Se connecterS'abonner

Chapitre 11

2. Vector Spaces

Lecture : 7 minQuiz de 12 questions

# 2. Vector Spaces ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir une compréhension rigoureuse des espaces vectoriels, de leurs sous-structures, des notions de dépendance linéaire, de base et de dimension, ainsi que des transformations linéaires et de leurs noyaux et images. À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Vérifier si un ensemble muni de deux opérations satisfait les axiomes d'un espace vectoriel. - Déterminer l'engendré d'un ensemble de vecteurs et reconnaître un sous-espace vectoriel. - Analyser la dépendance ou l'indépendance linéaire d'un ensemble de vecteurs. - Construire une base d'un espace vectoriel et en déterminer la dimension. - Définir une transformation linéaire, vérifier sa linéarité, et calculer son image et son noyau (espace nul). - Appliquer ces concepts à des problèmes concrets issus de l'algèbre linéaire et de la géométrie. **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les vecteurs dans $\mathbb{R}^n$, résolution de systèmes linéaires, notions de combinaison linéaire, et familiarité avec la notation ensembliste et les preuves élémentaires. --- ## I. Axioms of a vector space Un **espace vectoriel** sur un corps $\mathbb{F}$ (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $V$ muni de deux opérations : l'addition de vecteurs $+ : V \times V \to V$ et la multiplication par un scalaire $\cdot : \mathbb{F} \times V \to V$, satisfaisant huit axiomes. > **Définition** : Un ensemble $V$ avec des opérations $+$ et $\cdot$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{F}$ s'il vérifie : > 1. **Fermeture par l'addition** : $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$ > 2. **Associativité de l'addition** : $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$, $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ > 3. **Existence d'un élément neutre** : $\exists \mathbf{0} \in V$ tel que $\forall \mathbf{v} \in V$, $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ > 4. **Existence d'un opposé** : $\forall \mathbf{v} \in V$, $\exists -\mathbf{v} \in V$ tel que $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ > 5. **Fermeture par la multiplication scalaire** : $\forall c \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{v} \in V$, $c \cdot \mathbf{v} \in V$ > 6. **Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle** : $\forall c \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$, $c \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c \cdot \mathbf{u} + c \cdot \mathbf{v}$ > 7. **Distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition scalaire** : $\forall c, d \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{v} \in V$, $(c + d) \cdot \mathbf{v} = c \cdot \mathbf{v} + d \cdot \mathbf{v}$ > 8. **Compatibilité avec la multiplication du corps** : $\forall c, d \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{v} \in V$, $(cd) \cdot \mathbf{v} = c \cdot (d \cdot \mathbf{v})$ > 9. **Élément neutre de la multiplication scalaire** : $\forall \mathbf{v} \in V$, $1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}$ (où $1$ est l'unité de $\mathbb{F}$) > **À retenir** : Les axiomes garantissent que les opérations dans $V$ se comportent comme celles des vecteurs dans $\mathbb{R}^n$. **Exemple 1** : Montrer que $\mathbb{R}^2$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. *Solution* : Soit $\mathbf{u} = (u_1, u_2)$, $\mathbf{v} = (v_1, v_2) \in \mathbb{R}^2$, $c \in \mathbb{R}$. - Addition : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2) \in \mathbb{R}^2$ → fermeture. - Associativité : vérifiée par composantes. - Élément nul : $\mathbf{0} = (0,0)$, $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$. - Opposé : $-\mathbf{v} = (-v_1, -v_2)$, $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = (0,0)$. - Multiplication scalaire : $c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2) \in \mathbb{R}^2$. - Distributivités : vérifiées terme à terme. - $(cd)\mathbf{v} = (cd v_1, cd v_2) = c(d v_1, d v_2) = c(d\mathbf{v})$. - $1\mathbf{v} = (1\cdot v_1, 1\cdot v_2) = \mathbf{v}$. Tous les axiomes sont satisfaits → $\mathbb{R}^2$ est un espace vectoriel. **Exercice 1** : Vérifier que l'ensemble $V = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$. *Corrigé* : - Fermeture par addition : Si $\mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)$, $\mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)$ avec $x_i+y_i+z_i=0$, alors $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ et $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)=0$ → fermé. - Élément nul : $(0,0,0)$ vérifie $0+0+0=0$. - Opposé : $-\mathbf{u}=(-x_1,-y_1,-z_1)$, somme des composantes $=-(x_1+y_1+z_1)=0$. - Multiplication scalaire : $c\mathbf{u}=(cx_1,cy_1,cz_1)$, somme $=c(x_1+y_1+z_1)=0$. Les autres axiomes héritent de $\mathbb{R}^3$. Donc $V$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^3$, donc un espace vectoriel. --- ## II. Span of a vector