1. Polar Coordinates

# 1. Polar Coordinates ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à introduire les coordonnées polaires comme alternative au système cartésien pour représenter des points dans le plan, à maîtriser les conversions entre les deux systèmes, à résoudre des équations polaires, à tracer des courbes polaires, à déterminer les tangentes et normales à ces courbes, à calculer l'aire bornée par une courbe polaire et enfin à déterminer la longueur d'arc d'une courbe polaire. Les prérequis nécessaires sont : une bonne maîtrise du repère cartésien, des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) et de leurs propriétés, des équations du second degré, de la dérivation (notamment la règle de la chaîne et la dérivation implicite), et de l'intégration (intégrales définies, techniques de substitution). Une familiarité avec les équations paramétriques est un plus mais non indispensable. ## Introduction En mathématiques, la représentation des points dans le plan peut se faire de différentes manières. Le système cartésien, bien que largement utilisé, n'est pas toujours le plus adapté pour décrire des phénomènes présentant une symétrie radiale ou périodique, comme les orbites planétaires, les motifs floraux, ou les antennes directionnelles. Le système de coordonnées polaires offre une alternative naturelle dans ces cas-là : un point est défini par sa distance à l'origine (le pôle) et l'angle qu'il forme avec une direction de référence (généralement l'axe des x positif). Ce chapitre explore en profondeur ce système, en établissant les liens avec le système cartésien, en développant les outils de calcul (dérivée, intégrale) adaptés à ce cadre, et en illustrant leur utilisation par des exemples concrets et des exercices corrigés. ## I. Introduction to polar coordinates and their conversions ### Définition des coordonnées polaires Un point $P$ dans le plan est représenté en coordonnées polaires par un couple ordonné $(r, \theta)$, où : - $r$ est la distance algébrique du pôle (origine $O$) au point $P$ ; $r \in \mathbb{R}$, - $\theta$ est l'angle formé par le demi-droite $OP$ avec l'axe des $x$ positif, mesuré dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre) ; $\theta \in \mathbb{R}$, généralement pris dans $[0, 2\pi)$ ou $(-\pi, \pi]$ pour une représentation unique. > **À retenir** : Les coordonnées polaires d'un point ne sont pas uniques : $(r, \theta) \equiv (r, \theta + 2k\pi) \equiv (-r, \theta + (2k+1)\pi)$ pour tout entier $k$. ### Conversion polaire → cartésienne Donné un point en coordonnées polaires $(r, \theta)$, ses coordonnées cartésiennes $(x, y)$ sont données par : $$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$ ### Conversion cartésienne → polaire Donné un point en coordonnées cartésiennes $(x, y) \neq (0,0)$, ses coordonnées polaires $(r, \theta)$ sont obtenues par : $$ r = \pm \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \text{ avec ajustement selon le quadrant de } (x,y) $$ Plus précisément : - $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (on prend généralement la valeur non négative pour une représentation standard), - $\theta$ est choisi tel que : - Si $x > 0$ : $\theta = \arctan(y/x)$, - Si $x < 0$ et $y \geq 0$ : $\theta = \arctan(y/x) + \pi$, - Si $x < 0$ et $y < 0$ : $\theta = \arctan(y/x) - \pi$, - Si $x = 0$ et $y > 0$ : $\theta = \pi/2$, - Si $x = 0$ et $y < 0$ : $\theta = -\pi/2$, - Si $(x,y) = (0,0)$ : $r = 0$, $\theta$ indéterminé (toute valeur convient). > **À retenir** : Pour éviter les ambiguïtés, on restreint souvent $\theta \in [0, 2\pi)$ ou $\theta \in (-\pi, \pi]$, et on prend $r \geq 0$ sauf indication contraire. ### Exemple 1 : Conversion polaire → cartésienne Convertir le point polaire $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ en coordonnées cartésiennes. **Solution** : $$ x = 4 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2, \quad y = 4 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} $$ Donc, les coordonnées cartésiennes sont $(2, 2\sqrt{3})$. ### Exemple 2 : Conversion cartésienne → polaire Convertir le point cartésien $(-3, 3)$ en coordonnées polaires avec $r \geq 0$ et $\theta \in [0, 2\pi)$. **Solution** : $$ r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$ Comme $x < 0$ et $y > 0$, le point est dans le deuxième quadrant : $$ \theta = \arctan\left(\frac{3}{-3}\right) + \pi = \arctan(-1) + \pi = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} $$ Donc, les coordonnées polaires sont $\left(3\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}\right)$. ### Exercice 1 : Conversion 1. Convertir $\left(5, -\frac{\pi}{6}\right)$ en cartésien. 2. Convertir $(1, -\sqrt{3})$ en polaire avec $r \geq 0$, $\theta \in [0, 2\pi)$. 3. Convertir $(0, -4)$ en polaire. **Corrigé** : 1. $x = 5 \cos(-\pi/6) = 5 \cdot \sqrt{3}/2 = (5\sqrt{3})/2$, $y = 5 \sin(-\pi/6) = 5 \cdot (-1/2) = -5/2$ → $\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}\right)$ 2. $r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$, $x>0$, $y<0$ → quatrième quadrant : $\theta = \arctan(-\sqrt{3}/1) = -\pi/3$, mais on veut $\theta \in [0,2\pi)$ → $\theta = 2\pi - \pi/3 = 5\pi/3$ → $(2, 5\pi/3)$ 3. $r = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$, $x=0$, $y<0$ → $\theta = -\pi/2$ ou équivalent $3\pi/2$ dans $[0,2\pi)$ → $(4, 3\pi/2)$ ## II. Solving of polar Equations Une équation polaire est une équation mettant en relation $r$ et $\theta$, de la forme $r = f(\theta)$ ou plus généralement $g(r, \theta) = 0$. Résoudre une telle équation signifie trouver tous les couples $(r, \theta)$ qui la satisfont. ### Méthode générale Pour résoudre $r = f(\theta)$ : 1. Substituer des valeurs de $\theta$ pour trouver $r$, 2. Identifier les valeurs de $\theta$ pour lesquelles $r = 0$ (passage par le pôle), 3. Utiliser la périodicité des fonctions trigonométriques pour trouver toutes les solutions dans un intervalle désiré, 4. Tenir compte des représentations équivalentes : $(r, \theta)$ et $(-r, \theta + \pi)$ représentent le même point. ### Exemple 3 : Résolution d'une équation polaire simple Résoudre $r = 2 \sin \theta$ pour $\theta \in [0, 2\pi)$. **Solution** : - $r = 0$ lorsque $2 \sin \theta = 0$ → $\sin \theta = 0$ → $\theta = 0, \pi, 2\pi$ (dans l'intervalle). - Pour d'autres valeurs : - $\theta = \pi/6$ : $r = 2 \cdot 1/2 = 1$, - $\theta = \pi/2$ : $r = 2 \cdot 1 = 2$, - $\theta = 5\pi/6$ : $r = 2 \cdot 1/2 = 1$, - $\theta = 7\pi/6$ : $r = 2 \cdot (-1/2) = -1$ → équivalent à $(1, 7\pi/6 + \pi) = (1, 13\pi/6) \equiv (1, \pi/6)$ après réduction modulo $2\pi$, - etc. On remarque