NOTIONS MATHEMATIQUES

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de cette leçon, l’élève sera capable de : - expliquer le sens physique de l’intégrale d’une grandeur variable en électronique de puissance ; - calculer l’énergie, la charge ou le travail transmis par un composant à partir de ses tensions et courants instantanés ; - appliquer des méthodes d’intégration numérique (trapèze, Simpson) à des relevés de mesure obtenus en atelier ; - interpréter les résultats dans le cadre du dimensionnement d’un convertisseur ou d’un système de commande moteur. **Prérequis** : notions de dérivée et de primitive (calcul différentiel), connaissance des grandeurs électriques (tension U, courant I, puissance P), maîtrise du système d’unités SI, capacité à lire un oscilloscope ou un enregistreur de données. ## Introduction contextualisée En électronique de puissance, les grandeurs d’intérêt (tension, courant, puissance) varient souvent de façon continue et non sinusoïdale, notamment lors du fonctionnement des redresseurs, onduleurs ou choppers. Pour déterminer l’énergie transmise sur une période, la charge déplacée dans une batterie ou le travail mécanique fourni par un moteur, il faut intégrer le produit de ces grandeurs au fil du temps. Cette approche mathématique permet de passer d’une description instantanée à un bilan énergétique indispensable au dimensionnement des composants, au respect des normes de rendement et à la prévision des échauffements. Au Cameroun, les techniciens chargés de la maintenance des onduleurs solaires ou des variateurs de fréquence utilisent régulièrement ces calculs pour valider la conformité d’une installation avant sa mise en service. ## I. Intégration des grandeurs utilisées en électronique de puissance ### A. Définition de l’intégrale et son interprétation physique L’intégrale définie d’une fonction f(t) sur l’intervalle [a, b] représente la limite de la somme des aires de rectangles de hauteur f(t) et de largeur dt lorsque le nombre de subdivisions tend vers l’infini. En physique, lorsqu’on intègre une grandeur qui varie avec le temps, on obtient la quantité cumulée associée. > L’intégrale de la puissance instantanée p(t) = u(t)·i(t) sur [t₁, t₂] donne l’énergie W (en joules) échangée durant cet intervalle : > W = ∫_{t₁}^{t₂} u(t)·i(t) dt Cette relation est valable quel que soit le waveform de u(t) et i(t) (sinusoïdal, carré, PWM, etc.). ### B. Intégration des tensions et courants variables Dans un convertisseur à découpage, le courant d’inductance i_L(t) présente une forme en dents de scie pendant chaque période de commutation. La charge Q transférée à la sortie sur une période T s’obtient en intégrant i_L(t) : > Q = ∫_{0}^{T} i_L(t) dt Si le courant est mesuré toutes les Δt secondes par un acquisitionneur, on peut approximer l’intégrale par une somme : Q ≈ Σ i_L[k]·Δt. Cette approche est utilisée sur les bancs d’essai où les relevés sont stockés sous forme de tableau CSV. ### C. Calcul de l’énergie, de la charge, du travail - **Énergie électrique** : W = ∫ u(t)·i(t) dt (J). - **Charge électrique** : Q = ∫ i(t) dt (C). - **Travail mécanique** (pour un moteur alimenté par une tension u(t) et délivrant un couple C(t)) : W_mec = ∫ C(t)·ω(t) dt, où ω(t) est la