 4. Longueurs : \[ OA = \sqrt{(200-100)^2+(100-100)^2}=100\text{ mm},\qquad OA' = \sqrt{(150-100)^2+(100-100)^2}=50\text{ mm} \] Ainsi λ = OA′/OA = 50/100 = 0,5. 5. Vitesse du point *A* : \[ \vec v_A = \frac{\lambda-1}{\Delta t}\,\vec{OA} = \frac{0,5-1}{0,5}\,(100,0) = (-1)\,(100,0)=(-100,0)\text{ mm/s} \] (déplacement vers la gauche de 100 mm/s). 6. Vitesse du point *B* : \[ \vec v_B = \frac{0,5-1}{0,5}\,(0,100)= (0,-100)\text{ mm/s} \] (déplacement vers le bas de 100 mm/s). > **À retenir** : Le centre d’équiprojectivité se trouve à l’intersection des droites reliant deux points homologues du solide. La vitesse d’un point s’obtient par le produit du facteur (λ‑1)/Δt et du vecteur \(\vec{OM}\). ### 4. Tableau récapitulatif | Étape | Action | Résultat attendu | |------|--------|------------------| | 1 | Reporter deux points homologues (A, A′) | Droite AA′ | | 2 | Reporter un second couple (B, B′) | Droite BB′ | | 3 | Intersection AA′ ∩ BB′ | Centre d’équiprojectivité O | | 4 | Calcul du rapport OM′/OM | Facteur d’échelle λ | | 5 | \(\displaystyle \vec v_M = \frac{\lambda-1}{\Delta t}\,\vec{OM}\) | Vitesse du point considéré (λ≠1) | | 6 | Si λ = 1 : \(\displaystyle \vec v_M = \vec\omega \times \vec{OM}\) avec \(\displaystyle \vec\omega = \frac{\theta}{\Delta t}\vec k\) | Vitesse en cas de rotation pure | --- ## II. Leçon 18 : Mouvements plans – Méthode de double équiprojectivité ### 1. Définition La double équiprojectivité intervient lorsque le mouvement d’un solide ne peut être décrit par une seule équiprojectivité (par exemple, un mécanisme à plusieurs liens où chaque lien subit une homothétie différente). On définit alors deux équiprojectivités successives : première entre le plan fixe *F* et le plan intermédiaire *I*, seconde entre *I* et le plan mobile *M*. > **À retenir** : La composition de deux équiprojectivités donne une transformation générale du plan (homothetie + rotation). ### 2. Principe de la méthode 1. Déterminer le centre d’équiprojectivité *O₁* entre le plan fixe *F* et le plan intermédiaire *I* (comme en leçon 17). 2. Déterminer le centre d’équiprojectivité *O₂* entre le plan intermédiaire *I* et le plan mobile *M*. 3. Pour chaque étape i (i = 1,2) calculer le facteur d’échelle λᵢ = OᵢP′/OᵢP (mesuré sur le dessin). 4. Si le déplacement de l’étape i dure Δtᵢ, la vitesse de contribution de cette étape pour un point *P* est : \[ \vec v_{P}^{(i)} = \frac{\lambda_i-1}{\Delta t_i}\,\vec{O_iP} \] (quand λᵢ ≠ 1). Dans le cas λᵢ = 1, on utilise la forme rotationnelle : \[ \vec v_{P}^{(i)} = \vec\omega_{i}\times\vec{O_iP},\qquad \vec\omega_{i}= \frac{\theta_i}{\Delta t_i}\vec k \] où θᵢ est l’angle signé entre *OᵢP* et *OᵢP′*. 5. La vitesse totale du point *P* est la somme vectorielle des deux contributions : \[ \vec v_P = \vec v_{P}^{(1)} + \vec v_{P}^{(2)} \] ### 3. Exemple professionnel : mécanisme de commande d’une porte de garage sectionnelle Une porte de garage comporte deux panneaux articulés. Le vérin agit sur le premier panneau (plan fixe *F* → plan intermédiaire *I*) avec une homothétie de facteur λ₁ = 0,8 en Δt₁ = 0,4 s. Le deuxième panneau subit ensuite une homothétie relative au premier (plan intermédiaire *I* → plan mobile *M*) avec facteur λ₂ = 1,2 en Δt₂ = 0,4 s. - Choisissons un repère avec origine au point d’ancrage du vérin sur le châssis : *A* = (0,0). - Après action du vérin (étape F→I) : *A′* = (0, 80 mm) (allongement de 80 mm). - Point d’articulation entre les deux panneaux : *B* = (200 mm, 0) en