que les points pour $\theta$ et $\theta + \pi$ donnent des points déjà obtenus avec $r$ positif ou négatif. La courbe est un cercle. On peut aussi convertir en cartésien pour identifier la forme : $$ r = 2 \sin \theta \implies r^2 = 2r \sin \theta \implies x^2 + y^2 = 2y \implies x^2 + y^2 - 2y = 0 \implies x^2 + (y-1)^2 = 1 $$ C'est un cercle de centre $(0,1)$ et de rayon $1$. > **À retenir** : Pour résoudre $r = f(\theta)$, convertir en équation cartésienne via $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2+y^2$ peut révéler la forme géométrique et faciliter la résolution. ### Exemple 4 : Résolution avec plusieurs branches Résoudre $r^2 = 4 \cos 2\theta$ pour $\theta \in [0, 2\pi)$. **Solution** : D'abord, $r^2 \geq 0$ implique $4 \cos 2\theta \geq 0$ → $\cos 2\theta \geq 0$. $\cos \phi \geq 0$ lorsque $\phi \in [-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$, donc ici $2\theta \in [-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$ → $\theta \in [-\pi/4 + k\pi, \pi/4 + k\pi]$. Dans $[0, 2\pi)$, les intervalles valides sont : - $k=0$ : $[0, \pi/4]$, - $k=1$ : $[3\pi/4, 5\pi/4]$, - $k=2$ : $[7\pi/4, 2\pi)$ (puisque $-\pi/4 + 2\pi = 7\pi/4$). Dans ces intervalles, $r = \pm 2 \sqrt{\cos 2\theta}$. - Pour $\theta = 0$ : $r^2 = 4 \cos 0 = 4$ → $r = \pm 2$, - Pour $\theta = \pi/4$ : $r^2 = 4 \cos(\pi/2) = 0$ → $r = 0$, - Pour $\theta = \pi/2$ : non dans le domaine (puisque $\cos \pi = -1 < 0$), - Pour $\theta = \pi$ : $r^2 = 4 \cos(2\pi) = 4$ → $r = \pm 2$, - etc. La courbe est une lemniscate (forme de huit). > **À retenir** : Lors de la résolution de $r^2 = f(\theta)$, il faut s'assurer que $f(\theta) \geq 0$ pour que $r$ soit réel. ### Exercice 2 : Résolution d'équations polaires 1. Résoudre $r = 1 + \cos \theta$ pour $\theta \in [0, 2\pi)$. 2. Résoudre $r = 3 \sin 2\theta$ pour $\theta \in [0, 2\pi)$. 3. Résoudre $r^2 = 9 \sin \theta$ pour $\theta \in [0, 2\pi)$. **Corrigé** : 1. - $r=0$ quand $1+\cos\theta=0$ → $\cos\theta=-1$ → $\theta=\pi$, - $\theta=0$ : $r=1+1=2$, - $\theta=\pi/2$ : $r=1+0=1$, - $\theta=\pi$ : $r=0$, - $\theta=3\pi/2$ : $r=1+0=1$, - $\theta=2\pi$ : $r=2$. Courbe : cardioïde. 2. - Périodicité de $\sin 2\theta$ : $\pi$, donc on regarde $[0, \pi)$ puis on répète. - $r=0$ quand $\sin 2\theta=0$ → $2\theta = k\pi$ → $\theta = k\pi/2$ → dans $[0,2\pi)$ : $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$. - $\theta=\pi/4$ : $r=3 \sin(\pi/2)=3$, - $\theta=3\pi/4$ : $r=3 \sin(3\pi/2)=-3$ → équivalent à $(3, 3\pi/4+\pi)=(3,7\pi/4)$, - etc. Courbe : rose à 4 pétales (puisque coefficient de $\theta$ est 2, pair → $2n=4$ pétales). 3. - $r^2 \geq 0$ → $9 \sin \theta \geq 0$ → $\sin \theta \geq 0$ → $\theta \in [0, \pi]$ (dans $[0,2\pi)$). - Dans cet intervalle, $r = \pm 3 \sqrt{\sin \theta}$. - $\theta=0$ : $r=0$, - $\theta=\pi/2$ : $r^2=9$ → $r=\pm 3$, - $\theta=\pi$ : $r=0$. Conversion cartésienne : $r^2 = 9 \sin \theta \implies r^3 = 9 r \sin \theta$ → pas directement utile. Mieux : multiplier par $r$ : $r^3 = 9 r \sin \theta$ → $(r^2)^{3/2} = 9 y$ → compliqué. On garde la forme polaire. Courbe : ressemble à une boucle dans le demi-plan supérieur. ## III. Polar curves sketching Tracer une courbe polaire $r = f(\theta)$ consiste à représenter l'ensemble des points $(r, \theta)$ satisfaisant l'équation, en tenant compte de la périodicité, de la symétrie et du signe de $r$. ### Étapes pour tracer une courbe polaire 1. **Déterminer le domaine de $\theta$** : généralement $[0, 2\pi)$ ou un intervalle où la fonction se répète. 