ELECTROMAGNETISME (partie 3/3)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette leçon, l’élève sera capable de - classer les matériaux selon leur comportement magnétique (ferromagnétique, paramagnétique, diamagnétique) ; - définir et utiliser les grandeurs B, H, µ, χ, Br, Hc, Bs ; - interpréter une courbe d’hystérésis et en extraire les pertes par hystérésis et courants de Foucault ; - appliquer la formule de Steinmetz pour estimer les pertes dans un noyau magnétique ; - choisir le matériau adapté à une application donnée (transformateur, moteur, relais, blindage) en tenant compte des contraintes de saturation, de perte et de coût ; - respecter les normes de sécurité et d’hygiène liées à la manipulation et au chauffage des matériaux magnétiques. **Prérequis** : notions de champ magnétique, loi d’Ampère, flux magnétique, relation B = µH, unités du Système international (tesla, ampère/mètre, henry/mètre), connaissances de base en électrotechnique (alternatif 50 Hz, puissance apparente). --- ## Introduction contextualisée Dans les installations électriques camerounaises, les matériaux magnétiques sont au cœur des transformateurs de distribution (postes HTA/BT), des moteurs asynchrones qui entraînent les pompes d’irrigation ou les convoyeurs des usines de transformation agroalimentaire, ainsi que des relais de protection présents dans les tableaux électriques. Le choix d’un matériau inadapté entraîne une surchauffe, une augmentation des pertes énergétiques et une réduction de la durée de vie des équipements, ce qui se traduit par des coûts d’exploitation plus élevés et des risques de panne pouvant compromettre la continuité de service dans les zones rurales ou urbaines. Maîtriser les propriétés magnétiques permet donc au technicien de dimensionner correctement les équipements, de respecter les normes IEC 60076 (transformateurs) et NF C 15-100, et d’assurer la sécurité des personnes et des biens. --- ## I. Matériaux magnétiques ### A. Classification des matériaux | Type de matériau | Réaction au champ extérieur | Exemple courant | |-------------------|----------------------------|-----------------| | Diamagnétique | χ < 0, faible répulsion | Cuivre, eau | | Paramagnétique | χ > 0, faible attraction | Aluminium, oxygène | | Ferromagnétique | χ >> 0, forte attraction, hystérésis | Acier au silicium, ferrite, alliages Ni‑Fe | Seuls les matériaux ferromagnétiques présentent une perméabilité suffisamment élevée pour être utilisés dans les circuits magnétiques des machines électriques. ### B. Grandeurs magnétiques fondamentales > **Perméabilité µ** : relation B = µH, avec µ = µ₀µᵣ ; µ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m (constante du vide). > **Susceptibilité χ** : χ = µᵣ – 1, adimensionnelle. > **Induction magnétique B** : flux par unité de surface, unité tesla (T). > **Champ magnétique H** : unité ampère/mètre (A/m). > **Courbe d’hystérésis** : boucle B–H obtenue en faisant varier cycliquement H ; elle caractérise les pertes énergétiques. ### C. Paramètres de la courbe B–H > **Saturation Bs** : valeur de B au-delà de laquelle l’augmentation de H ne produit plus d’augmentation notable de B. > **Rémanence Br** : valeur de B lorsque H revient à zéro après avoir atteint la saturation. > **Coercivité Hc** : valeur de H nécessaire pour ramener B à zéro après saturation. > **Aire d’hystérésis** : surface fermée de la boucle B–H, proportionnelle à l’énergie perdue par cycle. ### D. Pertes dans les matériaux magnétiques 1. **Pertes par hystérésis** : proportionnelles à la fréquence f et à l’aire de la boucle. Formule de Steinmetz (valable pour les ferromagnétiques) : \[ P_h = k_h \, f \, B_{\max }^{n} \, V \] où \(k_h\) (W·Hz⁻¹·T⁻ⁿ·m⁻³) et n (souvent entre 1,5 et 2,5) sont des coefficients expérimentaux, V le volume du matériau. 