1. Mathematical Reasoning and Proofs

# 1. Mathematical Reasoning and Proofs ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à développer la capacité de raisonnement logique et de construction de preuves rigoureuses en mathématiques. Il introduit les outils fondamentaux du langage logique, des quantificateurs, des formes logiques liées aux implications, et des méthodes de preuve essentielles pour valider des énoncés mathématiques. À l’issue de ce chapitre, l’étudiant sera capable de : - Identifier et manipuler des propositions logiques et leurs équivalences. - Négocier correctement des énoncés avec des quantificateurs universels et existentiels. - Distinguer une implication de son réciproque, inverse et contraposé, et comprendre leurs relations de vérité. - Construire des preuves directes, indirectes, par contradiction, par tautologie et par récurrence. - Appliquer ces méthodes à des problèmes concrets en algèbre, théorie des nombres et théorie des ensembles. **Prérequis** : Maîtrise de l’algèbre de base (équations, inégalités, fonctions), notions élémentaires de théorie des ensembles (union, intersection, complémentaire, sous-ensemble), et familiarité avec la notation mathématique standard. --- ## I. Logical equivalence ### Définition Deux propositions logiques $P$ et $Q$ sont dites **logiquement équivalentes** si elles ont la même valeur de vérité pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité de leurs variables propositionnelles. On note cela $P \equiv Q$. > **À retenir** : $P \equiv Q$ si et seulement si le biconditionnel $P \leftrightarrow Q$ est une tautologie. ### Propriétés fondamentales L’équivalence logique satisfait les propriétés suivantes (vérifiables par tables de vérité) : - Réflexive : $P \equiv P$ - Symétrique : si $P \equiv Q$ alors $Q \equiv P$ - Transitif : si $P \equiv Q$ et $Q \equiv R$ alors $P \equiv R$ - Distributive par rapport aux connectifs : par exemple, $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$ ### Lois d’équivalence importantes | Loi | Énoncé | |-----|--------| | Loi de double négation | $\neg(\neg P) \equiv P$ | | Lois de De Morgan | $\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$<br>$\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$ | | Loi d’idempotence | $P \land P \equiv P$<br>$P \lor P \equiv P$ | | Lois d’absorption | $P \land (P \lor Q) \equiv P$<br>$P \lor (P \land Q) \equiv P$ | | Loi de commutativité | $P \land Q \equiv Q \land P$<br>$P \lor Q \equiv Q \lor P$ | | Loi d’associativité | $(P \land Q) \land R \equiv P \land (Q \land R)$<br>$(P \lor Q) \lor R \equiv P \lor (Q \lor R)$ | | Loi de distributivité | $P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$<br>$P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$ | | Loi d’implique | $P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$ | | Loi de contraposée | $P \rightarrow Q \equiv \neg Q \rightarrow \neg P$ | ### Exemple résolu : Vérifier l’équivalence logique **Montrer que** $\neg(P \rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$. **Solution** : On utilise la loi d’implique : $P \rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$. Alors : $$ \neg(P \rightarrow Q) \equiv \neg(\neg P \lor Q) $$ Par la loi de De Morgan : $$ \neg(\neg P \lor Q) \equiv \neg(\neg P) \land \neg Q $$ Par la loi de double négation : $$ \neg(\neg P) \land \neg Q \equiv P \land \neg Q $$ Donc : $$ \neg(P \rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q $$ **Conclusion** : L’équivalence est vérifiée. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Montrer que $(P \lor Q) \rightarrow R \equiv (P \rightarrow R) \land (Q \rightarrow R)$. **Solution** : Partons de la gauche : $$ (P \lor Q) \rightarrow R \equiv \neg(P \lor Q) \lor R \quad \text{(loi d’implique)} $$ $$ \equiv (\neg P \land \neg Q) \lor R \quad \text{(De Morgan)} $$ Distribuons $R$ sur la conjonction : $$ \equiv (\neg P \lor R) \land (\neg Q \lor R) \quad \text{(distributivité)} $$ Mais $\neg P \lor R \equiv P \rightarrow R$ et $\neg Q \lor R \equiv Q \rightarrow R$, donc : $$ \equiv (P \rightarrow R) \land (Q \rightarrow R) $$ **Q.E.D.** **Exercice 2** : Simplifier l’expression logique $\neg[(P \land Q) \lor (\neg P \land R)]$ en utilisant les lois d’équivalence. **Solution** : Appliquons la loi de De Morgan : $$ \neg[(P \land Q) \lor (\neg P \land R)] \equiv \neg(P \land Q) \land \neg(\neg P \land R) $$ Appliquons de nouveau De Morgan sur chaque terme : $$ \equiv (\neg P \lor \neg Q) \land (\neg(\neg P) \lor \neg R) $$ Simplifions $\neg(\neg P)$ par double négation : $$ \equiv (\neg P \lor \neg Q) \land (P \lor \neg R) $$ C’est la forme simplifiée. On peut aussi la laisser ainsi ou vérifier qu’elle est équivalente à $(\neg P \land P) \lor (\neg P \land \neg R) \lor (\neg Q \land P) \lor (\neg Q \land \neg R)$, mais le premier terme $\neg P \land P$ est une contradiction, donc : $$ \equiv \text{Faux} \lor (\neg P \land \neg R) \lor (\neg Q \land P) \lor (\neg Q \land \neg R) \equiv (\neg P \land \neg R) \lor (\neg Q \land P) \lor (\neg Q \land \neg R) $$ Mais la forme $(\neg P \lor \neg Q) \land (P \lor \neg R)$ est généralement préférée comme forme normale conjonctive. --- ## II. Negation and contrapositive ### Définition de la négation La **négation** d’une proposition $P$, notée $\neg P$, est vraie lorsque $P$ est fausse, et fausse lorsque $P$ est vraie. > **À retenir** : La négation d’une implication $P \rightarrow Q$ n’est pas $\neg P \rightarrow \neg Q$, mais $P \land \neg Q$. ### Négation des quantificateurs - La négation de $\forall x, P(x)$ est $\exists x, \neg P(x)$ - La négation de $\exists x, P(x)$ est $\forall x, \neg P(x)$ > **À retenir** : $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$ ### Contraposé d’une implication Donnée une implication $P \rightarrow Q$, son **contraposé** est $\neg Q \rightarrow \neg P$. > **À retenir** : Une implication est logiquement équivalente à son contraposé : $P \rightarrow Q \equiv \neg Q \rightarrow \neg P$ ### Inverse et réciproque - L’**inverse** de $P \rightarrow Q$ est $\neg P \rightarrow \neg Q$ - La **réciproque** de $P \rightarrow Q$ est $Q \rightarrow P$ > **À retenir** : L’inverse et la réciproque sont logiquement équivalents entre eux : $\neg P \rightarrow \neg Q \equiv Q \rightarrow P$, mais aucun n’est équivalent à l’implication originale. ### Tableau de vérité comparatif | $P$ | $Q$ | $P \rightarrow Q$ | $\neg Q \rightarrow \neg P$ (contraposé) | $\neg P \rightarrow \neg Q$ (inverse) | $Q \rightarrow P$ (réciproque) | |-----|-----|-------------------|----------------------------------------|-------------------------------------|-----------------------------| | V | V | V | V | V | V | | V | F | F | F | V | F | | F | V | V | V | F | V | | F | F | V | V | V | V | On voit que $P \rightarrow Q$ et $\neg Q \rightarrow \neg P$ ont les mêmes valeurs de vérité : ils sont équivalents. L’inverse et la réciproque ont les mêmes valeurs de vérité : ils sont équivalents entre eux, mais différents de l’implication originale. ### Exemple résolu : Négation et contraposé **Énoncé** : Soit $P$ : “Tous les nombres premiers sont impairs.” Écrire la négation de $P$ et son contraposé (en reformulant l’énoncé sous forme d’implication). **Solution** : Reformulons $P$ sous forme d’implication : $P$ : “Si un nombre est premier, alors il est impair.” Donc : $P \rightarrow Q$ où : - $P(x)$ : “$x$ est premier” - $Q(x)$ : “$x$ est impair” Alors : - L’implication originale : $\forall x, (P(x) \rightarrow Q(x))$ - Sa négation : $\neg[\forall x, (P(x) \rightarrow Q(x))] \equiv \exists x, \neg(P(x) \rightarrow Q(x))$ Mais $\neg(P \rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$, donc : $\equiv \exists x, (P(x) \land \neg Q(x))$ C’est-à-dire : “Il existe un nombre premier qui n’est pas impair.” En d’autres termes : “2 est un nombre premier et pair.” → Vrai, donc la négation est vraie. - Le contraposé de l’implication interne : $\neg Q(x) \rightarrow \neg P(x)$ C’est-à-dire : “Si un nombre n’est pas impair (donc pair), alors il n’est pas premier.” Mais ceci est faux : 2 est pair et premier → contre-exemple. Attendez ! Cela semble contredire l’équivalence. Erreur : le contraposé s’applique à l’implication propositionnelle, pas quantifiée directement. En fait, pour une implication quantifiée $\forall x, (P(x) \rightarrow Q(x))$, son contraposé est $\forall x, (\neg Q(x) \rightarrow \neg P(x))$. Ici : $\forall x, (\neg Q(x) \rightarrow \neg P(x))$ = “Si un nombre n’est pas impair, alors il n’est pas premier.” Mais 2 est pair ($\neg Q(2)$ vrai) et premier ($P(2)$ vrai, donc $\neg P(2)$ faux) → l’implication $\neg Q(2) \rightarrow \neg P(2)$ est Faux → Vrai = Faux. Donc l’énoncé universel est faux. Mais l’original $\forall x, (P(x) \rightarrow Q(x))$ est aussi faux (à cause de 2). Donc ils sont équivalents : tous deux faux. Bonne nouvelle : l’équivalence tient. > **À retenir** : Lors de la négation d’une proposition quantifiée, le quantificateur change de type ($\forall$ devient $\exists$ et vice versa), et la prédicat intérieur est négaté. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Écrire la négation de l’énoncé suivant : “Pour tout réel $x$, si $x^2 \geq 0$, alors $x$ est réel.” (Note : cet énoncé est toujours vrai, mais on veut sa négation logique.) **Solution** : Reformulons : $\forall x \in \mathbb{R}, (x^2 \geq 0 \rightarrow x \in \mathbb{R})$ Mais $x \in \mathbb{R}$ est toujours vrai pour $x \in \mathbb{R}$, donc l’implication est toujours vraie (puisque la conclusion est toujours vraie). Négation : $\neg[\forall x \in \mathbb{R}, (x^2 \geq 0 \rightarrow x \in \mathbb{R})] \equiv \exists x \in \mathbb{R}, \neg(x^2 \geq 0 \rightarrow x \in \mathbb{R})$ Mais $\neg(A \rightarrow B) \equiv A \land \neg B$, donc : $\equiv \exists x \in \mathbb{R}, (x^2 \geq 0 \land x \notin \mathbb{R})$ Mais si $x \in \mathbb{R}$, alors $x \notin \mathbb{R}$ est faux. Donc l’existence est impossible. Donc la négation est fausse — ce qui est cohérent puisque l’original est vrai. **Exercice 