L'**engendré** (ou *span*) d'un ensemble de vecteurs est l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires possibles. > **Définition** : Soit $S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k \}$ un sous-ensemble de $V$. L'engendré de $S$, noté $\operatorname{span}(S)$, est l'ensemble : > $$ > \operatorname{span}(S) = \left\{ c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k \mid c_i \in \mathbb{F} \right\} > $$ > **À retenir** : $\operatorname{span}(S)$ est toujours un sous-espace vectoriel de $V$. **Exemple 2** : Trouver $\operatorname{span}\{ (1,0), (0,1) \}$ dans $\mathbb{R}^2$. *Solution* : Tout vecteur $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ s'écrit comme $x(1,0) + y(0,1)$. Donc $\operatorname{span}\{ (1,0), (0,1) \} = \mathbb{R}^2$. **Exemple 3** : Trouver $\operatorname{span}\{ (1,1,0), (0,1,1) \}$ dans $\mathbb{R}^3$. *Solution* : Un vecteur dans l'engendré est de la forme : $$ c_1(1,1,0) + c_2(0,1,1) = (c_1, c_1 + c_2, c_2) $$ Donc $\operatorname{span}(S) = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = c_1, z = c_2, y = x + z \} = \{ (x,y,z) \mid y = x + z \}$. **Exercice 2** : Déterminer $\operatorname{span}\{ (1,2,3), (4,5,6) \}$ dans $\mathbb{R}^3$. Est-ce un plan ou une droite ? *Corrigé* : Un vecteur dans l'engendré : $c_1(1,2,3) + c_2(4,5,6) = (c_1+4c_2, 2c_1+5c_2, 3c_1+6c_2)$. Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (le rapport des composantes n'est pas constant), donc ils engendrent un **plan** dans $\mathbb{R}^3$. Pour vérifier : le produit vectoriel $(1,2,3)\times(4,5,6) = (-3,6,-3) \neq \mathbf{0}$ → indépendants → engendrent un plan de dimension 2. --- ## III. Vector Subspace Un **sous-espace vectoriel** est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel pour les mêmes opérations. > **Définition** : Un sous-ensemble $W \subseteq V$ est un sous-espace vectoriel de $V$ s'il vérifie : > 1. $\mathbf{0} \in W$ > 2. $\forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ (fermeture par l'addition) > 3. $\forall c \in \mathbb{F}, \forall \mathbf{v} \in W$, $c\mathbf{v} \in W$ (fermeture par la multiplication scalaire) > **À retenir** : Pour vérifier qu'un sous-ensemble est un sous-espace, il suffit de tester les trois conditions ci-dessus (le zéro, la somme, le produit scalaire). **Exemple 4** : Montrer que $W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = 0 \}$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^3$. *Solution* : - $\mathbf{0} = (0,0,0)$ : $z=0$ → oui. - Soit $\mathbf{u}=(x_1,y_1,0)$, $\mathbf{v}=(x_2,y_2,0)$ → $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2, y_1+y_2, 0)$ → $z=0$ → dans $W$. - Soit $c\in\mathbb{R}$, $\mathbf{u}=(x_1,y_1,0)$ → $c\mathbf{u}=(cx_1,cy_1,0)$ → $z=0$ → dans $W$. Donc $W$ est un sous-espace. **Exemple 5** : Montrer que $W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 1 \}$ n'est pas un sous-espace. *Solution* : Le vecteur nul $(0,0,0)$ ne vérifie pas $0+0+0=1$ → $\mathbf{0} \notin W$ → pas un sous-espace. **Exercice 3** : Vérifier si $W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 2y \}$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^3$. *Corrigé* : - $\mathbf{0}=(0,0,0)$ : $0=2\cdot0$ → oui. - Soit $\mathbf{u}=(2a,a,c)$, $\mathbf{v}=(2b,b,d)$ → $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(2a+2b, a+b, c+d) = (2(a+b), a+b, c+d)$ → $x=2y$ → dans $W$. - Soit $k\in\mathbb{R}$, $\mathbf{u}=(2a,a,c)$ → $k\mathbf{u}=(2ka, ka, kc)$ → $x=2ka = 2(ka)$ → $x=2y$ → dans $W$. Donc $W$ est un sous-espace. --- ## IV. Linear Dependence and independence Un ensemble de vecteurs est **linéairement dépendant** si au moins un d'entre eux peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres. Sinon, il est **linéairement indépendant**. > **Définition** : Les vecteurs $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k \in V$ sont linéairement dépendants s'il existe des scalaires $c_1, \dots, c_k \in \mathbb{F}$, **non tous nuls**, tels que : > $$ > c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} > $$ > Ils sont linéairement indépendants si la seule solution est $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$. > **À retenir** : Pour tester l'indépendance, on résout l'équation homogène $c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$. Si seule la solution triviale existe → indépendants. **Exemple 6** : Vérifier si $\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}$ dans $\mathbb{R}^3$ est linéairement indépendant. *Solution* : Soit $c_1(1,0,0) + c_2(0,1,0) + c_3(0,0,1) = (0,0,0)$ → $(c_1, c_2, c_3) = (0,0,0)$ → $c_1=c_2=c_3=0$. Seule solution triviale → linéairement indépendant. **Exemple 7** : Vérifier si $\{ (1,2), (2,4) \}$ dans $\mathbb{R}^2$ est linéairement dépendant. *Solution* : Remarquons que $(2,4) = 2(1,2)$. Donc $2(1,2) - 1(2,4) = (0,0)$. Soit $c_1=2$, $c_2=-1$ → non nuls → combinaison nulle non triviale → linéairement dépendant. **Exercice 4** : Déterminer si les vecteurs $(1,1,1)$, $(1,2,3)$, $(2,3,4)$ dans $\mathbb{R}^3$ sont linéairement indépendants. *Corrigé

