2. Sequences and Series

# 2. Sequences and Series ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir une compréhension approfondie des suites et séries numériques, essentielles pour l'analyse mathématique avancée. À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Définir et distinguer les suites finies et infinies, convergentes, bornées et monotones. - Analyser les suites définies par récurrence et résoudre les relations de récurrence linéaires du premier ordre. - Appliquer les critères de convergence et de divergence des suites (théorème du sandwich, critère de Cauchy, etc.). - Définir une série numérique et déterminer sa convergence ou divergence. - Utiliser les tests de convergence des séries : comparaison, rapport, série p, série télescopique. - Appliquer le théorème du sandwich aux séries. - Développer des fonctions en séries de Taylor et de Maclaurin. - Utiliser les polynômes de Taylor pour approximer des fonctions. - Appliquer les séries au calcul de limites de quotients de fonctions (notamment formes indéterminées). **Prérequis** : Maîtrise de l'algèbre élémentaire, des fonctions réelles, des limites de fonctions, et du raisonnement par récurrence. --- ## I. Suites numériques finies et infinies Une **suite numérique** est une application de $\mathbb{N}$ (ou d'un sous-ensemble de $\mathbb{N}$) vers $\mathbb{R}$. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou simplement $u_n$. - Une suite est **finie** si son domaine est fini (ex. : $n = 1, 2, ..., N$). - Une suite est **infinie** si son domaine est $\mathbb{N}$ (ou un ensemble infini de nombres naturels). > **Définition** : Une suite $(u_n)$ est dite **bornée** s'il existe un réel $M > 0$ tel que $\vert u_n \vert \leq M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. > **Définition** : Une suite $(u_n)$ est dite **monotone croissante** si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; **monotone décroissante** si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$. > **Définition** : Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L \in \mathbb{R}$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \geq N$, $\vert u_n - L \vert < \varepsilon$. On note $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. ### Exemple 1 : Suite bornée mais non convergente Considérons $u_n = (-1)^n$. - $\vert u_n \vert = 1$ pour tout $n$ → bornée par $M=1$. - Mais $u_{2k} = 1$, $u_{2k+1} = -1$ → oscille entre $-1$ et $1$ → ne converge pas. ### Exemple 2 : Suite convergente et monotone $u_n = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$. - $u_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = u_n$ → décroissante. - $\vert u_n \vert \leq 1$ → bornée. - $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ → converge vers $0$. ### Exercice 1 : Déterminer si la suite $u_n = \frac{n}{n+1}$ est bornée, monotone, et convergente. **Solution** : - $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$ → clairement $0 < u_n < 1$ pour $n \geq 1$ → bornée. - $u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$ → strictement croissante. - $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1$ → converge vers $1$. **Réponse** : Bornée, monotone croissante, convergente vers $1$. --- ## II. Suites définies par récurrence Une suite est **définie par récurrence** si chaque terme est exprimé en fonction du ou des termes précédents. La forme la plus simple est : $$u_{n+1} = f(u_n)$$ où $f$ est une fonction donnée. ### Cas particulier : $u_{n+1} = a u_n + b$ (récurrence linéaire du premier ordre) On cherche une solution explicite. On distingue deux cas : 1. **Cas homogène** ($b = 0$) : $u_{n+1} = a u_n$ → $u_n = a^n u_0$. 2. **Cas non homogène** ($b \neq 0$) : on cherche une solution particulière constante $L$ telle que $L = aL + b$ → $L(1-a) = b$ → si $a \neq 1$, $L = \frac{b}{1-a}$. Alors la solution générale est : $$u_n = a^n (u_0 - L) + L$$ > **Formule clé** : Pour $u_{n+1} = a u_n + b$, avec $a \neq 1$, > $$u_n = a^n u_0 + b \frac{1-a^n}{1-a}$$ ### Exemple 3 : Résoudre $u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 1$, avec $u_0 = 0$. - Ici $a = \frac{1}{2}$, $b = 1$, $a \neq 1$. - Solution particulière : $L = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. - Solution générale : $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n (0 - 2) + 2 = 2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ pour $n \geq 1$ (vérifier : $n=0$ → $2-2=0$ ok). - Limite : $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$. ### Exercice 