2** : Soit l’énoncé : “Si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle.” (a) Écrire son contraposé. (b) Écrire son inverse. (c) Écrire sa réciproque. (d) Lequel de ces énoncés est logiquement équivalent à l’original ? **Solution** : Soit $P$ : “le triangle est équilatéral” $Q$ : “le triangle est isocèle” (a) Contraposé : $\neg Q \rightarrow \neg P$ : “Si un triangle n’est pas isocèle, alors il n’est pas équilatéral.” (Vrai : un triangle qui n’est pas isocèle a tous les côtés différents, donc ne peut pas être équilatéral.) (b) Inverse : $\neg P \rightarrow \neg Q$ : “Si un triangle n’est pas équilatéral, alors il n’est pas isocèle.” (Faux : un triangle isocèle non équilatéral existe — ex : côtés 5,5,6.) (c) Réciproque : $Q \rightarrow P$ : “Si un triangle est isocèle, alors il est équilatéral.” (Faux : même contre-exemple ci-dessus.) (d) Seul le contraposé est logiquement équivalent à l’original. L’inverse et la réciproque sont équivalents entre eux, mais pas à l’original. --- ## III. Universal and Existential quantifiers ### Définition - Le **quantificateur universel** $\forall x$ se lit : “pour tout $x$”, “pour tout $x$ dans un domaine donné”. - Le **quantificateur existentiel** $\exists x$ se lit : “il existe un $x$ tel que”, “il y a au moins un $x$ tel que”. > **À retenir** : $\forall x, P(x)$ signifie que $P(x)$ est vraie pour **chaque** élément $x$ du domaine. > $\exists x, P(x)$ signifie que $P(x)$ est vraie pour **au moins un** élément $x$ du domaine. ### Négation des quantificateurs (rappel) > **À retenir** : > $\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$ > $\neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$ ### Ordre des quantificateurs L’ordre des quantificateurs **matériellement** change le sens de l’énoncé. **Exemple** : - $\forall x \exists y, P(x,y)$ : “Pour tout $x$, il existe un $y$ (qui peut dépendre de $x$) tel que $P(x,y)$.” - $\exists y \forall x, P(x,y)$ : “Il existe un $y$ unique tel que pour tout $x$, $P(x,y)$ soit vrai.” Ces deux énoncés ne sont **pas** équivalents en général. **Exemple concret** : Soit $P(x,y)$ : “$y$ est le père de $x$” (dans un ensemble de personnes). - $\forall x \exists y, P(x,y)$ : “Tout le monde a un père.” → Vrai (en supposant que l’on exclut Adam/Ève ou on considère l’adoption). - $\exists y \forall x, P(x,y)$ : “Il existe une personne qui est le père de tout le monde.” → Faux. ### Exemple résolu : Traduire et nier des énoncés quantifiés **Énoncé** : “Tout étudiant qui étudie les mathématiques passe l’examen.” Soit le domaine : l’ensemble des étudiants. Définissons : - $S(x)$ : “$x$ est un étudiant” - $M(x)$ : “$x$ étudie les mathématiques” - $P(x)$ : “$x$ passe l’examen” L’énoncé signifie : Pour tout $x$, si $x$ est un étudiant et $x$ étudie les mathématiques, alors $x$ passe l’examen. Donc : $\forall x, [(S(x) \land M(x)) \rightarrow P(x)]$ **Négation** : $\neg[\forall x, ((S(x) \land M(x)) \rightarrow P(x))] \equiv \exists x, \neg[(S(x) \land M(x)) \rightarrow P(x)]$ Mais $\neg(A \rightarrow B) \equiv A \land \neg B$, donc : $\equiv \exists x, [(S(x) \land M(x)) \land \neg P(x)]$ C’est-à-dire : “Il existe un étudiant qui étudie les mathématiques et qui ne passe pas l’examen.” ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Traduire en logique des prédicats : “Il existe un nombre réel dont le carré est négatif.” **Solution** : Domaine : $\mathbb{R}$ Soit $P(x)$ : “$x^2 < 0$” Alors : $\exists x \in \mathbb{R}, (x^2 < 0)$ Mais on sait que pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$, donc cet énoncé est **faux**. **Exercice 2** : Nier l’énoncé : “Pour tout entier $n$, si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair.” **Solution** : Énoncé original : $\forall n \in \mathbb{Z}, (n \text{ pair} \rightarrow n^2 \text{ pair})$ Soit $E(n)$ : “$n$ est pair” Alors : $\forall n \in \mathbb{Z}, (E(n) \rightarrow E(n^2))$ Négation : $\neg[\forall n \in \mathbb{Z}, (E(n) \rightarrow E(n^2))] \equiv \exists n \in \mathbb{Z}, \neg(E(n) \rightarrow E(n^2))$ $\equiv \exists n \in \mathbb{Z}, (E(n) \land \neg E(n^2))$ C’est-à-dire : “Il existe un entier pair dont le carré est impair.” Mais on sait que si $n$ est pair, $n=2k$, alors $n^2=4k^2$, qui est pair. Donc cet énoncé est **faux** — ce qui est cohérent puisque l’original est vrai. **Exercice 3** : Montrer que $\forall x \exists y, (x < y)$ est vrai sur $\mathbb{R}$, mais $\exists y \forall x, (x < y)$ est faux. **Solution** : - $\forall x \exists y, (x < y)$ : Pour tout réel $x$, prendre $y = x + 1$. Alors $x < x+1$ → vrai. Donc l’énoncé est vrai. - $\exists y \forall x, (x < y)$ : Cela voudrait dire qu’il existe un réel $y$ tel que tout réel $x$ soit strictement inférieur à $y$. Mais les réels ne sont pas bornés supérieurement. Pour tout $y$ proposé, prendre $x = y + 1$, alors $x > y$ → contradiction. Donc l’énoncé est faux. --- ## IV. Inverse ### Définition Donnée une implication conditionnelle $P \rightarrow Q$, son **inverse** est la proposition $\neg P \rightarrow \neg Q$. > **À retenir** : L’inverse d’une implication n’est **pas** logiquement équivalent à l’implication originale. ### Relation avec la réciproque L’inverse de $P \rightarrow Q$ est $\neg P \rightarrow \neg Q$. La réciproque de $P \rightarrow Q$ est $Q \rightarrow P$. On peut montrer que : $\neg P \rightarrow \neg Q \equiv Q \rightarrow P$ Donc : **L’inverse et la réciproque sont logiquement équivalents.** > **À retenir** : L’inverse et la réciproque d’une implication sont logiquement équivalents entre eux. ### Preuve de l’équivalence : $\neg P \rightarrow \neg Q \equiv Q \rightarrow P$ Partons de la gauche : $\neg P \rightarrow \neg Q \equiv \neg(\neg P) \lor \neg Q$ (loi d’implique) $\equiv P \lor \neg Q$ (double négation) $\equiv \neg Q \lor P$ (commutativité) $\equiv Q \rightarrow P$ (loi d’implique en sens inverse) Donc l’équivalence est démontrée. ### Exemple résolu : Inverse d’un théorème **Théorème** : Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 2 et par 3. Soit $P$ : “$n$ est divisible par 6” $Q$ : “$n$ est divisible par 2 et par 3” L’implication originale : $P \rightarrow Q$ Son inverse : $\neg P \rightarrow \neg Q$ : “Si un nombre n’est pas divisible par 6, alors il n’est pas divisible par 2 **ou** il n’est pas divisible par 3.” Attention : $\neg Q$ = “non(divisible par 2 ET divisible par 3)” = “non divisible par 2 OU non divisible par 3” (par De Morgan). Est-ce que l’inverse est vrai ? Prenons $n=2$ : divisible par 2, pas par 3 → donc pas divisible par 6 ($\neg P$ vrai). Mais $n=2$ est divisible par 2 → donc il est faux de dire qu’il n’est pas divisible par 2 **ou** pas divisible par 3 ? En fait : il est divisible par 2 → donc $\neg$(divisible par 2) est faux. Il n’est pas divisible par 3 → donc $\neg$(divisible par 3) est vrai. Donc $\neg Q$ = faux OU vrai = vrai. Donc l’implication $\neg P \rightarrow \neg Q$ : vrai → vrai = vrai. Prenons $n=4$ : divisible par 2, pas par 3 → pas divisible par 6 → $\neg P$ vrai. $\neg Q$ : pas divisible par 2 ? faux. Pas divisible par 3 ? vrai. → $\neg Q$ = vrai. Donc vrai → vrai = vrai. Prenons $n=9$ : pas divisible par 2 → pas divisible par 6 → $\neg P$ vrai. $\neg Q$ : pas divisible par 2 ? vrai. Pas divisible par 3 ? faux (puisque 9 divisible par 3). → $\neg Q$ = vrai OU faux = vrai. Donc vrai → vrai = vrai. Prenons $n=3$ : pareil que 9. Prenons $n=8$ : divisible par 2, pas par 3 → pas divisible par 6 → $\neg P$ vrai. $\neg Q$ : pas div par 2 ? faux. Pas div par 3 ? vrai. → $\neg Q$ = vrai. Vrai → vrai = vrai. Prenons $n=1$ : pas divisible par 2 ni par 3 → pas divisible par 6 → $\neg P$ vrai. $\neg Q$ : pas div par 2 ? vrai. Pas div par 3 ? vrai. → $\neg Q$ = vrai. Vrai → vrai = vrai. Prenons $n=12$ : divisible par 6 → $P$ vrai → $\neg P$ faux → l’implication $\neg P \rightarrow \neg Q$ est vraie (faux → quoi que ce soit est vrai). Donc dans tous les cas testés, l’inverse est vrai ? Mais attendez : est-ce que l’inverse est toujours vrai quand l’original est vrai ? Non ! L’équivalence logique entre l’inverse et l’original n’existe pas. Mais dans cet exemple précis, l’inverse semble vrai. Pourquoi ? Parce que l’énoncé original est une caractérisation : la divisibilité par 6 est équivalente à la divisibilité par 2 ET 3. Donc en fait : $P \leftrightarrow Q$ est vrai. Si $P \leftrightarrow Q$, alors : - $P \rightarrow Q$ est vrai - $Q \rightarrow P$ est vrai (réciproque) - $\neg P \rightarrow \neg Q$ est vrai (inverse, car équivalent à la réciproque) - $\neg Q \rightarrow \neg P$ est vrai (contraposé) Donc quand l’énoncé est une biconditionnelle vraie, toutes les formes sont vraies. Mais en général, ce n’est pas le cas. Prenons un contre-exemple où l’original est vrai mais l’inverse est faux : **Théorème** : Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair. $P$ : divisible par 4 $Q$ : pair Original : $P \rightarrow Q$ : vrai (puisque tout multiple de 4 est pair). Inverse : $\neg P \rightarrow \neg Q$ : “Si un nombre n’est pas divisible par 4, alors il est impair.” Prenons $n=2$ : pas divisible par 4 ($\neg P$ vrai), mais pair ($\neg Q$ faux). Donc l’implication : vrai → faux = **faux**. Donc l’inverse est faux, alors que l’original est vrai. Donc l’inverse n’est pas équivalent à l’original. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Soit l’énoncé : “Si un triangle est rectangle, alors il satisfait le théorème de Pythagore : $a^2 + b^2 = c^2$.” (a) Écrire l’inverse. (b) L’inverse est-il vrai ? Justifier. **Solution** : Soit $P$ : “le triangle est rectangle” $Q$ : “$a^2 + b^2 = c^2$” (a) Inverse : $\neg P \rightarrow \neg Q$ : “Si un triangle n’est pas rectangle, alors il ne satisfait pas $a^2 + b^2 = c^2$.” (b) Cet énoncé est **faux**. Contre-exemple : un triangle équilatéral de côté 1. Alors $a=b=c=1$, donc $a^2 + b^2 = 1+1=2$, $c^2=1$ → $2 \neq 1$, donc il ne satisfait pas le théorème de Pythagore. Mais il n’est pas rectangle (tous les angles sont 60°). Donc $\neg P$ vrai, $\neg Q$ vrai → l’implication vrai → vrai = vrai. Attendez, ça donne vrai. Cherchons