2. **Vérifier la symétrie** : - Symétrie par rapport à l'axe polaire (axe des $x$) : si remplacer $\theta$ par $-\theta$ donne une équation équivalente. - Symétrie par rapport à la ligne $\theta = \pi/2$ (axe des $y$) : si remplacer $\theta$ par $\pi - \theta$ donne une équation équivalente. - Symétrie par rapport au pôle : si remplacer $r$ par $-r$ ou $\theta$ par $\theta + \pi$ donne une équation équivalente. 3. **Trouver les points où $r=0$** : passage par le pôle. 4. **Calculer $r$ pour des valeurs clés de $\theta$** : $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$, etc. 5. **Tenir compte du signe de $r$** : si $r < 0$, le point est dans la direction opposée à $\theta$. 6. **Tracer les points et relier doucement**. ### Exemple 5 : Tracé de $r = 2 + 2 \cos \theta$ (cardioïde) **Solution** : - Domaine : $[0, 2\pi)$. - Symétrie : remplacer $\theta$ par $-\theta$ : $r = 2 + 2 \cos(-\theta) = 2 + 2 \cos \theta$ → identique → symétrie par rapport à l'axe polaire. - $r=0$ : $2 + 2 \cos \theta = 0$ → $\cos \theta = -1$ → $\theta = \pi$. - Valeurs clés : - $\theta=0$ : $r=2+2=4$, - $\theta=\pi/3$ : $r=2+2\cdot0.5=3$, - $\theta=\pi/2$ : $r=2+0=2$, - $\theta=2\pi/3$ : $r=2+2\cdot(-0.5)=1$, - $\theta=\pi$ : $r=0$, - $\theta=4\pi/3$ : $r=2+2\cdot(-0.5)=1$, - $\theta=3\pi/2$ : $r=2+0=2$, - $\theta=5\pi/3$ : $r=2+2\cdot0.5=3$, - $\theta=2\pi$ : $r=4$. - Comme $r \geq 0$ partout (minimum $0$), pas de points avec $r<0$ à considérer séparément. - La courbe est une cardioïde, symétrique par rapport à l'axe des $x$, avec un creux à l'origine en $\theta=\pi$. > **À retenir** : Pour les courbes de la forme $r = a \pm b \cos \theta$ ou $r = a \pm b \sin \theta$, la forme dépend du rapport $a/b$ : > - Si $a/b < 1$ : limaçon avec boucle interne, > - Si $a/b = 1$ : cardioïde, > - Si $a/b > 1$ : limaçon sans boucle interne (convexe ou bosselé selon la valeur exacte). ### Exemple 6 : Tracé de $r = 4 \sin 3\theta$ (rose à pétales) **Solution** : - Domaine : $[0, 2\pi)$, mais périodicité de $\sin 3\theta$ est $2\pi/3$, donc on peut étudier $[0, 2\pi/3)$ et répéter. - Symétrie : remplacer $\theta$ par $-\theta$ : $r = 4 \sin(-3\theta) = -4 \sin 3\theta$ → pas identique, mais remplacer $r$ par $-r$ et $\theta$ par $-\theta$ : $-r = 4 \sin(-3\theta)$ → $r = -4 \sin(-3\theta) = 4 \sin 3\theta$ → donc symétrie par rapport au pôle ? Vérifions : remplacer $\theta$ par $\theta + \pi$ : $r = 4 \sin(3(\theta+\pi)) = 4 \sin(3\theta+3\pi) = 4 \sin(3\theta+\pi) = -4 \sin 3\theta$ → pas identique. En fait, pour $r = a \sin n\theta$ ou $r = a \cos n\theta$ : - Si $n$ est impair : $n$ pétales, - Si $n$ est pair : $2n$ pétales. Ici $n=3$ (impair) → 3 pétales. - $r=0$ quand $\sin 3\theta=0$ → $3\theta = k\pi$ → $\theta = k\pi/3$ → dans $[0,2\pi)$ : $0, \pi/3, 2\pi/3, \pi, 4\pi/3, 5\pi/3$. - Valeurs clés dans $[0, \pi/3]$ : - $\theta=0$ : $r=0$, - $\theta=\pi/6$ : $r=4 \sin(\pi/2)=4$, - $\theta=\pi/3$ : $r=4 \sin(\pi)=0$. → Un pétale formé entre $\theta=0$ et $\theta=\pi/3$, pointe à $\theta=\pi/6$. - Par périodicité/symétrie, les autres pétales sont