2 : Une suite est définie par $u_{n+1} = 0.8 u_n + 5$, $u_0 = 10$. Trouver $u_n$ explicite et $\lim_{n \to \infty} u_n$. **Solution** : - $a = 0.8$, $b = 5$, $a \neq 1$. - $L = \frac{5}{1-0.8} = \frac{5}{0.2} = 25$. - $u_n = (0.8)^n (10 - 25) + 25 = -15 \cdot (0.8)^n + 25$. - $\lim_{n \to \infty} u_n = 25$ car $(0.8)^n \to 0$. **Réponse** : $u_n = 25 - 15(0.8)^n$, limite $= 25$. --- ## III. Tests de convergence et de divergence des suites Plusieurs critères permettent de déterminer la convergence d'une suite sans calculer explicitement la limite. > **Théorème du sandwich (ou squeeze)** : Si $a_n \leq b_n \leq c_n$ pour tout $n \geq N$, et si $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$, alors $\lim_{n \to \infty} b_n = L$. > **Critère de Cauchy** : Une suite $(u_n)$ converge si et seulement si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $N$ tel que pour tout $m, n \geq N$, $\vert u_m - u_n \vert < \varepsilon$. (En $\mathbb{R}$, ceci est équivalent à la convergence.) > **Propriété** : Toute suite monotone et bornée converge. ### Exemple 4 : Utiliser le théorème du sandwich pour montrer que $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$. - On sait que $-1 \leq \sin n \leq 1$ pour tout $n$. - Donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$. - $\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$. - Par le théorème du sandwich : $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$. ### Exercice 3 : Montrer que $\lim_{n \to \infty} \frac{n \cos n}{n^2 + 1} = 0$ en utilisant le théorème du sandwich. **Solution** : - $\vert \cos n \vert \leq 1$ → $\left\vert \frac{n \cos n}{n^2 + 1} \right\vert \leq \frac{n}{n^2 + 1}$. - Pour $n \geq 1$, $n^2 + 1 \geq n^2$ → $\frac{n}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$. - Donc $0 \leq \left\vert \frac{n \cos n}{n^2 + 1} \right\vert \leq \frac{1}{n}$. - $\lim_{n \to \infty} 0 = 0$, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ → par le théorème du sandwich, la limite absolue est $0$ → la limite est $0$. **Réponse** : $\lim_{n \to \infty} \frac{n \cos n}{n^2 + 1} = 0$. --- ## IV. Solution des relations de récurrence Nous avons déjà traité le cas du premier ordre linéaire. Maintenant, considérons des récurrences d'ordre supérieur ou non linéaires, mais nous nous limitons ici aux cas solubles par méthodes élémentaires (comme la substitution ou la reconnaissance de formes connues). ### Exemple 5 : Résoudre $u_{n+1} = 2 u_n + 3^n$, $u_0 = 1$. C'est une récurrence linéaire non homogène du premier ordre avec terme non homogène exponentiel. On cherche une solution particulière de la forme $C \cdot 3^n$. Substituons : $C \cdot 3^{n+1} = 2 \cdot C \cdot 3^n + 3^n$ → $3C \cdot 3^n = 2C \cdot 3^n + 3^n$ → $3C = 2C + 1$ → $C = 1$. Solution particulière : $u_n^{(p)} = 3^n$. Solution de l'équation homogène : $u_n^{(h)} = A \cdot 2^n$. Solution générale : $u_n = A \cdot 2^n + 3^n$. Condition initiale : $u_0 = A \cdot 1 + 1 = 1$ → $A = 0$. Donc $u_n = 3^n$. Vérification : $u_0 = 1$, $u_1 = 2\cdot1 + 3^1 = 5$, et $3^1 = 3$ → erreur ! Attention : $u_{n+1} = 2 u_n + 3^n$ Pour $n=0$ : $u_1 = 2u_0 + 3^0 = 2\cdot1 + 1 = 3$ → ok si $u_1=3$. Mais $3^1 = 3$ → $u_1 = 3$ correspond à $3^1$ → donc $u_n = 3^n$ donne $u_1=3$ → correct. $u_2 = 2\cdot3 + 3^1 = 6+3=9$, $3^2=9$ → ok. Donc solution : $u_n = 3^n$. ### Exercice 4 : Résoudre $u_{n+1} = 3 u_n - 2$, $u_0 = 5$. **Solution** : - $a=3$, $b=-2$, $a \neq 1$. - $L = \frac{-2}{1-3} = \frac{-2}{-2} = 1$. - $u_n = 3^n (5 - 1) + 1 = 4 \cdot 3^n + 1$. - Vérif : $n=0$ → $4+1=5$ ok. $n=1$ → $4\cdot3+1=13$, et $u_1 = 3\cdot5 -2 =15-2=13$ ok. **Réponse** : $u_n = 4 \cdot 3^n + 1$. --- ## V. Définition d'une série et sa convergence Une **série numérique** est l'expression de la forme $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, où $(a_n)$ est une suite de réels. On définit les sommes partielles : $$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$$ La série **converge** si la suite $(S_N)$ converge vers une limite finie $S$. On note alors $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$. Dans le cas contraire, la série **diverge**. > **Définition** : La série $\sum a_n$ converge absolument si $\sum \vert a_n \vert$ converge. > Toute série absolument convergente converge. ### Exemple 6 : Série harmonique $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$. - Sommes partielles : $S_N = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N}$. - On sait que $S_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ → tend vers $+\infty$ → la série diverge. ### Exercice 5 : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge-t-elle ? Justifier. **Solution** : C'est une série $p$ avec $p=2 > 1$ → converge (voir prochaine section). On peut aussi comparer : pour $n \geq 2$, $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$ → somme télescopique bornée. Mais on attend le critère $p$-series. **Réponse** : Oui, elle converge car $p=2>1$. --- ## VI. Série télescopique Une série est **télescopique** si son terme général peut s'écrire sous la forme $a_n = b_n - b_{n+1}$, où $(b_n)$ est une suite. Alors : $$S_N = \sum_{n=1}^{N} (b_n - b_{n+1}) = b_1 - b_{N+1}$$ Donc la série converge si et seulement si $\lim_{N \to \infty} b_{N+1}$ existe finie, et alors : $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = b_1 - \lim_{n \to \infty} b_n$$ ### Exemple 7 : Calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$. - On note que $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$. - Alors $S_N = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}$. - $\lim_{N \to \infty} S_N = 1 - 0 = 1$. Donc la série converge vers $1$. ### Exercice 6 : Calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right)$. **Solution** : - Ici $b_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$, donc $a_n = b_n - b_{n+1}$. - $S_N = b_1 - b_{N+1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}$. - $\lim_{N \to \infty} S_N = 1 - 0 = 1$. **Réponse** : La série converge vers $1$. --- ## VII. Le test de la série $p$ La **série $p$** est définie par : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$ où $p \in \mathbb{R}$. > **Théorème (test $p$)** : La série $\sum \frac{1}{n^p}$ converge si et seulement si $p > 1$. > Elle diverge si $p \leq 1$. ### Exemple 8 : $\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ diverge car $p = \frac{1}{2} \leq 1$. $\sum \frac{1}{n^2}$ converge car $p=2>1$. ### Exercice 7 : Déterminer la convergence de $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$. **Solution** : Cette série n'est pas une série $p$ pure. On utilisera le test d'intégrale ou de comparaison plus tard. Pour l'instant, on note qu'elle diverge (on le montrera avec le test d'intégrale au chapitre suivant, mais ici on ne l'utilise pas encore). Attention : on ne peut pas encore utiliser le test d'intégrale car non introduit. On doit donc dire : ce n'est pas une série $p$, donc le test $p$ ne s'applique pas directement. Mais dans le cadre de ce chapitre, on se limite aux séries $p$ pures. Donc : **Le test $p$ ne s'applique pas à cette série car elle n'est pas de la forme $\frac{1}{n^p}$**. Cependant, si on devait deviner : elle diverge (comme on le verra plus tard). Mais pour respecter les consignes : on ne traite que les séries $p$ ici. Donc l'exercice est mal posé pour ce stade. On le reformule : **Exercice 7 bis** : Déterminer la convergence de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ en utilisant le test $p$. **Solution** : $p = \frac{3}{2} > 1$ → la série converge. **Réponse** : Convergente. --- ## VIII. Les tests de comparaison et de rapport ### Test de comparaison Soit deux séries à termes positifs $\sum a_n$ et $\sum b_n$. > **Théorème de comparaison** : > - Si $0 \leq a_n \leq b_n$ pour tout $n$ suffisamment grand, et si $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge. > - Si $0 \leq b_n \leq a_n$ pour tout $n$ suffisamment grand, et si $\sum b_n$ diverge, alors $\sum a_n$ diverge. ### Test de rapport (ou d'Alembert) Pour une série $\sum a_n$ avec $a_n \neq 0$, on définit : $$L = \lim_{n \to \infty} \left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert$$ > - Si $L < 1$, la série converge absolument. > - Si $L > 1$ ou $L = +\infty$, la série diverge. > - Si $L = 1$, le test est inconclusif. ### Exemple 9 : Utiliser le test de comparaison pour $\sum \frac{1}{n^2 + 1}$. - Pour $n \geq 1$, $n^2 + 1 \geq n^2$ → $\frac{1}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{n^2}$. - $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$) → par comparaison, $\sum \frac{1}{n^2 + 1}$ converge. ### Exemple 10 : Utiliser le test de rapport pour $\sum \frac{n!}{2^n}$. - $a_n = \frac{n!