2. Further Coordinate Geometry

# 2. Further Coordinate Geometry ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à approfondir la compréhension des courbes du second degré dans le plan cartésien, en se concentrant sur les sections coniques : parabole, ellipse, hyperbole et hyperbole rectangulaire. L’étudiant devra être capable de reconnaître, décrire, tracer et analyser ces courbes à partir de leurs équations cartésiennes ou paramétriques, d’en déduire les propriétés géométriques (foyers, directrices, asymptotes, sommets, axes), de déterminer les équations des tangentes et normales, et d’étudier l’intersection de ces droites avec les asymptotes ou d’autres éléments de la courbe. Les prérequis incluent une maîtrise solide de la géométrie analytique du niveau O-Level (équations de droites, cercles, transformations de base), du calcul différentiel (dérivée d’une fonction, équation de la tangente), et de la trigonométrie (fonctions cos, sin, identité pythagoricienne). Une familiarité avec les systèmes de coordonnées paramétriques est également attendue. --- ## I. Sketching the curves of rectangular hyperbola ### Définition et forme canonique Une hyperbole rectangulaire est une hyperbole dont les asymptotes sont perpendiculaires. Son équation canonique la plus simple est : $$ xy = c^2 \quad (c \neq 0) $$ où $c$ est une constante réelle non nulle. Cette forme est centrée à l’origine, avec les asymptotes étant les axes de coordonnées : $x = 0$ et $y = 0$. > **À retenir** : L’hyperbole rectangulaire de forme $xy = c^2$ a pour asymptotes les axes $x=0$ et $y=0$, et son centre est à l’origine $(0,0)$. ### Propriétés - Symétrie par rapport à l’origine : si $(x, y)$ est sur la courbe, alors $(-x, -y)$ l’est aussi. - Symétrie par rapport à la droite $y = x$ et $y = -x$. - Les branches se trouvent dans les premiers et troisièmes quadrants si $c^2 > 0$, et dans les seconds et quatrièmes si $c^2 < 0$ (mais on considère généralement $c^2 > 0$). - Pas de points d’intersection avec les axes (la courbe ne touche jamais $x=0$ ou $y=0$). - La distance du centre à tout point sur la courbe varie, mais le produit des coordonnées est constant. ### Exemple résolu : Tracer $xy = 4$ 1. Identifier $c^2 = 4 \Rightarrow c = 2$ (on prend la racine positive pour la forme standard). 2. Asymptotes : $x=0$ et $y=0$. 3. Points clés : - Quand $x=1$, $y=4$ → $(1,4)$ - Quand $x=2$, $y=2$ → $(2,2)$ - Quand $x=4$, $y=1$ → $(4,1)$ - Quand $x=-1$, $y=-4$ → $(-1,-4)$ - Quand $x=-2$, $y=-2$ → $(-2,-2)$ - Quand $x=-4$, $y=-1$ → $(-4,-1)$ 4. Tracer les points dans les quadrants I et III, en s’approchant des asymptotes sans les toucher. 5. La courbe est composée de deux branches disjointes, symétriques par rapport à l’origine. ### Exercice d’application corrigé **Exercice** : Tracer l’hyperbole rectangulaire donnée par $xy = 9$. Indiquer les asymptotes, le centre, et deux points sur chaque branche. **Solution** : - $c^2 = 9 \Rightarrow c = 3$ - Asymptotes : $x=0$, $y=0$ - Centre : $(0,0)$ - Branche I (x>0, y>0) : - $x=1 \Rightarrow y=9$ → $(1,9)$ - $x=3 \Rightarrow y=3$ → $(3,3)$ - $x=9 \Rightarrow y=1$ → $(9,1)$ - Branche III (x<0, y<0) : - $x=-1 \Rightarrow y=-9$ → $(-1,-9)$ - $x=-3 \Rightarrow y=-3$ → $(-3,-3)$ - $x=-9 \Rightarrow y=-1$ → $(-9,-1)$ Le tracé montre deux branches symétriques par rapport à l’origine, approchant les axes sans les toucher. --- ## II. Lines pairs and Asymptotes as lines pairs ### Définition Une paire de droites est représentée par une équation du second degré homogène en $x$ et $y$ : $$ ax^2 + 2hxy + by^2 = 0 $$ Cette équation représente deux droites passant par l’origine si et seulement si le discriminant $h^2 - ab \geq 0$. Les asymptotes d’une hyperbole centrée à l’origine forment toujours une paire de droites passant par l’origine, donc leur équation est de cette forme. ### Propriétés - Si $h^2 - ab > 0$ : deux droites distinctes réelles. - Si $h^2 - ab = 0$ : deux droites coincidentes (droite double). - Si $h^2 - ab < 0$ : pas de droites réelles (seulement l’origine comme point réel). - L’angle $\theta$ entre les deux droites est donné par : $$ \tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right| $$ (valable quand $a+b \neq 0$). > **À retenir** : L’équation $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ représente une paire de droites passant par l’origine si et seulement si $h^2 - ab \geq 0$. L’angle entre elles est donné par $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$. ### Exemple résolu : Trouver l’angle entre les asymptotes de $x^2 - y^2 = 4$ 1. Réécrire sous forme standard : $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$ → hyperbole centrée à l’origine, axe transverse sur $x$-axe. 2. Les asymptotes sont obtenues en mettant le second membre à zéro : $$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0 $$ 3. Cette équation est de la forme $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ avec $a=1$, $h=0$, $b=-1$. 4. Vérifier : $h^2 - ab = 0 - (1)(-1) = 1 > 0$ → deux droites réelles distinctes. 5. Angle entre les droites : $$ \tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{0 - (1)(-1)}}{1 + (-1)} \right| = \left| \frac{2\sqrt{1}}{0} \right| \rightarrow \text{indéfini} $$ Comme le dénominateur est nul, $\theta = 90^\circ$. En effet, $x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow (x-y)(x+y)=0$ → droites $y=x$ et $y=-x$, qui sont perpendiculaires. 6. Donc, les asymptotes sont perpendiculaires → c’est une hyperbole rectangulaire. ### Exercice d’application corrigé **Exercice** : Trouver l’angle entre les asymptotes de l’hyperbole $9x^2 - 16y^2 = 144$. **Solution** : 1. Mettre sous forme standard : $$ \frac{9x^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 $$ → $a^2=16$, $b^2=9$ 2. Asymptotes : $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 0 \Rightarrow 9x^2 - 16y^2 = 0$ 3. Équation de la paire de droites : $9x^2 + 2(0)xy - 16y^2 = 0$ → $a=9$, $h=0$, $b=-16$ 4. $h^2 - ab = 0 - (9)(-16) = 144 > 0$ 5. $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{144}}{9 + (-16)} \right| = \left| \frac{2 \cdot 12}{-7} \right| = \frac{24}{7}$ 6. $\theta = \arctan\left(\frac{24}{7}\right) \approx 73.74^\circ$ (On peut aussi noter que les droites sont $y = \pm \frac{3}{4}x$, donc l’angle entre elles est $2 \arctan(3/4) \approx 73.74^\circ$) --- ## III. Introduction to Conic Sections ### Définition Les sections coniques sont les courbes obtenues par l’intersection d’un cône droit circulaire avec un plan. Selon l’angle du plan par rapport à l’axe du cône, on obtient : - Cercle : plan perpendiculaire à l’axe - Ellipse : plan incliné, coupant une seule nappe - Parabole : plan parallèle à une génératrice du cône