aux intervalles $[\pi/3, 2\pi/3]$ et $[2\pi/3, \pi]$ ? Attendez : pour $n$ impair, les pétales sont répartis sur $[0, \pi)$ en fait. Recalculons : - Intervalles où $\sin 3\theta \geq 0$ : $3\theta \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup [4\pi, 5\pi]$ → $\theta \in [0, \pi/3] \cup [2\pi/3, \pi] \cup [4\pi/3, 5\pi/3]$. Dans chacun de ces intervalles, $r \geq 0$ et on trace un pétale. - Premier pétale : $\theta \in [0, \pi/3]$, max à $\theta=\pi/6$, - Deuxième pétale : $\theta \in [2\pi/3, \pi]$, max à $\theta=(2\pi/3 + \pi)/2 = (5\pi/6)/2 ?$ Attendez : milieu de l'intervalle : $(2\pi/3 + \pi)/2 = (5\pi/3)/2 = 5\pi/6$ → $r=4 \sin(3 \cdot 5\pi/6)=4 \sin(5\pi/2)=4 \sin(\pi/2)=4$, - Troisième pétale : $\theta \in [4\pi/3, 5\pi/3]$, max à $\theta=(4\pi/3 + 5\pi/3)/2 = (9\pi/3)/2 = 3\pi/2$ → $r=4 \sin(3 \cdot 3\pi/2)=4 \sin(9\pi/2)=4 \sin(\pi/2)=4$. Donc les pétales sont centrés aux angles $\pi/6$, $5\pi/6$, $3\pi/2$. > **À retenir** : Pour $r = a \sin n\theta$ ou $r = a \cos n\theta$ : > - Nombre de pétales : $n$ si $n$ est impair, $2n$ si $n$ est pair. > - Les pétales sont répartis uniformément autour de l'origine. > - La longueur de chaque pétale est $|a|$. ### Exemple 7 : Tracé de $r^2 = 16 \cos 2\theta$ (lemniscate de Bernoulli) **Solution** : - Domaine : $r^2 \geq 0$ → $\cos 2\theta \geq 0$ → $2\theta \in [-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$ → $\theta \in [-\pi/4 + k\pi, \pi/4 + k\pi]$. Dans $[0, 2\pi)$ : $[0, \pi/4]$, $[3\pi/4, 5\pi/4]$, $[7\pi/4, 2\pi)$. - Symétrie : remplacer $\theta$ par $-\theta$ : $r^2 = 16 \cos(-2\theta) = 16 \cos 2\theta$ → identique → symétrie par rapport à l'axe polaire. Remplacer $\theta$ par $\pi - \theta$ : $r^2 = 16 \cos(2(\pi-\theta)) = 16 \cos(2\pi - 2\theta) = 16 \cos(-2\theta) = 16 \cos 2\theta$ → identique → symétrie par rapport à la ligne $\theta=\pi/2$ (axe des $y$). Donc symétrie par rapport aux deux axes et au pôle. - $r=0$ quand $\cos 2\theta=0$ → $2\theta = \pi/2 + k\pi$ → $\theta = \pi/4 + k\pi/2$ → dans $[0,2\pi)$ : $\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$. - Valeurs clés : - Dans $[0, \pi/4]$ : - $\theta=0$ : $r^2=16$ → $r=\pm 4$, - $\theta=\pi/8$ : $r^2=16 \cos(\pi/4)=16 \cdot \sqrt{2}/2=8\sqrt{2}$ → $r=\pm \sqrt{8\sqrt{2}} \approx \pm 3.36$, - $\theta=\pi/4$ : $r=0$. - Comme la courbe est symétrique, on trace dans le premier quadrant ($r \geq 0$, $\theta \in [0,\pi/4]$) puis on reflète. - La courbe consiste en deux boucles symétriques par rapport à l'origine, situées le long de l'axe des $x$ (puisque max à $\theta=0$). > **À retenir** : La lemniscate de Bernoulli a pour équation polaire $r^2 = a^2 \cos 2\theta$ ou $r^2 = a^2 \sin 2\theta$. Elle ressemble à un huit horizontal ($\cos 2\theta$) ou vertical ($\sin 2\theta$). Son aire totale est $a^2$. ### Exercice 3 : Tracé de courbes polaires 1. Tracer $r = 3 - 2 \sin \theta$ et identifier le type de limaçon. 2. Tracer $r = 2 \cos 4\theta$ et déterminer le nombre de pétales. 