1. Matrices

# 1. Matrices ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir une matrice, ses éléments, son ordre et ses types. - Calculer le déterminant d'une matrice carrée de taille 2×2 et 3×3. - Appliquer les propriétés du déterminant (linéarité, effet des opérations élémentaires, produit, transposee). - Identifier une matrice singulière et en déduire son caractère non inversible. - Définir et calculer la transposée d'une matrice. - Déterminer l'inverse d'une matrice carrée non singulière via la méthode des cofacteurs ou par réduction de Gauss-Jordan. - Classer les matrices selon leurs propriétés (symétrique, antisymétrique, diagonale, identité, nulle, triangulaire, orthogonale). - Résoudre des systèmes linéaires de deux et trois équations à deux et trois inconnues en utilisant la règle de Cramer, la méthode de l'inverse matriciel ou l'élimination de Gauss. **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les nombres réels, résolution de systèmes linéaires par substitution ou élimination, notion de fonction linéaire, manipulation algébrique de base. --- ## I. Definitions of matrices Une **matrice** est un tableau rectangulaire de nombres réels (ou complexes) organisés en lignes et en colonnes. Elle est notée par une lettre majuscule (ex. $A$, $B$) et ses éléments par des lettres minuscules avec deux indices : $a_{ij}$ désigne l'élément situé à la $i$-ième ligne et $j$-ième colonne. > **Définition** : Une matrice $A$ d'ordre $m \times n$ est un ensemble de $mn$ éléments disposés en $m$ lignes et $n$ colonnes, notée : > $$ > A = \begin{pmatrix} > a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ > a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ > \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ > a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} > \end{pmatrix} > $$ > où $a_{ij} \in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) pour tout $i = 1,\dots,m$, $j = 1,\dots,n$. **Exemple 1** : La matrice $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & -5 \end{pmatrix} $$ est d'ordre $2 \times 3$. Son élément $a_{23} = -5$. **Exemple 2** : La matrice $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ est d'ordre $2 \times 2$. **Exercice 1** : Donnez l'ordre et les éléments $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{33}$ de la matrice suivante : $$ C = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & -1 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} $$ **Corrigé** : Ordre $3 \times 3$. $a_{12} = -2$, $a_{21} = 0$, $a_{33} = 6$. **Exercice 2** : Écrivez la matrice $D$ d'ordre $2 \times 4$ telle que $d_{ij} = i + j$. **Corrigé** : $$ D = \begin{pmatrix} 1+1 & 1+2 & 1+3 & 1+4 \\ 2+1 & 2+2 & 2+3 & 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ --- ## II. Determinant of a matrix Le **déterminant** est une fonction qui associe à toute matrice carrée un scalaire réel (ou complexe). Il est défini uniquement pour les matrices carrées ($n \times n$). > **Définition** : Pour une matrice $2 \times 2$ : > $$ > A = \begin{pmatrix} > a & b \\ > c & d > \end{pmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc > $$ > **Définition** : Pour une matrice $3 \times 3$ : > $$ > A = \begin{pmatrix} > a & b & c \\ > d & e & f \\ > g & h & i > \end{pmatrix}, \quad \det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) > $$ > Cette formule est aussi connue sous le nom de **règle de Sarrus** (pour $3 \times 3$) : > $$ > \det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh > $$ **Exemple 1** : Calculer $\det(A)$ pour $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$. $$ \det(A) = (3)(4) - (-1)(2) = 12 + 2 = 14 $$ **Exemple 2** : Calculer $\det(B)$ pour $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$. En utilisant la développement selon la première ligne : $$ \det(B) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ = 1 \cdot (4\cdot6 - 5\cdot0) - 2 \cdot (0\cdot6 - 5\cdot1) + 3 \cdot (0\cdot0 - 4\cdot1) $$ $$ = 1 \cdot 24 - 2 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) = 24 + 10 - 12 = 22 $$ Vérification avec Sarrus : $$ \det(B) = (1\cdot4\cdot6) + (2\cdot5\cdot1) + (3\cdot0\cdot0) - (3\cdot4\cdot1) - (2\cdot0\cdot6) - (1\cdot5\cdot0) = 24 + 10 + 0 - 12 - 0 - 0 = 22 $$ **Exercice 1** : Calculer le déterminant de $M = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : $\det(M) = (-2)(-1) - (5)(3) = 2 - 15 = -13$. **Exercice 2** : Calculer le déterminant de $N = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 0 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : Développement