un triangle non rectangle qui **satisfait** quand même $a^2 + b^2 = c^2$. Mais si $a^2 + b^2 = c^2$, alors par le théorème de Pythagore réciproque, le triangle est rectangle. Donc : si $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est nécessairement rectangle. Donc $\neg Q$ implique $\neg P$ : c’est le contraposé de l’original. Mais l’inverse est $\neg P \rightarrow \neg Q$. On sait que $Q \rightarrow P$ est vrai (réciproque du théorème de Pythagore). Et l’inverse $\neg P \rightarrow \neg Q$ est équivalent à $Q \rightarrow P$ (comme montré précédemment). Donc l’inverse est logiquement équivalent à la réciproque de l’original. Et la réciproque de “si rectangle alors $a^2+b^2=c^2$” est “si $a^2+b^2=c^2$ alors rectangle”, qui est vraie (théorème de Pythagore réciproque). Donc l’inverse est **vrai** ! Erreur précédente : je pensais que l’inverse était faux, mais non. Puisque l’original et sa réciproque sont tous deux vrais (théorème de Pythagore et son réciproque), alors l’énoncé est une biconditionnelle vraie. Donc toutes les formes (originale, contraposée, inverse, réciproque) sont vraies. Donc dans ce cas précis, l’inverse est vrai. Pour avoir un inverse faux, il faut que l’original soit vrai mais la réciproque fausse. Reprenons l’exemple précédent : “Si un nombre est divisible par 4, alors il est pair.” Original : vrai Réciproque : “Si un nombre est pair, alors il est divisible par 4” → faux (ex: 2) Donc l’inverse, équivalent à la réciproque, est faux. Donc pour l’exercice, choisissons un autre exemple. **Nouvel exercice** : Soit l’énoncé : “Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 3.” (a) Écrire l’inverse. (b) L’inverse est-il vrai ? **Solution** : $P$ : divisible par 6 $Q$ : divisible par 3 Original : $P \rightarrow Q$ : vrai (puisque 6=2×3, donc tout multiple de 6 est multiple de 3) Inverse : $\neg P \rightarrow \neg Q$ : “Si un nombre n’est pas divisible par 6, alors il n’est pas divisible par 3.” Contre-exemple : $n=3$ - Divisible par 3 ? Oui → donc $\neg Q$ = faux - Divisible par 6 ? 3/6=0.5 → non → donc $\neg P$ = vrai Donc l’implication : $\neg P$ vrai → $\neg Q$ faux = **faux** Donc l’inverse est **faux**. Et la réciproque : $Q \rightarrow P$ : “Si divisible par 3 alors divisible par 6” → faux (même contre-exemple: 3) Et l’inverse est équivalent à la réciproque → donc faux, cohérent. --- ## V. Relationship between a theorem and it’s converse ### Définition Donnée une implication $P \rightarrow Q$ qui constitue un théorème, sa **réciproque** est l’implication $Q \rightarrow P$. > **À retenir** : La vérité d’un théorème n’implique **pas** la vérité de sa réciproque. Chacun doit être démontré indépendamment. ### Cas particuliers - Si $P \rightarrow Q$ et $Q \rightarrow P$ sont tous deux vrais, alors $P \leftrightarrow Q$ est vrai : on dit que $P$ et $Q$ sont **équivalents**. - Si seul $P \rightarrow Q$ est vrai, alors $P$ est une **condition suffisante** pour $Q$, et $Q$ est une **condition nécessaire** pour $P$. - Si seul $Q \rightarrow P$ est vrai, alors $Q$ est une **condition suffisante** pour $P$, et $P$ est une **condition nécessaire** pour $Q$. ### Exemple résolu : Théorème et réciproque en géométrie **Théorème** : Dans un triangle, si deux côtés sont égaux, alors les angles opposés à ces côtés sont égaux. (Théorème des angles de base dans un