2. Further Partial Fractions

# 2. Further Partial Fractions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à approfondir la technique de décomposition en fractions partielles, essentielle pour l'intégration, la résolution d'équations différentielles et l'analyse de fonctions rationnelles. À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Décomposer toute fonction rationnelle propre en somme de fractions partielles simples, quel que soit le dénominateur (facteurs linéaires simples ou répétés, facteurs quadratiques irréductibles, combinaisons mixtes). - Appliquer cette décomposition à l'intégration de fonctions rationnelles et à la résolution de problèmes liés aux séries de puissances ou aux transformées de Laplace (niveau introductif). - Identifier et traiter correctement les cas particuliers : facteurs répétés, facteurs quadratiques irréductibles, dénominateurs mixtes. - Éviter les erreurs courantes (oublis de termes, mauvais choix de forme, erreurs d'algèbre). **Prérequis** : Maîtrise de l'algèbre de base (factorisation, développement, résolution d'équations linéaires), notion de fonction rationnelle, décomposition en fractions partielles de base (facteurs linéaires distincts), intégration de fonctions simples (∫ dx/x, ∫ dx/(x²+a²)). --- ## I. Review of basic Partial Fractions ### Définition Une fonction rationnelle est une fonction de la forme $ R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $, où $ P(x) $ et $ Q(x) $ sont des polynômes à coefficients réels, et $ Q(x) \not\equiv 0 $. Si $ \deg(P) < \deg(Q) $, on dit que $ R(x) $ est **propre** ; sinon, elle est **impropre** et nécessite une division polynomiale préalable. > **> À retenir : Toute fonction rationnelle propre peut être exprimée comme une somme de fractions partielles dont les dénominateurs sont les facteurs irréductibles de $ Q(x) $, chacun élevé à sa multiplicité dans la factorisation de $ Q(x) $.** ### Principe de base (facteurs linéaires distincts) Si $ Q(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n) $ avec $ a_i $ distincts, alors : $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x - a_1} + \frac{A_2}{x - a_2} + \cdots + \frac{A_n}{x - a_n} $$ où les constantes $ A_i $ sont déterminées par la méthode des coefficients indeterminés ou par la méthode de Heaviside (couverture). ### Exemple résolu 1 Décomposer $ \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} $. **Étape 1** : Écrire la forme générale : $$ \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{A(x+2) + B(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ A(x+2) + B(x-1) = 3x + 5 $$ $$ Ax + 2A + Bx - B = 3x + 5 $$ $$ (A + B)x + (2A - B) = 3x + 5 $$ **Étape 4** : Système d'équations : $$ \begin{cases} A + B = 3 \\ 2A - B = 5 \end{cases} $$ Ajouter les deux équations : $ 3A = 8 \Rightarrow A = \frac{8}{3} $, puis $ B = 3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} $. **Résultat** : $$ \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} = \frac{8/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} $$ ### Exercice d'application 1 (corrigé) Décomposer $ \frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} $. **Solution** : $$ \frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-4} $$ $$ A(x-4) + B(x+3) = 5x - 2 $$ $$ (A+B)x + (-4A + 3B) = 5x - 2 $$ $$ \begin{cases} A + B = 5 \\ -4A + 3B = -2 \end{cases} $$ Multiplier la première par 4 : $ 4A + 4B = 20 $, ajouter à la seconde : $ 7B = 18 \Rightarrow B = \frac{18}{7} $, puis $ A = 5 - \frac{18}{7} = \frac{17}{7} $. $$ \boxed{\frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} = \frac{17/7}{x+3} + \frac{18/7}{x-4}} $$ --- ## II. Partial Fractions with repeated linear factors ### Définition Lorsque $ Q(x) $ contient un facteur linéaire répété $ (x - a)^k $, la décomposition en fractions partielles doit inclure un terme pour chaque puissance de ce facteur, de $ 1 $ à $ k $. > **> À retenir : Pour un facteur linéaire répété $ (x - a)^k $, on écrit :** $$ \frac{P(x)}{(x-a)^k \cdot R(x)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k} + \text{termes pour } R(x) $$ où $ R(x) $ ne contient pas $ (x-a) $. ### Exemple résolu 2 Décomposer $ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x-1)^2(x+2)} $. **Étape 1** : Forme générale : $$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+2} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x-1)^2(x+2)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2 = 2x^2 + 3x + 1 $$ Développer : $$ A(x^2 + x - 2) + Bx + 2B + C(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 + 3x + 1 $$ $$ (A + C)x^2 + (A + B - 2C)x + (-2A + 2B + C) = 2x^2 + 3x + 1 $$ **Étape 4** : Système : $$ \begin{cases} A + C = 2 \\ A + B - 2C = 3 \\ -2A + 2B + C = 1 \end{cases} $$ Résoudre : De la première : $ C = 2 - A $ Substituer dans la seconde : $ A + B - 2(2 - A) = 3 \Rightarrow A + B - 4 + 2A = 3 \Rightarrow 3A + B = 7 $ Substituer dans la troisième : $ -2A + 2B + (2 - A) = 1 \Rightarrow -3A + 2B + 2 = 1 \Rightarrow -3A + 2B = -1 $ Résoudre le système : $ 3A + B = 7 $ $ -3A + 2B = -1 $ Ajouter : $ 3B = 6 \Rightarrow B = 2 $ Alors $ 3A + 2 = 7 \Rightarrow A = \frac{5}{3} $, puis $ C = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3} $ **Résultat** : $$ \frac{2x^2 + 3x + 1}{(x-1)^2(x+2)} = \frac{5/3}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1/3}{x+2} $$ ### Exercice d'application 2 (corrigé) Décomposer $ \frac{x^2 + 4}{(x-2)^3} $. **Solution** : $$ \frac{x^2 + 4}{(x-2)^3} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{(x-2)^3} $$ Multiplier par $ (x-2)^3 $ : $$ x^2 + 4 = A(x-2)^2 + B(x-2) + C $$ Développer : $$ x^2 + 4 = A(x^2 - 4x + 4) + Bx - 2B + C $$ $$ = Ax^2 + (-4A + B)x + (4A - 2B + C) $$ Égaler les coefficients : $$ \begin{cases} A = 1 \\ -4A + B = 0 \\ 4A - 2B + C = 4 \end{cases} $$ Donc $ A = 1 $, puis $ -4(1) + B = 0 \Rightarrow B = 4 $, puis $ 4(1) - 2(4) + C = 4 \Rightarrow 4 - 8 + C = 4 \Rightarrow C = 8 $ $$ \boxed{\frac{x^2 + 4}{(x-2)^3} = \frac{1}{x-2} + \frac{4}{(x-2)^2} + \frac{8}{(x-2)^3}} $$ --- ## III. Partial Fractions with irreducible quadratic factors ### Définition Un facteur quadratique $ ax^2 + bx + c $ est **irréductible** sur $ \mathbb{R} $ si son discriminant $ \Delta = b^2 - 4ac < 0 $. Dans ce cas, il ne peut pas être factorisé en facteurs linéaires réels. > **> À retenir : Pour un facteur quadratique irréductible $ ax^2 + bx + c $, on écrit un terme de la forme $ \frac{Bx + C}{ax^2 + bx + c} $ dans la décomposition en fractions partielles.