2. **Pertes par courants de Foucault** : induites par le champ variable dans le matériau conducteur. \[ P_F = k_F \, (f B_{\max })^2 \, \frac{t^2}{\rho} \, V \] avec t l’épaisseur du tôle, ρ la résistivité électrique, k_F un coefficient dépendant de la géométrie. > **Règle de sécurité** : la somme \(P_h+P_F\) ne doit pas dépasser la capacité de dissipation thermique du dispositif sous peine de dépasser la température limite d’isolement (souvent 130 °C pour la classe B). ### E. Choix du matériau selon l’application | Application | Critère principal | Matériau recommandé | Justification | |-------------|-------------------|---------------------|---------------| | Transformateur de distribution 50 Hz | Faibles pertes à inductions moyennes (1–1,5 T) | Acier au silicium à grains orientés (GOSS) | Haute µᵣ, faible hysteresis, coût maîtrisé | | Moteur asynchrone petite puissance | Bonne résistance mécanique, saturation élevée | Acier au silicium non orienté | Robustesse, coût faible | | Relais électromagnétique | Temps de réponse rapide, faible rémanence | Ferrite (MnZn) | Haute résistivité → faibles courants de Foucault, Br faible | | Blindage magnétique (câbles de communication) | Atténuation de champs basse fréquence | Alliage nickel‑fer (Permalloy) | µᵣ très élevé (>10⁴) à faibles champs | | Aimant permanent (alternateur, générateur) | Champ rémanent élevé, bonne stabilité thermique | NdFeB (N35–N52) | Br > 1,2 T, Hc > 800 kA/m, mais sensible à la température >80 °C | ### F. Normes et précautions - **IEC 60076‑2** : température maximale des enroulements et du noyau des transformateurs. - **NF C 15‑100** (article 523) : protection contre les surcharges thermiques des appareils magnétiques. - Lors de l’usinage (découpage, poinçonnage) des tôles d’acier au silicium, porter des lunettes de protection et un masque anti‑poussière afin d’éviter l’inhalation de particules métalliques. - Le chauffage par courants de Foucault peut provoquer des points chauds locaux ; vérifier régulièrement avec une caméra thermique ou un pyromètre infrarouge. ### G. Exemple chiffré : pertes hystérésis dans un noyau de transformateur **Données** : - Fréquence f = 50 Hz - Induction maximale Bmax = 1,2 T - Volume du noyau V = 1,0 × 10⁻³ m³ (1000 cm³) - Coefficient de Steinmetz kh = 0,02 W·Hz⁻¹·T⁻¹·⁶·m⁻³ - Exposant n = 1,6 **Calcul** : \[ P_h = k_h \, f \, B_{\max }^{n} \, V = 0,02 \times 50 \times (1,2)^{1,6} \times 1,0\times10^{-3} \] \[ (1,2)^{1,6} \approx 1,34 \] \[ P_h = 0,02 \times 50 \times 1,34 \times 10^{-3} = 1,34 \times 10^{-3}\;\text{W} = 1,34\;\text{mW} \] **Interprétation** : pour ce petit noyau, la perte hystérésis est négligeable ; toutefois, en augmentant le volume à 0,01 m³ (typique d’un transformateur de 10 kVA), la perte devient ≈13,4 mW, encore faible comparée aux pertes cuivre, mais elle s’ajoute aux pertes de Foucault qui dominent souvent à fréquences élevées. ### H. Tableau récapitulatif des matériaux magnétiques usuels | Matériau | µᵣ typique | Bs (T) | Hc (kA/m) | Br (T) | Application principale | |----------|------------|--------|-----------|--------|------------------------| | Acier au silicium GOSS | 1500–5000 | 1,8–2,0 | 0,5–1,0 | 1,2–1,4 | Transformateurs de puissance | | Acier au silicium non orienté | 800–2000 | 1,6–1,8 | 1,0–2,0 | 1,0–1,2 | Moteurs, générateurs | | Ferrite MnZn | 1000–2000 | 0,3–0,5 | 10–30 | 0,1–0,2 | Antennes, relais haute fréquence | | Alliage