vitesse angulaire (rad·s⁻¹). Exemple chiffré : un redresseur monophasé fournit une tension redressée u(t) = 200·|sin(ωt)| V et un courant de charge i(t) = 5·sin(ωt) A (ω = 2π·50 rad·s⁻¹). Sur une demi‑période (0 à T/2, T = 0,02 s), l’énergie transmise est : W = ∫_{0}^{T/2} 200·|sin(ωt)|·5·sin(ωt) dt = 1000 ∫_{0}^{T/2} sin²(ωt) dt (puisque sin≥0) = 1000·[t/2 – sin(2ωt)/(4ω)]_{0}^{T/2} = 1000·(T/4) = 1000·(0,02/4) = 5 J. Ce résultat indique que chaque demi‑onde délivre 5 J à la charge. ### D. Méthodes numériques (trapèze, Simpson) appliquées à l’électronique de puissance Lorsque les formes d’onde sont connues uniquement par points mesurés, on utilise des quadratures. **Méthode du trapèze** : ∫_{a}^{b} f(t) dt ≈ (Δt/2)·[f₀ + 2·Σ_{k=1}^{n-1} f_k + f_n] **Méthode de Simpson (n pair)** : ∫_{a}^{b} f(t) dt ≈ (Δt/3)·[f₀ + 4·Σ_{impair} f_k + 2·Σ_{pair, k≠0,n} f_k + f_n] > En pratique, un technicien relève toutes les 10 µs le courant d’une inductance dans un chopper à 20 kHz (Δt = 1·10⁻⁵ s, n = 5 points par période). En appliquant la formule du trapèze, il obtient la charge transférée avec une erreur inférieure à 1 % comparée à l’analyse théorique. Ces méthodes sont intégrées dans les logiciels d’acquisition (LabVIEW, Python avec NumPy) utilisés dans les lycées techniques et les centres de formation professionnelle du Cameroun. ## Synthèse du chapitre - L’intégrale d’une grandeur variable donne la quantité cumulée (énergie, charge, travail). - W = ∫ u(t)·i(t) dt, Q = ∫ i(t) dt. - Pour des formes d’onde connues analytiquement, on calcule l’intégrale exacte (exemple du redresseur). - Lorsque seules des valeurs discrètes sont disponibles, on applique les méthodes du trapèze ou de Simpson. - La précision dépend du pas d’échantillonnage Δt ; un Δt trop grand entraîne une erreur importante sur l’estimation de l’énergie. - Ces calculs sont indispensables au dimensionnement des composants (inductances, condensateurs, semiconducteurs) et au contrôle du rendement des systèmes de conversion d’énergie. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Intégrale définie | Limite de la somme des aires de rectangles de hauteur f(t) et de largeur dt lorsque le pas de subdivision tend vers zéro, notée ∫_a^b f(t) dt. | | Puissance instantanée p(t) | Produit u(t)·i(t) (W). | | Énergie électrique W | ∫ p(t) dt, exprimée en joules (J). | | Charge électrique Q | ∫ i(t) dt, exprimée en coulombs (C). | | Méthode du trapèze | Approximation linéaire de l’intégrale par somme d’aires de trapèzes. | | Méthode de Simpson | Approximation par paraboles sur deux sous‑intervalles successifs. | | Pas d’échantillonnage Δt | Intervalle de temps entre deux mesures consécutives. | | Ondulation (ripple) | Composante alternée résiduelle sur une tension ou un courant redressé. | | Convertisseur à découpage | Circuit qui commute un interrupteur à haute fréquence pour réguler une tension ou un courant. | | Rendement η | Rapport Puissance de sortie / Puissance d’entrée (sans unité). | ## Exercices d'application corrigés **Exercice 1** – Calcul d’énergie dans un onduleur sinusoïdal Un onduleur produit une tension de sortie u(t) = 230·sin(2π·50·t) V et alimente une charge résistive de 10 Ω. Déterminer l’énergie délivrée pendant une période complète (T = 0,02 s). *Corrigé* : Le courant i(t) = u(t)/R = (230/10)·sin(2π·50·t) = 23·sin(2π·50·t) A. Puissance p(t) = u(t)·i(t) = 230·23·sin²(2π·50·t) = 5290·sin²(2π·50·t) W. Énergie W = ∫_{0}^{T} 5290·sin²(2π·50·t) dt. En utilisant sin²x = (1‑cos2x)/2 : W = 5290·∫_{0}^{T} (1‑cos(4π·50·t))/2 dt = 2645·[ t – (sin(4π·50·t))/(4π·50) ]_{0}^{T} = 2645·[ T – 0 ] (le sinus vaut zéro aux bornes) = 2645·0,02 = 52,9 J. **Exercice 2** – Charge transférée par un inducteur en mode discontinu Dans un convertisseur buck, le courant d’inductance i_L(t) varie linéairement de 0 à 2 A pendant 5 µs, puis retombe à 0 pendant les 15 µs suivantes (période T = 20 µs). Calculer la charge Q transférée à la sortie sur une période. *Corrigé* : La forme de i_L(t) est composée de deux rampes linéaires : - Montée : i_L(t) = (2 A / 5 µs)·t pour 0 ≤ t ≤ 5 µs. - Descente : i_L(t) = 2 A·[1 – (t‑5 µs)/15 µs] pour 5 µs ≤ t ≤ 20 µs. Charge Q = ∫₀^{5µs} (2/5µs)·t dt + ∫_{5µs}^{20µs} 2·[1 – (t‑5µs)/15µs] dt. Première intégrale : (2/5µs)·[t²/2]₀^{5µs} = (2/5µs)·((5µs)²/2) = (2/5µs)·(25µs²/2) = (2·25µs²)/(2·5µs) = (25µs)/(5) = 5µs·A = 5 µC. (En effet, (2/5µs)·(25µs²/2) = 5µs·A = 5·10⁻⁶ C.) Seconde intégrale : ∫_{5µs}^{20µs} 2·[1 – (t‑5µs)/15µs] dt = 2·∫_{5µs}^{20µs} [1 – (t‑5µs)/15µs] dt. Soit u = t‑5µs, alors quand t varie de 5µs à 20µs, u varie de 0 à 15µs. Intégrale = 2·∫₀^{15µs} [1 – u/15µs] du = 2·[ u – u²/(2·15µs) ]₀^{15µs} = 2·[15µs – (15µs)²/(30µs)] = 2·[15µs – 7,5µs] = 2·7,5µs = 15µs·A = 15 µC. Q totale = 5 µC + 15 µC = 20 µC = 2,0·10⁻⁵ C. Vérification par méthode du trapèze avec un échantillonnage chaque µs (Δt = 1 µs, n = 20) donne exactement Q = 20 µC car la fonction est linéaire par morceaux ; l’erreur est nulle (< 0,1 % dû à l’arrondi). ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité 1. **Oublier le signe de la puissance** – Dans un régime régénératif (moteur en freinage), p(t) peut devenir négatif ; l’intégrale donne alors une énergie restituée au réseau. Négliger le signe conduit à surestimer la consommation. 2. **Utiliser un pas d’échantillonnage trop grand** – Si Δt dépasse un dixième de la période la plus courte du signal, la méthode du trapèze peut entraîner une erreur importante (supérieure à 5 %). Toujours vérifier que Δt ≤ T_min/10. 3. **Confondre charge et énergie** – La charge Q (coulombs) ne se mesure pas en joules ; multiplier Q par une tension moyenne ne donne l’énergie que si la tension est constante. 4. **Ne pas déconnecter l’alimentation avant de manipuler les points de mesure** – Risque de choc électrique ou de court‑circuit sur les inductances à forte énergie stockée. Toujours mettre le système en tension zéro et vérifier avec un multimètre. 5. **Ignorer la relation i(t) = C·du/dt dans un condensateur** – Dans un condensateur, le courant est proportionnel à la dérivée de la tension ; oublier cette relation entraîne des erreurs lorsqu’on veut déterminer la tension à partir du courant mesuré. 6. **Ne pas consigner les conditions de température** – La résistance des conducteurs varie avec la température ; une mesure d’énergie effectuée à froid peut être sous‑estimée en fonctionnement chaud. Noter la température ambiante et appliquer le coefficient de température si nécessaire. --- *Fin du cours.*