** ### Exemple résolu 3 Décomposer $ \frac{3x + 4}{(x^2 + 1)(x-2)} $. **Étape 1** : Forme générale : $$ \frac{3x + 4}{(x^2 + 1)(x-2)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x-2} $$ **Étape 2** : Mettre au même dénominateur : $$ \frac{(Ax + B)(x-2) + C(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x-2)} = \frac{3x + 4}{(x^2 + 1)(x-2)} $$ **Étape 3** : Égaler les numérateurs : $$ (Ax + B)(x-2) + C(x^2 + 1) = 3x + 4 $$ $$ Ax^2 - 2Ax + Bx - 2B + Cx^2 + C = 3x + 4 $$ $$ (A + C)x^2 + (-2A + B)x + (-2B + C) = 3x + 4 $$ **Étape 4** : Système (pas de terme $ x^2 $ à gauche) : $$ \begin{cases} A + C = 0 \\ -2A + B = 3 \\ -2B + C = 4 \end{cases} $$ De la première : $ C = -A $ Substituer dans la troisième : $ -2B - A = 4 \Rightarrow A + 2B = -4 $ Deuxième équation : $ -2A + B = 3 $ Résoudre : Multiplier la deuxième par 2 : $ -4A + 2B = 6 $ Soustraire de $ A + 2B = -4 $ : $ (A + 2B) - (-4A + 2B) = -4 - 6 \Rightarrow 5A = -10 \Rightarrow A = -2 $ Alors $ C = 2 $, et $ -2(-2) + B = 3 \Rightarrow 4 + B = 3 \Rightarrow B = -1 $ **Résultat** : $$ \frac{3x + 4}{(x^2 + 1)(x-2)} = \frac{-2x - 1}{x^2 + 1} + \frac{2}{x-2} $$ ### Exercice d'application 3 (corrigé) Décomposer $ \frac{5x - 1}{(x^2 + 4)(x+1)} $. **Solution** : $$ \frac{5x - 1}{(x^2 + 4)(x+1)} = \frac{Ax + B}{x^2 + 4} + \frac{C}{x+1} $$ $$ (Ax + B)(x+1) + C(x^2 + 4) = 5x - 1 $$ $$ Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + 4C = 5x - 1 $$ $$ (A + C)x^2 + (A + B)x + (B + 4C) = 5x - 1 $$ $$ \begin{cases} A + C = 0 \\ A + B = 5 \\ B + 4C = -1 \end{cases} $$ De la première : $ C = -A $ Substituer dans la troisième : $ B - 4A = -1 $ Deuxième : $ A + B = 5 \Rightarrow B = 5 - A $ Alors : $ (5 - A) - 4A = -1 \Rightarrow 5 - 5A = -1 \Rightarrow -5A = -6 \Rightarrow A = \frac{6}{5} $ Puis $ B = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5} $, $ C = -\frac{6}{5} $ $$ \boxed{\frac{5x - 1}{(x^2 + 4)(x+1)} = \frac{\frac{6}{5}x + \frac{19}{5}}{x^2 + 4} - \frac{6/5}{x+1}} $$ --- ## IV. Mixed Factor Denominators ### Définition Un dénominateur mixte contient à la fois des facteurs linéaires (simples ou répétés) et des facteurs quadratiques irréductibles. La décomposition combine les règles des sections précédentes. > **> À retenir : Pour un dénominateur $ Q(x) = \prod (x - a_i)^{k_i} \cdot \prod (a_j x^2 + b_j x + c_j)^{m_j} $, la décomposition en fractions partielles est :** $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum \left( \frac{A_{i1}}{x-a_i} + \frac{A_{i2}}{(x-a_i)^2} + \cdots + \frac{A_{ik_i}}{(x-a_i)^{k_i}} \right) + \sum \left( \frac{B_{j1}x + C_{j1}}{a_j x^2 + b_j x + c_j} + \cdots + \frac{B_{jm_j}x + C_{jm_j}}{(a_j x^2 + b_j x + c_j)^{m_j}} \right) $$ ### Exemple résolu 4 Décomposer $ \frac{2x^3 + x^2 - 4x + 5}{(x-1)^2(x^2 + 4)} $. **Étape 1** : Forme générale : $$ \frac{2x^3 + x^2 - 4x + 5}{(x-1)^2(x^2 + 4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4} $$ **Étape 2** : Multiplier par le dénominateur : $$ 2x^3 + x^2 - 4x + 5 = A(x-1)(x^2 + 4) + B(x^2 + 4) + (Cx + D)(x-1)^2 $$ **Étape 3** : Développer chaque terme : - $ A(x-1)(x^2 + 4) = A(x^3 + 4x - x^2 - 4) = A x^3 - A x^2 + 4A x - 4A $ - $ B(x^2 + 4) = B x^2 + 4B $ - $ (Cx + D)(x-1)^2 = (Cx + D)(x^2 - 2x + 1) = Cx^3 - 2Cx^2 + Cx + Dx^2 - 2Dx + D = Cx^3 + (-2C + D)x^2 + (C - 2D)x + D $ Sommer : $$ x^3 : A + C \\ x^2 : -A + B - 2C + D \\ x^1 : 4A + C - 2D \\ x^0 : -4A + 4B + D $$ Égaler à $ 2x^3 + x^2 - 4x + 5 $ : $$ \begin{cases} A + C = 2 \\ -A + B - 2C + D = 1 \\ 4A + C - 2D = -4 \\ -4A + 4B + D = 5 \end{cases} $$ Résoudre : De la première : $ C = 2 - A $ Substituer dans la troisième : $ 4A + (2 - A) - 2D = -4 \Rightarrow 3A + 2 - 2D = -4 \Rightarrow 3A - 2D = -6 $ → (i) Substituer dans la seconde : $ -A + B - 2(2 - A) + D = 1 \Rightarrow -A + B - 4 + 2A + D = 1 \Rightarrow A + B + D = 5 $ → (ii) Substituer dans la quatrième : $ -4A + 4B + D = 5 $ → (iii) Soustraire (ii) de (iii) : $ (-4A + 4B + D) - (A + B + D) = 5 - 5 \Rightarrow -5A + 3B = 0 \Rightarrow 3B = 5A \Rightarrow B = \frac{5A}{3} $ Substituer dans (ii) : $ A + \frac{5A}{3} + D = 5 \Rightarrow \frac{8A}{3} + D = 5 \Rightarrow D = 5 - \frac{8A}{3} $ Substituer dans (i) : $ 3A - 2(5 - \frac{8A}{3}) = -6 \Rightarrow 3A - 10 + \frac{16A}{3} = -6 \Rightarrow \frac{9A + 16A}{3} = 4 \Rightarrow \frac{25A}{3} = 4 \Rightarrow A = \frac{12}{25} $ Alors $ B = \frac{5}{3} \cdot \frac{12}{25} = \frac{60}{75} = \frac{4}{5} $, $ D = 5 - \frac{8}{3} \cdot \frac{12}{25} = 5 - \frac{96}{75} = 5 - \frac{32}{25} = \frac{125 - 32}{25} = \frac{93}{25} $, $ C = 2 - \frac{12}{25} = \frac{38}{25} $ **Résultat** : $$ \frac{2x^3 + x^2 - 4x + 5}{(x-1)^2(x^2 + 4)} = \frac{12/25}{x-1} + \frac{4/5}{(x-1)^2} + \frac{\frac{38}{25}x + \frac{93}{25}}{x^2 + 4} $$ ### Exercice d'application 4 (corrigé) Décomposer $ \frac{x^2 + 3x + 2}{(x+1)(x^2 + x + 1)} $. **Solution** : Note : $ x^2 + x + 1 $ a un discriminant $ 1 - 4 = -3 < 0 $, donc irréductible. $$ \frac{x^2 + 3x + 2}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1} $$ Multiplier : $$ x^2 + 3x + 2 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x+1) $$ $$ = A x^2 + A x + A + B x^2 + B x + C x + C $$ $$ = (A + B)x^2 + (A + B + C)x + (A + C) $$ Égaler : $$ \begin{cases} A + B = 1 \\ A + B + C = 3 \\ A + C = 2 \end{cases} $$ De la première : $ B = 1 - A $ Substituer dans la seconde : $ A + (1 - A) + C = 3 \Rightarrow 1 + C = 3 \Rightarrow C = 2 $ Puis de la troisième : $ A + 2 = 2 \Rightarrow A = 0 $, donc $ B = 1 $ $$ \boxed{\frac{x^2 + 3x + 2}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \frac{0}{x+1} + \frac{1 \cdot x + 2}{x^2 + x + 1} = \frac{x + 2}{x^2 + x + 1}} $$ > **> À retenir : Parfois, un terme peut s'annuler (ici $ A=0 $), ce qui simplifie la décomposition.** --- ## V. Applications of Partial Fractions 1 : Intégration de fonctions rationnelles ### Principe La décomposition en fractions partielles permet d'intégrer toute fonction rationnelle en réduisant l'intégrale à des formes standards : - $ \int \frac{dx}{x - a} = \ln |x - a| + C $ - $ \int \frac{dx}{(x - a)^k} = \frac{(x - a)^{-k+1}}{-k+1} + C $ pour $ k \neq 1 $ - $ \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ - $ \int \frac{x dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + a^2) + C $ > **> À retenir : Après décomposition en fractions partielles, l'intégrale d'une fonction rationnelle propre se réduit à une somme d'intégrales de ces formes standards.