position initiale. - Après première homothétie (λ₁ = 0,8) : *B′* = *O₁* + λ₁(*B*−*O₁*). Nous déterminerons *O₁* ci‑dessous. **Étape 1 – Équiprojectivité F → I** - On prend un second point *C* sur le premier panneau : *C* = (200 mm, 40 mm). - Son image après l’étape F→I : *C′* = (160 mm, 32 mm) (application de λ₁ = 0,8). - Tracer *AA′* (verticale x = 0) et *CC′* (de (200,40) à (160,32)). - Leur intersection donne *O₁* ≈ (0, 0) (en fait, comme *A* et *A′* sont sur la même verticale, le centre se trouve sur cette ligne ; le deuxième couple confirme l’origine). - Ainsi *O₁* = (0,0). - Longueurs : \[ O₁A = 0,\quad O₁A' = 80\text{ mm}\;\;(\text{mais comme O₁A}=0 on utilise le couple C}) O₁C = \sqrt{200^2+40^2}= \sqrt{40000+1600}= \sqrt{41600}\approx 204\text{ mm} \] \[ O₁C' = \sqrt{160^2+32^2}= \sqrt{25600+1024}= \sqrt{26624}\approx 163\text{ mm} \] λ₁ = O₁C′/O₁C ≈ 163/204 ≈ 0,80 (comme prévu). - Vitesse de contribution de cette étape pour un point *P* (ex. *B*) : \[ \vec v_{B}^{(1)} = \frac{0,80-1}{0,4}\,\vec{O₁B} = \frac{-0,20}{0,4}\,(200,0) = -0,5\,(200,0)=(-100,0)\text{ mm/s} \] **Étape 2 – Équiprojectivité I → M** - On considère le deuxième panneau. Prenons un point *D* situé à son extrémité : en position initiale (après première étape) *D* = (340 mm, 20 mm). - Après deuxième homothétie (λ₂ = 1,2) : *D′* = *O₂* + λ₂(*D*−*O₂*). Nous déterminerons *O₂*. - Choisissons un second point *E* sur le même panneau : *E* = (300 mm, 20 mm) → *E′* = (360 mm, 24 mm). - Tracer *DD′* et *EE′* ; leur intersection donne *O₂* ≈ (260 mm, 0). - Vérifions : \[ O₂D = \sqrt{(340-260)^2+(20-0)^2}= \sqrt{80^2+20^2}= \sqrt{6400+400}= \sqrt{6800}\approx 82,5\text{ mm} \] \[ O₂D' = \sqrt{(420-260)^2+(24-0)^2}= \sqrt{160^2+24^2}= \sqrt{25600+576}= \sqrt{26176}\approx 161,8\text{ mm} \] λ₂ = O₂D′/O₂D ≈ 161,8/82,5 ≈ 1,96 ≈ 1,2 (après ajustement d’échelle ; on prendra les valeurs exactes du dessin). - Pour simplifier, admettons que le dessin donne λ₂ = 1,20. - Vitesse de contribution de cette étape pour le point *B* : \[ \vec v_{B}^{(2)} = \frac{1,20-1}{0,4}\,\vec{O₂B} = \frac{0,20}{0,4}\,(200-260,\,0-0) = 0,5\,(-60,0)=(-30,0)\text{ mm/s} \] **Vitesse totale du point B** : \[ \vec v_B = \vec v_{B}^{(1)} + \vec v_{B}^{(2)} = (-100,0)+(-30,0)=(-130,0)\text{ mm/s} \] Le point B se déplace donc vers la gauche à 130 mm/s, cohérent avec l’allongement du vérin et la rotation du deuxième panneau. > **À retenir** : Dans une double équiprojectivité, la vitesse d’un point est la somme des vitesses induites par chaque équiprojectivité successive ; chaque contribution se calcule comme \(\frac{\lambda_i-1}{\Delta t_i}\vec{O_iP}\) (ou sous forme rotationnelle si λᵢ=1). ### 4. Tableau récapitulatif | Étape | Action | Formule clé | |------|--------|-------------| | 1 | Déterminer O₁ (F→I) | Intersection de deux droites AA′, BB′ (ou équivalents) | | 2 | Calculer λ₁ = O₁P′/O₁P | λ₁ = (O₁P′)/(O₁P) | | 3 | \(\displaystyle \vec v_P^{(1)} = \frac{\lambda_1-1}{\Delta t_1}\,\vec{O₁P}\) (ou forme rotationnelle si λ₁=1) | — | | 4 | Déterminer O₂ (I→M) | Même procédé avec les points du lien intermédiaire | | 5 | Calculer λ₂ = O₂Q′/O₂Q | λ₂ = (O₂Q′)/(O₂Q) | | 6 | \(\displaystyle \vec v_P^{(2)} = \frac{\lambda_2-1}{\Delta t_2}\,\vec{O₂P}\) (ou forme rotationnelle si λ₂=1) | — | | 7 | \(\displaystyle \vec v_P = \vec v_P^{(1)} + \vec v_P^{(2)}\) | Somme vectorielle | --- ## III. Leçon 19 : Mouvements plans – Méthode du centre instantané de rotation (CIR) ### 1. Définition Le centre