2. Algebraic Structures

# 2. Algebraic Structures ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à introduire les structures algébriques fondamentales en mathématiques avancées, en mettant l’accent sur les groupes, les anneaux et les corps, avec des applications concrètes dans l’arithmétique modulaire, les symétries géométriques et les transformations. L’étudiant doit être capable de reconnaître, vérifier et manipuler ces structures à l’aide des axiomes, des tableaux de Cayley, et des théorèmes clés comme celui de Lagrange. **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les ensembles, des propriétés des nombres (entiers, rationnels, réels, complexes), des matrices (addition, multiplication, déterminant, inverse), des fonctions bijectives et de la composition de fonctions, ainsi que des notions de base sur les permutations et les symétries planes. --- ## I. Opérations algébriques sur un ensemble donné ### Définitions et propriétés fondamentales Soit $S$ un ensemble non vide et $*$ une opération binaire sur $S$, c’est-à-dire une application $*: S \times S \to S$. > **Fermeture (Closure)** : Pour tout $a, b \in S$, $a * b \in S$. > **Associativité** : Pour tout $a, b, c \in S$, $(a * b) * c = a * (b * c)$. > **Élément neutre (identité)** : Il existe $e \in S$ tel que pour tout $a \in S$, $a * e = e * a = a$. > **Élément inverse** : Pour tout $a \in S$, il existe $a^{-1} \in S$ tel que $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$. > **Commutativité** : Pour tout $a, b \in S$, $a * b = b * a$. ### Exemple résolu : Vérification des propriétés sur $(\mathbb{Z}, +)$ Soit $S = \mathbb{Z}$, $* = +$. - **Fermeture** : La somme de deux entiers est un entier → vérifiée. - **Associativité** : $(a + b) + c = a + (b + c)$ pour tout $a,b,c \in \mathbb{Z}$ → vérifiée. - **Élément neutre** : $0 \in \mathbb{Z}$ et $a + 0 = 0 + a = a$ → vérifié. - **Élément inverse** : Pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $-a \in \mathbb{Z}$ et $a + (-a) = 0$ → vérifié. - **Commutativité** : $a + b = b + a$ → vérifiée. Donc $(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe abélien. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 1** : Vérifier si $(\mathbb{N}, +)$ forme un groupe, où $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$. **Solution** : - Fermeture : oui. - Associativité : oui. - Élément neutre : $0 \in \mathbb{N}$, oui. - Élément inverse : Pour $a = 1$, il faudrait $b \in \mathbb{N}$ tel que $1 + b = 0$ → $b = -1 \notin \mathbb{N}$ → échec. Donc $(\mathbb{N}, +)$ n’est **pas** un groupe. **Exercice 2** : Vérifier si $(\mathbb{Z}^*, \times)$ forme un groupe, où $\mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$. **Solution** : - Fermeture : oui (produit de deux non-nuls est non-nul). - Associativité : oui. - Élément neutre : $1 \in \mathbb{Z}^*$, oui. - Élément inverse : Pour $a = 2$, il faudrait $b \in \mathbb{Z}^*$ tel que $2 \times b = 1$ → $b = 1/2 \notin \mathbb{Z}^*$ → échec. Donc $(\mathbb{Z}^*, \times)$ n’est **pas** un groupe. --- ## II. Axiomes d’un groupe $(G, *)$ ### Définition Un **groupe** est un couple $(G, *)$ où $G$ est un ensemble non vide et $*$ une opération binaire sur $G$ satisfaisant : > **Axiome 1 (Fermeture)** : $\forall