** ### Exemple résolu 5 Calculer $ \int \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} \, dx $. D'après l'Exemple 1 de la section I : $$ \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} = \frac{8/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} $$ Alors : $$ \int \frac{3x + 5}{(x-1)(x+2)} \, dx = \frac{8}{3} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x+2} = \frac{8}{3} \ln |x-1| + \frac{1}{3} \ln |x+2| + C $$ ### Exercice d'application 5 (corrigé) Calculer $ \int \frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} \, dx $. D'après l'Exercice 1 de la section I : $$ \frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} = \frac{17/7}{x+3} + \frac{18/7}{x-4} $$ $$ \int \frac{5x - 2}{(x+3)(x-4)} \, dx = \frac{17}{7} \ln |x+3| + \frac{18}{7} \ln |x-4| + C $$ $$ \boxed{\frac{17}{7} \ln |x+3| + \frac{18}{7} \ln |x-4| + C} $$ --- ## VI. Applications of Partial Fractions 2 : Séries de puissances et équations différentielles ### Principe La décomposition en fractions partielles est utile pour : 1. Trouver le développement en série de puissances de fonctions rationnelles (via la série géométrique $ \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^\infty u^n $ pour $ |u| < 1 $). 2. Résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients constants par la méthode des transformées de Laplace (niveau introductif : on reconnaît que $ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\} = e^{at} $, etc.). > **> À retenir : Pour $ |x| < R $, $ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n $, et on peut l'adapter à $ \frac{1}{a - bx} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 - \frac{b}{a}x} $ si $ \left|\frac{b}{a}x\right| < 1 $.** ### Exemple résolu 6 Trouver le développement en série de puissances de $ \frac{1}{(x-1)(x+2)} $ autour de $ x=0 $, valable pour $ |x| < 1 $. D'après l'Exemple 1 de la section I : $$ \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{-1/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} = \frac{1/3}{1 - x} + \frac{1/6}{1 + \frac{x}{2}} $$ Attention : vérifier les signes. En fait : $$ \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \Rightarrow A = -\frac{1}{3}, B = \frac{1}{3} \quad \text{(comme dans l'Exemple 1 avec numérateur 1)} $$ Donc : $$ \frac{1}{(x-1)(x+2)} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x-1} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x}{2}} $$ Maintenant, pour $ |x| < 1 $ et $ \left|\frac{x}{2}\right| < 1 $ (donc $ |x| < 2 $), la condition la plus restrictive est $ |x| < 1 $ : $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad \frac{1}{1 + \frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x}{2}\right)^n $$ Donc : $$ \frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty x^n + \frac{1}{6} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n x^n = \sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(-\frac{1}{2}\right)^n \right] x^n $$ ### Exercice d'application 6 (corrigé) Trouver le développement en série de puissances de $ \frac{2}{x^2 - 1} $ autour de $ x=0 $, valable pour $ |x| < 1 $. **Solution** : Tout d'abord, factoriser : $ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $ Décomposer : $$ \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} $$ $$ 2 = A(x+1) + B(x-1) $$ Laisser $ x=1 $ : $ 2 = A(2) \Rightarrow A=1 $ Laisser $ x=-1 $ : $ 2 = B(-2) \Rightarrow B=-1 $ Donc : $$ \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = -\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1 + x} $$ Attention : $$ \frac{1}{x-1} = -\frac{1}{1 - x}, \quad \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1 + x} $$ Donc : $$ \frac{2}{x^2 - 