Quiz du chapitre

12 questions — vérifie chaque réponse pour voir l'explication.

  1. 1. Which of the following sets is a vector space over the field of real numbers?
  2. 2. What is the dimension of the vector space spanned by the vectors (1,2,3), (4,5,6), and (7,8,9) in R^3?
  3. 3. Let V be a vector space over R. If {v1, v2, v3} is a linearly independent set in V, which of the following must be true?
  4. 4. Consider the vector space P2 of polynomials of degree at most 2 with real coefficients. What is the coordinate vector of the polynomial p(x) = 3 - 2x + x^2 relative to the basis {1, x, x^2}?
  5. 5. Let T: R^2 → R^2 be defined by T(x,y) = (2x + y, x - 3y). What is the matrix representation of T with respect to the standard basis?
  6. 6. In R^3, let W be the subspace spanned by (1,1,0) and (0,1,1). Which of the following vectors is orthogonal to every vector in W?
  7. 7. Suppose V is a finite-dimensional vector space and T: V → V is a linear transformation. If T is invertible, which of the following must be true?
  8. 8. Let V be the vector space of all continuous functions on [0,1]. Which of the following subsets is a subspace of V?
  9. 9. Consider the linear transformation T: R^3 → R^2 defined by T(x,y,z) = (x+2y-z, 3x-y+2z). What is the dimension of the kernel of T?
  10. 10. Let {v1, v2, v3} be a basis for a vector space V. If w = 2v1 - v2 + 3v3, what is the coordinate vector of w relative to the basis {v1, v2, v3}?
  11. 11. In the vector space M2x2(R) of 2x2 real matrices, consider the subset S of all matrices with trace zero. What is the dimension of S?
  12. 12. Let V be a vector space over R with dim(V) = 5. Suppose U and W are subspaces of V such that dim(U) = 3, dim(W) = 3, and dim(U ∩ W) = 1. What is dim(U + W)?
← 1. Matrices