a, b \in G, a * b \in G$. > **Axiome 2 (Associativité)** : $\forall a, b, c \in G, (a * b) * c = a * (b * c)$. > **Axiome 3 (Élément neutre)** : $\exists e \in G$ tel que $\forall a \in G, a * e = e * a = a$. > **Axiome 4 (Élément inverse)** : $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ tel que $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$. Un groupe est **abélien** si, en plus, il satisfait la **commutativité** : $\forall a, b \in G, a * b = b * a$. ### Propriétés élémentaires d’un groupe Dans tout groupe $(G, *)$ : 1. L’élément neutre $e$ est **unique**. *Preuve* : Si $e$ et $e'$ sont deux éléments neutres, alors $e = e * e' = e'$. 2. L’inverse de tout élément est **unique**. *Preuve* : Si $b$ et $c$ sont deux inverses de $a$, alors $b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c$. 3. Pour tout $a \in G$, $(a^{-1})^{-1} = a$. 4. $(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$ (loi des inverses inversés). ### Exemple résolu : Groupe des rotations d’un cercle Soit $G = \{R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}\}$ les rotations de $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ autour du centre d’un carré, avec $*$ = composition de rotations. - Fermeture : Toute composition de deux rotations donne une rotation dans l’ensemble (ex: $R_{90} \circ R_{90} = R_{180}$). - Associativité : La composition de fonctions est toujours associative. - Élément neutre : $R_0$ (rotation de $0^\circ$). - Inverse : $R_{90}^{-1} = R_{270}$, $R_{180}^{-1} = R_{180}$, $R_{270}^{-1} = R_{90}$, $R_0^{-1} = R_0$. - Commutativité ? Oui, car les rotations dans le plan sont commutatrices → groupe abélien. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 3** : Montrer que $(\{1, -1\}, \times)$ est un groupe abélien. **Solution** : Tableau de Cayley : | $\times$ | 1 | -1 | |----------|-----|-----| | 1 | 1 | -1 | | -1 | -1 | 1 | - Fermeture : tous les résultats sont dans l’ensemble. - Associativité : héritée de la multiplication des réels. - Élément neutre : $1$. - Inverse : $1^{-1} = 1$, $(-1)^{-1} = -1$. - Commutativité : le tableau est symétrique → oui. Donc c’est un groupe abélien d’ordre 2. --- ## III. Groupes usuels : $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ sous l’addition ### Théorème > Les ensembles $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Q}, +)$, $(\mathbb{R}, +)$, $(\mathbb{C}, +)$ sont des groupes abéliens. **Preuve** : - Fermeture : somme de deux entiers (resp. rationnels, réels, complexes) est du même type. - Associativité : propriété de l’addition dans ces ensembles. - Élément neutre : $0$. - Inverse : opposé de l’élément ($-a$). - Commutativité : $a + b = b + a$. ### Exemple résolu : Ordre d’un élément dans $(\mathbb{Z}, +)$ Dans $(\mathbb{Z}, +)$, l’ordre d’un élément $a \neq 0$ est **infini**, car il n’existe pas d’entier positif $n$ tel que $n \cdot a = 0$ (sauf si $a = 0$). Seul $0$ a un ordre fini : $\text{ord}(0) = 1$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 4** : Déterminer l’ordre de l’élément $[3]$ dans $(\mathbb{Z}_6, +)$. **Solution** : On cherche le plus petit $n > 0$ tel que $n \cdot [3] = [0]$ dans $\mathbb{Z}_6$. - $1 \cdot [3] = [3] \neq [0]$ - $2 \cdot [3] = [6] = [0]$ → donc $\text{ord}([3]) = 2$. --- ## IV. Groupes de matrices ### A. Matrices d’ordre fixe sous l’addition Soit $M_{m \times n}(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices réelles de taille $m \times n$. > **Théorème** : $(M_{m \times n}(\mathbb{R}), +)$ est un groupe abélien. **Preuve** : - Fermeture : somme de deux matrices $m \times n$ est $m \times n$. - Associativité : héritée de l’addition des réels. - Élément neutre : matrice nulle $0_{m \times n}$. - Inverse : opposé de la matrice ($-A$). - Commutativité : $A + B = B + A$. ### B. Matrices $2 \times 2$ inversibles sous la multiplication Soit $GL(2, \mathbb{R}) = \{ A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid \det(A) \neq 0 \}$. > **Théorème** : $(GL(2, \mathbb{R}), \times)$ est un groupe (non abélien en général). **Preuve** : - Fermeture : si $\det(A) \neq 0$ et $\det(B) \neq 0$, alors $\det(AB) = \det(A)\det(B) \neq 0$. - Associativité : héritée de la multiplication des matrices. - Élément neutre : matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. - Inverse : si $\det(A) \neq 0$, alors $A^{-1}$ existe et est dans $GL(2, \mathbb{R})$. - Commutativité ? Non : contre-exemple : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ → $AB \neq BA$. ### Exemple résolu : Inverse d’une matrice dans $GL(2, \mathbb{R})$ Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$. $\det(A) = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \neq 0$ → inversible. $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$. Vérification : $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-5 & -2+2 \\ 15-15 & -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 5** : Vérifier si la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ appartient à $GL(2, \mathbb{R})$. **Solution** : $\det(B) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0$ → non inversible → $B \notin GL(2, \mathbb{R})$. --- ## V. Groupes de l’arithmétique modulaire ### A. $(\mathbb{Z}_n, +)$ : addition modulo $n$ Soit $\mathbb{Z}_n = \{[0], [1], \dots, [n-1]\}$ où $[a]$ désigne la classe d’équivalence de $a$ modulo $n$. > **Théorème** : $(\mathbb{Z}_n, +)$ est un groupe abélien d’ordre $n$. **Preuve** : - Fermeture : somme de deux classes modulo $n$ est une classe modulo $n$. - Associativité : héritée de l’addition entière. - Élément neutre : $[0]$. - Inverse : l’inverse de $[a]$ est $[-a] = [n - a]$ (si $a \neq 0$). - Commutativité : $a + b \equiv b + a \mod n$. ### B. $(\mathbb{Z}_n^*, \times)$ : multiplication modulo $n$ sur les éléments inversibles Soit $\mathbb{Z}_n^* = \{ [a] \in \mathbb{Z}_n \mid \gcd(a, n) = 1 \}$. > **Théorème** : $(\mathbb{Z}_n^*, \times)$ est un groupe abélien si et seulement si $n$ est tel que chaque élément a un inverse modulo $n$ → ce qui est vrai exactement quand $\gcd(a, n) = 1$. > Donc $(\mathbb{Z}_n^*, \times)$ est un groupe abélien d’ordre $\phi(n)$, où $\phi$ est la fonction d’Euler. ### Exemple résolu : Groupe $(\mathbb{Z}_5^*, \times)$ $\mathbb{Z}_5 = \{[0], [1], [2], [3], [4]\}$ $\mathbb{Z}_5^* = \{[1], [2], [3], [4]\}$ car $\gcd(1,5)=\gcd(2,5)=\gcd(3,5)=\gcd(4,5)=1$. Tableau de Cayley pour $(\mathbb{Z}_5^*, \times)$ : | $\times$ | [1] | [2] | [3] | [4] | |----------|-----|-----|-----|-----| | [1] | [1] | [2] | [3] | [4] | | [2] | [2] | [4] | [1] | [3] | | [3] | [3] | [1] | [4] | [2] | | [4] | [4] | [3] | [2] | [1] | - Fermeture : oui. - Associativité : oui. - Élément neutre : $[1]$. - Inverse : $[1]^{-1} = [1]$, $[2]^{-1} = [3]$ car $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \mod 5$, $[3]^{-1} = [2]$, $[4]^{-1} = [4]$ car $4 \cdot 4 = 16 \equiv 1 \mod 5$. - Commutativité : tableau symétrique → oui. Donc c’est un groupe abélien d’ordre 4. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 6** : Déterminer l’ordre de $[2]$ dans $(\mathbb{Z}_7^*, \times)$. **Solution** : On cherche le plus petit $k > 0$ tel que $2^k \equiv 1 \mod 7$. - $2^1 = 2 \not\equiv 1$ - $2^2 = 4 \not\equiv 1$ - $2^3 = 8 \equiv 1 \mod 7$ → donc $\text{ord}([2]) = 3$. --- ## VI. Groupes d’isométries et symétries planes ### A. Isométries du plan Une **isométrie** est une transformation du plan qui préserve les distances. Les isométries directes (préservant l’orientation) sont : translations, rotations. Les isométries indirectes (inversant l’orientation) sont : réflexions, glissées réflexes. > Le ensemble de toutes les isométries du plan, avec la composition comme opération, forme un groupe noté $E(2)$. ### B. Symétries d’un triangle équilatéral Soit $S_3$ le groupe des symétries (isométries qui laissent le triangle invariant) d’un triangle équilatéral. Il comporte 6 éléments : - 3 rotations : $R_0$ (0°), $R_{120}$ (120°), $R_{240}$ (240°) - 3 réflexions : selon les trois médianes (ou hauteurs) > **Théorème** : $S_3$ est un groupe d’ordre 6, non abélien. **Tableau de Cayley partiel** (pour montrer la non-commutativité) : Soit $r = R_{120}$, $s$ = réflexion selon une médiane. Alors : - $r^3 = e$, $s^2 = e$ - $s r s = r^{-1} = r^2$ - $r s \neq s r$ → non abélien. ### C. Symétries d’un rectangle Un rectangle non carré a : - 2 rotations : $R_0$, $R_{180}$ - 2 réflexions : selon les deux axes de symétrie (moyenne horizontale et verticale) → Groupe d’ordre 4, isomorphe au groupe de Klein $V_4 = \{e, a, b, ab\}$ où $a^2 = b^2 = e$, $ab = ba$. ### D. Symétries d’un carré Le carré a 8 symétries : - 4 rotations : $R_0, R_{90}, R_{180}, R_{270}$ - 4 réflexions : selon les deux diagonales et les deux médianes → Groupe diédral $D_4$ d’ordre 8, non abélien. ### Exemple résolu : Ordre d’une réflexion dans $D_4$ Soit $s$ une réflexion dans le groupe diédral du carré. Alors $s \circ s = \text{identité}$ → donc $\text{ord}(s) = 2$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 7** : Montrer que le groupe des symétries d’un rectangle est abélien. **Solution** : Les éléments sont : $e$ (identité), $r$ (rotation de 180°), $h$ (réflexion horizontale), $v$ (réflexion verticale). On vérifie que : - $r^2 = e$, $h^2 = e$, $v^2 = e$ - $r h = v$ (rotation puis réflexion horizontale = réflexion verticale) - $h r = v$ (même résultat) → $r h = h r$ - De même, $r v = h$, $v r = h$ → commutatif - $h v = r$, $v h = r$ → commutatif Tous les éléments commutent → groupe abélien. En fait, il est isomorphe à $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. --- ## VII. Fonctions inversibles sous composition et permutations ### A. Ensemble des fonctions bijectives d’un ensemble vers lui-même Soit $S$ un ensemble non