1} = -\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 + x} $$ Maintenant, pour $ |x| < 1 $ : $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n, \quad \frac{1}{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n $$ Donc : $$ \frac{2}{x^2 - 1} = - \sum_{n=0}^\infty x^n - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = - \sum_{n=0}^\infty \left[ 1 + (-1)^n \right] x^n $$ Remarque : $ 1 + (-1)^n = 2 $ si $ n $ pair, $ 0 $ si $ n $ impair. Donc seuls les termes pairs subsistent : $$ \frac{2}{x^2 - 1} = -2 \sum_{k=0}^\infty x^{2k} = -2(1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots) $$ $$ \boxed{-2 - 2x^2 - 2x^4 - 2x^6 - \cdots} $$ --- ## Synthèse du chapitre - La décomposition en fractions partielles permet d'exprimer toute fonction rationnelle propre comme une somme de termes simples. - La forme de la décomposition dépend de la factorisation du dénominateur : - Facteur linéaire simple $ (x-a) $ → terme $ \frac{A}{x-a} $ - Facteur linéaire répété $ (x-a)^k $ → termes $ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k} $ - Facteur quadratique irréductible $ ax^2+bx+c $ → terme $ \frac{Bx+C}{ax^2+bx+c} $ - Combinaison mixte → somme de tous les types ci-dessus. - Les constantes sont déterminées par égalisation des coefficients ou par la méthode de Heaviside (couverture). - Applications principales : - Intégration de fonctions rationnelles → réduction à intégrales standards. - Développement en séries de puissances → utilisation de la série géométrique après décomposition. - Préparation aux transformées de Laplace (niveau avancé). --- ## Glossaire - **Fonction rationnelle** : Rapport de deux polynômes $ P(x)/Q(x) $, $ Q(x) \not\equiv 0 $. - **Fonction rationnelle propre** : Fonction rationnelle où le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur. - **Facteur linéaire** : Polynôme du premier degré de la forme $ ax + b $. - **Facteur linéaire répété** : Facteur linéaire apparaissant avec une multiplicité supérieure à 1 dans la factorisation du dénominateur. - **Facteur quadratique irréductible** : Trinôme du second degré dont le discriminant est négatif, donc non factorisable en facteurs réels. - **Décomposition en fractions partielles** : Expression d'une fonction rationnelle propre comme somme de fractions plus simples dont les dénominateurs sont les facteurs irréductibles du dénominateur initial. - **Méthode de Heaviside** : Technique pour trouver les coefficients dans une décomposition en fractions partielles en évaluant la fonction en des points spécifiques (couverture). - **Égalisation des coefficients** : Méthode consistant à développer les deux côtés d'une équation d'identité polynomiale et à égaler les coefficients des puissances semblables de $ x $. - **Intégrale standard** : Forme d'intégrale connue dont la primitive est immédiate (ex. $ \int dx/x $, $ \int dx/(x^2+a^2) $). - **Série de puissances** : Somme infinie de la forme $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $, utilisée pour représenter des fonctions dans un voisinage de zéro. - **Discriminant** : Pour un trinôme $ ax^2+bx+c $, l'expression $ b^2 - 4ac $, qui détermine la nature des racines. - **Condition de convergence** : Restriction sur $ x $ (souvent $ |x| < R $) pour laquelle une série de puissances converge vers la fonction qu'elle représente.