}{2^n}$ - $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / 2^{n+1}}{n! / 2^n} = \frac{n+1}{2}$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} = +\infty > 1$ → la série diverge. ### Exercice 8 : Utiliser le test de comparaison pour déterminer la convergence de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n}$. **Solution** : - Pour $n \geq 1$, $n^2 + n \geq n^2$ → $\frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2}$. - $\sum \frac{1}{n^2}$ converge → par comparaison, $\sum \frac{1}{n^2 + n}$ converge. **Réponse** : Convergente. ### Exercice 9 : Utiliser le test de rapport pour $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!}$. **Solution** : - $a_n = \frac{3^n}{n!}$ - $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} = \frac{3}{n+1}$ - $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1$ → la série converge absolument. **Réponse** : Convergente. --- ## IX. Test primaire pour la convergence des séries > **Test primaire (ou test du terme général)** : Si la série $\sum a_n$ converge, alors $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$. > Contraposément : si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ ou si la limite n'existe pas, alors la série diverge. > **Attention** : La réciproque est fausse : $\lim a_n = 0$ n'implique pas la convergence (ex. : série harmonique). ### Exemple 11 : $\sum \frac{n}{n+1}$ diverge car $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0$. ### Exercice 10 : La série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge-t-elle ? Justifier par le test primaire. **Solution** : - $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ → le test primaire est inconclusif. - On ne peut pas conclure à la convergence ou à la divergence avec ce seul test. - (On sait qu'elle diverge car $p=\frac{1}{2} \leq 1$, mais on ne l'utilise pas ici.) **Réponse** : Le test primaire ne permet pas de conclure (limite nulle, mais série divergente en réalité). --- ## X. Théorème du sandwich (squeeze) pour les séries Le théorème du sandwich s'applique également aux séries, via les sommes partielles. > **Théorème du sandwich pour les séries** : Soit trois séries à termes positifs $\sum a_n$, $\sum b_n$, $\sum c_n$ telles que $0 \leq a_n \leq b_n \leq c_n$ pour tout $n$ suffisamment grand. > - Si $\sum c_n$ converge, alors $\sum b_n$ converge. > - Si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum b_n$ diverge. Ceci est une conséquence directe du théorème du sandwich appliqué aux suites des sommes partielles. ### Exemple 12 : Montrer que $\sum \frac{1}{n^2 + \sin n}$ converge. - Puisque $-1 \leq \sin n \leq 1$, on a $n^2 - 1 \leq n^2 + \sin n \leq n^2 + 1$. - Pour $n \geq 2$, $n^2 - 1 > 0$, donc : $\frac{1}{n^2 + 1} \leq \frac{1}{n^2 + \sin n} \leq \frac{1}{n^2 - 1}$ - Mais $\frac{1}{n^2 - 1} \sim \frac{1}{n^2}$ pour grand $n$, et $\sum \frac{1}{n^2}$ converge. - On peut aussi écrire : pour $n \geq 2$, $n^2 - 1 \geq \frac{1}{2}n^2$ → $\frac{1}{n^2 - 1} \leq \frac{2}{n^2}$ → donc $\frac{1}{n^2 + \sin n} \leq \frac{2}{n^2}$ - Puisque $\sum \frac{2}{n^2}$ converge, par comparaison, $\sum \frac{1}{n^2 + \sin n}$ converge. - On peut aussi utiliser le sandwich : $0 \leq \frac{1}{n^2 + \sin n} \leq \frac{1}{n^2 - 1}$ pour $n \geq 2$, et comme $\sum \frac{1}{n^2 - 1}$ converge (par comparaison avec $\sum \frac{1}{n^2}$), alors par sandwich, la série converge. ### Exercice 11 : Utiliser le théorème du sandwich pour montrer que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^2 n}{n^2}$ converge. **Solution** : - Puisque $0 \leq \cos^2 n \leq 1$, on a $0 \leq \frac{\cos^2 n}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}$. - $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$). - Par le théorème du sandwich (ou comparaison directe), $\sum \frac{\cos^2 n}{n^2}$ converge. **Réponse** : Convergente. --- ## XI. Séries de Taylor et de Maclaurin Soit $f$ une fonction infiniment dérivable en un point $a$. La **série de Taylor** de $f$ en $a$ est : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$$ Si $a = 0$, on parle de **série de Maclaurin** : $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ La série converge vers $f(x)$ dans un intervalle autour de $a$ (le rayon de convergence dépend de $f$). > **Formule de Maclaurin pour $e^x$** : $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ > **Pour $\sin x$** : $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ > **Pour $\cos x$** : $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ > **Pour $\ln(1+x)$** : $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$, pour $-1 < x \leq 1$ ### Exemple 13 : Trouver la série de Maclaurin de $f(x) = e^{2x}$. - On sait que $e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$. - Substituons $u = 2x$ : $e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$. ### Exercice 12 : Trouver les trois premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de $f(x) = \cos(3x)$. **Solution** : - Série de Maclaurin de $\cos x$ : $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ - Substituons $x \to 3x$ : $\cos(3x) = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + \cdots$ $= 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - \frac{729x^6}{720} + \cdots$ Simplifions : $\frac{81}{24} = \frac{27}{8}$, $\frac{729}{720} = \frac{81}{80}$ Donc : $1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4 - \frac{81}{80}x^6 + \cdots$ - Les trois premiers termes non nuls : $1$, $-\frac{9}{2}x^2$, $\frac{27}{8}x^4$. **Réponse** : $1 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{8}x^4$. --- ## XII. Polynômes de Taylor Le **polynôme de Taylor d'ordre $n$** de $f$ en $a$ est l'approximation polynomiale de degré $n$ : $$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k$$ Il approximera $f(x)$ près de $a$, avec une erreur qui tend vers $0$ lorsque $x \to a$. Le reste de Lagrange donne une borne sur l'erreur : $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}$$ pour certains $\xi$ entre $a$ et $x$. ### Exemple 14 : Trouver le polynôme de Taylor d'ordre 2 de $f(x) = \ln(1+x)$ en $a=0$. - $f(x) = \ln(1+x)$ - $f'(x) = \frac{1}{1+x}$ → $f'(0) = 1$ - $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ → $f''(0) = -1$ - $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = x - \frac{x^2}{2}$ ### Exercice 13 : Trouver le polynôme de Taylor d'ordre 3 de $f(x) = e^{-x}$ en $a=0$. **Solution** : - $f(x) = e^{-x}$ - $f'(x) = -e^{-x}$ → $f'(0) = -1$ - $f''(x) = e^{-x}$ → $f''(0) = 1$ - $f'''(x) = -e^{-x}$ → $f'''(0) = -1$ - $T_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ $= 1 + (-1)x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{-1}{6}x^3 = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$ **Réponse** : $1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}$. --- ## XIII. Séries et applications dans l'évaluation des limites de quotients de fonctions Les séries de Taylor permettent de résoudre des limites de la forme $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ lorsque $f(0)=g(0)=0$ (forme indéterminée $\frac{0}{0}$), en développant $f$ et $g$ en séries de Maclaurin jusqu'à l'ordre nécessaire. ### Exemple 15 : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$. - Développement de $e^x$ : $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ - Donc $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$ - Alors $\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots$ - Lorsque $x \to 0$, la limite est $\frac{1}{2}$. ### Exercice 14 : Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ en utilisant les séries de Maclaurin. **Solution** : - $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$ - Donc $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$ - Alors $\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots$ - Lorsque $x \to 0$, la limite est $-\frac{1}{6}$. **Réponse** : $-\frac{1}{6}$. --- ## Synthèse du chapitre - Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ; elle peut être finie ou infinie, convergente, divergente, bornée, monotone. - Une suite convergente et bornée est nécessairement convergente si elle est monotone (théorème de convergence des suites monotones). - Les suites définies par récurrence du type $u_{n+1} = a u_n + b$ admettent une solution explicite : $u_n = a^n u_0 + b\frac{1-a^n}{1-a}$ pour $a \neq 1$. - Le théorème du sandwich permet de déterminer des limites en encadrant une suite entre deux autres dont on connaît la limite. - Une série $\sum a_n$ converge si la suite de ses sommes partielles converge. - La série $p$ $\sum \frac{1}{n^p}$ converge si et seulement si $p > 1$. - Les tests de comparaison et de rapport permettent de déterminer la convergence d'une série à termes positifs en la comparant à une série connue. - Le test primaire stipule que si $\sum a_n$ converge, alors $a_n \to 0$ ; la réciproque est fausse. - Le théorème du sandwich s'étend aux séries via les sommes partielles. - La série de Taylor de $f$ en $a$ est $\sum \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ ; celle de Maclaurin correspond à $a=0$. - Les polynômes de Taylor fournissent des approximations polynomiales utiles pour le calcul numérique. - Les séries de Taylor permettent de résoudre des limites indéterminées ($\frac{0}{0}$) en développant le numérateur et le dénominateur. ---