vide. Soit $\text{Sym}(S) = \{ f : S \to S \mid f \text{ est bijective} \}$ avec l’opération de composition $\circ$. > **Théorème** : $(\text{Sym}(S), \circ)$ est un groupe, appelé groupe symétrique sur $S$, noté $S_{|S|}$ si $S$ est fini. **Preuve** : - Fermeture : composition de deux bijections est une bijection. - Associativité : la composition de fonctions est toujours associative. - Élément neutre : fonction identité $\text{id}_S(x) = x$. - Inverse : toute bijection a une réciproque qui est aussi une bijection. - Commutativité ? Non en général : contre-exemple avec des permutations. ### B. Permutations sur un ensemble fini Si $S = \{1, 2, \dots, n\}$, alors $\text{Sym}(S)$ est noté $S_n$, groupe d’ordre $n!$. ### Exemple résolu : Ordre d’une permutation dans $S_3$ Soit $\sigma = (1\ 2\ 3)$ (permutation cyclique : $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 3$, $3 \mapsto 1$). Alors : - $\sigma^1 = (1\ 2\ 3)$ - $\sigma^2 = (1\ 3\ 2)$ - $\sigma^3 = (1)(2)(3) = \text{id}$ → Donc $\text{ord}(\sigma) = 3$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 8** : Écrire la permutation $\tau = (1\ 3)(2\ 4)$ en $S_4$ et déterminer son ordre. **Solution** : $\tau$ est produit de deux transpositions disjointes → il est d’ordre $\text{lcm}(2, 2) = 2$. Vérification : $\tau^2 = (1\ 3)(2\ 4) \circ (1\ 3)(2\ 4) = \text{id}$ → oui. --- ## VIII. Groupes finis et infinis ; ordre d’un élément ### Définitions - Un groupe est **fini** s’il contient un nombre fini d’éléments. Son **ordre** est le nombre d’éléments, noté $|G|$. - Un groupe est **infini** sinon. - L’**ordre d’un élément** $a \in G$, noté $\text{ord}(a)$, est le plus petit entier positif $n$ tel que $a^n = e$ (en notation multiplicative) ou $n \cdot a = 0$ (en notation additive). Si aucun tel $n$ n’existe, $\text{ord}(a) = \infty$. > **Théorème de Lagrange** : Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors l’ordre de $H$ divise l’ordre de $G$ : $|H| \mid |G|$. ### Conséquences du théorème de Lagrange 1. L’ordre de tout élément d’un groupe fini divise l’ordre du groupe. 2. Si $|G| = p$ (premier), alors $G$ est cyclique et isomorphe à $\mathbb{Z}_p$. 3. Dans un groupe fini d’ordre $n$, pour tout $a \in G$, $a^n = e$. ### Exemple résolu : Application du théorème de Lagrange Soit $G$ un groupe d’ordre 12. Quels sont les ordres possibles des éléments de $G$ ? **Solution** : D’après Lagrange, l’ordre de tout élément doit diviser 12. Diviseurs de 12 : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Donc les ordres possibles sont : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 9** : Soit $G$ un groupe d’ordre 15. Montrer que tout élément d’ordre 3 ou 5 génère un sous-groupe dont l’ordre divise 15. **Solution** : Soit $a \in G$ avec $\text{ord}(a) = 3$. Alors le sous-groupe engendré $\langle a \rangle = \{e, a, a^2\}$ a ordre 3. Puisque $3 \mid 15$, d’après Lagrange, c’est cohérent. De même, si $\text{ord}(a) = 5$, alors $|\langle a \rangle| = 5$ et $5 \mid 15$. Donc dans les deux cas, l’ordre du sous-groupe engendré divise l’ordre du groupe. --- ## IX. Groupes cycliques et générateurs ### Définition Un groupe $G$ est **cyclique** s’il existe un élément $g \in G$ tel que tout élément de $G$ s’écrit sous la forme $g^k$ pour un entier $k$ (notation multiplicative) ou $k \cdot g$ (additive). On dit alors que $g$ est un **générateur** de $G$, et on écrit $G = \langle g \rangle$. > **Théorème** : Tout groupe cyclique est abélien. > Un groupe fini d’ordre $n$ est cyclique si et seulement s’il contient un élément d’ordre $n$. > Dans un groupe cyclique fini d’ordre $n$, le nombre de générateurs est $\phi(n)$, où $\phi$ est la fonction d’Euler. ### Exemple résolu : Groupe cyclique $(\mathbb{Z}_6, +)$ $\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}$ Vérifions les générateurs : - $\langle [1] \rangle = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\} = \mathbb{Z}_6$ → générateur - $\langle [5] \rangle = \{[0], [5], [4], [3], [2], [1]\} = \mathbb{Z}_6$ → générateur (puisque $5 \equiv -1 \mod 6$) - $\langle [2] \rangle = \{[0], [2], [4]\}$ → ordre 3 → pas générateur - $\langle [3] \rangle = \{[0], [3]\}$ → ordre 2 → pas générateur - $\langle [4] \rangle = \{[0], [4], [2]\}$ → même que $\langle [2] \rangle$ Donc les générateurs sont $[1]$ et $[5]$ → $\phi(6) = 2$ → cohérent. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 10** : Trouver tous les générateurs du groupe $(\mathbb{Z}_8, +)$. **Solution** : Les générateurs de $\mathbb{Z}_8$ sont les éléments $[k]$ tels que $\gcd(k, 8) = 1$. Les entiers entre 1 et 7 premiers avec 8 : $1, 3, 5, 7$. Donc les générateurs sont : $[1], [3], [5], [7]$. Vérification : - $\langle [3] \rangle = \{[0], [3], [6], [1], [4], [7], [2], [5]\} = \mathbb{Z}_8$ → oui. $\phi(8) = 4$ → cohérent. --- ## X. Sous-groupes ### Définition Un **sous-groupe** $H$ d’un groupe $G$ est un sous-ensemble de $G$ qui est lui-même un groupe pour l’opération restreinte de $G$. > **Critère du sous-groupe** : Un sous-ensemble $H \subseteq G$ est un sous-groupe si et seulement si : > (i) $H \neq \emptyset$ > (ii) $\forall a, b \in H, a * b \in H$ (fermeture) > (iii) $\forall a \in H, a^{-1} \in H$ (stabilité par inverse) ### Exemple résolu : Sous-groupes de $(\mathbb{Z}_6, +)$ $\mathbb{Z}_6 = \{[0], [1], [2], [3], [4], [5]\}$ Sous-groupes possibles : - $\{[0]\}$ : ordre 1 - $\{[0], [3]\}$ : car $[3]+[3]=[6]=[0]$, et inverses : $[3]^{-1}=[3]$ → ordre 2 - $\{[0], [2], [4]\}$ : $[2]+[2]=[4]$, $[2]+[4]=[6]=[0]$, etc. → ordre 3 - $\mathbb{Z}_6$ lui-même → ordre 6 Pas d’autres : par exemple, $\{[0], [1], [2]\}$ n’est pas fermé : $[1]+[2]=[3] \notin \{\}$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 11** : Trouver tous les sous-groupes de $S_3$. **Solution** : $S_3 = \{e, (1\ 2), (1\ 3), (2\ 3), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ Sous-groupes : - Trivial : $\{e\}$ - D’ordre 2 : engendrés par chaque transposition : $\langle (1\ 2) \rangle = \{e, (1\ 2)\}$ $\langle (1\ 3) \rangle = \{e, (1\ 3)\}$ $\langle (2\ 3) \rangle = \{e, (2\ 3)\}$ - D’ordre 3 : engendré par un 3-cycle : $\langle (1\ 2\ 3) \rangle = \{e, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}$ - Le groupe entier $S_3$ Pas de sous-groupe d’ordre 4 ou 5 (Lagrange : 4 ne divise pas 6, 5 ne divise pas 6). Donc 6 sous-groupes au total. --- ## XI. Théorème de Lagrange : applications > **Théorème de Lagrange** : Si $G$ est un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$, alors $|H|$ divise $|G|$. ### Conséquences importantes 1. Dans un groupe fini d’ordre $n$, pour tout $a \in G$, $a^n = e$. 