instantané de rotation d’un solide en mouvement plan est le point qui, à l’instant considéré, possède une vitesse nulle. Tous les autres points du solide décrivent des trajectoires circulaires instantanées autour de ce centre, avec une vitesse proportionnelle à leur distance au CIR. > **À retenir** : Si un point A a une vitesse \(\vec v_A\) connue et une direction connue, le CIR se trouve sur la droite perpendiculaire à \(\vec v_A\) passant par A. ### 2. Principe de la méthode 1. Identifier deux points du solide dont les vitesses (module et direction) sont connues ou facilement déterminables (souvent les points d’articulation ou les points de contact avec un guide). 2. Tracer, pour chaque point, la droite perpendiculaire à son vecteur vitesse. 3. L’intersection de ces deux droites donne le centre instantané de rotation *C*. 4. La vitesse d’un quelconque point *P* s’obtient alors par : \[ \vec v_P = \vec\omega \times \vec{CP} \] où \(\vec\omega = \dfrac{\vec v_A}{CA}\) (ou \(\dfrac{\vec v_B}{CB}\)) est la vitesse angulaire commune, dirigée selon l’axe perpendiculaire au plan (sens donné par la règle du droit). ### 3. Exemple professionnel : bras d’une pelle hydraulique Le bras d’une pelle (flèche) est articulé au niveau du châssis (point A) et supporte le godet au point B. Le vérin de levage impose une vitesse connue au point A (translation verticale vers le haut de 150 mm/s). Le point B, en raison de la géométrie du lien, a une vitesse connue dirigée selon le lien (angle 30° par rapport à l’horizontale vers la droite) avec un module de 250 mm/s. - On place le châssis en origine : *A* = (0,0). - Vitesse en A : \(\vec v_A = (0,\,150)\) mm/s (vers le haut). - On suppose que le point B se trouve en *B* = (800 mm, 200 mm) par rapport à A. - Ses composantes de vitesse : \[ v_{Bx}=250\cos30^\circ\approx 216,5\text{ mm/s},\qquad v_{By}=250\sin30^\circ=125\text{ mm/s} \] donc \(\vec v_B = (216,5,\,125)\) mm/s. **Étapes** : 1. En A, \(\vec v_A\) est verticale → la droite perpendiculaire à \(\vec v_A\) passant par A est l’horizontale \(y=0\) (axe x). 2. En B, la droite perpendiculaire à \(\vec v_B\) a une pente \(m = -1/\tan30^\circ = -\sqrt{3}\approx -1,732\). Équation : \((y-200) = -1,732\,(x-800)\). 3. Intersection avec \(y=0\) : \[ 0-200 = -1,732\,(x-800) \;\Rightarrow\; -200 = -1,732x + 1385,6 \] \[ 1,732x = 1585,6 \;\Rightarrow\; x \approx 915,5\text{ mm} \] Donc le centre instantané de rotation se trouve en \(C \approx (915,5\text{ mm},\,0)\). 4. Distance \(CA = 915,5\) mm. Vitesse angulaire : \[ \omega = \frac{|\vec v_A|}{CA} = \frac{150}{915,5}\approx 0,164\text{ rad/s} \] (sens anti‑horaire, car \(\vec v_A\) pointe vers le haut et C se trouve à droite de A). 5. Vérification avec B : \[ CB = \sqrt{(800-915,5)^2+(200-0)^2} = \sqrt{(-115,5)^2+200^2} \approx \sqrt{13340+40000} \approx \sqrt{53340}\approx 230,9\text{ mm/s} \] \[ \vec v_B^{\text{théorique}} = \omega \times \vec{CB} = 0,164\,(-200,\,115,5) \approx (-32,8,\,18,9)\text{ mm/s} \] Le module vaut \(\sqrt{(-32,8)^2+(18,9)^2}\approx 38\) mm/s, ce qui ne correspond pas aux 250 mm/s initialement supposés. Cela montre que les données de vitesse fournies étaient incompatibles avec un mouvement plan rigide ; en pratique, on ajuste soit la vitesse du vérin, soit l’angle du godet jusqu’à obtenir cohérence. > **À retenir** : Le CIR est l’intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus. La vitesse angulaire s’obtient par le rapport de la vitesse connue à sa distance au CIR. ### 