selon la deuxième colonne (contient un zéro) : $$ \det(N) = 0 \cdot C_{12} - 1 \cdot C_{22} + 5 \cdot C_{32} $$ où $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. $C_{22} = (-1)^{4} \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot (2\cdot0 - (-1)\cdot(-2)) = 0 - 2 = -2$ $C_{32} = (-1)^{5} \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = -1 \cdot (2\cdot3 - (-1)\cdot4) = -1 \cdot (6 + 4) = -10$ $$ \det(N) = -1 \cdot (-2) + 5 \cdot (-10) = 2 - 50 = -48 $$ Vérification par Sarrus : $$ \det(N) = (2\cdot1\cdot0) + (0\cdot3\cdot(-2)) + ((-1)\cdot4\cdot5) - ((-1)\cdot1\cdot(-2)) - (0\cdot4\cdot0) - (2\cdot3\cdot5) = 0 + 0 -20 - (2) - 0 - 30 = -52 \quad \text{Erreur !} $$ Attention : Sarrus pour $3 \times 3$ : Recopier les deux premières colonnes : $$ \begin{array}{ccc|cc} 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 4 & 1 & 3 & 4 & 1 \\ -2 & 5 & 0 & -2 & 5 \\ \end{array} $$ Produits diagonales principales : $2\cdot1\cdot0 + 0\cdot3\cdot(-2) + (-1)\cdot4\cdot5 = 0 + 0 -20 = -20$ Produits diagonales secondaires : $(-1)\cdot1\cdot(-2) + 0\cdot4\cdot0 + 2\cdot3\cdot5 = 2 + 0 + 30 = 32$ $\det = -20 - 32 = -52$ → contradiction avec le développement. Vérifions le développement : $C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = +\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = (2)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2$ → correct. $C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -\det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = -[(2)(3) - (-1)(4)] = -[6 + 4] = -10$ → correct. Alors $\det(N) = 0\cdot C_{12} - 1\cdot C_{22} + 5\cdot C_{32} = -(-2) + 5(-10) = 2 - 50 = -48$. Mais Sarrus donne $-52$ → erreur dans Sarrus ? Recopie Sarrus : Lignes : L1 : 2, 0, -1 → recopier 2, 0 L2 : 4, 1, 3 → recopier 4, 1 L3 : -2, 5, 0 → recopier -2, 5 Diagonales principales (↘) : - 2,1,0 → $2 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ - 0,3,-2 → $0 \cdot 3 \cdot (-2) = 0$ - -1,4,5 → $(-1) \cdot 4 \cdot 5 = -20$ Somme = $0 + 0 -20 = -20$ Diagonales secondaires (↙) : - -1,1,-2 → $(-1) \cdot 1 \cdot (-2) = 2$ - 0,4,0 → $0 \cdot 4 \cdot 0 = 0$ - 2,3,5 → $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ Somme = $2 + 0 + 30 = 32$ $\det = \text{principal} - \text{secondaire} = -20 - 32 = -52$ Mais le développement donne $-48$ → contradiction. Reprenons le développement : développement selon la deuxième colonne : Les éléments de la deuxième colonne : $b_{12}=0$, $b_{22}=1$, $b_{32}=5$ Le signe pour $b_{ij}$ est $(-1)^{i+j}$ Donc : - Pour $b_{12}$ : $(-1)^{1+2} = -1$ → terme : $-1 \cdot 0 \cdot M_{12} = 0$ - Pour $b_{22}$ : $(-1)^{2+2} = +1$ → terme : $+1 \cdot 1 \cdot M_{22}$ - Pour $b_{32}$ : $(-1)^{3+2} = -1$ → terme : $-1 \cdot 5 \cdot M_{32}$ Donc $\det = 0 + (1)(1)M_{22} + (-1)(5)M_{32} = M_{22} - 5 M_{32}$ $M_{22} = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = (2)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2$ $M_{32} = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = (2)(3) - (-1)(4) = 6 + 4 = 10$ Donc $\det = (-2) - 5(10) = -2 - 50 = -52$ Ah ! J'avais oublié le signe dans le développement : le développement est $\sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$, donc pour la colonne $j=2$ : $\det = \sum_{i=1}^3 (-1)^{i+2} a_{i2} M_{i2}$ $i=1$ : $(-1)^{3} = -1$ → $-1 \cdot 0 \cdot M_{12} = 0$ $i=2$ : $(-1)^{4} = +1$ → $+1 \cdot 1 \cdot M_{22} = M_{22}$ $i=3$ : $(-1)^{5} = -1$ → $-1 \cdot 5 \cdot M_{32} = -5 M_{32}$ Donc $\det = M_{22} - 5 M_{32} = -2 - 50 = -52$ → correct. Mon erreur précédente était d'avoir écrit $-1 \cdot C_{22}$ au lieu de $+1 \cdot C_{22}$ dans le développement signé. Donc $\det(N) = -52$. **Corrigé final** : $\det(N) = -52$. --- ## III. Properties of the determinant of a matrix Les propriétés suivantes sont fondamentales pour simplifier les calculs et comprendre le comportement du déterminant sous opérations élémentaires. > **Propriété 1** : $\det(A^T) = \det(A)$ > Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée. > **Propriété 2** : Si deux lignes (ou deux colonnes) d'une matrice sont identiques, alors $\det(A) = 0$. > **Propriété 3** : Si une ligne (ou une colonne) est multipliée par un scalaire $k$, alors le déterminant est multiplié par $k$ : > $\det(k \cdot \text{ligne}_i) = k \cdot \det(A)$ > **Propriété 4** : Si l'on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas : > $\det(A) = \det(A')$ où $A'$ est obtenue par $R_i \leftarrow R_i + k R_j$ > **Propriété 5** : $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ pour deux matrices carrées $A$ et $B$ du même ordre. > **Propriété 6** : $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ si $A$ est inversible. **Exemple 1** : Vérifier la propriété 4 sur $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Appliquer $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$ : $$ A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad \det(A') = (1)(-2) - (2)(0) = -2 $$ $\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$ → égalité vérifiée. **Exemple 2** : Utiliser la propriété 5 pour trouver $\det(AB)$ si $\det(A) = 3$, $\det(B) = -2$ → $\det(AB) = 3 \cdot (-2) = -6$. **Exercice 1** : Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$. Appliquer $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ et vérifier que le déterminant est conservé. **Corrigé** : $A' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(A') = 2\cdot1 - 1\cdot0 = 2$ $\det(A) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2$ → conservé. **Exercice 2** : Si $\det(A) = 5$ et $\det(B) = -3$, trouver $\det(2A^{-1}B)$. **Corrigé** : $\det(2A^{-1}B) = \det(2A^{-1}) \det(B)$ (propriété 5) $\det(2A^{-1}) = 2^2 \det(A^{-1})$ car $A^{-1}$ est $2\times2$ → multiplier une ligne par 2 multiplie le déterminant par 2, donc multiplier la matrice entière par 2 multiplie le déterminant par $2^2 = 4$ $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1/5$ Donc $\det(2A^{-1}) = 4 \cdot (1/5) = 4/5$ $\det(2A^{-1}B) = (4/5) \cdot (-3) = -12/5$ --- ## IV. Singular matrices > **Définition** : Une matrice carrée $A$ est **singulière** si $\det(A) = 0$. Elle est **non singulière** (ou inversible) si $\det(A) \neq 0$. Une matrice singulière n'admet pas d'inverse. Elle correspond à un système linéaire qui n'a pas de solution unique (soit aucune solution, soit une infinité de solutions). **Exemple 1** : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ → $\det(A) = 1\cdot4 - 2\cdot2 = 4 - 4 = 0$ → singulière. Les lignes sont proportionnelles : $R_2 = 2 R_1$. **Exemple 2** : $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ → $\det(B) = 1\cdot2\cdot3 = 6 \neq 0$ → non singulière. **Exercice 1** : Déterminer si la matrice $C = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 6 & -2 & 4 \\ -3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ est singulière. **Corrigé** : Observer que $R_2 = 2 R_1$ et $R_3 = -R_1$ → lignes linéairement dépendantes → $\det(C) = 0$ → singulière. Vérification : $\det(C) = 3 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} - (-1) \cdot \det\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -3 & -2 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ $= 3 \cdot [(-2)(-2) - (4)(1)] + 1 \cdot [(6)(-2) - (4)(-3)] + 2 \cdot [(6)(1) - (-2)(-3)]$ $= 3 \cdot [4 - 4] + 1 \cdot [-12 + 12] + 2 \cdot [6 - 6] = 0 + 0 + 0 = 0$ **Exercice 2** : Trouver $k$ tel que la matrice $D = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ soit singulière. **Corrigé** : $\det(D) = 1\cdot4 - k\cdot2 = 4 - 2k = 0$ → $2k = 4$ → $k = 2$ --- ## V. The transpose of a matrix > **Définition** : La **transposée** d'une matrice $A$, notée $A^T$, est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes : l'élément $a_{ij}$ de $A$ devient l'élément $a_{ji}$ de $A^T$. Si $A$ est d'ordre $m \times n$, alors $A^T$ est d'ordre $n \times m$. **Exemple 1** : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ → $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ **Exemple 2** : $B = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ → $B^T = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ **Propriétés** : - $(A^T)^T = A$ - $(A + B)^T = A^T + B^T$ - $(kA)^T = k A^T$ - $(AB)^T = B^T A^T$ **Exercice 1** : Trouver la transposée de $E = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 7 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : $$ E^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 7 \end{pmatrix} $$ **Exercice 2** : Vérifier que $(AB)^T = B^T A^T$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : $AB = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 2\cdot(-1) & 1\cdot1 + 2\cdot0 \\ 3\cdot0 + 4\cdot(-1) & 3\cdot1 + 4\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$ $(AB)^T = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ $B^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ $B^T A^T = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + (-1)\cdot2 & 0\cdot3 + (-1)\cdot4 \\ 1\cdot1 + 0\cdot2 & 1\cdot3 + 0\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ → égalité vérifiée. --- ## VI. The Inverse of a matrix > **Définition** : Une matrice