2. Si $|G| = p$ (premier), alors $G$ est cyclique. 3. Le nombre de classes à gauche d’un sous-groupe $H$ dans $G$ est $[G:H] = |G|/|H|$. ### Exemple résolu : Application à un groupe de symétries Soit $G = D_4$, groupe des symétries du carré, d’ordre 8. Soit $H = \{e, r^2\}$ où $r$ est une rotation de 90° → $r^2$ est rotation de 180°. Alors $H = \{e, r^2\}$ est un sous-groupe (fermé : $r^2 \cdot r^2 = r^4 = e$; inverses : $e^{-1}=e$, $(r^2)^{-1}=r^2$). $|H| = 2$, $|G| = 8$ → $2 \mid 8$ → vérifie Lagrange. Le nombre de classes à gauche est $[G:H] = 8/2 = 4$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 12** : Soit $G$ un groupe d’ordre 21. Peut-il exister un sous-groupe d’ordre 6 ? **Solution** : D’après le théorème de Lagrange, si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors $|H|$ doit diviser $|G| = 21$. Les diviseurs de 21 sont : $1, 3, 7, 21$. 6 ne divise pas 21 → donc **non**, il ne peut pas exister de sous-groupe d’ordre 6 dans un groupe d’ordre 21. --- ## XII. Isomorphisme entre deux groupes ### Définition Deux groupes $(G, *)$ et $(H, \circ)$ sont **isomorphes** s’il existe une bijection $\phi : G \to H$ telle que : $\forall a, b \in G, \phi(a * b) = \phi(a) \circ \phi(b)$. On note alors $G \cong H$. > Un isomorphisme préserve la structure du groupe : ordres des éléments, propriétés de commutativité, sous-groupes, etc. ### Exemple résolu : Isomorphisme entre $(\mathbb{Z}_4, +)$ et le groupe des 4èmes racines de l’unité Soit $G = (\mathbb{Z}_4, +) = \{[0], [1], [2], [3]\}$ Soit $H = \{1, i, -1, -i\}$ sous multiplication complexe, où $i^2 = -1$. Définissons $\phi : \mathbb{Z}_4 \to H$ par : $\phi([0]) = 1$, $\phi([1]) = i$, $\phi([2]) = -1$, $\phi([3]) = -i$. Vérifions que $\phi$ est un isomorphisme : - C’est une bijection (clairement). - Vérifions la propriété : $\phi([1] + [1]) = \phi([2]) = -1$ $\phi([1]) \cdot \phi([1]) = i \cdot i = i^2 = -1$ → OK $\phi([1] + [2]) = \phi([3]) = -i$ $\phi([1]) \cdot \phi([2]) = i \cdot (-1) = -i$ → OK $\phi([2] + [2]) = \phi([0]) = 1$ $\phi([2]) \cdot \phi([2]) = (-1) \cdot (-1) = 1$ → OK etc. Donc $\phi$ est un isomorphisme → $\mathbb{Z}_4 \cong \{1, i, -1, -i\}$. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 13** : Montrer que le groupe de Klein $V_4 = \{e, a, b, ab\}$ avec $a^2 = b^2 = e$, $ab = ba$ est isomorphe à $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. **Solution** : $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 = \{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$ avec addition composante par composante. Définissons $\phi : V_4 \to \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ par : $\phi(e) = (0,0)$ $\phi(a) = (1,0)$ $\phi(b) = (0,1)$ $\phi(ab) = (1,1)$ Vérifions : - $\phi(a) + \phi(a) = (1,0)+(1,0) = (0,0) = \phi(e)$ et $a^2 = e$ → OK - $\phi(b) + \phi(b) = (0,1)+(0,1) = (0,0) = \phi(e)$ et $b^2 = e$ → OK - $\phi(a) + \phi(b) = (1,0)+(0,1) = (1,1) = \phi(ab)$ et $ab = ab$ → OK - $\phi(ab) + \phi(ab) = (1,1)+(1,1) = (0,0) = \phi(e)$ et $(ab)^2 = a^2 b^2 = e \cdot e = e$ → OK Donc $\phi$ est un isomorphisme → $V_4 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. ---