3. Tracer $r^2 = 25 \sin 2\theta$ et décrire la symétrie. **Corrigé** : 1. - Forme $r = a - b \sin \theta$ avec $a=3$, $b=2$ → $a/b = 1.5 > 1$ → limaçon sans boucle interne (bosselé ou convexe selon la valeur exacte ; ici comme $a > b$, pas de boucle interne, et comme $a < 2b$ ? $3 < 4$ oui, donc bosselé). - Symétrie : remplacer $\theta$ par $-\theta$ : $r = 3 - 2 \sin(-\theta) = 3 + 2 \sin \theta$ → pas identique, mais remplacer $r$ par $-r$ et $\theta$ par $\pi+\theta$ ? En fait, pour $r = a - b \sin \theta$, la symétrie est par rapport à la ligne $\theta=\pi/2$ (axe des $y$) : remplacer $\theta$ par $\pi - \theta$ : $r = a - b \sin(\pi - \theta) = a - b \sin \theta$ → identique → symétrie par rapport à l'axe des $y$. - $r=0$ : $3 - 2 \sin \theta = 0$ → $\sin \theta = 1.5$ → impossible → pas de passage par l'origine. - Valeurs clés : - $\theta=0$ : $r=3$, - $\theta=\pi/2$ : $r=3-2=1$, - $\theta=\pi$ : $r=3-0=3$, - $\theta=3\pi/2$ : $r=3-2(-1)=5$. - Courbe : limaçon bosselé, symétrique par rapport à l'axe des $y$, passant par $(3,0)$, $(0,1)$, $(-3,0)$, $(0,5)$ en cartésien approximatif. 2. - $r = 2 \cos 4\theta$ → forme $r = a \cos n\theta$ avec $n=4$ (pair) → nombre de pétales = $2n = 8$. - Domaine où $r \geq 0$ : $\cos 4\theta \geq 0$ → $4\theta \in [-\pi/2 + 2k\pi, \pi/2 + 2k\pi]$ → $\theta \in [-\pi/8 + k\pi/2, \pi/8 + k\pi/2]$. Dans $[0,2\pi)$ : 8 intervalles de longueur $\pi/4$ chacun, séparés par des intervalles où $r<0$. - Chaque pétale a une longueur de $2$ (valeur maximale de $|r|$). 3. - $r^2 = 25 \sin 2\theta$ → nécessite $\sin 2\theta \geq 0$ → $2\theta \in [0 + 2k\pi, \pi + 2k\pi]$ → $\theta \in [0 + k\pi, \pi/2 + k\pi]$. Dans $[0,2\pi)$ : $[0, \pi/2]$ et $[\pi, 3\pi/2]$. - Symétrie : remplacer $\theta$ par $-\theta$ : $r^2 = 25 \sin(-2\theta) = -25 \sin 2\theta$ → pas identique, mais l'équation au carré est paire en $\theta$ ? En fait, remplacer $\theta$ par $-\theta$ donne $r^2 = -25 \sin 2\theta$, ce qui n'est pas équivalent sauf si on considère que $r^2$ est toujours positif, donc on doit avoir $\sin(-2\theta) \geq 0$ → $\sin 2\theta \leq 0$ → ce n'est pas la même condition. Cependant, remplacer $\theta$ par $\pi - \theta$ : $r^2 = 25 \sin(2(\pi-\theta)) = 25 \sin(2\pi - 2\theta) = 25 \sin(-2\theta) = -25 \sin 2\theta$ → pas identique. Mais remplacer $\theta$ par $\theta + \pi/2$ : $r^2 = 25 \sin(2(\theta+\pi/2)) = 25 \sin(2\theta+\pi) = -25 \sin 2\theta$ → pas identique. En revanche, la courbe $r^2 = a^2 \sin 2\theta$ est symétrique par rapport à la ligne $\theta = \pi/4$ (puisque remplacer $\theta$ par $\pi/2 - \theta$ : $r^2 = 25 \sin(2(\pi/2 - \theta)) = 25 \sin(\pi - 2\theta) = 25 \sin 2\theta$ → identique). Donc symétrie par rapport à la droite $y=x$. Aussi, remplacer $\theta$ par $-\theta$ et prendre la racine carrée (en considérant les deux signes) peut donner une symétrie, mais il est plus sûr de dire : symétrie par rapport à la ligne $\theta = \pi/4$ et par rapport à l'origine (puisque si $(r,\theta)$ est une solution, alors $(-r, \theta+\pi)$ donne $r^2$ identique et $\theta+\pi$ : $\sin 2(\theta+\pi) = \sin(2\theta+2\pi) = \sin 2\theta$ → donc oui, symétrie par rapport au pôle). En fait, remplacer $r$ par $-r$ ne change rien (au carré), et remplacer $\theta$ par $\theta+\pi$ : $r^2 = 25 \sin(2(\theta+\pi)) = 25 \sin(2\theta+2\pi) = 25 \sin 2\theta$ → donc la courbe est invariante sous $\theta \mapsto \theta+\pi$ → symétrie par rapport au pôle. Et comme mentionné, symétrie par rapport à $\theta=\pi/4$. - Forme : lemniscate verticale (puisque $\sin 2\theta$ au lieu de $\cos 2\theta$), avec deux boucles le long de la ligne $y=x$.