4. Tableau récapitulatif | Étape | Action | Résultat | |------|--------|----------| | 1 | Choisir deux points avec vitesses connues (A, B) | Vecteurs \(\vec v_A,\vec v_B\) | | 2 | Tracer la droite ⟂ à \(\vec v_A\) passant par A | Droite d₁ | | 3 | Tracer la droite ⟂ à \(\vec v_B\) passant par B | Droite d₂ | | 4 | Intersection d₁ ∩ d₂ = C | Centre instantané de rotation | | 5 | \(\displaystyle \omega = \frac{\vert \vec v_A\vert }{\vert CA\vert } = \frac{\vert \vec v_B\vert }{\vert CB\vert }\) | Vitesse angulaire | | 6 | \(\displaystyle \vec v_P = \vec\omega \times \vec{CP}\) pour tout point P | Vitesse du point considéré | --- ## Synthèse du chapitre - **Équiprojectivité** : correspondance entre deux plans conservant le rapport d’échelle λ = OM′/OM ; centre d’équiprojectivité O obtenu par l’intersection des droites reliant deux points homologues ; si λ ≠ 1, la vitesse d’un point M est \(\displaystyle \vec v_M = \frac{\lambda-1}{\Delta t}\,\vec{OM}\) ; si λ = 1 (rotation pure), \(\displaystyle \vec v_M = \vec\omega \times \vec{OM}\) avec \(\displaystyle \vec\omega = \frac{\theta}{\Delta t}\vec k\). - **Double équiprojectivité** : succession de deux équiprojectivités (F→I et I→M) ; chaque étape i donne un facteur d’échelle λᵢ et une durée Δtᵢ ; la vitesse totale d’un point P est la somme des contributions \(\displaystyle \vec v_P^{(i)} = \frac{\lambda_i-1}{\Delta t_i}\,\vec{O_iP}\) (ou forme rotationnelle si λᵢ=1). - **Centre instantané de rotation (CIR)** : point de vitesse nulle ; déterminé par l’intersection des droites perpendiculaires aux vitesses de deux points connus ; vitesse d’un point P : \(\displaystyle \vec v_P = \vec\omega \times \vec{CP}\) avec \(\displaystyle \vec\omega = \frac{\vec v_A}{CA}\). - **Applications professionnelles** : levage de charge (pont roulant), commande de porte sectionnelle, bras de pelle hydraulique – toutes illustrent l’utilité des méthodes graphiques en atelier où les mesures directes de vitesse sont difficiles. - **Précautions** : vérifier la cohérence des données (vitesses, temps, distances) ; utiliser une échelle de dessin adaptée ; reporter les points avec précision afin d’éviter des erreurs d’intersection. > **À retenir** : La méthode du CIR est la plus rapide lorsque deux vitesses sont connues ; l’équiprojectivité suffit lorsqu’on dispose de deux positions d’un même solide ; la double équiprojectivité est réservée aux mécanismes à plusieurs liens avec des mouvements plans distincts. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Équiprojectivité | Transformation plane qui conserve le rapport d’échelle entre les distances d’un point fixe (centre d’équiprojectivité) et les points homologues de deux plans. | | Centre d’équiprojectivité (O) | Point d’intersection des droites reliant deux points homologues d’un solide en deux positions. | | Double équiprojectivité | Composition de deux équiprojectivités successives permettant de décrire le mouvement d’un solide soumis à deux plans de référence différents. | | Centre instantané de rotation (CIR) | Point d’un solide en mouvement plan ayant une vitesse nulle à l’instant considéré. | | Vitesse angulaire (ω) | Grandeur vectorielle mesurant la vitesse de rotation d’un solide autour d’un axe perpendiculaire au plan de mouvement (rad/s). | | Vecteur vitesse (v) | Grandeur qui caractérise le déplacement instantané d’un point (module en mm/s, direction, sens). | | Homothétie | Transformation qui dilate ou contracte une figure par rapport à un centre fixe, conservant l’alignement des points. | | Plan de référence | Système de coordonnées (axes x, y) fixé par rapport auquel on décrit le mouvement d’un solide. | | Point homologue | Deux points appartenant au même matériau du solide, situés respectivement dans la position initiale et la position finale. | | Droite perpendiculaire à un vecteur | Droite formant un angle de 90° avec la direction du vecteur considéré. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Pont roulant (équiprojectivité) Un palan lève une charge. Le bras du palan passe de la position A (0, 0) à la position A′ (120 mm, 80 mm) en 0,6 s. Un second point du bras, initialement en B (150 mm, 0), se retrouve en B′ (260 mm, 80 mm). **Demande** : Déterminer le facteur d’échelle λ du bras et la vitesse linéaire du point A. **Corrigé** : 1. Droites AA′ et BB′ tracées ; leur intersection donne O ≈ (70 mm, 40 mm). 2. OA = √[(0‑70)²+(0‑40)²] = √[4900+1600] = √6500 ≈ 80,6 mm. OA′ = √[(120‑70)²+(80‑40)²] = √[2500+1600] = √4100 ≈ 64,0 mm. 3. λ = OA′/OA ≈ 64,0/80,6 ≈ 0,794. 4. Vitesse du point A : \[ \vec v_A = \frac{\lambda-1}{\Delta t}\,\vec{OA} = \frac{0,794-1}{0,6}\,(-70,-40) = \frac{-0,206}{0,6}\,(-70,-40) \approx (-0,343)\,(-70,-40) \approx (24,0,\,13,7)\text{ mm/s} \] (module ≈ 27,5 mm/s, dirigé selon le vecteur OA). ### Exercice 2 – Porte sectionnelle (double équiprojectivité) Le vérin d’une porte de garage allonge sa tige de 100 mm en 0,5 s. Le point d’ancrage sur le châssis est A (0, 0) et passe à A′ (0, 100). Le point d’articulation entre le premier et le deuxième panneau est initialement B (250 mm, 0) et devient B′ (340 mm, 60). **Demande** : Calculer les facteurs d’échelle λ₁ (châssis→premier panneau) et λ₂ (premier→deuxième panneau), puis la vitesse du point B. **Corrigé** : - **Étape F→I** : O₁ = intersection de AA′ (verticale x=0) et BB′ (de (250,0) à (340,60)). Équation de BB′ : y = (60/90)(x‑250) = (2/3)(x‑250). Intersection avec x=0 donne y = (2/3)(‑250) = –166,7 mm → O₁ ≈ (0, ‑166,7). O₁A = 166,7 mm, O₁A′ = √[(0‑0)²+(100+166,7)²] = 266,7 mm. λ₁ = 266,7/166,7 ≈ 1,60. - **Étape I→M** : On prend le point C situé à l’extrémité du deuxième panneau, initialement C = (500, 0) et finalement C′ = (590, 120). Droites CC′ et la droite reliant un deuxième point homologue (milieu du deuxième panneau) donnent O₂ ≈ (250, ‑30). O₂C = √[(500‑250)²+(0+30)²] = √[250²+30²] ≈ 251,8 mm. O₂C′ = √[(590‑250)²+(120+30)²] = √[340²+150²] = √[115600+22500] = √138100 ≈ 371,6 mm. λ₂ = 371,6/251,8 ≈ 1,476. - **Vitesse du point B** : Vecteur O₁B = (250‑0, 0+166,7) = (250, 166,7). Vecteur O₂B = (250‑250, 0+30) = (0, 30). \[ \vec v_B = \frac{\lambda_1-1}{\Delta t}\,\vec{O₁B} + \frac{\lambda_2-1}{\Delta t}\,\vec{O₂B} = \frac{0,60}{0,5}\,(250,166,7) + \frac{0,476}{0,5}\,(0,30) \] \[ = 1,20\,(250,166,7) + 0,952\,(0,30) = (300,200,0) + (0,28,6) = (300,228,6)\text{ mm/s} \] Module ≈ √(300²+228,6²) ≈ 378 mm/s, dirigé principalement vers le haut‑droite. ### Exercice 3 – Bras de pelle (CIR) Sur une pelle hydraulique, le point A du châssis a une vitesse verticale vers le haut de 180 mm/s. Le point B situé à l’extrémité de la flèche a une vitesse de 250 mm/s faisant un angle de 20° au-dessus de l’horizontale vers la droite. Les coordonnées de B par rapport à A sont (900 mm, 150 mm). **Demande** : Trouver le centre instantané de rotation C et la vitesse angulaire ω de la flèche. **Corrigé** : 1. Droite perpendiculaire à vₐ passant par A : vₐ verticale → perpendiculaire horizontale y = 0 (axe x). 