carrée $A$ est **inversible** (ou non singulière) s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que : > $$ > A A^{-1} = A^{-1} A = I_n > $$ > où $I_n$ est la matrice identité d'ordre $n$. > Si $\det(A) = 0$, alors $A$ n'est pas inversible. Pour une matrice $2 \times 2$ : > **Formule** : Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $\det(A) = ad - bc \neq 0$, alors > $$ > A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} > $$ Pour une matrice $3 \times 3$, on peut utiliser la **méthode des cofacteurs** : $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $$ où $\text{adj}(A)$ est la matrice adjointe (transposée de la matrice des cofacteurs). **Exemple 1** : Trouver l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$. $\det(A) = 2\cdot4 - 3\cdot1 = 8 - 3 = 5$ $$ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix} $$ Vérification : $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/5 - 3/5 & -6/5 + 6/5 \\ 4/5 - 4/5 & -3/5 + 8/5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **Exemple 2** : Trouver l'inverse de $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$. Étape 1 : $\det(B)$ Développement selon la première ligne : $$ \det(B) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0 - 24) - 2 \cdot (0 - 20) + 3 \cdot (0 - 5) = -24 - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1 $$ Étape 2 : Matrice des cofacteurs $C$ $C_{11} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = 0 - 24 = -24$ $C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = -(0 - 20) = 20$ $C_{13} = +\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = 0 - 5 = -5$ $C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = -(0 - 18) = 18$ $C_{22} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 0 - 15 = -15$ $C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = -(6 - 10) = 4$ $C_{31} = +\det\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 8 - 3 = 5$ $C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = -(4 - 0) = -4$ $C_{33} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 0 = 1$ $$ C = \begin{pmatrix} -24 & 20 & -5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & -4 & 1 \end{pmatrix} $$ Étape 3 : Matrice adjointe = $C^T$ $$ \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$ Étape 4 : $B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = 1 \cdot \text{adj}(B)$ $$ B^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$ Vérification rapide : premier élément de $B B^{-1}$ : $1\cdot(-24) + 2\cdot20 + 3\cdot(-5) = -24 + 40 -15 = 1$ → bon. **Exercice 1** : Trouver l'inverse de $F = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$. **Corrigé** : $\det(F) = 3\cdot2 - 1\cdot2 = 6 - 2 = 4$ $$ F^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/4 \\ -1/2 & 3/4 \end{pmatrix} $$ **Exercice 2** : Trouver l'inverse de $G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ ou dire qu'il n'existe pas. **Corrigé** : Calculer $\det(G)$ Développement selon la deuxième colonne (contient un zéro) : $$ \det(G) = 0 \cdot C_{12} - 3 \cdot C_{22} + (-2) \cdot C_{32} $$ $C_{22} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 0 - 4 = -4$ $C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -[(1)(1) - (2)(-1)] = -[1 + 2] = -3$ $$ \det(G) = -3 \cdot (-4) + (-2) \cdot (-3) = 12 + 6 = 18 \neq 0 $$ Matrice des cofacteurs : $C_{11} = +\det\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = 0 - (-2) = 2$ $C_{12} = -\det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -[0 - 2] = 2$ $C_{13} = +\det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = [(-1)(-2) - (3)(2)] = 2 - 6 = -4$ $C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = -[0 - (-4)] = -4$ $C_{22} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 0 - 4 = -4$ $C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = -[-2 - 0] = 2$ $C_{31} = +\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 - 6 = -6$ $C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -[1 - (-2)] = -3$ (déjà calculé) $C_{33} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 3 - 0 = 3$ $$ C = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -4 \\ -4 & -4 & 2 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} $$ $\text{adj}(G) = C^T = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -6 \\ 2 & -4 & -3 \\ -4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ $$ G^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 2 & -4 & -6 \\ 2 & -4 & -3 \\ -4 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & -2/9 & -1/3 \\ 1/9 & -2/9 & -1/6 \\ -2/9 & 1/9 & 1/6 \end{pmatrix} $$ ---