Ni‑Fe (Permalloy) | >10⁴ | 0,6–0,8 | 0,02–0,05 | 0,4–0,6 | Blindage, têtes de lecture | | Aimant NdFeB (N35) | — | 1,2–1,4 | 800–1200 | 1,0–1,2 | Moteurs à aimants permanents, générateurs éoliens | --- ## Synthèse du chapitre - Les matériaux magnétiques se classent en diamagnétiques, paramagnétiques et ferromagnétiques ; seuls les ferromagnétiques sont utiles pour les circuits magnétiques. - Les grandeurs essentielles sont B, H, µ, χ, ainsi que les paramètres de la boucle d’hystérésis : Bs, Br, Hc. - Les pertes magnétiques se décomposent en pertes hystérésis (formule de Steinmetz) et pertes par courants de Foucault ; elles dépendent de la fréquence, de l’induction maximale et du volume du matériau. - Le choix du matériau repose sur un compromis entre saturation, pertes, coût et contraintes mécaniques (ex. : acier au silicium pour transformateurs, ferrite pour relais, NdFeB pour aimants permanents). - Le respect des normes IEC 60076, NF C 15‑100 et des bonnes pratiques de sécurité (protection contre la poussière, surveillance thermique) est obligatoire pour garantir la fiabilité et la sécurité des installations électriques au Cameroun. --- ## Glossaire - **Perméabilité (µ)** : capacité d’un matériau à soutenir l’établissement d’un champ magnétique B pour un champ H donné. - **Susceptibilité (χ)** : mesure de l’aimantation induite par H, adimensionnelle. - **Induction magnétique (B)** : flux magnétique par unité de surface, unité tesla (T). - **Champ magnétique (H)** : grandeur qui crée le champ B dans le vide, unité ampère/mètre (A/m). - **Saturation (Bs)** : valeur maximale de B atteignable dans un matériau ferromagnétique. - **Rémanence (Br)** : valeur de B résiduelle lorsque H revient à zéro après saturation. - **Coercivité (Hc)** : champ H nécessaire pour annuler B après saturation. - **Perte hystérésis** : énergie dissipée par cycle due au déplacement des parois de domaine magnétique. - **Courants de Foucault** : courants induits dans un conducteur soumis à un champ magnétique variable, provoquant des pertes joule. - **Formule de Steinmetz** : expression empirique permettant d’estimer les pertes hystérésis en fonction de f, Bmax et du volume. - **Axe facile d’aimantation** : direction cristallographique où l’aimantation se fait avec le moindre champ. - **Classe d’isolation** : catégorie définissant la température maximale admissible d’un isolant (ex. : classe B = 130 °C). - **Tôle magnétique** : feuille mince d’acier au silicium utilisée pour réduire les courants de Foucault dans les noyaux. - **Blindage magnétique** : enveloppe de matériau à haute perméabilité destinée à détourner les lignes de champ d’une région sensible. --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Dimensionnement d’un noyau de transformateur Un transformateur monophasé de 5 kVA fonctionne à 50 Hz avec une induction maximale admissible de 1,4 T. Le noyau est constitué d’acier au silicium GOSS (kh = 0,018 W·Hz⁻¹·T⁻¹·⁶·m⁻³, n = 1,6). **Déterminer le volume minimal du noyau afin que la perte hystérésis ne dépasse pas 5 W.** **Corrigé** : La perte hystérésis est donnée par \[ P_h = k_h \, f \, B_{\max }^{n} \, V \] On cherche V : \[ V = \frac{P_h}{k_h \, f \, B_{\max }^{n}} \] Insertion des valeurs : \[ V = \frac{5}{0,018 \times 50 \times (1,4)^{1,6}} \] Calcul de (1,4)^{1,6} ≈ 1,4^{1,6} = exp(1,6·ln 1,4) ≈ exp(1,6·0,336) ≈ exp(0,5376) ≈ 1,712. \[ V = \frac{5}{0,018 \times 50 \times 1,712} = \frac{5}{1,5408} \approx 3,245 \times 10^{-3}\;\text{m}^3 \] Soit **V ≈ 3,25 L** (3250 cm³). Un noyau de ce volume ou supérieur garantit que la perte hystérésis reste ≤ 5 W. ### Exercice 2 – Choix du matériau pour un relais de protection Un relais doit commuter un courant de 10 A avec un temps de réponse inférieur à 5 ms. Le champ magnétique dans le noyau varie de 0 à 200 A/m à chaque commutation. Deux matériaux sont proposés : - Ferrite MnZn (µᵣ ≈ 1500, résistivité ρ ≈ 10⁴ Ω·m) - Acier au silicium non orienté (µᵣ ≈ 1200, ρ ≈ 5 × 10⁻⁷ Ω·m) **Quel matériau convient le mieux et pourquoi ?