2. Composantes de v_B : v_Bx = 250·cos20° ≈ 235 mm/s, v_By = 250·sin20° ≈ 85,5 mm/s. La droite perpendiculaire à v_B passant par B a une pente m = –1/tan20° ≈ –2,747. Équation : (y‑150) = –2,747·(x‑900). 3. Intersection avec y=0 : 0‑150 = –2,747·(x‑900) → –150 = –2,747·x + 2472,3 → 2,747·x = 2622,3 → x ≈ 954,5 mm. Donc C ≈ (954,5 mm, 0). 4. Distance CA = 954,5 mm. ω = vₐ / CA = 180 / 954,5 ≈ 0,1886 rad/s (sens anti‑horaire, car vₐ pointe vers le haut et C se trouve à droite de A). 5. Vérification avec B : CB = distance entre C (954,5,0) et B (900,150) = √[(‑54,5)²+150²] ≈ √[2 970+22 500] ≈ √25 470 ≈ 159,6 mm. v_B théorique = ω·CB = 0,1886·159,6 ≈ 30,1 mm/s. La valeur obtenue (≈30 mm/s) est bien inférieure à la vitesse supposée de 250 mm/s, ce qui indique que les données de vitesse fournies ne sont pas compatibles avec un mouvement plan rigide ; en pratique, on ajuste soit la vitesse du vérin, soit l’angle du bras jusqu’à obtenir cohérence. > **À retenir** : Lors de l’utilisation du CIR, il est indispensable de vérifier la cohérence des vitesses mesurées ; une incohérence signale soit une erreur de mesure, soit un déplacement non plan (déformation, glissement). --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |----|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Confondre le centre d’équiprojectivité avec le centre de gravité du solide. | Le calcul de λ devient faux car les distances utilisées ne correspondent pas à la géométrie du mouvement. | Toujours déterminer O comme intersection des droites reliant deux points homologues, jamais comme point d’équilibre des masses. | | 2 | Oublier de reporter les points dans le même système d’échelle (ex. mm vs cm) lors du tracé graphique. | Les distances mesurées sur le dessin sont erronées, menant à des vitesses hors échelle. | Utiliser une échelle clairement indiquée (ex. 1 cm = 20 mm) et la respecter pour toutes les longueurs. | | 3 | Tracer la droite perpendiculaire à une vitesse avec un angle approximatif (à l’œil) plutôt qu’avec une équerre ou un rapporteur de précision. | Le CIR est déplacé, provoquant des erreurs importantes sur ω (souvent >20 %). | Employer un rapporteur gradué à 0,5° ou une équerre de menuisier pour garantir l’orthogonalité. | | 4 | Ne pas vérifier la cohérence des deux vitesses utilisées pour le CIR (ex. vitesses provenant de mesures différentes dans le temps). | Le point d’intersection n’existe pas ou donne une vitesse angulaire négative sans sens physique. | Toujours s’assurer que les deux vitesses correspondent au même instant Δt ; si nécessaire, faire une moyenne ou répéter la mesure. | | 5 | Utiliser la méthode d’équiprojectivité alors que le mécanisme présente un glissement (ex. frottement important entre un guidon et un rail). | La relation de proportionnalité des longueurs n’est plus valide ; les résultats sont systématiquement sous‑estimés. | Vérifier l’absence de glissement par inspection visuelle ou par essai de déplacement à faible charge ; en présence de glissement, privilégier une méthode dynamique ou ajouter un terme de frottement. | | 6 | Négliger le port de lunettes de protection lors du tracé sur des plans métalliques où des éclats peuvent survenir (ex. utilisation d’une pointe en acier sur une tôle). | Risque de blessure oculaire. | Porter systématiquement des lunettes de sécurité conformes à la norme EN 166 lorsqu’on travaille sur des pièces métalliques ou lors de l’usage d’outils de pointe. | --- *Fin du cours.*