triangle isocèle) Soit $P$ : “deux côtés du triangle sont égaux” $Q$ : “les angles opposés à ces côtés sont égaux” - Théorème original : $P \rightarrow Q$ : vrai (démontré par congruence des triangles) - Réciproque : $Q \rightarrow P$ : “Si deux angles d’un triangle sont égaux, alors les côtés opposés sont égaux.” Ceci est aussi vrai (théorème réciproque, démontré par congruence ASA ou AAS). Donc ici, théorème et réciproque sont tous deux vrais → $P \leftrightarrow Q$ : le triangle est isocèle si et seulement si deux angles sont égaux. **Contre-exemple où la réciproque est fausse** : **Théorème** : Si un quadrilatère est un carré, alors il est un rectangle. $P$ : “est un carré” $Q$ : “est un rectangle” - Original : $P \rightarrow Q$ : vrai (tout carré est un rectangle) - Réciproque : $Q \rightarrow P$ : “Si un quadrilatère est un rectangle, alors il est un carré.” Ceci est **faux** : un rectangle qui n’est pas un carré (ex: longueur 4, largeur 2) est un contre-exemple. Donc la réciproque est fausse, même si l’original est vrai. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Énoncer le théorème suivant et sa réciproque, puis déterminer laquelle est vraie : “Si un nombre est divisible par 10, alors il se termine par le chiffre 0.” **Solution** : Soit $P$ : “le nombre est divisible par 10” $Q$ : “le nombre se termine par le chiffre 0” - Théorème original : $P \rightarrow Q$ : vrai (par la règle de divisibilité par 10) - Réciproque : $Q \rightarrow P$ : “Si un nombre se termine par 0, alors il est divisible par 10.” Ceci est aussi vrai : tout nombre ending in 0 est un multiple de 10. Donc les deux sont vrais → $P \leftrightarrow Q$ : un nombre se termine par 0 si et seulement s’il est divisible par 10. **Exercice 2** : Donnez un exemple de théorème en arithmétique dont la réciproque est fausse. **Solution** : Théorème : “Si un nombre est divisible par 9, alors la somme de ses chiffres est divisible par 9.” - Original : vrai (règle de divisibilité par 9) - Réciproque : “Si la somme des chiffres d’un nombre est divisible par 9, alors le nombre est divisible par 9.” Ceci est aussi vrai ! En fait, c’est une caractérisation. Essayons autre chose. Théorème : “Si un nombre est pair, alors il est divisible par 2.” - Original : vrai (définition du pair) - Réciproque : “Si un nombre est divisible par 2, alors il est pair.” Ceci est vrai aussi — définition. Il faut un théorème où la condition n’est pas nécessaire. Théorème : “Si un nombre est divisible par 12, alors il est divisible par 4 et par 3.” - Original : vrai (puisque 12=3×4) - Réciproque : “Si un nombre est divisible par 4 et par 3, alors il est divisible par 12.” Ceci est vrai si 4 et 3 sont premiers entre eux (pgcd(4,3)=1) → alors oui, divisible par lcm(4,3)=12. Donc encore vrai. Il faut que les conditions ne soient pas indépendantes ou que le réciproque faille à cause de facteurs communs. Théorème : “Si un nombre est divisible par 8, alors il est divisible par 4.” - Original : vrai (8=2×4) - Réciproque : “Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 8.” Ceci est **faux** : contre-exemple : 4, 12, 20, etc. 4 est divisible par 4, mais pas par 8. Donc : Théorème : “Si un nombre est divisible par 8, alors il est divisible par 4.” Original : vrai Réciproque : faux Donc la réciproque n’est pas vraie même si l’original l’est. ---