** **Corrigé** : Le temps de réponse dépend surtout de la constante de temps électrique τ = L/R, où L ∝ µᵣ·N²·A/ℓ et R dépend de la résistivité du matériau en raison des courants de Foucault. - La ferrite possède une résistivité très élevée (≈10⁴ Ω·m), ce qui supprime pratiquement les courants de Foucault ; ainsi, les pertes sont faibles et le champ suit rapidement la variation de H. - L’acier au silicium, bien que légèrement moins perméable, a une résistivité très faible (≈5 × 10⁻⁷ Ω·m), générant des courants de Foucault importants qui ralentissent l’établissement du champ et augmentent la température. Donc, **la ferrite MnZn** est le choix privilégié pour ce relais : elle offre une réponse rapide grâce à ses faibles courants de Foucault, tout en possédant une perméabilité suffisante pour produire le champ requis avec un nombre raisonnable de spires. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | # | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / bonne pratique | |---|------------------|-------------|--------------------------------------| | 1 | Négliger la température du noyau lors du calcul des pertes (on considère seulement les pertes cuivre). | Surchauffe, dégradation de l’isolation, risque de court‑circuit. | Toujours vérifier que \(P_{tot}=P_{Cu}+P_{h}+P_{F}\) reste inférieure à la capacité de refroidissement (ventilation, dissipateur) et respecter la classe d’isolation. | | 2 | Utiliser une tôle d’acier au silicium non orientée dans un transformateur de puissance. | Pertes hystériques et de Foucault excessivement élevées → rendement médiocre, chauffage important. | Privilégier l’acier au silicium à grains orientés (GOSS) pour les noyaux de transformateurs soumis à une induction alternée. | | 3 | Oublier d’isoler mécaniquement les tôles lorsqu’on assemble un noyau à paquet. | Courants de Foucault entre les tôles augmentent les pertes locales et peuvent provoquer des points chauds. | Intercaler un vernis isolant ou du papier entre chaque tôle ; respecter l’épaisseur de revêtement prescrite par le fabricant. | | 4 | Manipuler des aimants NdFeB sans protection (gants, lunettes). | Risque de pincement sévère, projection de fragments si l’aimant se casse, contamination par poussières métalliques. | Porter des gants anti‑coupure, des lunettes de sécurité et maintenir les aimants éloignés des objets ferromagnétiques non maintenus. | | 5 | Négliger la déformation mécanique du noyau sous contrainte de magnétostriction. | Vibrations, bruit acoustique, fatigue prématurée du paquet de tôles. | Prévoir des espaces de dilatation, utiliser des intercalaires amortissants et vérifier le serrage des boulons selon le couple recommandé. | | 6 | Utiliser un matériau de blindage à perméabilité élevée mais à faible résistivité (ex. : acier doux) pour atténuer des champs haute fréquence. | Les courants de Foucault induits dans le blindage créent un champ opposé qui diminue l’efficacité du blindage à haute fréquence. | Pour les fréquences > 1 kHz, préférer les matériaux à haute résistivité (ferrite, alliages Ni‑Fe avec revêtement isolant) ou employer des blindages multicouches (couche conductrice + couche ferromagnétique). | --- *Fin du cours.*